2020年高考数学新高考1卷(山东)真题及答案解析.pdf
20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4 Dx|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n22C若 mn0，则 C 是两条直线nAsin(x）3Bsin(5Dcos(2x)Ccos(2x）2x)36611已知 a0，b0，且 a+b=1，则Aa2b212B2ab12Clog2a log2b 2Da b 212 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念.设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为1,2,P(X i)pi 0(i 1,2,n),pi1，定义 X 的信息熵H(X)pilog2pi.i1i1nn,n，且A若 n=1，则 H(X)=0B若 n=2，则 H(X)随着p1的增大而增大1C若pi(i 1,2,n,n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,H(X)H(Y)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。,m，且P(Y j)pj p2m1 j(j 1,2,m)，则13斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示 O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，3垂足为 C，tanODC=，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，5圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm216 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD=60 以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ac 3，csin A 3，c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A 3sin B，C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12 分）已知公比大于1的等比数列an满足a2 a4 20,a3 8（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间(0,m(mN N*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S10019（12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：，_?6SO2PM2.50,50(50,150(150,4750,35(35,75(75,1153263188741210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？n(ad bc)2附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2 k)k0.0500.0100.0013.8416.63510.82820（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函数f(x)aex1ln xlna（1）当a e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围22（12分）x2y22已知椭圆C：221(a b 0)的离心率为，且过点A（2，1）ab2（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值参考答案一、选择题1C5C二、选择题9ACD三、填空题131632D6B3C7A4B8D10BC11ABD12AC143n22n155 421622四、解答题17解：方案一：方案一：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2由ac 3，解得a 3,b c 1因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 1方案二：方案二：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b232，由此可得b c，B C，A263由csin A 3，所以c b 2 3,a 6因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 2 3方案三：方案三：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2由c 3b，与b c矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在20212021 高考数学高考数学核心题型与解题技巧核心题型与解题技巧151151 个题型个题型218218 个核心考点个核心考点9090 个秒杀大招个秒杀大招11001100个经典高考试题个经典高考试题高三必备复习资料高三必备复习资料20202020 高考数学新教材全国一卷解答题高考数学新教材全国一卷解答题 2222、2121、2020、1818 押题成功押题成功下面是下面是 2222 题：这是解析几何的压轴题题：这是解析几何的压轴题2222（1212分）分）x2y22已知椭圆已知椭圆C C：221(a b 0)的离心率为的离心率为，且过点，且过点A A（2 2，1 1）ab2（1 1）求）求C C的方程：的方程：（2 2）点）点MM，N N在在C C上，且上，且AMAMANAN，ADADMNMN，D D为垂足证明：存在定点为垂足证明：存在定点Q Q，使得，使得|DQDQ|为定值为定值高考数学核心题型与解题技巧高考数学核心题型与解题技巧185185 页内容：页内容：通过例通过例 5 5 知道对抛物线上定点张直角的弦过定点，掌握了垂足知道对抛物线上定点张直角的弦过定点，掌握了垂足 MM 轨迹方程轨迹方程的求法，轨迹是一个圆；通过例的求法，轨迹是一个圆；通过例 6 6 展示了对于椭圆上的定点张直角的弦也展示了对于椭圆上的定点张直角的弦也过过 定定 点点，而而 且且 给给 出出 了了 所所 过过 定定 点点 的的 坐坐 标标 是是 一一 个个 二二 级级 结结 论论而且这一结论有详细的推导过程；下面还有双曲而且这一结论有详细的推导过程；下面还有双曲线对应的相应结论。线对应的相应结论。这两个题目的完美组合，使得本题的解答思路和方法清晰明了：可以先去这两个题目的完美组合，使得本题的解答思路和方法清晰明了：可以先去确定确定 MNMN 所过定点是所过定点是 K K(,)，根据例，根据例 5 5 知道知道 D D 的轨迹是以的轨迹是以 AKAK 为直径的为直径的圆，所以定点圆，所以定点 Q Q 为为 AKAK 中点中点(,)，定长为，定长为4 4 1 13 3 3 32 2 2 23 32 23 31 13 3。这题的押题成功，体现了。这题的押题成功，体现了我们重视基础知识体系，注重对题型规律的总结，缩短了审题过程，快速我们重视基础知识体系，注重对题型规律的总结，缩短了审题过程，快速找到解题思路和方法，实现了大题的秒杀！找到解题思路和方法，实现了大题的秒杀！下面是下面是 2121 题：这是导数部分的压轴题题：这是导数部分的压轴题2121（1212分）分）已知函数已知函数f(x)aex1ln xlna（1 1）当）当a e时，求曲线时，求曲线y=fy=f（x x）在点（）在点（1 1，f f（1 1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2 2）若）若f f（x x）1 1，求，求a a的取值范围的取值范围高考数学核心题型与解题技巧高考数学核心题型与解题技巧4444 页内容：页内容：本专题有本专题有 5 5 个例题，重点是利用这两个不等式进行放缩去解决证明求参问个例题，重点是利用这两个不等式进行放缩去解决证明求参问题。题。微信号：微信号：nuidashan7777nuidashan7777 如果掌握了解答这类不等式的经验和技巧，如果掌握了解答这类不等式的经验和技巧，下下面的解答思路水到渠成！面的解答思路水到渠成！a a0 0及及e ex x1 1x xaeaex x1 1lnxlnxlnalnaaxaxlnxlnxlnalna如果如果f(x)f(x)1 1则有则有axax lnxlnx lnalna 1 11 1y y0 0y y lnxlnx lnalna 1 1的过原点的切线的切点设为的过原点的切线的切点设为(x(x0 0,y y0 0)则有则有x x0 0 x x0 0y ylnlnx xlnalna1 10 00 0a a1 1解得解得x x0 01 1所以要使所以要使f(x)f(x)1 1成立成立y y1 10 0a a 的范围是的范围是1,1,。若不使用此法，我们看高考数学核心题型与解题技巧若不使用此法，我们看高考数学核心题型与解题技巧8686 页内容：页内容：题型题型 131131利用公切线确定参数范围利用公切线确定参数范围本本题题可可以以使使用用公公切切线线法法确确定定参参数数范范围围：f(x)f(x)1 1aeaex x1 11 1lnlnx xlnalna令令m(x)m(x)aeaex x1 1lna,n(x)lna,n(x)lnlnx x1 1，根据两函数的凹凸性，当两个函数有公切点，根据两函数的凹凸性，当两个函数有公切点x x0 01 11 1aeaex x0 01 1x x时，时，设切点设切点（x x0 0,y,y0 0）则有则有解得解得所以要使所以要使f(x)f(x)1 1成成0 0a a1 1aeaex x0 01 1lnalnalnlnx x1 10 0立立 a a 的范围是的范围是1,1,。我们看这两个方法无论哪一个都具有很强的优势，都可以实现问题的快速我们看这两个方法无论哪一个都具有很强的优势，都可以实现问题的快速解答。解答。下面看立体几何，第二问建立空间直角坐标系求解，此不是难点。下面看立体几何，第二问建立空间直角坐标系求解，此不是难点。2020（1212分）分）如图，四棱锥如图，四棱锥P P-ABCDABCD的底面为正方形，的底面为正方形，PDPD底面底面ABCDABCD设平面设平面PADPAD与平面与平面PBCPBC的交线为的交线为l l（1 1）证明：）证明：l l平面平面PDCPDC；（2 2）已知）已知PDPD=ADAD=1=1，Q Q为为l l上的点，求上的点，求PBPB与平面与平面QCDQCD所成角的正弦值的最大值所成角的正弦值的最大值对于立体几何第一问很多同学推导过程的严谨性是是一个失分点！证明对于立体几何第一问很多同学推导过程的严谨性是是一个失分点！证明l l与与 ADAD 平行是重点，对于该类问题我们早有准备：平行是重点，对于该类问题我们早有准备：高考数学核心题型与解题技巧高考数学核心题型与解题技巧148148 页页这两个题目的出现绝不是巧合，因为在教学中得到的信息是很多学生不会这两个题目的出现绝不是巧合，因为在教学中得到的信息是很多学生不会用相关定理解答此类问题，我们时刻准备着！用相关定理解答此类问题，我们时刻准备着！1818（1212分）分）已知公比大于已知公比大于1的等比数列的等比数列an满足满足a2 a4 20,a3 8（1 1）求）求an的通项公式；的通项公式；（2 2）记）记bm为为an在区间在区间(0,m(mN N*)中的项的个数，求数列中的项的个数，求数列bm的前的前100项和项和S1001818 题的数列求和问题练习机会可能比较少题的数列求和问题练习机会可能比较少看高考数学核心题型与解题技巧看高考数学核心题型与解题技巧228228 页页在对在对 20162016 年高考试题进行分析讲解之后，我后续强调的两个与对数结合取年高考试题进行分析讲解之后，我后续强调的两个与对数结合取整函数的规律与结论再次验证了我们对重点核考点的把握！整函数的规律与结论再次验证了我们对重点核考点的把握！整个试卷可以说对于难点部分全部命中，小题中很多可以实现光速解法，整个试卷可以说对于难点部分全部命中，小题中很多可以实现光速解法，我们从来不去离开基础追求“秒杀”我们从来不去离开基础追求“秒杀”，我们的实力来自对学生的了解，对考，我们的实力来自对学生的了解，对考试大纲的深度理解核对高考命题规律的准确把握！试大纲的深度理解核对高考命题规律的准确把握！18解：（1）设an的公比为q由题设得a1q a1q3 20，a1q281解得q （舍去），q 2由题设得a1 22所以an的通项公式为an 2n（2）由题设及（1）知b1 0，且当2n m 2n1时，bm n所以S100 b1(b2 b3)(b4 b5 b6 b7)(b32 b33 b63)(b64 b65 b100)012 222323 4245256(10063)48019解：（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的天数为321868 64,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的概率的估计值为64 0.64100（2）根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115264101610100(64101610)2 7.484（3）根据（2）的列联表得K 80207426由于7.484 6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关20解：（1）因为PD底面ABCD，所以PD AD又底面ABCD为正方形，所以AD DC，因此AD底面PDCBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC因为ADAD因此l 平面PDC由已知得l（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC (0,1,0)，PB (1,1,1)由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ (a,0,1)n nDQ 0,ax z 0,n n (x,y,z)QCD设是平面的法向量，则即y 0.n nDC 0,可取n n (1,0,a)所以cosn n,PB n nPB1 a|n n|PB|3 1 a23|a 1|32a12233a 11 a设PB与平面QCD所成角为，则sin因为为32a612，当且仅当a 1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值3a 136321解：f(x)的定义域为(0,)，f(x)aex11x（1）当a e时，f(x)exlnx 1，f(1)e1，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(e1)(e 1)(x 1)，即y (e1)x 2直线y (e1)x 2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2e 12，2e 1（2）当0 a 1时，f(1)a lna 1x1当a 1时，f(x)ex1lnx，f(x)e1x当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0所以当x 1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1当a 1时，f(x)aex1lnx lna ex1lnx 1综上，a的取值范围是1,)22解：41a2b21，解得a2 6，b2 3（1）由题设得221，2aba2x2y21所以C的方程为63（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y kx m，x2y21得(1 2k2)x2 4kmx 2m26 0代入634km2m26,x1x2于是x1 x2 221 2k1 2k由AM AN知AM AN 0，故(x1 2)(x2 2)(y11)(y21)0，可得(k21)x1x2(kmk 2)(x1 x2)(m1)2 4 02m264km(kmk 2)(m1)2 4 0将代入上式可得(k 1)221 2k1 2k2整理得(2k 3m 1)(2k m 1)0因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k m1 0，故2k 3m1 0，k 121于是MN的方程为y k(x)(k 1).3321所以直线MN过点P(,).33若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,y1).由AM AN 0得(x1 2)(x1 2)(y11)(y11)0.x12y122又，x1.1，可得3x128x1 4 0.解得x1 2（舍去）63321此时直线MN过点P(,).334 1令Q为AP的中点，即Q(,).3 3若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|若D与P重合，则|DQ|1|AP|.212 2.|AP|234 1综上，存在点Q(,)，使得|DQ|为定值.3 3
