数理统计课后习题答案.pdf
数理统计习题答案第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为9 2 ,9 4,1 0 3,1 0 5,1 0 6 （单位：斤），求子样平均数和子样方差。解：-I X母=9 2 +9 4 +1 0 3 +1 0 5 +1 0 6-=1 0()5S2 i=l1 5=3 42.从母体中抽取容量为6 0的子样，它的频数分布*X,1362 684 01 02求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。解：子样平均数x=-XmA ,=i=(1 x8 +3 x4 0 +6 x1 0 +2 6 x2)=4子样方差/=1=1 8.6 7+4 0 x(3-4)2 +1 0 x(6 -盯 +2 x(2 6 -4)2子样标准差 S =JF =4.3 23.子样平均数与子样方差的简化计算如下：设子样值者,彳2,的平均数为1和方差为作变换必=土二巴，得 到%，内，为，它 的 平 均 数 为 亍 和 方 差 为 试 证：I =a +K，解:因为所以2 2Fx1-az=-c士=+c y1 Fi)nn a +Z cy/=1 7z.“=+c y所以x=a-Fcy 成立n/=1 (a +cX-cy)i=ii /_ 2=-Zh-o-)i=2因为2 1=1所以2Sc、2，成立Me=X”+i=X。)=R =X(“)-X=3.2 1-(-4)=7 2 1M,=Xj+i=乂=L 24.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：镑/英寸2）：1939,1697,3030,2424,2020,2909,1815,2020,2310采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换y =菁-2 0 0 0,再计算Q 与，然后利用3 题中的公式获得工和（的数值。解：变换 y.=X.-2OOOi123456789xi193916973030242420202909181520202310-61-303103042420909-18520310=-(-6 1-3 0 3 +1030+424+20+909-185+20+310)=240.444=-(-6 1-240.444)2+(-3 0 3-240.444)2+(1030-240.444)2+9(424-240.444)2+(20-240.444)2+(909-240.444)2+(-185-240.444)2+(20-240.444)2+(310-240.444)2=197032.247利用3 题的结果可知7=2000+7=2240.4445；=5”197032.2475.在冰的溶解热研究中，测量从-0.72c的冰变成0c的水所需热量，取 13块冰分别作试验得到热量数据如下：79.98,80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02试用作变换=100(%,.-8 0)简化计算法计算子样平均数和子样方差。解：变换100(%,.-8 0)_ 1 n I 13i12345678910111213xi79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.0280.0080.02X-2424334-353202y=-Y yi=X yin/=1 i=4 2+4+2+4+3+3+4 3+5+3+2+0+2=2.001 n 2 z=l=1 3-2-ZOO）?+3 x（2 _ 2.00）2+（5-2.0 0）2+3 x（4-2.0 0）2+3x（3-2.0 0）2+（3-2.00）1=5.3077利用3题的结果可知1=上+80=80.02100$2s：=5.3077x10“100006.容量为10的子样频数分布为E23.526.128.230.42341试用作变换y=1 0（Xj27）作简化计算，求（与 s：的数值。解：变换K=10（玉一27）*X 23.526.128.230.4X-35-91234mi2341=p(-3 5 x2-9 x3 +1 2 x4 +3 4)=1.5x=+27=26.851 05；=5叫(%一司一 /=1=-2 x(-3 5 +1.5)2+3 x(-9 +1.5)2+4 x(1 2 +1.5)2+(3 4 +1.5)2=4 4 0.2 5s：=4.4 0 2 5*1 0 0 7.下面 是 100个学生身高的测量情况(以厘米计算)身高154 158158 162162 166166 170170 174174 178178 182学生数101426281282试计算子样平均数和子样方差（各组以组中值作为子样中的数值）。解：身高154 158158 162162 166166 170170 174174 178178 182组中值156160164168172176180学生数101426281282-1白*元=_乙叫斗 /=1=(1 5 6 x1 0 +1 6 0 x1 4 +1 6 4 x2 6 +1 7 2 x1 2 +1 6 8 x2 8 +1 7 6 x8 +1 8 0 x2)=1 6 6/=，叫(玉*一,n 1=12=击。5 6-1 6 6)2+1 4 x(1 6 0-1 6 6)2+2 6 x(1 6 4 1 6 6+2 8 x(1 6 8-1 6 6)2+1 2 x(1 7 2 -1 6 6)2+8 x(1 7 6-1 6 6)2+2 x(1 8 0 -1 6 6)1=3 3.4 48.若从某母体中抽取容量为 13 的子样：-2.1,3.2,0,-0.1,1.2,-4,2.22,2.01,1.2,-0.1,3.21,-2.1,0。试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。解：将子样值重新排列(由小到大)-4,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,3.2,3.21R=X（“）-X（|）=3.2 1-（-4）=721用 加=（8）=1 29.从同一母体抽得的两个子样，其容量为和2,已经分别算出这两个子样的平均数元和无，子样方差S；和 现 将 两 个 子 样 合 并 在 起，问容量为勺+2的联合子样的平均数与方差分别是什么？解：1 2%W X+%W X%普%MX n+%_ X +n2 x2十 2=上工(若X)1+2，=1 7 A 人%+n2 2天+2吃(_/=1 7=1 +%n+n2 1 +%,J)+2”2)吗+n2 2 -2n.&+nsz n,x.+2/、2H j X j +n2x2 /+%J/、2n.X.+7 2.尤-1+n2_+2 snx+叼_+2 s勺+%_%s：+%sni+%二 十 -一-|+2 I|+2 )：+%(%+电 k+%(l+2)M(*+%可(1+2)-_ 2 2 -2 +%X +nn2 X2-21%X X2(|+2(|+2)210.某射手进行2 0次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示:环数10987654频数2309402试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图 形。解:环数10987654频数2309402频率0.10.1500.450.200.111.利用7题中数据作出学生身高的子样直方图。0 x40.14x60.36 x 7尸20卜）=,0.757x90.99x10解:区间划分频数频率密度估计值154158100.10.025158162140.140.035162166260.260.065166170280.280.07170174120.120.0317417880.080.0217818220.020.00512.设X2,X,是参数为X的泊松分布的母体的一个子样，X是子样平均数，试求EX和。X O解：Exi-2DXj Aj =1,2,1 5 1 nA qE X =E :X-=:Ex-=4n,=1 n,=|n。又=”“二 1“丝=4n 7 Z 1/=i n n13.设X X 2,X“，是区间（-1,1）上均匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：%,.U （a,b）E%=:-）苍=（；），1 =1,2,一,”在此题中x,U（-1,1）Exi-0 Ox：=；i-1,2,/!=0i3n14.设X X 2,X“，是 分 布 为 NJ,4）的 正 态 母 体 的 一 个 子 样，试求y =7 s （X,）2 的概率分布。b i=解：因为 Xj N（,b）E-=O D =lv 7 a a所以 土二幺 N（O,1）i =l,2,CT由力?分布定义可知丫=4 之 区 一 ）2=自上4服 从/分 布。i=i=J所以 Y r（z 2）15.设母体X 具有正态分布N（0,1）,从此母体中取一容量为6的子样（X 1,X 2,乂6）。又设 y =（X1+X2+X3+（X4+X5+X6）2O试决定常数C,使得随机变量CY服从力2 分布。解：因为 X,7 V(O,1)i =l,2,n X 1+X 2 +X 3 N(o,3)X,+X2+X3O xt+X2+X.1V 3也所以 乂+2+*3 N(O,1)X,+X,+X3r(-1z,)同理(储+腔6)2%2 由于7 2 分布的可加性，故1 fx1 +x2+x3V fx4 +x5+x6V尸+一/可知 C =J316.设(X 1,X z，,X)，是分布为N(0,的正态母体中的一个子样，试求下列统计量的分布密度:x=fx：；f=l(3)%=(1,；解：(1)因为 Xi 7 V(0,o-2)(2)(4)32;i =l,2,七 N(O,1)cr所以 兽囹2吟/()%(加PX=P*,2 T0 x 0 x0所以我(y)Jy22%好0ye 2。2 y 0y0y0九）（x）=1 4y127rx01 L-e 2na2故九(y)=（j2兀ny0 x0y 0有PX 4c。其中（x）是正态分布N（0,l）的分布函数。解：因为X/()Ex=。力2=2n由X2分布的性质3可知故号N（。）PX c
