2021-2022高中数学必修四期末模拟试题及答案.pdf

一、选择题一、选择题1已知0,，2sin 2cos21，则cos（）2A15B552C35D2 552已知tan，tan是方程x 5xa 0的两个实数根，且tan1，则实数6512712a（）A16B116CD3已知、均为锐角，满足sinA53 10，则（）,cos510C6，则B4的值为（）3D344若ABCD5如图，B 是AC的中点，BE 2OB，P 是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且OP xOA yOBx,yR，则下列结论正确的个数为（）当x 0时，y2,351当 P 是线段CE的中点时，x ，y 22若x y为定值 1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段x y的最大值为1A1B2C3D46如下图，四边形OABC是边长为 1 的正方形，点 D 在OA的延长线上，且OD2，点P 为BCD内(含边界)的动点，设OP OC OD(,R)，则的最大值等于()A3B2C521a b2D321b27在ABC 中，M 是 BC 的中点若ABa，BCb，则AM()A1(a b)2B1(a b)2CDa 8ABC是边长为 1 的等边三角形，CD 为边 AB 的高，点 P 在射线 CD 上，则APCP的最小值为（）A18B116C316D09已知函数f(x)Asin(x)（A0，0，f(x)的解析式为（）2）的部分图像如图所示，则Af(x)2sin2xCf(x)3sin2x6Bf(x)2sin2xDf(x)3sin66 1x6210将函数fx sin2x的图象向右平移(0 2)个单位，得到函数gx的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则（）A6B4C3D211设函数fx sinxfx关于fx在551N,上单调递减，则下述结论：在61262,0中心对称；fx关于直线x 轴对称；1233,上的值域为0,；方程fx1在0,2有4个不相同的根.22BCD其中正确结论的编号是（）A12当,2,52时，若，则以下不正确的是（）Bcostan costanDtansin tansinAsinsin tantansintanCsintan二、填空题二、填空题13已知f(x)2cos x(sin xcos x)，若对任意x0,不等式2m 2 f(x)m 2恒成立，则实数m的取值范围是_.14在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b 则ac的取值范围为_.15已知,0,最小值为_.16在ABC中，AB AC，E，F 是边BC的三等分点，若3，2ca 2bcos A，2，且cos2cos2cos22，则coscoscos的sinsinsinAB AC 3 AB AC，则cosEAF_17不共线向量a，b满足|a|b|，且a (a 2b)，则a与b的夹角为_.18如图,在ABC 中,AN 值为_.12NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mABAC,则实数 m 的31119若函数f(x)sinxf(x)在4(0)取得最值的点到y轴的最近距离小于，且6 711,2020单调递增，则的取值范围为_.20已知函数f(x)3sin(2 x)cos(2x)(|)的图象关于y轴对称,则f(x)在区256 12,上的最大值为_.三、解答题三、解答题21已知0（1）求cos(（2）求sin(24，2 0，cos3 103，cos()42310)的值；2)的值3.222已知函数f(x)sin x(cos x3sin x)f（1）求的值及函数f(x)的单调增区间；3（2）若x,，不等式m f(x)m2恒成立，求实数 m 的取值集合.12 223（1）已知非零向量e1、e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数 k 的值.（2）已知向量a 1，b 2，a2b 3ab，求a与b夹角的大小.24已知非零向量a,b满足a 1且a b a b（）若ab 121，求向量a,b的夹角；2（）在（）的条件下，求a 2b的值25已知函数f(x)Asin(x)A 0,0,|的部分图像如图所示.2（1）求函数 f(x)解析式；（2）求函数 f(x)单调增区间；（3）若 x，求 f(x)的值域.26函数fx Asin(x)(A 0,0,0,2)的图象如图所示：（1）求fx的解析式；（2）fx向左平移（3）若x12个单位后得到函数gx，求gx的单调递减区间；3,且fx，求 x 的取值范围22【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1D解析：D【分析】先利用二倍角公式化简整理得到sin范围解出cos 即可.1cos，再利用同角三角函数的平方关系，结合2【详解】由2sin 2cos21，0,，得2sin 21cos2，cos0，2所以4sincos 2cos2，即2sin cos，故sin代入sin2cos21得，1cos，254cos21，故cos2，542 5.5因为cos0，所以cos故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.2A解析：A【分析】5，tantan a，再结合tan1，利6用两角和正切公式得到关于a的等量关系式，求得结果.【详解】首先利用韦达定理求得tan tan因为tan，tan 是方程x 所以有tan tan25xa 0的两个实数根，65，tantan a，651因为tan1，所以有6，所以a，161a故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下：（1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.3B解析：B【分析】依题意，求 cos（+），结合角的范围可求得+的值【详解】由已知、均为锐角，sin53 10，,cos510cos2 510，,sin510又 cos（+）coscossinsin 0+，2，24故选 B【点睛】+解答给值求角问题的一般思路：求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；确定角的范围，此时注意范围越精确越好；根据角的范围写出所求的角4C解析：C【解析】试题分析：因考点：同角三角函数的关系及运用，故应选 C5C解析：C【分析】利用向量共线的充要条件判断出错，正确；利用向量的运算法则求出OP，求出 x，y 判断出正确,利用三点共线解得正确【详解】当x 0时，OP yOB，则P在线段BE上，故1 y 3，故错当P是线段CE的中点时，OP OE EP 3OB1(EB BC)21115 3OB(2OB AB)3OBOBOBOA OAOB，故对2222x y为定值 1 时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故对如图，过P作PM/AO，交OE于M，作PN/OE，交AO的延长线于N，则：OP ON OM；又OP xOA yOB；x 0，y 1；由图形看出，当P与B重合时：OP 0OA1OB；此时x取最大值 0，y取最小值 1；所以x y取最大值1，故正确所以选项正确.故选：C【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB，则A,B,C三点共线 x y 1.6D解析：D【分析】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设Px,y，易得 y,目标函数11x，则x y，再将原问题转化为线性规划问题，求221x y在可行域BCD内(含边界)的最大值，即可求出结果2【详解】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C0,1,D2,0，如下图所示：设Px,y，OP OC OD(,R)，x,y0,12,0(2,)，1x 2,y，即 y,x，2令z 1x y，21x y,则y211 x z，其中z为直线y x z在y轴上的截距，22由图可知，当该直线经过点B1,1时，其在y轴上的截距最大为的最大值为故选：D【点睛】3，232本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题7D解析：D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC中，M 是 BC 的中点，又AB a,BC b，所以AM AB BM AB故选 D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.11BC ab，228C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，P0,t，t 可求最小值.【详解】以 D 点为坐标原点，DC 所在直线为 y 轴，DA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，33233，则APCP t2t (t)，进而241621133A(,0)，B(,0)，C(0,)，设P0,t，其中t 22221332333AP (,t)，CP (0,t 时t (t)，当t)，APCP t22241642取最小值为故选：C【点睛】33，所以APCP的最小值为1616本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9C解析：C【分析】本题首先可根据T代入0,【详解】3434求出，然后根据当x 时函数f(x)取最大值求出，最后433，即可求出A的值.247333，所以T，T，3124442因为T，所以 2，f(x)Asin(2x)，因为因为当x 所以24时函数f(x)Asin(2x)取最大值，342kkZ，2kkZ，632f(x)Asin 2x因为，所以，626代入0,故选：C.【点睛】33f(x)3sin 2x Asin，解得，A 3，6226关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于f(x)Asin(x)，可通过周期求出，通过最值求出A，通过代入点坐标求出，考查数形结合思想，是中档题.10C解析：C【分析】由图可知，g17242，根据函数图象的平移变化法则可知f8217217gxsin2x，于是推出g，即sin22424217322k或2k，kZ，再结合0，解之即可得的值.21244【详解】由图可知，g17242，fsin2828因为fx的图象向右平移个单位，得到函数gx的图象，所以gxsin2x，所以g所以172421717，sin2sin2241221717322k，kZ，22k或1241247k或 k，kZ，312因为0，所以.32故选：C【点睛】解得本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.11D解析：D【分析】fx sin 2x 利用题干中的已知条件求得 2，可得出1，利用正弦型函数的6对称性可判断的正误，利用正弦型函数的值域可判断的正误，求出方程fx1在0,2上的解，可判断的正误.【详解】5555x,x，可得N，由126666126由于函数fx sinx所以，551N,上单调递减，在6126355,2k,2kkZ，62212665 2k 1224k 812k 1062kZ，所以，解得555 2k362 6由24k 812k 101，解得k，655N且kZ，k 0，可得8 2，2，则fx sin2x1.65f1，12sin 2 sin0 0，所以，对于，126所以，函数fx的图象关于点对于，,1成中心对称，错误；12271sin2 sin 1，错误；366251111 sin 2x2x,x,对于，当时，则，626662所以，0 fx33，即fx在,上的值域为0,，正确；222对于，当x0,2时，2x令fx1，可得sin2x23,，666 0，2x 0或2x或2x 2或66662x6 3.所以，方程fx1在0,2有4个不相同的根，正确.故选：D.【点睛】方法点睛：求函数fx Asinx在区间a,b上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y Asinxk的形式或y Acosxk的形式；第二步：由x的取值范围确定x的取值范围，再确定sinx（或cosx)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.12D解析：D【分析】对 A，由f(x)sin x tanx在2,52上单调递增可判断；对 B，由f(x)cosxtanx552,2,f(x)sin xtan xC在在上单调递减可判断；对，由上单调递增可判22断；对 D，由f(x)【详解】5tanx在2,2sin x上单调递增可判断.A设f(x)sin x tanx，则f(x)在2,52上单调递增，因为，所以f()f()，所以sintansintan，所以sinsin tantan，所以 A 对，不符合题意；B设f(x)cosxtanx，则f(x)在2,5上单调递减，2因为，所以f()f()，所以costan costan，所以costan costan，所以 B 对，不符合题意；C设f(x)sin xtan x，因为sin x,tan x在2,所以f(x)sin xtan x在2,52都为正数，且都单调递增，52上单调递增，因为，所以f()f()，所以sintansintan，所以sintan，所以 C 对，不符合题意；sintan5tanxtan x12,D设f(x)，则f(x)在上单调递增，2sin xsin xcosx因为，所以f()f()，所以tantan，sinsin所以tansin tansin，所以 D 错，符合题意故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数的单调性比较大小，解题的关键是恰当构造函数，判断函数的单调性，利用单调性判断大小.二、填空题二、填空题13【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值解析：1,2【分析】先将f(x)化解成正弦型，然后根据x取值范围求出f(x)最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可.【详解】f(x)=2sin xcosx2cos2x=sin2xcos2x12sin(2x)1，4当x0,时，2x25,，44402sin(2x4)12 1，m2 f(x)m2恒成立，0m22 1m解得1 m 2.故答案为：1,2【点睛】2，本题考查三角函数的化解以及以及已知x范围求正弦型函数的最值.14【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析：【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B，已知b，由余弦定理和基本不等式，求出ac的最大值，结合ac b，即可求解.【详解】由正弦定理及2ca 2bcos A，得2sin C sin A 2sin Bcos A.因为C AB，所以2sin3,23ABsinA2sinBcosA.1.2化简可得sin A2cos B10.因为sin A 0，所以cosB 因为0 B，所以B 3.由已知及余弦定理，得b2 a2c2ac 3，即ac3ac 3，因为a 0，c 0，2 ac所以ac3，得ac12，32222所以ac2 3，当且仅当a c 3时，取等号.3，又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c 所以3 a c 2 3.故ac的取值范围为(3,2 3.故答案为：(3,2 3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.15【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查解析：2【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解.【详解】由题意知sinsinsin1,则sin2222sin2cos,同理证明另外两组式sin21sin2cos2sin2sin21sin2cos2sin2sin21sin2cos2因为,0,22222,则2sinsin sinsin,不等式两边同时加sinsin2可得sinsin 2 sin开平方可得sinsin同理2sin22sin2sin22cos,sinsin2sin2sin22cos,sinsin2sin2sin22cos,相加可得2sin 2sin 2sin2 cos2 cos2 coscoscoscos 2化简得sinsinsin故答案为:2【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.16【分析】以 ABAC 为邻边作平行四边形 ABCD 根据得到再根据得到平行四边形 ABCD 是菱形则设利用勾股定理分别求得的长度在中利用余弦定理求解【详解】如图所示：以 ABAC 为邻边作平行四边形 ABCD 则因为所解析：1314【分析】以 AB，AC 为邻边作平行四边形ABCD，根据AB AC 3 AB AC，得到AD 3 CB，再根据AB AC，得到平行四边形 ABCD 是菱形，则CB AD，设CB 3，利用勾股定理分别求得EF，AE,AF的长度，在AEF中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以 AB，AC 为邻边作平行四边形ABCD，则AB AC AD,AB AC CB，因为AB AC 3 AB AC，所以AD 3 CB，设CB 3，则AD 3，因为AB AC，所以平行四边形 ABCD 是菱形，所以CB AD，3 33所以AB AC，3,EF 32221 33所以AE AF，326222221211AE AF EF99313cosEAF.所以2AE AF212114233222故答案为：1314【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17【解析】由垂直可知=0 即又因为所以填（或）解析：【解析】3|a|2cos a,b ab1,又因为由垂直可知a a2b=0,即|a|2ab 0,ab 2a b22 a,b 0,所以 a,b 3.填（或60）.318【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由 n=得 m=1-n=解析：31111NC,得AN AC.34【解析】由AN 设BP=nBN,所以AP AB BP AB+nBN=AB+n(AN AB)12nAC=mABAC.411123由n=,得 m=1-n=.41111=(1-n)AB19【分析】根据题意可得为的一个零点且且上有且只有一个最值点从而可得再由在单调递增可得解不等式组即可求解【详解】依题意为的一个零点且所以在上有且只有一个最值点可得化简得又则所以解得当时可得又所以故答案为 6 5解析：,5 3【分析】T f(x),0根据题意可得的一个零点，且，且,上有且只有一个最值为456 642k26 71110,点，从而可得 6，再由f(x)在单调递增，可得，3520202k10 2解不等式组即可求解.【详解】依题意T117,0为f(x)的一个零点且，4420205所以在可得,上有且只有一个最值点，6 646T6，化简得 6，4465又x 711,20203x,，则410102k2510所以，解得520k 20k，kZ，32k310 2当k 0时，可得5故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是根据三角函数的最值得5665，又 6，所以.3553 6 5,5365 6，以及函数的单调递增区间可得520k 20k，kZ，考查了分53析、计算能力.20【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数的奇偶性解析：3【分析】利用辅助角公式化简可得fx 2sin(2x6),再根据图象关于y轴对称可求得f(x)2cos2 x,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】因为函数所以又fx 3sin2xcos2x 2sin(2x)的图象关于y轴对称,62k,即 k,k Z.623,则2,即f(x)2sin(2 x)2cos2 x.23又因为5555 x,所以 2x,则当2x,即x 时,f(x)取得最大值612366122cos53.6故答案为：3.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：若y sinx为奇函数,则k,kZ；,k Z；2,k Z.2若y sinx为偶函数,则 k+若y cosx 为偶函数,则k,kZ；若y cosx 为奇函数,则 k+三、解答题三、解答题21（1）【分析】（1）根据0 解.（2）由（1）求得sin(2 15 305.；（2）5152，cos103 10，求得sin，再利用两角和的余弦公式求10104)2 56，再由 0，求得sin()，然后由42325)sin()()，利用两角差的正弦公式求解.2442【详解】（1）因为0 sin(2，cos3 10，10所以sin 所以cos(10，104)coscos4sinsin4，3 1021025.1021025（2）因为0 2，所以443，4所以sin(因为所以4)2 5，52 0，4422，6所以sin()，423所以sin()sin()()，2442sin()cos()cos()sin()，4424422 53562 15 30.535315【点睛】方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等22（1）【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数f(x)，代值求f（2）求出函数在51 31,2，单调增区间k,k，；（）kZ.212122，用整体代换法求单调递增区间；3,上的值域，原不等式等价于函数f(x)在,上的值域是12 212 2m,m2的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）f(x)sin x(cosx3sin x)313sin2x2sin2x122213sin2xcos2x sin2x223所以f3sin 2sin33332由2k2 2x3 2k2(k Z)得k12 x k5(k Z)，12故函数的单调增区间为k12,k5(k Z)122x,2x,（2）当时，36312 2所以f(x),1，因为x 12,不等式m f(x)m2恒成立12 21m 1 1 m 所以221 m2所以实数 m 的取值集合1,【点睛】求三角函数单调区间的2 种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.23（1）k 1；（2）【分析】（1）本题首先可以根据ke1e2和e1ke2共线得出ke1e2e1ke2，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据a2b 3ab得出a2b 3ab 0，然后根据a 1以及b 2求出cos【详解】（1）因为ke1e2和e1ke2共线，非零向量e1、e2不共线，所以存在唯一实数使ke1e2e1ke2，即ke1e2e1ke2，则1.2.3 1，最后根据0,即可得出结果.2k，即k21，k 1，1k故当k 1时，ke1e2和e1ke2共线.所以a2b3ab 3a 5ab2b（2）因为a2b 3ab，22 0，令a与b夹角为，因为a 1，b 2，所以3a 5ab2b 31512cos24 0，解得cos因为0,，所以a与b的夹角【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a、b共线，则存在唯一实数使a221，23.b，若非零向量a、b垂直，则ab 0，考查计算能力，是中档题.；（）124（）【解析】试题分析：（）本问充分考查学生对向量数量积的掌握，善于将已知条件进行转化，具有划归转化能力和方程思想将a b a b 程，求出b，在根据公式cos a,b 夹角的范围是1展开整理得到关于b的一元二次方2aba b求出向量a,b的夹角的余弦值，在根据向量，从而求出向量a,b的夹角；（）本题考查求向量模的方法，利用a a2，a 2b 已知条件，即可求出试题a 2b22a4ab 4 b，再根据第（）问的条件及2的值（）a b a b a b a|b|又a 1b 2222121222cos a,b aba b22 向量a,b的夹角为（）a 2b 4(a 2b)2a24ab 4b2112考点：1向量的垂直；2向量的数量积运算；3求向量的模25（1）f(x)2sin(x【分析】（1）由函数的最值求出 A，由周期求出，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式；（2）令2k（3）由 x【详解】（1）由函数的图象可得 A=2，再根据五点法作图可得6)（2）4k42,4k,kZ（3）3,23321x 2k,kz，求得 x 的范围，可得函数的增区间；262，利用正弦函数的值域求得f(x)的值域111282 2，求得T=2223312，且|，2322，612故f(x)2sin(x（2）令2k解得4k6)21x 2k,kz，26242 x 4k,kZ,3342,4k,kZ故函数的增区间为4k33（3）若 xsin(x，则12x,，2633126)3,1，2故f(x)2sin(x【点睛】126)3,2关键点点睛：根据三角函数图象求函数解析式，一般能直接看出振幅，再根据图象所给点求出周期，得到，最后利用五点法作图求出，根据函数解析式可求增区间、值域，属于中档题f x 3sin 2xk,k,kZ；（3）26（1）2；（）32,6 6【分析】(1)利用题中图象可知A 3，得=T，结合周期公式求得=2，再由x 代入计算4433即得解析式；(2)根据三角函数平移的方法求得gx，再利用整体代入法求单调递减区间即可；(3)先由f可得sin2 x x3233，再由x,得到2 x 的前提范3223的范围，再计算 x范围即可.围，结合正弦函数性质得到不等式中2 x【详解】解：（1）由题中图象可知：A 3，T7，41234T 2，即 2，又由图象知，x 3时，232k，即32k，kZ，又0 2，=3，fx3sin2x；3（2）fx向左平移12个单位后得到函数gx，故 gx3sin2x3sin2x3cos2x，2 123由余弦函数性质知，令2k 2x 2k,k Z，得减区间k,gx的单调递减区间为k,（3）由题意知：f由xk,kZ，2k,kZ；233x3sin 2 x，即sin2 x 3232,，知x 0,，2 x,2，33 32由正弦函数图象性质可知，即0 x 又x3 2 x 32或2 x 23336或x ，,，得 x的取值范围为x,6 62【点睛】方法点睛：求三角函数f(x)Asinxb性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.