高考数学试卷-文科(含详细答案).pdf
20112011 年普通高等学校招全国统一考试（湖南）年普通高等学校招全国统一考试（湖南）数学（文史类）数学（文史类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 6 页。时间页。时间 120120 分钟，满分钟，满分分 150150 分。分。参考公式：参考公式：（1）柱体体积公式v sh，其中s为底面面积，h为高1（2）球的体积公式 V=R3,其中 R 为球的半径3一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集 U=MN=1,2,3,4,5,MCuN=2,4,则 N=A1,2,3 B.1,3,5C.1,4,5 D.2,3,42若a,bR，为虚数单位，且(a i)i bi则Aa 1，b 1 B.a 1,b 1 C.a 1,b 1 D.a 1,b 13.“x 1”是“x 1”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4.设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A942B36189C1229D1825.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：爱好不爱好总计2男402060女203050总计6050110110(40302020)2n(ad bc)22 7.8由k 算得，k 60506050(ad)(cd)(ac)(bd)附表：p(k2 k)k0.0503.8410.0106.6350.00110.828参照附表，得到的正确结论是A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”x2y21(a 0)的渐近线方程为3x 2y 0，则 a 的值为6.设双曲线2a9A.4 B.3 C.2 D.17.曲线y A.sin x1在点 M（，0）处的切线的斜率为4sin xcos x21122 B.C.D.22228.已知函数f(x)ex1,g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则 b 的取值范围为A.22,2 2 B.(22,2 2)C.1,3 D.1,3二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分，把答分，把答案填在答题卡案填在答题卡中对应号后的横线上。中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在（一）选做题（请考生在 9 9、1010 两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）x 2cos,9.在直角坐标系 xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），y 3sin在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2的方程为pcossin10，则 C1与 C2的交点个数为。10.已知某试验范围为【10，90】，若用分数法进行4 次优选试验，则第二次试点可以是。（二）必做题（二）必做题（11111616 题）题）11.若执行如图 2 所示的框图，输入x11，x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于。12.已知 f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=_.13.设向量a,b满足|a|=25,b=(2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为_.14.设 m1,在约束条件下，目标函数 z=x+5y 的最大值为 4，则 m 的值为_.15.已知圆 C：x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25.（1）圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_;（2）圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为_.f:N Nk N16.给定,设函数满足：对于任意大于k 的正整数n，f(n)nk。(1)设 k=1，则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为_(2)设 k=4,且当 n4 时，2f(n)3,则不同的函数 f 的个数为_.三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。17.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC.(1)求角 C 的大小；(2)求3sinA-cos(B+18.（本小题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X（单位：毫米）有关，据统计，当 X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5.已知近 20 年 X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160。（）完成如下的频率分布表近 20 年六月份降雨量频率分布表降雨量频率70120)的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。4110140420160200220220（）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率.19.（本小题满分 12 分）如图 3，在圆锥PO中，已知PO=2，的直径AB 2,点C在CAB 300，D为AC的中点.上，且()证明：AC 平面POD;()求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。20.（本小题满分 13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年，每年初M的价值比上年初减少 10 万元；从第 7年开始，每年初M的价值为上年初的 75%.（）求第n年初M的价值an的表达式；（）设Ana1a2.an，若An大于 80 万元，则M继续使用，否则须在n第n年初对M更新.证明：须在第 9 年初对M更新.21.（本小题满分 13 分）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于 1.（）求动点P的轨迹C的方程；（），过点F左两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求AD,EB的最小值。22.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分）1设函数f(x)xaInx(aR)。x（）讨论函数f(x)的单调性。（）若f(x)有两个极值点x1,x2；记过点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线斜率为k。问：是否存在a，使得k 2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。20112011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6 页时量 120 分钟，满分 150 分参考公式（1）柱体体积公式V Sh，其中S为底面面积，h为高（2）球的体积公式V 4R3，其中R为球的半径3一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U MN 1,2,3,4,5,MCUN 2,4,则N（）A1,2,3B1,3,51,4,52,3,4答案：B解析：画出韦恩图，可知N 1,3,5。若a,bR,i为虚数单位，且(ai)i bi，则a 1,b 1a 1,b 1a 1,b 1a 1,b 1答案：C解析：因(ai)i 1ai bi，根据复数相等的条件可知a 1,b 1。x 1是|x|1的A充分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案：A解析：因x 1|x|1，反之3|x|1x 1或x 1，不一定有x 1。设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A9 42361823正视图侧视图99121822答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V 4339（）+332=18。322俯视图图 15通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计402060爱好203050不爱好6050110总计22n(ad bc)2110(40302030)2由K 算得,K 7.8(ab)(cd)(ac)(bd)60506050附表：663510828参照附表，得到的正确结论是（）A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”P(K2 k)0050k384100100001D在犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”答案：A解析：由K 7.8 6.635，而P(K2 6.635)0.010，故由独立性检验的意义可知选A.2x2y21(a 0)的渐近线方程为3x2y 0,则a的值为（）6设双曲线2a9A4B3C2D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y 7曲线y 3x，故可知a 2。asin x1在点M(,0)处的切线的斜率为（）sin xcosx241122ABCD2222答案：Bcosx(sin xcosx)sin x(cosxsin x)1，所以22(sin xcosx)(sin xcosx)11y|。x4(sincos)22448已知函数f(x)ex1,g(x)x24x3,若有f(a)g(b),则b的取值范围为解析：yA22,2 2B(22,2 2)C1,3D(1,3)答案：B解 析：由 题 可 知f(x)ex1 1，g(x)x24x3(x2)211，若 有f(a)g(b),则g(b)(1,1，即b24b3 1，解得22 b 22。二、填空题：本大题共8 小题，考生作答7 小题，每小题解分，共青团员5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第9，10 两题中任选一题作开始答，如果全做，则按前一题记分）9在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为输入x1,x2,x3,x4x 2cos(为参数)在极坐标系（与直角坐y 3sin标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正 半 轴 为 极 轴）中，曲 线C2的 方 程 为i 1,x 0(cossin)1 0,则C1与C2的 交 点 个 数为答案：222x x xi开始i i 1开始是xy1，曲线C2:x y1 0，432联立方程消y得7x 8y8 0，易得 0，故有解析：曲线C1:2 个交点。10已知某试验范围为10，90，若用分数法进行 4次优选试验，则第二次试点可以是答案：40 或 60（只填一个也正确）解析：有区间长度为 80，可以将其等分 8 段，利用分i 4?开始否x x4输出x结束图 2数法选取试点：x1105(9010)60，x2109060 40，由对称性可知，第8二次试点可以是 40 或 60。(二)必做题（11-16 题）11若执行如图2 所示的框图，输入x11,x2 2,x3 4,x48,则输出的数等于答案：154x1 x2 x3 x415。4412已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9,g(2)3,则f(2)解析：由框图功能可知，输出的数等于x 答案：6解析：g(2)f(2)9 3,则f(2)6，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(2)6。13设向量a,b满足|a|2 5,b (2,1),且a与b的方向相反，则a的坐标为答案：(4,2)221 5，所以a 2b (4,2).y x14设m 1,在约束条件y mx下，目标函数z x5y的最大值为4，则m的值x y 1解析：由题|b|为答案：31m,)取最大值为 4，解得m 3。1m 1m2215已知圆C:x y 12,直线l:4x3y 25.（1）圆C的圆心到直线l的距离为(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为1答案：5，625解析：（1）由点到直线的距离公式可得d 5；224 3（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即l1:4x3y 15解析：画出可行域，可知z x5y在点(与圆相交所得劣弧上，由半径为2 3，圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为，31故所求概率为P 3.26*16、给定k N，设函数f:N N满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)nk*（1）设k 1，则其中一个函数f在n 1处的函数值为；（2）设k 4，且当n 4时，2 f(n)3，则不同的函数f的个数为。答案：（1）a(a为正整数)，（2）16*解析：（1）由题可知f(n)N，而k 1时，n 1则f(n)n1N，故只须f(1)N，故f(1)a(a为正整数)。*（2）由 题 可 知k 4，n 4则f(n)n4N，而n 4时，2 f(n)3即f(n)2,3，即n1,2,3,4，f(n)2,3，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为2416。三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A acosC.（I）求角C的大小；（II）求3sin Acos(B4解析：（I）由正弦定理得sinCsin A sin AcosC.)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小因为0 A,所以sin A 0.从而sinC cosC.又cosC 0,所以tanC 1,则C（II）由（I）知B 43 A.于是43sin Acos(B)3sin Acos(A)43sin Acos A 2sin(A63110 A,A,从而当A,即A时,46612623).2sin(A6)取最大值 2综上所述，3sin Acos(B4)的最大值为 2，此时A 3,B 5.1218（本题满分 12 分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 X（单位：毫米）有关据统计，当X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5；已知近 20 年 X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160（I）完成如下的频率分布表：近 20 年六月份降雨量频率分布表70110140160200220降雨量频率120420220（II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率解：（I）在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为70110140160200220降雨量134732020202020P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)频率（II）=P(Y530)=P(X210)220=132320202010故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率为31019（本题满分 12 分）如图 3，在圆锥PO中，已知PO 2,O的直径AB 2,点C在AB上,且CAB=30,D为AC的中点（I）证明：AC 平面POD;（II）求直线和平面PAC所成角的正弦值解析：（I）因为OAOC,D是AC的中点,所以AC OD.又PO 底面O,AC 底面O,所以AC OD.PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD;（II）由（I）知，AC 平面POD,又AC 平面PAC,所以平面POD 平面PAC,在平面POD中，过O作OH PD于H,则OH 平面PAC,连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在1PO OD22Rt POD中,OH 31PO2OD224OH2在Rt OHC中,sin OCH OC3220（本题满分 13 分）某企业在第 1 年初购买一台价值为120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75%（I）求第 n 年初 M 的价值an的表达式；（II）设Ana1a2nan,若An大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9 年初对 M 更新解析：（I）当n 6时，数列an是首项为 120，公差为10的等差数列an12010(n1)13010n;当n 6时，数列an是以a6为首项，公比为an 70()3为等比数列，又a6 70，所以434n6;12010(n1)13010n,n 6因此，第n年初，M 的价值an的表达式为an3n6an 70(),n 74(II)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1 n 6时，Sn120n5n(n1),An1205(n1)1255n;当n 7时，333Sn S6(a7a8an)5707041()n6 780210()n64443n6780210()4An.n因为an是递减数列，所以An是递减数列，又33780210()86780210()96477944A88280,A9 7680,864996所以须在第 9 年初对 M 更新21已知平面内一动点P到点 F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于 1（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求ADEB的最小值22解析：（I）设动点P的坐标为(x,y)，由题意为(x1)y|x|1.化简得y2 2x2|x|,当x 0时,y 4x;当x 0时,y=0.、所以动点 P 的轨迹 C 的方程为,y 4x(x 0)和y=0(x 0).（II）由题意知，直线l1的斜率存在且不为 0，设为k，则l1的方程为y k(x1)22y k(x1)2222，得k x(2k 4)xk 0.2y 4x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是4x1 x2 22,x1x21k1因为l1l2，所以l2的斜率为k2设D(x3,y3),B(x4,y4),则同理可得x3 x4 24k,x3x41由ADEB (AF FD)(EF FB)AF EF AF FB FD EF FD FB|AF|FB|FD|EF|故(x11)(x21)(x31)(x41)1(24)11(24k2)12k121)842 k16k2k212当且仅当k 2即k 1时，ADEB取最小值 16k84(k222（本小题 13 分）设函数f(x)x1aln x(aR).x(I)讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k 2a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解析：（I）f(x)的定义域为(0,).1ax2ax1f(x)122xxx2令g(x)x2ax1,其判别式 a 4.(1)当|a|2时,0,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增(2)当a 2时,0,g(x)=0的两根都小于 0，在(0,)上，f(x)0，故f(x)在(0,)上单调递增aa24aa24(3)当a 2时,0,g(x)=0的两根为x1，,x222当0 x x1时，f(x)0；当x1 x x2时，f(x)0；当x x2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减（II）由（I）知，a 2x x2因为f(x1)f(x2)(x1 x2)1a(ln x1ln x2)，所以x1x2f(x1)f(x2)ln x1ln x21k 1ax1 x2x1x2x1 x2ln x1ln x2又由(I)知，x1x21于是k 2ax1 x2ln x1ln x21即lnx1lnx2 x1 x2亦即若存在a，使得k 2a.则x1 x21x22ln x2 0(x21)(*)x21再由（I）知，函数h(t)t 2ln t在(0,)上单调递增，而x21，所以tx2112ln x21 2ln1 0.这与(*)式矛盾故不存在a，使得k 2a.x21
