2022年北京市石景山区高考数学一模试卷及答案解析.pdf

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（4 分）设集合 A=R-2VxV4,B=2,3,4,5 ,则 4nB=（）A.2,3,4 B.3,4 C.2,3 D.22.（4分）已知i为虚数单位，若（2+i）z=i,则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（4分）设函数/（%）=炉 一 妥,则f （%）是（）A.奇函数，且 在（0,+8）单调递增B.奇函数，且 在（0,+8）单调递减C.偶函数，且 在（0,+8）单调递增D.偶函数，且 在（0,+8）单调递减4.（4分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概 率 为（）1112A.-B.-C.-D.一63 2 35.（4分）记的为等差数列”“的前项和，若S2=3,S4=18,则S 6=（）A.36 B.45 C.63 D.756.（4分）某高校调查了 200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是17.5,30,并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30J.根据频率分布直方图，这200名学生中每7.(4 分)若 0 c l,贝lj()A.clogci第1页 共1 8页C.aclog/c8.（4 分）在ABC 中，若 2bcosB=cosC+ccosA,则 3=（）7T 7T 7T 27rA-B.-C.D.6 4 3 39.（4 分）设 是首项为-1 的等比数列，公比为必 则“q0”是“对任意的正整数小a2n-+a2nOff 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.（4 分）如图，正方体ABCO-AIBICIOI的棱长为1,线 段 B O i上有两个动点E,F,且E F 另，给出下列三个结论：AC_LBE；AEF的 面 积 与 的 面 积 相 等；三棱锥A-BEF的体积为定值.其中，所有正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。11.（5 分）已知向量。=（2,5）,b=（A,4）,若ab,贝 ij 入=.12.（5 分）双曲线C：?一!|=1的 焦 点 坐 标 为,渐 近 线 方 程 为.x 114.（5 分）若点尸（cosG,sin0）关于x 轴的对称点为Q（cos（0+刍，sin（0+$）,则。的一个取值为.15.（5 分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为 的 大 圆 内 部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形第 2 页 共 18 页线.如 图，已知r=l,起始位置时大圆与小圆的交点为A(A 点为x 轴正半轴上的点),滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C.有如下结论：曲线C 上任意两点间距离的最大值为8；曲线D：|x|+|y|=4的周长大于曲线C 的周长；曲线C 与 圆/+=4 有且仅有4 个公共点.其 中 正 确 的 序 号 为.三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(13 分)已知函数g(x)=sizi(x 看)，h(x)=c o sx,从条件/(x)=g(x),/z(x)、条件f G)=g G)+h(x)这两个条件中选择一个作为己知，求：(I)/(X)的最小正周期；(II)/(%)在区间 0,，上的最小值.17.(1 4 分)如 图，四棱锥P-4 8 C。中，底面ABC。为直角梯形，Z D A B Z A D C=,侧面外力为直角三角形，Z P A D=J,CDJ_平 面 皿(I)求证：CZ)平面P A B；(II)求证：%_L平面 A8CD；(III)若 A8=3,P D=4,C D=AD=2,判断在线段P O 上 是 否 存 在 一 点 使 得 直 线7 1AM与平面P B C所成角的大小为二.4第 3 页 共 1 8 页p.1 8.(1 3分)某 校 组 织“创建文明城区”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束.A类问题回答正确得1 0分，否则得。分；3类问题回答正确得3 0分，否则得0分.已知小明同学能正确回答4类中的每一个问题的概率均为0.8,能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(I I)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.1 9.(1 5分)已知椭圆C：今+/=l(a b 0),O为坐标原点，右焦点坐标为尸(V L 0),一 V 6椭 圆C的禺心率为(I)求椭圆C的方程；(I I )椭 圆C在y轴上的两个顶点为A,B,点 P满足G 而=0,直线P尸交椭圆于M,N两点，且|M N|=g,求此时/O P F的大小.2 0.(1 5分)已知函数f(x)=卫 警 二 上(I )求曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线方程；(I I )当a 0时，求/(X)的单调区间；(I I I)求证：当 aW -1 时，/(x)2 -e.2 1.(1 5分)记 实 数“，b中的较大者为机at a,b,例如相o r l,2 =2,max,1 =1,对于无穷数列 ,记=叩。2人.a2k(k E N),若对于任意的例N”,均 有(p%+i”,则称数列 劭 为“趋势递减数列”.(I )己 知 数 列 尻 的通项公式分别为即=-2+l,bn =(n,判断数列 即,第4页 共1 8页 为 是否为“趋势递减数列”，并说明理由；(I I)已知首项为1 公比为g 的等比数列 cn 是 趋势递减数列”，求 g 的取值范围；(III)若数列 办 满 足 力,42为正实数，且 为+2=1 为+1-珈，求证：m“为 趋势递减数列”的充要条件为“的项中没有0.第5页 共1 8页2022年北京市石景山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.(4 分)设集合 A=x|-2 x 4 ,B=2,3,4,5 ,则 AA8=()A.2,3,4 B.3,4 C.2,3 D.2【解答】解：集合A =x|-2 0 时，y=/和 产-或 是 增 函 数，则f (x)在(0,+8)上也是增函数，故选：A.4.(4 分)将 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2本数学书相邻的概 率 为()1112A一 B.-C.-D.一6 3 2 3【解答】解：将 2本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行的情况共有心=6第6页 共1 8页种，其中2 本数学书相邻的情况有膨掰=4 利 i,则 2 本数学书相邻的概率为:=：6 3故选：D.5.(4 分)记 为 等 差 数 列 即 的前项和，若 52=3,5 4=1 8,则 S 6=()A.36B.45C.63D.75【解答】解：S为等差数列 的前项和，52=3,54=18,(2%+211 d=3H 2-d=18解得 ai=O,d=3,.56=6X0+竽 x 3=45.故选：B.6.(4 分)某高校调查了 200名学生每周的自习时间(单位：小时)，其中自习时间的范围是17.5,3 0,并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,3 0.根据频率分布直方图,这2 0 0 名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()二nOJO 卜-rI0.08k-I 175 20 22.5 25 27.5 30 自习时间/小时A.56 B.60 C.120 D.140【解答】解:这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)X2.5=0.7,因此这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200X0.7=140.故选：D.7.(4 分)若 0 c l,贝 IJ ()A.(logcbC.ackgbc【解答】解：因为OVcVl,ab,所以y=F 在 R 上单调递减，所 以/，A 错误；第7页 共1 8页y=lo g c 在（0,+）上单调递减，logcaVlogQVO,8 错误；因为在（0,+）上单调递增且所以废，C错误;所以 logfl（?log/?C,。正确.故选：D.8.（4 分）在ABC 中，若 2反。sB=acosC+ccosA,则 3=（）7 T 7 1 T C 271A.-B.-C-D.6 4 3 3【解答】解：在A8C 中，若 2/?cosB=acosC+ccos4,利用正弦定理：2sinBcos8=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；由于 OVA、所以 cosB=解得B=J.故选：c.9.（4分）设仅 是首项为-1的等比数列，公比为夕，则“qVO”是“对任意的正整数，7,。2-1+。2 0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解：因为。2-1+2“=-产”+（-1）Xq2l=_ （q+1）寸 2,当夕0 时，可 得-（夕+1）”20,所以4+1 V 0,即0 -1,此时一定有qVO,故?0的必要不充分条件.故 选:B.10.（4分）如图，正方体A3CQ-A131C1Q1的棱长为1,线 段5 iQ i上有两个动点E,F,且E F=,给出下列三个结论：A C上BE；AEF的面积与8E F的面积相等;三棱锥A-B E F的体积为定值.第8页 共1 8页其中，所有正确结论的个数是（）【解答】解：对于，根据题意，结合图形知，AC，面。BEu平面。劭8,：.ACA.BE,命题正确；对于，：点 B 到直线EF的距离与点A 到直线EF的距离不相等，.AEF与 的 面 积 不 相 等，命题错误；对于，三棱锥A-BEF的体积为V 三 棱 馋 A-BEF=SixBEF*h=i x i x x l x =春三棱锥A-BE尸的体积为定值，命题正确；对于综上，正确的命题有2 个.故选：C.二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。T T T T 811.（5 分）已知向量&=（2,5）,b=（A,4）,痴b,贝 U 入=告 _.【解答】解：因 为:=（2,5）,b=（入，4）,a/b,所以8-5 人=0,解得入O故答案为：12.（5 分）双曲线C：4-若=1 的焦点坐标为（4,0），渐近线方程为_ 工=土遮【解答】解：双曲线C；可得。=2,6=2遍，c=4,所以双曲线的焦点坐标为（4,0）,渐近线方程为：y=V3x.故答案为：（4,0）；y=V3x.（2f X 1第9页 共1 8页41_.2*T,X 1当天条件/1(x)=g(x)+h(x)这两个条件中选择一个作为已知，求：(I )/(X)的最小正周期；(I I )/(%)在区间 0,身上的最小值.【解答】解：选择条件：/(x)=g(x)*/?(X),JI y/3 1(1 )f(x)=s in (x 召)co s x=(-s iri co s x)co s x门.1 2 e 1cl l+co s 2x 7 5.c 1 c 1=-s in x co s x 2co s x=-y x x s m 2x x-=彳s in 2x 4co s 2x 一第1 1页 共1 8页=%n(2 x-f)-1(所以/(X)的最小正周期7=竽=7T.,7 T _,T T T T 57 r(I I)因为x 0,-，可得标一阳一堂,所以 s in (2x 5)G-i,1,可得-s in (2x 5)-j Gi,-,6 2 2 6 4 2 4当2x U，即x=5时，/(x)有最大值选择条件:f(x)=g(x)+h(x),7 T 1(I )/(x)=s in (x 6)+co s x=(s in x co s x)+co s x=&n x+|co s x=s in(x+御，Z Z D所以/(x)的最小正周期T=2 n.7 T7 T 27 T(I I )因为x 0,可得所以 s in (x+5)G-,1,6 L2当x+W，即x=E时，f(x)有最大值1.17.(14分)如 图，四棱锥P-4 B C力中，底面A B C。为直角梯形，ND 4 B=/A O C=乎侧 面P A D为直角三角形，Z P A D=与 CDJ _平面P A D.(I )求证：C)平面P A B；(I I )求证：B4_ L平面 A B C。；(I I I)若A8=3,P D=4,C )=A O=2,判 断 在 线 段 上 是 否 存 在 一 点M,使得直线7 1AM与平面P B C所成角的大小为一.4PAB第 1 2 页 共 1 8 页【解答】证明：(I)因为四棱锥P-A 8C D 中，/.DA B=/.A DC=J,所以 ABC,因为ABu平面P A B,COC平面P A B,所 以 CO平面P A B.证明：()因为COJ_平面以。，以u 平 面P A D,所以CD_L以，又因为N P 4 D=所以AOLB4,因为 CO,A Q u 平面 A BCD,C D H A D=D,所以办，平面ABCZX解：(III)存在，当 M 为线段尸。中点时，理由如下：由 ()可知，因为以J_平面ABC。，ABu平面ABC。，所以 A8_Lfi4,又 AC A BV A D,如图以点4 为坐标原点，分别以AB,A D,AP为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A则4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2回设平面PBC的法向量为蔡=(x,y,z),由 竹 后 =。得卜 +2丫 =。，。P B=0 V3x-2V3z=0.令z=W,所以九=(2,1/V3).设 施=a 而(o w a w i),第 1 3 页 共 1 8 页则M(0,2-2/1,2V3A),所 以 心=(0,2-2 A,2V3A),直线A M与平面P B C所成角为。,所以 sinO=cos(A M,n)|=11M旦 =|-二+、=|=孝，A M -n 2V2jl6A2-81+4解得4+，符合题意，7 1所以当M为线段PD中点时，直线AM与平面P B C所成角的大小为二.18.(1 3分)某 校 组 织“创建文明城区”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束.A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8,能正确回答B类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(I)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(I I)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【解答】解：(I)得分情况有三种可能性，第一个问题错误，x=o分，P(X=0)=1-0.8=0.2,第一个问题正确，第二个错误，X=1 0分，P(X=10)=0.8义(1-0.5)=0.4,两个问题都正确，X=40分，P(X=40)=0.8 X 0.5=0 4,的分布列为：X01040P0.20.40.4(I I)由(1)知，若小明先回答 4 问题，贝IE(X)=0X 0.2+10X 0.4+40X 0.4=20,若小明先回答8问题，记 丫 为小明的累计得分，则 丫 的可能取值为o,30,40,P(7=0)=1-0.5=0 5P(y=30)=0.5x (1-0.8)=0.1,第 1 4 页 共 1 8 页P(y=4 0)=0.5 X 0.8=04,：.E(y)=0 X0.5+3 0X0.1 +4 0X0.4=1 9,.T 9V 2 0,.小明应选择先回答A类问题.1 9.(1 5 分)已知椭圆C：最+，=l(a b 0),O为坐标原点，右焦点坐标为尸(或，0),_ _ V 6那 肓 圆C的离心率为三.(I )求椭圆C的方程；(H)椭 圆 C在)轴上的两个顶点为A,B,点尸满足1 丽=0,直线尸 尸 交椭圆于M,N 两点，且|M N|=VL求此时N O P 尸的大小.【解答】解：(I )因为右焦点为“或，0),所以c =应,因为离心率e=等,所以Q=V 3/b2=a2 c2=3 2 =1,x2所以椭圆C的方程为可+y2 =1.(I I)当直线P 尸垂直于x 轴时，|M N|=孥4V 5 (舍)；当直线P F不垂直于x 轴时，设直线PF的方程为y=k(x-,(y=k(x-V 2)由乙2 ，整 理 得(1 +3/c2)%2-6V2/C2X+6f c2-3 =0,e=i设 M G 1,y),N(%2,2),由题意()恒成立,所以 4-%2=:，%1%2 6k2 31+3 必利 用 弦 长 公 式 知|M N|=+2|与 久 2 I =+k2 d(X +%2)2 4%1 必=kJ(修J*寓V3,解得k,所以直线P F 的方程为y=(x-V 2),因为A,B为椭圆C在 y 轴上的两个顶点，不妨设A (0,1),B(0,-1),因为万3-BP =0,设 P 5,),所 以(m,/1 -1)-(m,n+)=0,即 加2+”2=1,第 1 5 页 共 1 8 页即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，因为原点到直线P F的距离d=卷L=阀=1,J 1+必 J l +(1)2所以直线P尸与圆“2+2=1相切，所以NO P F=90.2 0.(1 5分)已 知 函 数=上 警 二 工(I )求曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线方程；(I I )当4 0时，求/(X)的单调区间；(I I I)求证：当“W-1时，/(无)2-e.【解答】解：(I )因为/(x)=(-a/+x i)，e J(严+-1)0)，=-一(2 a尸)x+2 =(ex)e(a x l)(x 2)不，所以/(0)=2,/(0)=-1,所以曲线y=/(x)在 点(0,-1)处的切线方程为y=2 x-1.(I I )由(1)知：/(x)=3-吁-2),因为0,令/(%)=0,所以x=：或x=2.当 O V a V 时，-2,则z a当(-8,2)时，/(x)0,f(x)单调递增；当(2,时，f(x)0,/(x)单调递增；a当a另 时，/G)0恒成立，/(%)在R上恒为增函数；当a*时，0i 0,f(x)单调递增；a1当(一，2)时，f(x)0,f(x)单调递增；综上，当时，单调递增区间是(-8,2)和(：,+8),单调递减区间是(2,第 1 6 页 共 1 8 页1-);a当=寺时，单调递增区间是K,无单调递减区间；1 1 1当。时，单调递增区间是(-8,一)和(2,+8),单调递减区间是(一，2).z a a(I I I)当 QW-1 时，令/(x)=0 得 或x=2,则1当 xE (-8,一)时，/(x)0,/(x)单调递增；a当 在(2,+8)时，f(x)1 )所以由极小值定义及/(x)的单调性可知：当 x 0 恒成立，设 g(x)=-ax2+x-1,x2 2,a W -1,贝ij1对称轴 x=V O,=l-4 a 0,抛物线开口向上，g(2)=l-4 a 0,所以由二次函数的性质可知：g(x)g(2)0恒成立，所以/(x)0在x 2 2上恒成立.综上所述，当a W -1时，/(x)-e.2 1.(1 5分)记 实 数 小6中的较大者为加3，b,例如相内 1,2 =2,max ,1 =1,对于无穷数列 a“,记 a2k(k 6 N*),若对于任意的依N*,均有(p*+i 0 历h l,/.(pk=maxb2k-i9 bik=b2k9且”+1 1 时,数列 cn 为单调递增数列,此时m x t?2hl,C2k=C2kf且 C2A+2C2%不满足题意；当 4=1 时，数列 5 为常数列，不满足题意；当 OVqVl 时，数列 5 为单调递减数列，此时 maxc2k-1,C2k=cik-1,且 C2&+1C2%不满足题意；综上，q 的取值范围为(-1,0)U(0,1).证明：(/)先证必要性：假设存在正整数加(加设3)使得dm=|d*1 -勰-2|=0,令dm-l=dm-2=a.因为dl,d2为正实数,且为+2=|办+1 -办|,.办 0,故 2 0,则数列 从 d n-2 以后的各项为a,cb 0,a,a,0,当 2k-1 -2 B 寸，maxdik-1,d2k=a,曲+1,d2k 2)=a 与 办 为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，d 的项中没有0.再证明充分性：dn+2=dn+-dn得:d+2 V maxdn+19 dn 由 d 的项中没有0,故对于任意正整数小dWO,；d2K3#0,EP dik+1#dik+2.当 d2k+d2k+2 时，maxd2k+l,d2k+2=d2k-1maxd2k-1,d2k,当 d2k+ld2k+2 时，maxdlk+,d2k+2=d2k-2maxd2k-9 d2k),d 为“趋势递减数列”.综上：d 为“趋势递减数列”的充要条件为 为 的项中没有0.第1 8页 共1 8页