2020-2021学年九年级(上)月考数学试卷 (含答案) (3).pdf

2020-20212020-2021 学年九年级（上）月考数学试卷学年九年级（上）月考数学试卷一选择题（共一选择题（共 1010 小题，共小题，共 3030 分）分）1（3 分）用配方法解一元二次方程2x23x10，配方正确的是（）A（x）2C（x）2B（x）2D（x）22（3 分）下列说法不正确的是（）A一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B一组邻边相等的菱形是正方形C有三个角是直角的四边形是矩形D对角线相等的菱形是正方形3（3 分）若关于x 的一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，则一次函数ykx+b 的大致图象可能是（）ABCD4（3 分）如图，在菱形ABCD 中，CEAB 于点 E，E 点恰好为 AB 的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A100B120C135D1505（3 分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地 2018 年产量为 100 吨，预计到 2020 年产量可达 121吨设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A100（1+x）2121C100（1+2x）121B121（1x）2100D100（1+x2）1216（3 分）如图，在菱形ABCD 中，A60，点E、F 分别为 AD、DC 上的动点，EBF60，点 E 从点 A 向点 D 运动的过程中，AE+CF 的长度（）A逐渐增加B逐渐减小C保持不变且与 EF 的长度相等D保持不变且与 AB 的长度相等7（3 分）四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它是矩形的是（）AAOCO，BOODCAOCO，BODO，ACDBBABBC，AOCODAOCOBODO8（3 分）如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，下列条件：（1）1+DBC90；（2）OAOB；（3）12，其中能判定平行四边形 ABCD 是菱形的条件有（）A0 个B1 个C2 个D3 个9（3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OEAC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（）ABCD10（3 分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，AG 平分BAC 交 BD 于G，DEAG 于点 H 下列结论：AD2AE：FDAG；CFCD：四边形 FGEA是菱形；OFBE，正确的有（）A2 个B3 个C4 个D5 个二填空题（共二填空题（共 5 5 小题，共小题，共 1515 分）分）11（3 分）一元二次方程x25x 的根12（3 分）如图，四边形ABCD 是菱形，AC24，BD10，DHAB 于点 H，则线段 DH的长为13（3 分）若关于 x 的方程（k1）x2+4x+10 有实数解，则 k 的取值范围是14（3 分）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为15（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点B 落在 B处若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为三解答题（共三解答题（共 8 8 小题，共小题，共 7575 分）分）16（16 分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x20；（2）4x2250；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+40；（4）（x1）（x3）817（8 分）如图，在四边形ABCD 中，ADBC，对角线BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 M、N（1）求证：四边形 BNDM 是菱形；（2）若 BD24，MN10，求菱形 BNDM 的周长18（8 分）关于 x 的一元二次方程23+0 有实数根（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（1）2+30 与方程23+0 有一个相同的根，求此时m 的值19（8 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，过点A 作 AEBC 于点 E，延长 BC 至 F，使 CFBE，连接 DF（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（2）若 AC10，ABC60，则矩形 AEFD 的面积是20（8 分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习（1）如果第一批组织 40 人去学习，则公司应向旅行社交费元；（2）如果公司计划用 29250 元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？21（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB3，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M是 AB 边上一动点（不与点A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形；（2）填空：当 AM 的值为时，四边形 AMDN 是矩形；当 AM 的值为时，四边形 AMDN 是菱形22（8 分）阅读探究：“任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形 A 的边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和 y，由题意得方程组0，b24ac49480，x1，x2，满足要求的矩形 B 存在（2）如果已知矩形A 的边长分别为 2 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 B（3）如果矩形 A 的边长为 m 和 n，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？23（11 分）四边形ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF90，BEEF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG，EC（1）问题发现如图 1，若点 E 在 CB 的延长线上，直接写出EG 与 GC 的位置关系及（2）操作探究将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然，消去y 化简得：2x27x+6的值；成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转，若 BE1，AB请直接写出 CE 的长，当 E，F，D 三点共线时，参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 1010 小题，共小题，共 3030 分）分）1（3 分）用配方法解一元二次方程2x23x10，配方正确的是（）A（x）2C（x）2B（x）2D（x）2【分析】化二次项系数为 1 后，把常数项右移，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方【解答】解：由原方程，得x2x，x2x+，（x）2故选：A2（3 分）下列说法不正确的是（）A一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B一组邻边相等的菱形是正方形C有三个角是直角的四边形是矩形D对角线相等的菱形是正方形【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确故选：B3（3 分）若关于x 的一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，则一次函数ykx+b 的大致图象可能是（）ABCD【分析】根据一元二次方程 x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，求出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可【解答】解：x22x+kb+10 有两个不相等的实数根，44（kb+1）0，解得 kb0，Ak0，b0，即 kb0，故 A 不正确；Bk0，b0，即 kb0，故 B 正确；Ck0，b0，即 kb0，故 C 不正确；Dk0，b0，即 kb0，故 D 不正确故选：B4（3 分）如图，在菱形ABCD 中，CEAB 于点 E，E 点恰好为 AB 的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A100B120C135D150【分析】连接 AC，证明ABC 是等边三角形，得出B60，则D60，BADBCD120，即可得出答案【解答】解：连接 AC，如图：四边形 ABCD 是菱形，ABBC，BADBCD，BD，ADBC，BAD+B180，CEAB，点 E 是 AB 中点，BCACAB，ABC 是等边三角形，B60，D60，BADBCD120；即菱形 ABCD 的较大内角度数为 120；故选：B5（3 分）某市“菜篮子工程”蔬菜基地 2018 年产量为 100 吨，预计到 2020 年产量可达 121吨设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A100（1+x）2121C100（1+2x）121B121（1x）2100D100（1+x2）121【分析】利用增长后的量增长前的量（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从 100 吨增加到 121 吨”，即可得出方程【解答】解：由题意知，设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，根据 2018 年产量为 100 吨，则 2019 年蔬菜产量为 100（1+x）吨，2020 年蔬菜产量为100（1+x）（1+x）吨，预计 2020 年产量可达 121 吨，即：100（1+x）（1+x）121 或 100（1+x）2121故选：A6（3 分）如图，在菱形ABCD 中，A60，点E、F 分别为 AD、DC 上的动点，EBF60，点 E 从点 A 向点 D 运动的过程中，AE+CF 的长度（）A逐渐增加B逐渐减小C保持不变且与 EF 的长度相等D保持不变且与 AB 的长度相等【分析】证明ABEDBF（AAS），可得AEDF，根据线段的和可知：AE+CFAB，是一定值，可作判断【解答】解：连接 BD，四边形 ABCD 是菱形，ABADCD，A60，ABD 是等边三角形，ABBD，ABD60，DCAB，CDBABD60，ACDB，EBF60，ABE+EBDEBD+DBF，ABEDBF，在ABE 和DBF 中，ABEDBF（AAS），AEDF，AE+CFDF+CFCDAB，故选：D7（3 分）四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它是矩形的是（AAOCO，BOODBABBC，AOCOCAOCO，BODO，ACDBDAOCOBODO）【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定逐个判断即可【解答】解：A、OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形，不能推出四边形ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；B、根据 ABBC，AOCO 不能推出四边形 ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；C、OAOC，OBOD，四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，平行四边形 ABCD 是菱形，不能推出四边形ABCD 是矩形，故本选项不符合题意；D、OAOBOCOD，OAOC，OBOD，ACBD，四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，四边形 ABCD 是矩形，故本选项符合题意；故选：D8（3 分）如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，下列条件：（1）1+DBC90；（2）OAOB；（3）12，其中能判定平行四边形 ABCD 是菱形的条件有（）A0 个B1 个C2 个D3 个【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，ADBC，1BCO，若1+DBC90时，则BCO+DBC90，BOC90，ACBD，四边形 ABCD 是菱形；（1）能判定平行四边形 ABCD 是菱形；若 OAOB，则 ACBD，四边形 ABCD 是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD 是菱形；若12，则2BCO，ABCB，四边形 ABCD 是菱形；（3）能判定平行四边形 ABCD 是菱形；故选：C9（3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OEAC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（）ABCD【分析】依据矩形的性质即可得到AOD 的面积为 12，再根据 SAODSAOE+SDOE，即可得到 OE+EF 的值【解答】解：AB6，BC8，矩形 ABCD 的面积为 48，ACAODOAC5，对角线 AC，BD 交于点 O，AOD 的面积为 12，EOAO，EFDO，SAODSAOE+SDOE，即 12AOEO+DOEF，125EO+5EF，5（EO+EF）24，EO+EF，10，故选：C10（3 分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，AG 平分BAC 交 BD 于G，DEAG 于点 H 下列结论：AD2AE：FDAG；CFCD：四边形 FGEA是菱形；OFBE，正确的有（）A2 个B3 个C4 个D5 个【分析】根据正方形的性质和角平分线的定义得：BAGCAG22.5，由垂直的定义计算AED9022.567.5，EADEAD22.5，得 ED 是 AG 的垂直平分线，则 AEEG，BEG 是等腰直角三角形，则ADAB2AE，可作判断；证明DAFABG（ASA），可作判断；分别计算CDFCFD67.5，可作判断；根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；设 BGx，则 AFAEx，表示 OF 和 BE 的长，可作判断【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，BAD90，BAC45，AG 平分BAC，BAGCAG22.5，AGED，AHEEHG90，AED9022.567.5，ADE22.5，ADB45，EDG22.5ADE，AHDGHD90，DAGDGA，ADDG，AHGH，ED 是 AG 的垂直平分线，AE EG，EAG AGE 22.5，BEG 45ABG，BGE 90，AE EG BE，AD AB 2AE，故不正确；四边形 ABCD是正方形，AD AB，DAF ABG 45，ADF BAG 22.5，DAF ABG（ASA），DF AG，故正确；CDF 45+22.567.5，CFD AFE 90CDF CFD，CF CD，故正确；EAH FAH，AHE AHF，AEF AFE，AE AF，EH FH，AH GH，AG EF，四边形 FGEA 是菱形；故正确；设 BG x，则 AF AE x，由知BEG 是等腰直角三角形，BE x，AB AE+BE x+x（+1）x，22.5 67.5，AOOFAOAF，x，OFBE；故正确；本题正确的结论有：；故选：C二填空题（共二填空题（共 5 5 小题，共小题，共 1515 分）分）11（3 分）一元二次方程x25x 的根x10，x25【分析】先移项，然后通过提取公因式x 对等式的左边进行因式分解【解答】解：由原方程，得x25x0，则 x（x5）0，解得 x10，x25故答案是：x10，x2512（3 分）如图，四边形ABCD 是菱形，AC24，BD10，DHAB 于点 H，则线段 DH的长为【分析】直接利用菱形的性质得出AO，DO 的长，再利用三角形面积以及勾股定理得出答案【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC24，BD10，S菱形ABCDACBD120，AO12，OD5，ACBD，ADABDHAB，13，AOBDDHAB，121013DH，DH故答案为：13（3 分）若关于 x 的方程（k1）x2+4x+10 有实数解，则 k 的取值范围是k5【分析】分 k10 和 k10 两种情况，其中 k10 时根据题意列出关于 k 的不等式求解可得【解答】解：当 k10 时，方程为 4x+10，显然有实数根；当 k10，即 k1 时，424（k1）10，解得 k5 且 k1；综上，k5故答案为：k514（3 分）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为1【分析】方法一：连接 CH 并延长交 AD 于 P，连接 PE，根据正方形的性质得到A90，ADBC，ABADBC2，根据全等三角形的性质得到PDCF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论方法二：设 DF，CE 交于 O，根据正方形的性质得到BDCF90，BCCDAB，根据线段中点的定义得到 BECF，根据全等三角形的性质得到 CEDF，BCECDF，求得 DFCE，根据勾股定理得到CEDF，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解答】解：方法一：连接 CH 并延长交 AD 于 P，连接 PE，四边形 ABCD 是正方形，A90，ADBC，ABADBC2E，F 分别是边 AB，BC 的中点，AECF2ADBC，DPHFCH，DHPFHC，DHFH，PDHCFH（AAS），PDCF，2，APADPDPE点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，GHEP1；方法二：设 DF，CE 交于 O，四边形 ABCD 是正方形，BDCF90，BCCDAB，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，BECF，CBEDCF（SAS），CEDF，BCECDF，CDF+CFD90，BCE+CFD90，COF90，DFCE，CEDF，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，CGFH，DCF90，CODF，DCO+FCODCO+CDO90，FCOCDO，DCFCOF90，COFDOC，CF2OFDF，OF，OH，OD，COFCOD90，COFDOC，OC2OFOD，OCOGCGOCHG故答案为：1，1，15（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把EBF 沿 EF 折叠，点B 落在 B处若CDB恰为等腰三角形，则 DB的长为16 或 4【分析】根据翻折的性质，可得BE 的长，根据勾股定理，可得CE 的长，根据等腰三角形的判定，可得答案【解答】解：（i）当 BDBC 时，过 B点作 GHAD，则BGE90，当 BCBD 时，AGDHDC8，由 AE3，AB16，得 BE13由翻折的性质，得 BEBE13EGAGAE835，BG12，BHGHBG16124，DB4（ii）当 DBCD 时，则 DB16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）（iii）当 CBCD 时，则 CBCB，由翻折的性质，得 EBEB，点 E、C 在 BB的垂直平分线上，EC 垂直平分 BB，由折叠，得 EF 也是线段 BB的垂直平分线，点 F 与点 C 重合，这与已知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去综上所述，DB的长为 16 或 4故答案为：16 或 4三解答题（共三解答题（共 8 8 小题，共小题，共 7575 分）分）16（16 分）用恰当的方法解下列方程：（1）x2+4x20；（2）4x2250；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+40；（4）（x1）（x3）8【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用直接开平方法求解可得；（3）利用换元法求解可得；（4）整理成一般式，再利用公式法求解可得【解答】解：（1）a1，b4，c2，4241（2）240，则 x即 x12+2，x22，；（2）4x225，x2，解得 x1，x2；（3）令 2x+1a，则 a2+4a+40，（a+2）20，解得 a2，2x+12，解得 x1x21.5；（4）方程整理为一般式，得：x24x50，解得：（x5）（x+1）0，则 x50 或 x+10，解得 x15，x2117（8 分）如图，在四边形ABCD 中，ADBC，对角线BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 M、N（1）求证：四边形 BNDM 是菱形；（2）若 BD24，MN10，求菱形 BNDM 的周长【分析】（1）证MODNOB（AAS），得出 OMON，由 OBOD，证出四边形 BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BMBNDMDN，OBBD12，OMMN5，由勾股定理得 BM13，即可得出答案【解答】（1）证明：ADBC，DMOBNO，MN 是对角线 BD 的垂直平分线，OBOD，MNBD，在MOD 和NOB 中，MODNOB（AAS），OMON，OBOD，四边形 BNDM 是平行四边形，MNBD，四边形 BNDM 是菱形；（2）解：四边形 BNDM 是菱形，BD24，MN10，BMBNDMDN，OBBD12，OMMN5，在 RtBOM 中，由勾股定理得：BM菱形 BNDM 的周长4BM4135218（8 分）关于 x 的一元二次方程23+0 有实数根（1）求 k 的取值范围；（2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（1）2+30 与方程23+0 有一个相同的根，求此时m 的值【分析】（1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可；（2）先确定 k2，再解方程23+20，解得 x11，x22，然后分别把 x1 和 x2 代入元二次方程（1）2+30 可得到满足条件的m 的值【解答】解：（1）根据题意得（3）24k0，解得 k；（2）满足条件的 k 的最大整数为 2，此时方程23+0 变形为方程23+20，解得 x11，x22，当相同的解为 x1 时，把x1 代入方程（1）2+30 得 m1+1+m30，解得 m；当相同的解为 x2 时，把x2 代入方程（1）2+30 得 4（m1）+2+m30，解得 m1，而 m10，不符合题意，舍去，所以 m 的值为19（8 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 O，过点A 作 AEBC 于点 E，延长 BC 至 F，使 CFBE，连接 DF（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；（2）若 AC10，ABC60，则矩形 AEFD 的面积是2513，【分析】（1）根据菱形的性质得到ADBC 且 ADBC，等量代换得到BCEF，推出四边形 AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到 RtABERtDCF（HL），求得矩形 AEFD 的面积菱形 ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ADBC，ADBC，CFBE，BCEF，ADEF，ADEF，四边形 AEFD 是平行四边形，AEBC，AEF90，平行四边形 AEFD 是矩形；（2）解：ABCD，BECF，AEBDFC90，RtABERtDCF（HL），矩形 AEFD 的面积菱形 ABCD 的面积，ABC60，ABC 是等边三角形，AC10，AEAC5，AB10，BO5，ADEF10，矩形 AEFD 的面积菱形 ABCD 的面积1010故答案为：5050，20（8 分）某旅行社的一则广告如下：甲公司想分批组织员工到延安红色旅游学习（1）如果第一批组织 40 人去学习，则公司应向旅行社交费28000元；（2）如果公司计划用 29250 元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？【分析】（1）首先表示出 40 人是平均每人的费用，进而得出总费用；（2）表示出每人平均费用为：80010（x30），进而得出等式求出答案【解答】解：（1）人数多于 30 人，那么每增加 1 人，人均收费降低 10 元，第一批组织 40 人去学习，则公司应向旅行社交费：40800（4030）1028000（元）；故答案为：28000；（2）设这次旅游应安排x 人参加，308002400029250，x30，根据题意得：x80010（x30）29250，整理得，x2110 x+29250，解得：x145，x26580010（x30）500，x60 x45答：这次旅游应安排 45 人参加21（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB3，DAB60，点 E 是 AD 边的中点，点 M是 AB 边上一动点（不与点A 重合），延长 ME 交射线 CD 于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形；（2）填空：当 AM 的值为1.5时，四边形 AMDN 是矩形；当 AM 的值为3时，四边形 AMDN 是菱形【分析】（1）求出DNEAME，根据全等及时向的性质得出 NEME，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据等边三角形的判定得出ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DMAB，根据矩形的判定得出即可；求出ABD 是等边三角形，求出 M 和 B 重合，根据菱形的判定得出即可【解答】（1）证明：点 E 是 AD 边的中点，AEDE，四边形 ABCD 是菱形，DCAB，DNEAME，在DNE 和AME 中，DNEAME（AAS），NEME，AEDE，四边形 AMDN 是平行四边形；（2）解：当 AM1.5 时，四边形 AMDN 是矩形，理由是：连接 BD，四边形 ABCD 是菱形，ADAB3，DAB60，ADB 是等边三角形，ADBD3，AM1.5，AB3，AMBM，DMAB，即DMA90，四边形 AMDN 是平行四边形，四边形 AMDN 是矩形，即当 AM1.5 时，四边形 AMDN 是矩形，故答案为：1.5；当 AM3 时，四边形 AMDN 是菱形，理由是，此时 AMAB3，即 M 和 B 重合，由知：ABD 是等边三角形，AMMD，四边形 AMDN 是平行四边形，四边形 AMDN 是菱形，故答案为：322（8 分）阅读探究：“任意给定一个矩形 A，是否存在另一个矩形 B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形 A 的边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和 y，由题意得方程组0，b24ac49480，x1满足要求的矩形 B 存在（2）如果已知矩形A 的边长分别为 2 和 1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 B，x22，消去y 化简得：2x27x+6（3）如果矩形 A 的边长为 m 和 n，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？【分析】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于 x 的一元二次方程，由根的判别式70，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于 x 的一元二次方程，由根的判别式0，可找出 m、n 之间的关系【解答】解：（1）利用求根公式可知：x1故答案为：；2（2）设所求矩形的两边分别是x 和 y，根据题意得：，x22消去 y 化简得：2x23x+20b24ac（3）242270，该方程无解，不存在满足要求的矩形B（3）设所求矩形的两边分别是x 和 y，根据题意得：，消去 y 化简得：2x2（m+n）x+mn0矩形 B 存在，b24ac（m+n）242mn0，（mn）24mn故当 m、n 满足（mn）24mn 时，矩形 B 存在23（11 分）四边形ABCD 是正方形，BEF 是等腰直角三角形，BEF90，BEEF，连接 DF，G 为 DF 的中点，连接 EG，CG，EC（1）问题发现如图 1，若点 E 在 CB 的延长线上，直接写出EG 与 GC 的位置关系及（2）操作探究的值；将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）解决问题将图 1 中的BEF 绕点 B 顺时针旋转，若 BE1，AB请直接写出 CE 的长，当 E，F，D 三点共线时，【分析】（1）过G 作 GHEC 于 H，推出EFGHDC，求出H 为 EC 中点，根据梯形的中位线求出 EGGC，GH（EF+DC）（EB+BC），推出 GHEHBC，根据直角三角形的判定推出EGC 是等腰直角三角形即可；（2）延长 EG 到 H，使 EGGH，连接 CH，过 E 作 BC 的垂线 EQ，证EFGHDG，推出 DHEFBE，FEGDHG，求出EBCHDC，证出EBCHDC，推出 CECH，BCEDCH，求出ECH 是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）分两种情况：CE 在 BC 的上方，如图 3，作辅助线，构建等腰直角三角形，求出 cosDBE，推出DBE60，证明GDCEBC（ASA），则 ECCG，DGEB1，从而得结论；CE 在 BC 的下方，如图 4，同理可得结论【解答】解：（1）EGCG，；理由是：如图 1，过 G 作 GHEC 于 H，FEBDCB90，EFGHDC，G 为 DF 中点，H 为 EC 中点，EGGC，GH（EF+DC）（EB+BC）CE，即 GHEHHC，EGC90，即EGC 是等腰直角三角形，（2）结论还成立，；理由是：如图 2，延长 EG 到 H，使 EGGH，连接 CH，过 E 作 BC 的垂线 EQ，延长CB 交 EQ 于 R，延长 CD，交 EH 于 N，在EFG 和HDG 中，EFGHDG（SAS），DHEFBE，FEGDHG，EFDH，同理得 ERCD，12，129034，EBC18041801HDC，在EBC 和HDC 中，EBCHDC（SAS）CECH，BCEDCH，ECHDCH+ECDBCE+ECDBCD90，ECH 是等腰直角三角形，G 为 EH 的中点，EGGC，即（1）中的结论仍然成立；（3）分两种情况：如图 3，连接 BD，过 C 作 CGEC，交 ED 的延长线于 G，AB，正方形 ABCD，BD2，RtBED 中，cosDBE，DBE60，BDF30tanBDEDEBE，ABD45，ABE604515，EBC90+15105，EDCBDE+CDB30+4575，CDG18075105，CDGCBE，ECGBCD90，DCGBCE，BCCD，GDCEBC（ASA），ECCG，DGEB1，ECG 是等腰直角三角形，EGCE，+1，；EGED+DGCE 如图 4，连接 BD，过 C 作 CHEC，交 ED 于 H，同理得DHCBEC（ASA），ECCH，DHEB1，同理可知：DEEHDEDH，1，ECH 是等腰直角三角形，EHCECE，；综上，CE 的长为