2022年福建省莆田市高考数学第一次质检试卷及答案解析.pdf

2022年福建省莆田市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已 知 全 集 =1,2,3,4,5 ,集 合 =1,2,3,4 ,N=3,4,5 ,则Cu（M A N）=（）A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,5 2.（5 分）设产z=3+5 i,则 z=（）A.-5+3 i B.-5 -3/C.5 -3i D.5+3;3.（5 分）若直线/：（4+1）x -y+3=0 与直线 m：x-（+l ）y -3=0 互相平行，则 a=（）A.-1 B.-2 C.-2 或 0 D.04.（5分）己知y=/（x）是定义在R 上的奇函数，且当x20时，f（x）=/+公+1,则/（-2）=（）A.-2 B.2 C.6 D.65.（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎 丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关拔，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用珈表示解下（“W 9,N*）个圆环所需的最少移动次数，若 G=l,且册+1=+2,11为奇数 则解下6个环所需的最少移动次数为（）12 aH-1,n为偶数A.13 B.15 C.16 D.2 96.（5 分）已知=防 3,b=3$,c=lg9,则（）A.a b c B.c a b C.b a c D.b c a7.（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式为C4,其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成 分.如 图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离如-H 键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离dd键长）均相等，任意两个C-，键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为 J 即COSNHCH=-1,若 则 以 这 四 个 氢 原 子 为 顶 点 的 四 面 体 的 体 积 为（）第1页 共2 0页8V3 a3B.-98V2 a3C.-278V2 a3D.-98.（5分）已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且 心=4 6+（2 -2 2）品（2 6R）,则 易 丘的最小值为（）A.16 B.12 C.5 D.4二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分.（多选）9.（5分）有一组样本甲的数据万（i=l,2,3,4,5,6）,由这组数据得到新样本乙的数据 2 x,+1（i=l,2,3,4,5,6）,其中 x i （i=l,2,3,4,5,6）为正实数.下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若，”为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为2?+1D.若修为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为2 m+1（多选）1 0.（5分）设 0,b 0,且“工 儿 则，+2”的一个必要不充分条件可以是（）1 1A.aW2 B.次+y 2 C.ab D.-+-2a b（多选）1 1.（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得/（x）的图象在这两点处的切线互相垂直，则称）=/（%）具 有7性质.下列函数中具有T性质的是（）A.y=sin2x B.y=t a n A-C.y =|,x&（-2,+8）D.yt-Inx（多选）1 2.（5分）已知定义在 0,会上的函数F（x）=sin（3 X-软3 0）.（）A.若f（x）恰有两个零点，则 3 的取值范围是 5,9）B.若/（x）恰有两个零点，则 3 的取值范围是（5,9 c oC.若/（x）的最大值为g,则 3 的取值个数最多为2第 2页 共 20 页D.若/（x）的最大值为葭，则 3 的取值个数最多为3三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.（5分）曲线 二加叶%2在 =1 处的切线方程为.11 4.（5 分）右c o s。=耳，则 s i n 0 s i n 2 9+c o s 2 e=.1 5.（5 分）如图,杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1 2 61 年所著的 详解九章算法.它揭 示 了（a+6）”（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右数第5个数是,第 9行排在奇数位置之和为.1 6.（5分）已知P为正方体A BC。-A 向表面上的一动点，且满足|P 4|=2|P B|,A B=2,则动点P运动轨迹的周长为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0分）已知锐角 A BC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 c o s2 A-V 5 sin A+2=0.（1）求 4；（2）若 6+c=6K，求 A BC外接圆面积的最小值.第3页 共2 0页1 8.（1 2 分）某 6 人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2,3,4 的人数分别为1,3,2,现从这6 人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会.（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求 X的分布列和期望.第4页 共2 0页19.(12 分)如图，在四棱锥 P-ABC。中，以，平面 ABC。，P A=A B=2,Z B A D=2 0Q,A CLB D,BCD是等边三角形.(1)证明：平面B4D_L平面PCD；(2)求二面角B-P C-力的正弦值.第5页 共2 0页20.(12分)已知数列 的 的前“项和为名,且Sn=2 x(34-1).(1)求 “的通项公式；(2)若加=(3 n-l)an,求数列 加 的前项和小.第6页 共2 0页2 1.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y 中，已知点A (2,6),B(4,0),C是线段OA的中点，尸是平面内的一动点，且满足|PC=2|PB|,记点 P 的运动轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)过点B的直线/与曲线E交于M,N两点，若 O B M 的面积是 O 8 N 的面积的3倍，求直线/的方程.第7页 共2 0页22.(12 分)已知函数/(x)=-+(b -2)x+2.(1)当 a=2 时，/(x)N 3恒成立，求人的值；(2)当 OVaWe?,且 x 2 时，f (x)blna(x-1)恒成立，求 6 的取值范围.第8页 共2 0页2022年福建省莆田市高考数学第一次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .(5 分)已 知 全 集 =1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2,3,4 ,N=3,4,5 ,则C u(MAN)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,5 解：全集 U=1,2,3,4,5 ,集合 M=1,2,3,4 ,N=3,4,5 ,.M A N=3,4 ,则C u (M A N)=1,2,5).故选：D.2 .(5 分)设 汽=3+5 i,则 z=()A.-5+3 i B.-5-3/C.5-3/D.5+3 z解：由题意可得z=绅=(3+y=早=5 +3 i,I 1故选：A.3 .(5 分)若直线/：(。+1)工一3=0 与直线(o+l)y-3=0 互相平彳亍，则=()A.-1 B.-2 C.-2 或 0 D.0解：直线/：(+1)x -y+3=0 与直线机：x-(。+1)y -3=0 互相平行，故-(+1)2+1=0,解得=。或 一 2.当=-2时，两直线重合；故 a=0.故选：D.4 .(5 分)已 知 y=/(无)是定义在R 上的奇函数，且当xNO时，/(x)=/+以+1,则/(-2)=()A.-2 B.2 C.-6 D.6解：、=/(无)是定义在R 上的奇函数，且当X 2。时，f(x)=/+or+a+L可得/(0)=a+l=0,解得 =-1,所以/(-2)=-/(2)=-(4-2-1+1)=-2,故选：A.第9页 共2 0页5 .（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎 丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关按，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用珈表示解下（W 9,e N*）个圆环所需的最少移动次数，若G=1,且a n+i =F n +2,“为?数 则解下6 个环所需的最少移动次数为（）2an-1,n为偶数A.13B.15C.16D.29解：由于1 =1,且a +i =an+2,n为奇数2an-l,n为偶薮所以当=1 时，“2=3;当 n=2 时，。3=5；当 n=3 时，0 4=1；当=4 时，45=13;当=5 时，。6=15.故选：B.6.（5 分）已知=加3,b=3s,c=/g 9,则（）A.a b c B.c a b C.b a c D.b c a3 a 解：V 1=Ine ln3 1.5,/g 9/g l 0=l,b a c.故选：C.7.（5分）甲烷是一种有机化合物，分子式为C”4,其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分.如图所示的为甲烷的分子结构模型，己知任意两个氢原子之间的距离而-H 键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离d c-（C-H键长）均相等，任意两个H -C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为寺,即C 0S4/C H =若 让一/=小则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）H875a3875a38-72a38V2a3第 1 0 页 共 2 0 页解：设则由余弦定理知：/=M+Q2 _ 2a 2,(_ 1)=粤 解得%=2.。,故该四面体的棱长均为 学，该四面体底面外接圆的半径r =聿=毕，3 v 3 3T高h二J(马耍)2 一 (4与2 二竽.故 该 四 面 体 的 体 积 为 X 第 X(竽 砌 2 X 竽=嚼故选：A.8.(5 分)已知尸是边长为4 的正三角形A B C 所在平面内一点，且 心=X A B +(2-2A)/1C(A eR),则自4 而 的最小值为()A.16 B.12 C.5 D.4解：如图，延长AC到力，使得兄)=2几，因为了(=/1 几+(2-2；1)融=九4%+(1-A)A D,所以点P在直线BD上,取线段4 c的中点0,连接0P,P A -P C=(P O +OAXPO-O A)=|命-|京 2=|访-%显然当O P，8。时，|访|取得最小值，因为B 0=2 百，0D=6,则 8。=4百，-_ _ 273x 6所以|P 0|最小值为一=3，4V 3所 以 易.赤 的最小值为32-4=5,故选：C.二、选择题：本题共4 小题，每小题S 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得()分.(多 选)9.(5 分)有一组样本甲的数据M(i=l,2,3,4,5,6),由这组数据得到新样第 11 页 共 2 0 页本乙的数据为+1（i=l,2,3,4,5,6）,其中x i （i=l,2,3,4,5,6）为正实数.下列说法正确的是（）A.样本甲的极差一定小于样本乙的极差B.样本甲的方差一定大于样本乙的方差C.若?为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为2?+1D.若根为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为2?+1解：对于4,样本甲的极差是乙的极差的一半，一定小于等于样本乙的极差，故A错误；对于8,设样本甲的方差为a,则样本乙的方差为4“，二者有可能相等，故8错误；对 于C,若加为样本甲的中位数，则由中位数的定义得样本乙的中位数为2?+1,故C正确；对 于,若根为样本甲的平均数，则由平均数定义得样本乙的平均数为2?+1,故。正确.故选：CD.（多选）10.（5分）设a0,b 0,且a W b,则“a+6 2”的一个必要不充分条件可以是（）1 1A.a3+b3 2 B.J+廿2 C.ab D.一 +-2a b解：设 a0,b 0,且 4+6 2”，对于 A,“a+6 2”=/+/=（a+人）序-帅）2,a W 2,推不出 a+b2,例如 a=1.6,*=0.1,A aa+b 2的一个必要不充分条件可以是J+/2,故4正确；对于 B,a0,b 0,S.ab,aa+b 2n,.2+必_弊1=2+/_a2+2”=a2-2ab+b2=（a /，2./+庐 弊 _2,a2+h2 2,推不出 a+b2,例如 a=1.6,6=0.1,A ua+b 2的一个必要不充分条件可以是J+/2,故2正确；对 于C,a+b2”不能推出而 2,例如。=1.6,8=0.5,故C错误；1 1对于。，“a+b2”不能推出一+二 2,例如=2,b=3,故。错误.a b故选：A B.第1 2页 共2 0页（多选）11.（5分）若函数），=/（）的图象上存在两点，使得/（x）的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=/（x）具有T性质.下列函数中具有7性质的是（）A.y=s i n x B.y=tan _ rC.y =|,xE（-2,+）D.y=ex-Inx解：当y =s 讥2%=1 号s2%时,y=si n 2 x G -1,1,当 与=年，2=当时，满足条件；当丁=1 以时，y =c o .0 恒成立，不满足条件；（-2 /X 6 （-2,1）当 丫 =l （-2,+8 ）时，y，=（。2）,l（x+2）2,（1，+8）当%1=-年，%2=2满足条件；当y=7 i 优时，yr=ex-p 函数y =短一：单调递增，1且y 1=e3-3 1,x=3所以存在y l x K1=-1,yrx=X 2=1,满足条件.故选：A CD.（多选）12.（5 分）已知定义在 0,夕上的函数/（X）=sin（a）x-）（c o 0）.（）A.若/（x）恰有两个零点，则 3的取值范围是 5,9）B.若/Y x）恰有两个零点，则 3的取值范围是（5,9 3C.若/（x）的最大值为g,则 3的取值个数最多为23D.若/（X）的最大值为g,则 3的取值个数最多为3解：由b）x-*=内1,则 冗=6 +1 kW Z.若y（x）恰有两个零点，Tr-47T-4571诟9诟解得5W39,故 4正确，8错误;若/（X）的最大值为葭,.0 1,即 0 V 3 W 5,第1 3页 共2 0页nVxGO,-,，COR-今日一 (3 -1 ),当一(0)-1)V 鄂寸，0Vu)3 时，f (x)zMax=sin (oo-1)=,7 T /.)令 g(3)=sin (u)-l),h(o)=耳，如图所示，易知函数g(3)和/?(o)有两个交点4,B,.当0 3 /3sinA+3=0,解得si n A =空或si n力=-V 3(舍去).第1 6页 共2 0页又 A B C 为锐角三角形,(2)Va2=b2+c2-2bccosA=h2+c2 /?c=(b+c)2 3bc=2 7,当且仅当人=c 时，等号成立，.Q 3y/3.A B C 外接圆的半径R =天 为=学 23,故 A B C 外接圆面积的最小值为9 n.1 8.(1 2 分)某 6 人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2,3,4 的人数分别为1,3,2,现从这6 人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会.(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求 X 的分布列和期望.2 2解：(1)由题意可得，选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率P=S苧=条.(2)由题意可得，X 的所有可能取值为5,6,7,8,P(X=5)=等=/,P(X=6)=C31 112=C6C6P(X=7)=1 1 2 =2 p(x=8)=4 =Cl 5 cj 1 5故 X 的分布列为：1 1 2 1 IQ故 E(X)=5X E+6X+7X 弓+8 xX5678P11215351 51 9.(1 2 分)如图，在四棱锥 P-A B C。中，公 _ L平面 48 CZ),B 4=AB=2,ZB A D2Q0 ,A CLB D,B C。是等边三角形.(i)证明：平面物O_L平面尸c r；(2)求二面角B-P C-D的正弦值.第1 7页 共2 0页B解：(1)证明：I 出，平面 ABC。，CDcffi ABCD,：.PAVCD,：ACVBD,BC 是等边三角形，：.ABAD,ZBDC=60,又NBAD=120,：.ZADB=ZABD=30,所以/AQC=90,即 CD_LA。，B4u面 3 D,AOu面 ),PAQAD=A,所以 CZ5_L面又.(?)_L平面尸CD(2)解：设 AC与 8。交于点O,以 OB为 x 轴，OC为 y 轴，建立如图空间直角坐标系,由(1)可得 B(V3,0,0),C(0,3,0),D(-V 3,0,0),P(0,-1,2),设面 PBC 的一个法向量为 =(%,y,z),而=(0,4,-2),PB=(V3,1,-2),0,不妨令y=l，则 z=2,x-V3,所以蔡=(V3,1,2),设面PDC的一个法向量为蓝=(a,b,c),PD=(-V3,1,-2),m-PC=0 n,jHb-2c=0 访=0 J 岛+b-2 c =0不 妨 令 b,则 c=2,a=-V 3 所以m=(-V3,1,2),所以cos m =-3+1+4=1V34-1+4X/3+1+4-所以二面角B-P C-D 的正弦值为 华.420.(12分)已知数列 ”的前项和为S“，且 又=2 x(3“一 1).(1)求 即 的通项公式;第1 8页 共2 0页(2)若加=(3n-1)a n,求 数 列 的 前 项 和 方.解：(1)当”=1 时，=Si=2 x(3 1-l)=4.当2 时，an=Sn-S x =2 x(3n-1)-2 x(30T-1)=4 X 3T.又=4 x 3 ,所以外,=4 x 3n-1.(2)由(1)可知，bn=(12n-4)x 3n-1,=8 x 3+20 x 31+32 x 33+(12n-4)x 3f则37；=8 x 31+20 x 32+32 x 33+-+(12n-4)x 3n,则-27=8+12x(3i+32+“+3 n T)-(1 2 n-4)x 3 n =-1 0-(12-10)X3”.故 Tn=(6 n-5)x 3n+5.21.(12分)在平面直角坐标系xO)，中，已知点A(2,6),B(4,0),C 是线段OA的中点，尸是平面内的一动点，且满足|PC|=2|P用，记点P 的运动轨迹为曲线(1)求曲线E 的方程；(2)过点B 的直线/与曲线E 交于M,N两 点,若O8M的面积是O8N的面积的3倍，求直线/的方程.解：(1)令 P(x,y),由题意知：C(1,3),又|PC|=2|P8|,所 以(jc-1)2+(y-3)2=4(x-4)整理得：(x-5)2+(y+1)2=8.故曲线E 的方程为(x-5)2+(-+!)2=8.(2)由(4-5)2+(0+1)2=2V8 知：B(4,0)在曲线 E 内部，要使08M 的面积是OBN的面积的3 倍，即|)M=3|yM，当直线/斜率为0 时，直线/为y=0,此时O8M、O8N的面积均为0,不满足题设;令直线/为=6+4,代入曲线E 中，整理得：(1+F)9+2(1-%)y-6=0,所以+y=；),yMyN=-0,贝 ij yM=-3)w,1+k 1+k所以+yw=-2 yw=得：%=号，则VM=1+k 1+k 1+k2又yMyN=_3(l_?=一 _ J,整理得：a+l)2=0,即 4=7,(i+r)z i+k所以直线l为x=-y+4,即x+y-4=0.22.(12 分)已知函数/(x)=q-+(b-2)x +2.(1)当 a=2 时，/(x)2 3 恒成立，求 b 的值；(2)当 0 2 时，/(x)blna(x-1)恒成立，求 6 的取值范围.第1 9页 共2 0页解：(1)当 4=2 时，令函数 g(x)=/(x)-3=+(/?-2)X-1,则f(x)23 等价于 g(%)2 0.因为 g(0)=0,所以尤=0 为函数g(x)的极小值点.又g(x)=+b-2,所以 g，(0)=h-1=0,解得 b=l.当人=1 时，g(x)=ex-1,则 当 在(-8,0)时，g(x)0 时，(x)0,g(x)单调递增.故 g(X)2 g (0)=0,符合题意.综上所述，b=l.2ex(2)f (x)hlna(x-1)等价于-+hx 2%+2bln(x 1)+blna,a2ex即-+b(x-Ina)2(x 1)+bln(x 1).a2e e构造函数 h(x)=2x+bbvc,则-+bln 2(x-1)+bln(x 1)等价于九(一)h(x a a a1)eX因为 O V a W/,所以 e*-2.a令函数 (x)2-x+L X 29 则 H(x)=e 2-1.显然(x)是增函数，则”(x)H (2)=0,H(x)单调递增，x x所以 H(x)H(2)=0,故 幺-x+1 ex-2-x+l 0,则 x-11.a a又九(?)九(X-1)，所以九(X)在(I，+8)上单调递增，所 以 当 尤(1,+8)时，/I，(X)=2+1N0恒成立，即 b 2(-2%)max=-2,故 的 取 值 范 围 是-2,+8).第2 0页 共2 0页