2020年江西省中考数学第二轮专题复习教案及练习：专题六 二次函数压轴题(含答案).pdf

专题六二次函数压轴题类型一类型一 二次函数与图形变换二次函数与图形变换如图，已知直线 l：yx2 与 y 轴交于点 A，抛物线 y(x1)2m也经过点 A，其顶点为 B，将该抛物线沿直线 l 平移，使顶点 B 落在直线 l 上的点 D 处，点 D 的横坐标为 n(n1)(1)求点 B 的坐标；(2)平移后的抛物线可以表示为_(用含 n 的式子表示)；(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点 C 的横坐标为 a.请写出 a 关于 n 的函数关系式；如图，连接 AC、CD，若ACD90，求 a 的值【分析】(1)点 B 是抛物线顶点，要求点 B 的坐标，只需求抛物线解析式即可，将点 A 代入即可得解；(2)确定平移后的抛物线解析式，可根据抛物线平移规律直接得解；(3)由点 C 是两抛物线交点，可联立解方程来确定a 与 n 的关系；由ACD90，可过点 C 作 y 轴的垂线，构造三垂直模型利用相似来解【自主解答】1 1 已知平面直角坐标系中两定点 A(1，0)、B(4，0)，抛物线 yax2bx2(a0)过点 A，B，顶点为 C，点 P(m，n)(n0)为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；(2)当APB 为钝角时，求 m 的取值范围；35(3)若 m2，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t(0t2)个单位长度，点 C、P 平移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得首尾依次连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长最短？若存在，求 t 的值，并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由2 2(20192019陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yax2(ca)xc 经过点A(3，0)和点 B(0，6)，L 关于原点 O 对称的抛物线为 L.(1)求抛物线 L 的表达式；(2)点 P 在抛物线 L上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D，若POD与AOB 相似，求符合条件的点 P 的坐标3 3已知二次函数yax22ax2 的图象(记为抛物线 C1)的顶点为 M，直线l：y2xa 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B.(1)对于抛物线 C1，以下结论正确的是_对称轴是：直线 x1；顶点坐标是(1，a2)；抛物线一定经过两个定点(2)当 a0 时，设ABM 的面积为 S，求 S 与 a 的函数关系式(3)将二次函数 yax22ax2 的图象 C1绕点 P(t，2)旋转 180得到二次函数的图象(记为抛物线 C2)，顶点为 N.当2x1 时，旋转前后的两个二次函数 y 的值都会随 x 的增大而减小，求 t的取值范围；当 a1 时，点 Q 是抛物线 C1上的一点，点 Q 在抛物线 C2上的对应点为 Q，试探究四边形 QMQN 能否为正方形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由类型二类型二 二次函数与几何图形综合二次函数与几何图形综合如图，已知二次函数 L1：ymx22mx3m1(m1)和二次函数 L2：ym(x3)24m1(m1)图象的顶点分别为 M，N，与 x 轴分别相交于 A，B 两点(点A 在点 B 的左边)和 C、D 两点(点 C 在点 D 的左边)(1)函数 ymx22mx3m1(m1)的顶点坐标为_；当二次函数 L1，L2的 y 值同时随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是_；(2)当 ADMN 时，请直接写出四边形 AMDN 的形状；(3)抛物线 L1，L2均会分别经过某些定点求所有定点的坐标；若抛物线 L1的位置固定不变，通过左右平移抛物线 L2，使得这些定点组成的图形为菱形，则抛物线 L2应平移的距离是多少？【分析】(1)将抛物线化为顶点式即可得到顶点坐标；由图象可得y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围；(2)判断四边形 AMDN 的形状，可先证明四边形 AMDN 是平行四边形，再由 ADMN 得到其为矩形；(3)求抛物线经过的定点，可将抛物线化为关于 m 的代数式，令 m 的系数为 0，代入求出对应的 y 值即可；由所得图形为菱形，可先判定定点构成的图形是平行四边形，再根据菱形得到邻边相等，对角线互相垂直平分，从而利用勾股定理求解【自主解答】1 1(20192019海南)如图，已知抛物线 yax2bx5 经过 A(5，0)，B(4，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶点为 D，连接 CD.(1)求该抛物线的表达式；(2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B，C 不重合)，设点 P 的横坐标为 t.当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求PBC 的面积的最大值；该抛物线上是否存在点 P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2 2(20192019辽阳)如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的边 BC 在 x 轴上，ABC90，以 A 为顶点的抛物线 yx2bxc 经过点 C(3，0)，交 y 轴于点 E(0，3)，动点 P 在对称轴上(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动到点 B 停止，设运动时间为 t 秒，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D，过点 D 平行于 y 轴的直线l 交抛物线于点 Q，连接 AQ，CQ，当 t 为何值时，ACQ 的面积最大，最大值是多少？(3)若点 M 是平面内任意一点，在 x 轴上方是否存在点 P，使得以点 P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的 M 点坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图备用图类型三类型三 二次函数与规律探索二次函数与规律探索(2019 江西)特例感知(1)如图，对于抛物线y1x2x1，y2x22x1，y3x23x1，下列结论正确的序号是_抛物线 y1，y2，y3都经过点 C(0，1)；1抛物线 y2，y3的对称轴由抛物线 y1的对称轴依次向左平移2个单位得到；抛物线 y1，y2，y3与直线 y1 的交点中，相邻两点之间的距离相等形成概念(2)把满足 ynx2nx1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”知识应用在(2)中，如图.“系列平移抛物线”的顶点依次为 P1，P2，P3，Pn，用含n 的代数式表示顶点 Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标 y 与横坐标 x 之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1，C2，C3，Cn，其横坐标分别为k1，k2，k3，kn(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由(3)在中，直线 y1 分别交“系列平移抛物线”于点 A1，A2，A3，An，连接CnAn，Cn1An1，判断 CnAn，Cn1An1是否平行？并说明理由图图【分析】(1)逐一判断 3 个结论的正确性即可；(2)由抛物线 yn即可表示 Pn，消去参数即可得到顶点 Pn的横、纵坐标之间的关系式；分别求出Cn，Cn1的横、纵坐标，利用两点距离公式求线段CnCn1的长；(3)要判断 CnAn与 Cn1An1是否平行，只需判断直线 CnAn与直线 Cn1An1的解析式中自变量的系数是否相同即可【自主解答】n22n1已知抛物线 yx 2x3 和抛物线 yn3x 3xn(n 为正整数)2(1)抛物线 yx22x3 与 x 轴的交点坐标为 _，顶点坐标为_(2)当 n1 时，请解答下列问题：直接写出 yn与 x 轴的交点坐标_，顶点坐标_请写出抛物线 y，yn的一条相同的图象性质_；1当直线 y2xm 与 y，yn相交共有 4 个交点时，求 m 的取值范围；n2n(3)若直线 yk(k0)与抛物线 yx22x3，抛物线 yn3x23xn(n 为正整数)共有 4 个交点，从左至右依次标记为点A，点B，点C，点D，当ABBCCD 时，求 k，n 之间满足的关系式2已知抛物线 yn(xan)2bn(n 为正整数，且 0a1a2an)与 x 轴的交点为 A(0，0)和 An(cn，0)，cncn12，当 n1 时，第 1 条抛物线 y1(xa1)2b1与 x 轴的交点为 A(0，0)和 A1(2，0)，其他依此类推(1)求 a1，b1的值及抛物线 y2的解析式(2)抛物线 y3的顶点 B3的坐标为(_，_)；依此类推，第 n 条抛物线 yn的顶点 Bn的坐标为(_，_)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_(3)探究下列结论：是否存在抛物线 yn，使得AAnBn为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由若直线 xm(m0)与抛物线 yn分别交于 C1，C2，Cn，则线段 C1C2，C2C3，Cn1Cn的长有何规律？请用含有 m 的代数式表示3如图，抛物线 y1x2c 与 x 轴交于 A，B 两点，且 AB2.(1)求抛物线 y1的函数解析式，并直接写出 y1的顶点坐标(2)将 y1先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，记为第一次操作，得到抛物线 y2.按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线 y3，经过第三次操作，可得到抛物线 y4，经过第(n1)次操作可得到抛物线 yn.y1的顶点是否在 y2上？请说明理由若抛物线 yn恰好经过点 B(不含 y1)，求抛物线 yn的解析式定义：当抛物线与 x 轴有两个交点时，定义：以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”如ABC 是抛物线 y1的“轴截三角形”记抛物线y1，y2，y3，yn的“轴截三角形”的面积分别为 S1，S2，S3，Sn.当 Sn125 时，求 n 的值4小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线 yx2bx3 经过点(1，0)，则 b_，顶点坐标为_，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是_抽象感悟我们定义，对于抛物线 yax2bxc(a0)，以 y 轴上的点 M(0，m)为中心，作该抛物线关于点 M 对称的抛物线 y，则我们称抛物线y为抛物线 y 的“衍生抛物线”，点 M 为“衍生中心”(2)已知抛物线 yx22x5 关于点(0，m)的衍生抛物线为 y，若这两条抛物线有交点，求 m 的取值范围问题解决(3)已知抛物线 yax22axb(a0)若抛物线 y 的衍生抛物线为 ybx22bxa2(b0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 a，b 的值及衍生中心的坐标；若抛物线 y 关于点(0，k12)的衍生抛物线为 y1，其顶点为 A1；关于点(0，k22)的衍生抛物线为 y2，其顶点为 A2；关于点(0，kn2)(n 为正整数)的衍生抛物线为 yn，其顶点为 An；.求 AnAn1的长(用含 n 的式子表示)类型四类型四 二次函数与新定义二次函数与新定义如图，抛物线 yax2bxc(a0)的顶点为 M，直线 ym 与 x 轴平行，且与抛物线交于点 A，B，若AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶，点 M 到线段 AB 的距离称为碟高1(1)抛物线 y2x2对应的碟宽为_；抛物线 y4x2对应的碟宽为_；抛物线 yax2(a0)对应的碟宽为_；抛物线 ya(x2)23(a0)对应的碟宽为_；5(2)抛物线 yax24ax3(a0)对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值；(3)将抛物线 yanx2bnxcn(an0)对应的准碟形记为 Fn(n1，2，3)，定义F1，F2，Fn为相似准碟形，相应的碟宽之比即为相似比若Fn与 Fn1的相1似比为2，且 Fn的碟顶是 Fn1的碟宽的中点，现将(2)中求得的抛物线记为 y1，其对应的准碟形记为 F1.求抛物线 y2的表达式；若 F1的碟高为 h1，F2的碟高为 h2，Fn的碟高为 hn，则 hn_，Fn的碟宽右端点横坐标为_；F1，F2，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由1【分析】(1)根据定义易算出抛物线 y2x2，抛物线y4x2的碟宽，且都利用端点(第一象限)横、纵坐标相等求解推广至含字母的抛物线 yax2(a0)可类似求解而抛物线 ya(x2)23(a0)为顶点式，可看成由抛物线 yax2平移得到，则发现碟宽只和 a 有关(2)由(1)的结论，根据碟宽与 a 的关系求解(3)由 y1，易推 y2.由相似的性质得到 hn与 hn1，hn1与 hn2，h2与 h1之间的关系，从而得到 hn即可；由等腰直角三角形性质得到 Fn的碟宽与 hn之间的关系，即可得到 Fn的碟宽右端点横坐标，先证明 Fn，Fn1，Fn2的碟宽右端点在一条直线上，从而作出判断，再确定 F1，F2的碟宽右端点所在直线即可求解【自主解答】1如图，若抛物线L1的顶点 A 在抛物线 L2上，抛物线L2的顶点 B 在抛物线L1上(点 A 与点 B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条(1)抛物线 L1：yx24x3 与抛物线 L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B 的横坐标为 4，求抛物线 L2的表达式；(2)若抛物线 ya1(xm)2n 的任意一条“伴随抛物线”的表达式为 ya2(xh)2k，请写出 a1与 a2的关系式，并说明理由；(3)在图中，已知抛物线 L1：ymx22mx3m(m0)与 y 轴相交于点 C，它的一条“伴随抛物线”为 L2，抛物线 L2与 y 轴相交于点 D，若 CD4m，求抛物线L2的对称轴2 2(20192019南昌二模)我们规定，以二次函数 yax2bxc 的二次项系数 a 的 2倍为一次项系数，一次项系数 b 为常数项构造的一次函数 y2axb 叫做二次函数 yax2bxc 的“子函数”，反过来，二次函数 yax2bxc 叫做一次函数 y2axb 的“母函数”(1)若一次函数 y2x4 是二次函数 yax2bxc 的“子函数”，且二次函数经过点(3，0)，求此二次函数的解析式及顶点坐标；(2)若“子函数”yx6 的“母函数”的最小值为 1，求“母函数”的函数表达式；(3)已知二次函数 yx24x8 的“子函数”图象直线 l 与 x 轴、y 轴交于 C、D两点，点 P 在直线 l 上方的抛物线上，求PCD 的面积的最大值3 3(20192019南昌 5 5 月模拟)已知：抛物线 C1：y(xm)2m2(m0)，抛物线 C2：y(xn)2n2(n0)，称抛物线 C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线 C1：y(x1)21 与抛物线 C2：y(x 2)22 是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为 A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线 C2于 C，抛物线C2的对称轴交抛物线 C1与 D.(1)已知抛物线：yx22x，y(x3)23，y(x 2)22，yx21x，则抛物线中互为派对抛物线的是_(请在横线上填写抛2物线的数字序号)；(2)如图，当 m1，n2 时，证明 ACBD；(3)如图，连接 AB，CD 交于点 F，延长 BA 交 x 轴的负半轴于点 E，记x 轴于 G，CD 交 x 轴于点 H，BEOBDC.求证：四边形 ACBD 是菱形；若已知抛物线 C2：y(x2)24，请求出 m 的值图图参考答案【例 1】解：(1)当 x0 时，yx22，A(0，2)，把 A(0，2)代入 y(x1)2m，得 1m2，m1.B(1，1)(2)y(xn)22n.(3)点 C 是两条抛物线的交点，点 C 的纵坐标可以表示为(a1)21 或(an)22n，BD 交(a1)21(an)22n，即 a22a11a22ann22n,2an2an2n，n2nnn1，a.2n22如解图，过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 E，过点 D 作 DFCE 于点 F.例 1 题解图ACD90，ACECDF.又AECDFC，ACECDF，AECFECFD.又C(a，a22a2)，D(2a，22a)，AEa22a，DFa2，CECFa，a22aaaa2，a22a1，解得 a 21，n1n1，a22，a 21.跟踪训练1解：(1)抛物线 yax2bx2(a0)过点 A，B，1a，2ab20，解得316a4b20，b2，123抛物线的解析式为 y2x 2x2.131325y2x22x22(x2)28，325C(2，8)(2)如解图，以 AB 为直径作M，则抛物线在圆内的部分，能使APB 为钝角，第 1 题解图35易得 M(2，0)，M 的半径为2.设 P是抛物线与 y 轴的交点，OP2，5MP OP OM 2.22P 关于抛物线对称轴的对称点为点(3，2)，当1m0 或 3m4 时，APB 为钝角(3)存在抛物线向左或向右平移，AB、PC是定值，要使首尾依次连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长第 1 题解图最短，只要 ACBP最小第一种情况：抛物线向右平移，ACBPACBP.第二种情况：向左平移，如解图所示，由(2)可知 P(3，又C(3252，8)，C(3252t，8)，P(3t，2)，将 BP平移至 AP，AB5，P(2t，2)，要使 ACBP最短，只要 ACAP最短即可，点 C关于 x 轴的对称点 C的坐标为(3t，2528)，设直线 PC的解析式为 ykxb，则2（2t）kb，41k28，b，解得25（382t）kb411328t14，直线 PC的解析式为 y41411328x28t14，当 P、A、C在同一条直线上时，周长最小，4141t132828140，2)，15t41.15故将抛物线向左平移41个单位长度时，首尾依次连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长最短2解：(1)将点 A(3，0)，B(0，6)代入 L 得2（3）c0，a（3）（ca）a1，解得c6，c6，抛物线 L 的表达式为 yx25x6.(2)由题意，得PDO90，AOB90，由对称性可得 L的表达式为 yx25x6.设点 P 的坐标为(m，m25m6)，DPOA当DPOOAB 时，DOOB，即 m25m62m，解得 m11，m26，此时点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)；DPOB32当DPOOBA 时，DOOA，即 2m 10m12m，解得 m34，m42，33此时点 P 的坐标为(4，2)或(2，4)第 2 题解图3解：(1)(2)由抛物线的顶点公式求得：顶点 M(1，a2)如解图，当 x1 时，y21a2a，求得 D(1，2a)；aa当 y0 时，02xa，x2，求得 A(2，0)，DM2a(a2)4，111aSSBMDSAMD2DM(OCAC)2DMAO 242a.即 Sa(a0)(3)当2x1 时，C1的 y 的值会随 x 的增大而减小，而 C1的对称轴为 x1,2x1 在对称轴的左侧，C1开口向上，a0；同时 C2的开口向下，而当2x1时，y 的值会随 x 的增大而减小，2x1 要在 C2的对称轴右侧，令 C2的对称轴为 xm，则m2，而x1 和 xm 关于 P(t，2)对称，P 到这两条对称1轴的距离相等，1ttm，m2t1，2t12，即 t2.当 a1 时，M(1，3)，作 PECM 于 E，将 RtPME 绕 P 旋转 90，得到RtPQF，则MPQ 为等腰直角三角形，N，Q分别是点 M，Q 的中心对称点，四边形 MQNQ为正方形第一种情况，当t1 时，求得PEPF1t，MEQF1，CE2，Q(t1，t1)把 Q(t1，t1)代入 yx22x2，得t1(t1)22(t1)2,t2t20，解得：t11，t22；第二种情况，当 t1 时，求得 PFPEt1，MEQF1，CE2，Q(t1，t3)，把 Q(t1，t3)代入 yx22x2，得t3(t1)22(t1)2，t25t40，解得 t11(舍去)，t24综上 t2 或 1 或 4.图图图【例 2】解：(1)(1，4m1)，1x3(2)四边形 AMDN 是矩形(3)ymx22mx3m1m(x3)(x1)1，当 x3 或 1 时，y1，L1经过定点(3，1)和(1，1)ym(x3)24m1m(x5)(x1)1，当 x5 或 1 时，y1，L2经过定点(5，1)和(1，1)L1经过定点(3，1)和(1，1)，L2经过定点(5，1)和(1，1)，设 E(3，1)，F(1，1)，G(5，1)，H(1，1)，则组成的四边形EFGH 是平行四边形如解图，另设平移距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得4222(4x)2，解得 x42 3，故抛物线 L2应平移的距离是 42 3或 42 3.例 2 题解图跟踪训练25a25b50，a1，1解：(1)将点 A，B 坐标代入抛物线表达式得解得16a4b53，b6，抛物线的表达式为 yx26x5.(2)令 yx26x50，得 x11，x25，点 C 的坐标为(1，0)由点 B(4，3)得直线 BC 的函数解析式为 yx1，如解图，过点 P 作 PGy 轴交 BC 于 G，第 1 题解图设点 P 的坐标为(t，t26t5)，则点 G(t，t1)，PG(t1)(t26t5)t25t4，133527SPBC2PG|xCxB|2(t25t4)2(t2)28.352720，当 t2时，PBC 的面积最大，最大值为8.第 1 题解图设 BP 交 CD 于点 H.当点 P 在直线 BC 下方时，PBCBCD，点 H 在BC 的垂直平分线上，53易得线段 BC 的中点坐标为(2，2)，过该点与直线 BC 垂直的直线设为 yxm，35则22m，解得 m4，直线 BC 的垂直平分线的函数解析式为 yx4.可得直线 CD 的函数表达式为 y2x2，yx4，x2，联立得解得点 H 的坐标为(2，2)，y2x2，y2，1直线 BH 的函数解析式为 y2x1.3yx 6x5，x2，x4联立得1解得或(舍去)，7y3y2x1，y，4237点 P 的坐标为(2，4)当点 P 在直线 BC 上方时，PBCBCD，BPCD，直线 BP 的表达式为 y2x5，2yx 6x5，x4，x0，联立得解得(舍去)或y2x5，y3y5，点 P 的坐标为(0，5)综上，所有点 P 的坐标为(372，4)，(0，5)2解：(1)将 C(3，0)，E(0，3)代入yx2bxc 得323bc0，bc3，解得2，c3，抛物线的解析式是 yx22x3.(2)yx22x3(x1)24，A(1，4)设直线 AC 的解析式为 ymxn，将 A，C 代入得mn4，3mn0，解得m2，n6，直线 AC 的解析式为 y2x6.设 P(1，4t)，PDAB，yD4t，4t2x6，解得 x1t2，点 D 的坐标为(1t2，4t)ly 轴，xtQ12，ytQ(121)24414t2，SACQSADQSCDQ12DQBC112(44t24t)214(t2)21，当 t2 时，SACQ最大，最大值为 1.(3)存在，综合条件的 M 点坐标为(2，2)，(2，3 14)，(4，17)【解法提示】设点 P(1，t)(t0)，以 P，M，E，C 为顶点的四边形是菱形，当 CE 为对角线时，PCPE，且 PM 与 CE 互相垂直平分，(10)2(t3)2(31)2t2，解得 t1，即点 P 的坐标为(1，1)，由菱形中心对称性质可知，点 M 的坐标为(2，2)；CPCE3 2，即（31）2t23 2，解得 t 14(负的已舍去)，即点 P 的坐标为(1，14)，此时点 M 的坐标为(2，3 14)；EPCE3 2，即（10）2（t3）23 2，解得 t3 17(负值已舍去)，此时点 P 的坐标为(1，3 17)，则点 M 的坐标为(4，17)【例 3】解：(1)当 x0 时，y1y2y31，正确；13y1，y2，y3的对称轴分别是直线 x12，x21，x32，正确；y1，y2，y3与直线 y1 的交点(除点 C 外)的横坐标分别为1，2，3，距离为 1，都相等，正确故答案为.2n 4n22(2)ynx nx1(x2)4，nn24顶点 Pn(2，4)n24n令顶点 Pn的横坐标为 x2，纵坐标 y4，n24n2y4(2)1x21，即顶点 Pn的纵坐标 y 与横坐标 x 满足关系式 yx21.令 Cn(xn，yn)，Cn1(xn1，yn1)，xn1k(n1)kn1，yn1xn12(n1)xn11，xnkn，ynxn2nxn1，xn1xn1，yn1ynxn12(n1)xn11xn2nxn1(xnxn1)(xnxn1)n(xnxn1)xn1(kn1knn)kn12kn1kn1k.Cn1Cn（xn1xn）2（yn1yn）2 1k2.Cn1Cn 1k2与 n 无关，相邻两点之间的距离为定值，定值为 1k2.(3)令 yn1 得x2nx11，解得 x10，x2n，An(n，1)，由知 Cn(xn，xn2nxn1)，设直线 AnCn：yknxbn，1（xn2nxn1）xn（xnn）（kn）（knn）则knnxnn（kn）nknkn，同理 An1(n1，1)，Cn1(xn1，xn12(n1)xn11)，设直线 An1Cn1：ykn1xbn1，则 kn1kn1，kn1 kn，直线 CnAn与直线 Cn1An1不平行跟踪训练1解：(1)(1，0)，(3，0)；(1，4)4n(2)(1，0)，(3，0)；(1，3)；对称轴为直线 x1或与 x 轴交点为(1，0)，(3，0)1当直线 y2xm 与 y 相交只有 1 个交点时，y1xm，322由整理得 x 2xm30，yx22x3，357b24ax(2)24(m3)0，解得 m16.1当直线 y2xm 与 yn相交只有 1 个交点时，1y2xm，由整理得 2x27x(66m)0，122y3x 3x1，b24ax7242(66m)0，97解得 m48，1113把点(1，0)代入 y2xm 得 m2，把(3，0)代入 y2xm 得 m2，9757如解图，m 的取值范围是48m16，31且 m2，m2.yk，2(3)如解图，由得 x 2xk30，2yx 2x3AD2(x1x2)2(x1x2)24x1x2164k，yk，由n22n得 nx22nx(3n3k)0，y3x 3xn12kBC(x3x4)(x3x4)4x3x416n，22212kABBCCD，AD 9BC，164k9(16n)，2232n27knk0.图图2解：(1)当 n1 时，第 1 条抛物线 y1(xa1)2b1与 x 轴的交点为 A(0，0)，A1(2，0)，y1x(x2)(x1)21，则 a11，b11.由 cncn12 可知，c2c12224，抛物线 y2与 x 轴的交点为 A(0，0)，A2(4，0)，y2x(x4)x24x.(2)3，9，n，n2，yx2；(3)存在，由(1)(2)得 An(2n，0)，Bn(n，n2)当AAnBn为等腰直角三角形时，n2n，解得 n11，n20(舍去)存在抛物线 yn，使得AAnBn为等腰直角三角形，此时抛物线为y1(x1)21.ynx(x2n)x22nx，当 xm(m0)时，Cn(m，m22mn)，Cn1(m，m22mn2m)，CnCn1m22mn(m22mn2m)2m.C1C2C2C3Cn1Cn2m.3解：(1)AB2，抛物线 y1x2c 的对称轴为直线 x0，点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(1，0)，将点 A(1，0)代入得 c1，则抛物线 y1的解析式为 y1x21，顶点坐标为(0，1)(2)由平移性质得，抛物线 y2的顶点坐标为(1，2)，则抛物线 y2的函数解析式为 y2(x1)22，当 x0 时，y21，则 y1的顶点(0，1)在抛物线 y2上由题意，得抛物线 y3(x2)23，y4(x3)24，yn(xn1)2n，将点 B(1，0)代入 yn，得(1n1)2n0，解得 n4 或 n1(舍去)抛物线 yn的解析式为 y4(x3)24.令 yn(xn1)2n0，解得 x1n1 n，x2n1 n，1则 Sn2(n1 n)(n1 n)n nn125，53125，n5，即 n25.4解：(1)4；(2，1)；y(x2)21(2)yx22x5 即 y(x1)26，顶点为(1，6)点(1，6)关于点(0，m)的对称点为(1，2m 6)，衍生抛物线为 y(x1)22m 6，则(x1)26(x1)22m 6，化简得 x2m 5，两抛物线有交点，m 50，m 5.(3)yax22axba(x1)2ab，顶点为(1，ab)ybx22bxa2b(x1)2ba2，顶点为(1，ba2)两抛物线交点恰好是顶点，2ba a（11）2ab，abb（11）2ba2，解得a0，ab0(舍去)或3，b3，顶点分别为(1，0)和(1，12)(1，0)，(1，12)关于衍生中心对称，衍生中心为它们的中点，110，012226，衍生中心为(0，6)由可知衍生中心为抛物线 ya(x1)2ab 的顶点与 A1，A2，A3，的中点，A4An(1，2k2n2ab)，An1(1，2k2(n1)2ab)，AnAn12k2(n1)2ab(2k2n2ab)4n2.【例 4】解：(1)4；1222；a；a.例 4 题解图【解法提示】a0，yax2的图象大致如解图，其顶点为原点 O，记 AB 为其碟宽，AB 与 y 轴的交点为 C，连接OAB 为等腰直角三角形，ABx 轴，OCAB，AOCBOC112AOB29045，ACO 与BCO 亦为等腰直角三角形，ACOCBC，xAyA，xByB，代入 yax2，A(1111)，C(0，1a，a)，B(a，aa)，AB2，OC1aa，即抛物线 yax2对应的碟宽为2a.OA，OB.1212抛物线 y2x 对应的 a2，得碟宽a为 4；21抛物线 y4x2对应的 a4，得碟宽a为2；2抛物线 yax(a0)对应的碟宽为a；2抛物线 ya(x2)23(a0)可看成抛物线 yax2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后得到的，平移不改变形状、大小、开口方向，抛物线 ya(x2)23(a0)的准碟形与抛物线 yax2的准碟形全等抛物线 yax2(a0)对应的碟宽为2a，抛物线 ya(x2)23(a0)对应的碟宽为2a.(2)yax24ax5a(x2)2(4a533)，同(1)，其碟宽为2a.抛物线 yax24ax53的碟宽为 6，26，解得 a1a3.(3)F1的碟宽F2的碟宽21，2412a1a2.a13，a23.y113(x2)23 的碟宽 AB 在 x 轴上(A 在 B 左边)，A(1，0)，B(5，0)，2F2的碟顶坐标为(2，0)，y23(x2)2.Fn的准碟形为等腰直角三角形，Fn的碟宽为 2hn.2hn2hn112，1111hn2hn1(2)2hn2(2)3hn3(2)n1h1.3h13，hnn1.2hnhn1，且都过 Fn1的碟宽中点，h1，h2，h3，hn1，hn都在一条直线上，h1在直线 x2 上，h1，h2，h3，hn1，hn都在直线 x2 上，Fn的碟宽右端点横坐标为 2n1.2F1，F2，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为 yx5.【解法提示】考虑 Fn2，Fn1，Fn情形，如解图，3例 4 题解图Fn2，Fn1，Fn的碟宽分别为 AB，DE，GH；C，F，I 分别为其碟宽的中点，都在直线 x2 上，连接右端点，BE，EH.ABx 轴，DEx 轴，GHx 轴，ABDEGH，GH 平行且等于 FE，DE 平行且等于 CB，四边形 GFEH，四边形 DCBE 都为平行四边形，HEGF，EBDC.11GFI2GFH2DCEDCF，GFDC，HEEB，HE，EB 都过 E 点，HE，EB 在一条直线上，Fn2，Fn1，Fn的碟宽的右端点在一条直线上，F1，F2，Fn的碟宽的右端点在一条直线上1F1：y13(x2)23 对应的准碟形右端点坐标为(5，0)，233F2：y23(x2)2对应的准碟形右端点坐标为(22，2)，可得过以上两点的直线为 yx5，F1，F2，Fn的碟宽的右端点在直线 yx5 上跟踪训练1解：(1)由 yx24x3 可得 A 的坐标为(2，1)，将 x4 代入 yx24x3，得 y3，B 的坐标为(4，3)，设抛物线 L2的解析式为 ya(x4)23.将 A(2，1)代入，得 1a(24)23，解得 a1，抛物线 L2的表达式为 y(x4)23；(2)a1a2，理由如下：抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B 在抛物线 L1上，2na2（mh）k可列方程组，2ka（hm）n1整理，得(a1a2)(mh)20，伴随抛物线的顶点不重合，mh，a1a2.(3)抛物线 L1：ymx22mx3m 的顶点坐标为(1，4m)，设抛物线 L2的顶点的横坐标为 h，则其纵坐标为 mh22mh3m，抛物线 L2的表达式为 ym(xh)2mh22mh3m，化简得，ymx22mhx2mh3m，所以点 D 的坐标为(0，2mh3m)，又点 C 的坐标为(0，3m)，可得|(2mh3m)(3m)|4m，解得 h2，抛物线 L2的对称轴为直线 x2.2解：(1)由题意得：a1，b4，故抛物线的表达式为：yx24xc，将点(3，0)代入得：c3，故抛物线的表达式为：yx24x3(x2)21，故抛物线的顶点坐标为(2，1)；1(2)设“子函数”yx6 的“母函数”为：y2x26xc，121则 y2(x 12x)c2(x6)218c，故18c1，解得 c19，1故“母函数”的表达式为：y2x26x19；第 2 题解图(3)设点 P(m，m24m8)，由题意，得直线 l 的表达式为：y2x4，故点 C、D 的坐标分别为(2，0)、(0，4)，如解图，过点 P 作 PQy 轴交直线 CD 于 Q，则 Q(m，2m4)，PQ(m24m8)(2m4)m22m12，1SPCD2PQ|xDxC|12(m22m12)2(m1)213，点 P 在 CD 上方的抛物线上且10，当 m1 时PCD 的面积最大，最大值为 13.3(1)解：yx22x(x1)212，y(x3)23(x3)2(3)2，y111(x 2)2(2)2，yx2x2(x2)2(2)2，所以与互为派对抛物线；与互为派对抛物线；故答案为与；与；(2)证明：当 m1，n2 时，抛物线 C1：y(x1)21，抛物线 C2：y(x2)24，A(1，1)，B(2，4)，ACBDy 轴，点 C 的横坐标为1，点 D 的横坐标为 2，当 x1 时，y(x2)2413，则 C(1，13)；当 x2 时，y(x1)218，则 D(2，8)，AC13112，BD4(8)12，ACBD；(3)证明：抛物线 C1：y(xm)2m2(m0)，则 A(m，m2)；抛物线 C2：y(xn)2n2(n0)，则 B(n，n2)；当 xm 时，y(mn)2n2m22mn2n2，则 C(m，m22mn2n2)；当 xn 时，y(nm)2m22mnn2，则 D(n，2mnn2)；ACm22mn2n2m22mn2n2，BDn2(2mnn2)2mn2n2，ACBD，四边形 ACBD 为平行四边形BEOBDC，而EHFDHG，EFHDGH90，ABCD，四边形 ACBD 是菱形；抛物线 C2：y(x2)24，则 B(2，4)，n2，ACBD2mn2n24m8，而 A(m，m2)，C(m，m24m8)，BC2(m2)2(m24m84)2(m2)2(m2)4.四边形 ACBD 是菱形，BCBD，(m2)2(m2)4(4m8)2，即(m2)415(m2)2，m0，(m2)215，m2 15，m 152.