《试卷4份集锦》云南省曲靖市2022届数学高二第二学期期末考试模拟试题.pdf

2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题，每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1 1 c1.给出下列四个说法：命题x 0,都有X+-2 2”的否定是“IXoKO,使得%+一 6”的逆命题是真命题；X 1是 Y|的必要不充分条件;若%=%为函数/(x)=x2+x+21nx e T 的零点，则/+2 也%=0,其中正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.32.对于平面a、0、/和 直 线。、b、m、，下列命题中真命题是()A.若 a_L/M,a_L,zua,u a，4!a_LeB.若 a/力,b u a,则 a/aC.若 a/,a y=a,。y=b,贝！Ja/Z?D.若 a u B，b u a,bH a 网 1311a3.若当x=(9时，函数/(%)=35皿+4以%取得最大值，贝!(：05(9=(354B.一53545D.4.如图，在矩形。钻 C 中的曲线分别是.丫=加 工，y=cosx的一部分，A 怎,0,C(O/)，在矩形a w。内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.4 GM B.3 GM c,2(&T D.如7t 71 71 K25.在复平面内，复数z=+2-i 所对应的点在第几象限()l+iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.设 A=x|-4 4 x 。,集合A B=()A.(-3,1)B.(-1,3)c.-4,-3)u(l,4 J D.H k 1)5 3,4 7.正项等比数列 4 中，“2018=2a2016+2 0 1 7，若 aman=16a；,则 当+的最小值等于()m n8.下列几种推理中是演绎推理的序号为()A.由2 2?，2 2 2 4 2,猜想2 T 0,b 0,贝!I“1g(。加 0”是“lg(a+b)0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.若离散型随机变量X 的分布如下：则 X 的方差。(X)=()A.0.6 B.0.4 C.0.24 D.1X01Pm0.611.已知函数/(x)的导函数为了(X),且对任意的实数X都 有/(x)=e T(2x+3)-(e 是自然对数的底数)，且/(o)=l,若关于X的不等式/(X)-?k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.(6 分)(1)用分析法证明：V6+V7 2A/2+V5；(2)如果a/,c 是不全相等的实数，若。，4 c 成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.a b c2 0.(6分)已 知 向 量)=(/s i n 2 x +2,c o s x),n=(l,2 c o s x),设函数/(1)=由工(1)求f (x)的最小正周期与单调递减区间；a(2)在a A B C中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若/(4)=4,b =l,Z A B C的 面 积 为 求a2的值.2 1.(6分)A B C的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a =2,b =3,/C =2/A.(1)求c的值；(2)求A B C的面积.2 2.(8分)已 知a,匕为实数，函数/(x)=-b,函数g(x)=l n x.x-a(1)当i=b =0时,令 尸(x)=/(x)+g(x),求函数尸(x)的极值；(2)当a =T时，令G(x)=/(%)g(x),是 否 存 在 实 数 使 得 对 于 函 数y =G(x)定义域中的任意实数占，均存在实数GJ+0 0)，有G(x)-X2=0成立，若存在，求出实数匕的取值集合；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题(本题包括1 2个小题，每小题3 5,共6 0分.每小题只有一个选项符合题意)1.C【解析】【分析】对于分别依次判断真假可得答案.【详解】对于，命 题“x 0,都有x +，N 2”的否定是使得x 0+-!-2，故错误；对于，命 题“若&布，贝壮人”的逆命题为“若。人，则 右,扬“正确；对于，若x 1则丁1，若/则或x v 1,因此x l是炉1的充分不必要条件，故错误；对于，若x =%为函数/(x)=x1+x +2 1 n x-e-x,贝!|x02+x0+2 I n x0-e X y=0,即豌)+2 1 n/=嫣(/o),可令(%)=%+2出犬0,则2(Xo)=l +0,故%(%)为增函数，令g(x 0)=e 一/2(%0),显然g(x 0)为减函数，所以方程(x()=g(Xo)至多一解，又因为 Xo +2 1 n x()=0 时 一/=始/2 .厢 _/2 =0,所 以/+2 1 1 1%=0,则正确，故选C.【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.2.C【解析】【分析】【详解】若a l m,a n,m C a,z i C a,由线面垂直的判定定理知,只有当m和n为相交线时，才有a .L a,月 错误；若a/b,b U Q,此时由线面平行的判定定理可知,只有当Q在 平 面。外时，才有a/a,Z 7错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断，若a/,ac/=a,(3 y=b,则a/必为真命题，正确;若a U u 3,a/Q,/Q.此时由面面平行的判定定理可知,只有当a、b为相交线时，才有4/%。错误.故选c.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.3.B【解析】【分析】函数/(X)解析式提取5变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】/（无）=53.4s in x +co s x5 5其中s山a=,co s a=|,当 x +a=2k jt+%,k e Z,即 x =+时，/（九）取得最大值 5,JI二.2ATT H-a =e,2则cos0=cost Ikn+/一&)=sia=-4,故选B.【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.4.A【解析】【分析】先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【详解】曲线分别是y=sinx,y=cosx的一部分n4 则阴影部分面积为：&=2(cosx-sinx)dx=2(sinx+cosx)4=2 0-2o0T T T T总面积为：S=-x l=-2 25,4(72-1)r 二-S 兀【点睛】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.5.D【解析】【分析】化简复数，找到对应点，判断象限.【详解】2复数 z=+2-z=l-/+2-z=3-2z1 +i对应点为：(3,-2)在第四象限故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.6.C【解析】分析：由题意首先求得集合B,然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：求解二次不等式*+2x-3可得5=x|x）1或x 0：.q=2,因为=1 6a；,所以012 2 M=1 6：:.m+n-2=4:.m+n=6,m,4 1 ,4 m +n 1 “4 m、1 ”4n m v 3因此一+=（一+）-=一（5 +）-（5 +2-）=一，m n m n 6 6 m n 6 V m n 2当 且 仅 当=2 =4时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.B【解析】【分析】根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【详解】A.是由特殊到一般，是归纳推理.B.是由一般到特殊，是演绎推理.C.是由特殊到一般，是归纳推理.D.是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【点睛】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.9.A【解析】【分析】由l g(ab)0,可推出 1,可以判断出人中至少有一个大于1.由l g(a+b)0可以推出a+Z?l,。力 与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.【详解】因为l g(aA)0,所以。力1,a0,b 0,显然a g中至少有一个大于1,如果都小于等于1,根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1,与乘积大于1不符.由l g(a+A)0,可得a+匕 1,。力 与1的关系不确定，显然由“l g(ab)0”可以推出l g(a+b)0,2但是由l g(a+b)0推不出怆3份 0,当然可以举特例：如符合a+匕 1,但是不符合a h ,因 此“1 g(。份 0 ”是“l g(a+b)0 ”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由。匕1,a0,h 0,判 断 出 中 至 少 有 一 个 大 于1,是解题的关键.10.C【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差.详解：由题意可得：m+0.6=l,所以m=0.4,所以 E(x)=0 x0.4+1x0.6=06所以 D(x)=(0-0.6)2 x 0.4+(1 -0.6)2x 0.6=0.1.故选：C.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键.11.B【解析】【分析】先利用导数等式结合条件“0)=1求出函数y =/(x)的解析式，由“X)相 /(x),转化为函数y =/(x)在直线y =机下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数y =/(x)的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数？的取值范围.【详解】由等式 f(%)=6 -A(2X+3)-/(X),可得/,(x)+/(x)=e-(2 x+3),即er(x)+切=2 x+3,即exf(x)=2 x+3 =(x2+3 x +C)(C为常数),：.exf(x)=+3x+C,则 x)=z+3 x+C,-./(O)=C=1,ex因此，/(x)=2+：x +l,X)=(2X+3)(：2+3X+1)=2+：2 ,令/(x)=0,得x =2或x =l,列表如下：函数y =/(x)的极小值为“-2)=e2,极 大 值 为/=*,且 l)=-e,eXS-2)-2(-2,1)1(L+8)0+0“X)极小值极大值作出图象如下图所示，由图象可知，当x0时，/(x)0.另一方面4 0)=1,-3)=,则 0)3),由于函数y =/(x)在直线N=机下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为-2、-1,贝惰 ,解得-e?W0,m ()对xe R恒成立；a 0当时，2 c 八，解得0 a8,A=-8a0综合得：0a 8,故答案为：0,8).【点睛】本题考查二次不等式恒成立的问题，要特别注意讨论二次项系数为零的情况，是基础题.21 4.-7【解析】【分析】基本事件总数=2 8,这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数m=2 x 4 =8,由此能求出这两条棱所在的直线为异面直线的概率.【详解】解：从四棱锥的八条棱中随机选取两条，基本事件总数=28,这两条棱所在的直线为异面直线包含的基本事件个数m=2 x 4 =8,X 2则这两条棱所在的直线为异面直线的概率是 28 72故答案为:【点睛】本题考查概率的求法.求古典概型概率时，可采用列举法将基本事件一一列出；也可结合计数原理的思想.1 5.【解析】【分析】由题意可得当x y O,可得xy+x+y-1=0,当 xy 0时，-xy+x+y-1=0,画出P 的轨迹图形，由图形可得不关于原点对称，关于直线y=x 对称，且直线y=l 与曲线有无数个公共点；曲线在第一象限与坐标轴围成的封闭图形的面积小于边长为1 的等腰三角形的面积，即可得到正确结论个数.【详解】解：动 点 P(X,y)到两坐标轴的距离之和等于它到定点A(1,1)的距离，可得|x|+|y|=J(x l)2 +(y _ l)2 ,平方化为|xy|+x+y-1=0,当 x y 2 O,可得 xy+x+y-1=0,1 x 2即 y=-,BP y=-14-,1+x 1+x当 xy0 时，-xy+x+y-1=0,即 有(1-x)y=l-x.画出动点P 的轨迹为图：关于原点对称，不正确；关于直线y=x对称，正确；直 线y=i与r有无数个公共点，正确；在第一象限内，与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于;，正确.故答案为：.【点睛】本题考查曲线的方程和图形，考查曲线的性质，画出图形是解题的关键，属于中档题.1 6.5【解析】试题分析：z =(l +2 i)(3 -i)=5 +5 i.故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,a,b,c,dwR,其次要熟悉复数的相关概念，如复数。+方的实部为a,虚部为b,模 为 后 寿，共枕为。一次三、解答题(本题包括6个小题，共7 0分)21 7.(I )y (I I )见解析，1【解析】【分析】(I)根据题意先计算出上个月A,B两种支付方式都使用的学生人数，再结合古典概型公式计算即可;(n)由题求出使用两种支付方式金额不大于l o o o的人数和金额大于w o o的人数所占概率，再结合相互独立事件的概率公式计算即可【详解】(I )由题意可知，两种支付方式都使用的人数为：1 0 0 3 0 2 5 5 =4()人，贝!I：4 0 2该学生上个月A,3两种支付方式都使用的概率=而=1.(n)由题意可知，3 2仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1 0 0 0的人数占，金额大于1 0 0 0的人数占彳,2 3仅使用8 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占不，金额大于1000的人数占且 X 可能的取值为0,1,1.P(X=0)=|x|嘤,X =1)=(|)+(|)=，P(X=2)g|*，【点睛】X的分布列为：X011p(x)67?1 32 562 5其数学期望：E(X)=0XA +IX1 2 +2X =1./2 5 2 5 2 5本题考查概率的简单计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题18.(1)m=8,=48(2)没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1 小时与性别 有 关(3)估计这6 名学生中一周参加社区服务时间超过1 小时的人数是4 人【解析】【分析】(1)根据分层抽样比例列方程求出n 的值，再计算m 的值；(2)根据题意完善2X 2列联表，计 算 K 2,对照临界值表得出结论；(3)计算参加社区服务时间超过1 小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可.【详解】(1)根据分层抽样法，抽 样 比 例 为 忌=多 普，96()560A n=48；Am=48-20-8-12=8；(2)根据题意完善2X 2 列联表，如下;超 过 1 小时不超过1 小时合计男生20828女生12820合计321648计算 K2=4 8x(2 0 x 8-1 2 x 8)_0 6 8 5 7 4 0显然成立，从而可得结果；(2)假 设!二,1成等差数列，可得=ac，结合2 h=a+c可得。=h=c,与 是 不 全 相 等 的 实 数 矛 盾，从而可得结论.详解：(1)欲 证+近 2a +石只需证：(V6+V7)2(2后 +灼2即6+2历+7 8+4厢+5只需证：屈 2厢 即4 2 4()显然结论成立故 指+近 20+石(2)假 设 成 等 差 数 列，则a b c b a c ac由于a,c成等差数列，得2 =Q+C 那 么:=-=,BP b =ac b ac ac由 、得。=/?=c与 是 不 全 相 等 的 实 数 矛 盾.故，一 不成等差数列.点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要 证 、只需证 这样的连接关键词.R 22 0.(1)，k 7T +,k 7r+-7L,Z e Z；(2)班.6 3【解析】试题分析：(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出/(x)解析式，化简后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函数的单调性确定出递增区间即可；(2)由/(A)=4,根 据 解 析 式 求 出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将b s in A及已知面积代入求出。的值，再利用余弦定理即可求出。的值.试题解析：(1)=z =(6s in 2 x+2,co s x),n =(L 2 co s x),/(x)=/3 s in 2 x 4-2 +2 co s2x=V3 s in 2 x 4-co s 2 x +3=2 s in(2 x +.)+3_ 2万T=712JI JI 3 7 r 7i 2令 2攵%H K2 x d H-(%Z ),二 kjt H&x W k兀 兀 Q k e Z)2 6 2 6 3二/(x)的 单 调 区 间 为 了+2，壮+|,k e Z(2)由 A)=4得，/(A)=2 s in(2/1 +)+3 =4,s in 2 A+=I 6；2_,.7 C _.7T 137V _.7 C 5式 .7t又,：A为 A S C的内角，/-2 A +,-*2A+=-9.e.A=6 6 6 6 6 3Sc=2a2=b2+c2 2bccosA=4+1 2 x 2 x l x -=3,.0.a=V 3-【点 睛】此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，其中熟练掌握余弦定理是解本题的关键.2 1.(1)V 10:(2)竺14【解 析】【分 析】(1)由正弦定理及/C=2/A,得c=2 aco s A,再 代 入 角A的余弦定理，求 得c=J市。(2)由 角C的余弦定理求得c o s C s i n C,再由面积公式S ABC=gabs in C求得面积。【详 解】(1)/C=2/A,a=2,b=3,/.s in C =s in 2 A=2 s in Aco s A,在A B C中，由正弦定理accs in A s in C 2 s in Aco s A二可得c=2 aco s A=2 a上茂 一,可得：be2=a(b2+c2-a2),即：3c2=2(9+c2-4),二解得：c=JI U(2)在 A B C 中，由余弦定理 co s C =a-+b-c2=.,可得 s in C =，l co s 2 c=巫2 ab 4 4故 S ABC=abs in C =e 5ABC 2 4【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。2 2.(1)&X)的极小值为F=1,无极大值.(2)【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)当”=。=0时，F(x)=-+l n x,定义域为(0,+8),由尸(幻=()得=1.列表分析得X尸。)的极小值为尸=1,无极大值.(2)恒成立问题及存在问题，一般利用最值进行转化：6(幻=(一 一+勿111%2 1在%(0,1)1；(1,+8)上恒成立.由于G(X)m m不易求，因此再进行转化：当X-1x e(0,l)时，G(x)=(+0)l n x 2 1 可化为(区+1 份l n x-x +1 4 0,令x-1(x)=x +l-b)l n x-x+l,x e(O,l),问题转化为：”(x)W 0 对任意 x e (0,1)恒成立；同理当x e(l,+8)时，G(x)=(+b)l n x Nl 可化为(灰+1-勿l n x-x +1 2 0,令x-”(x)=S x+l /?)l n x-x+l,x e(l,+o o),问题转化为：H(x)2 0对任意的x e (1,+co)恒成立；以下根据导函数零点情况进行讨论即可.试题解析：(1)F(x)=-+l n x,XF (x)=二，令F(x)=0,得x =l.X列表:X(0,1)1(1收)F (x)0+/极小值7 1所以尸(X)的极小值为尸=1,无极大值.(2)当。=-1时，假设存在实数满足条件，贝!)6(幻=(二7+加 也 2 1 在 6(0,1)1；(1,4 0)上恒成x-1立.1)当工(0,1)时,G(x)=(一+b)l n x Nl 可化为(Z z x+1 匕)l n x 九+14 0,x-l令 (x)=(Z z x +l l n X x +L%(O,l),问题转化为：”(无)0 对任意x w(M)恒成立；(*)I则“=0,H(x)=b nx+b-,H (1)=0.XA 八/x .,1 h t,b(x+1)1令 Q(x)=b l nx +-+b-l,贝!JQ(x)=-.x x匕4 1时，因 为/X+1)-1L(X+1)1 LX2-1=0,2 2 2故 Q (x)Q(D =0,即 H (x)0,从而函数y=(x)在 x e(0,l)时单调递增，故月(x)H(l)=0,所 以(*)成立，满足题意；当 心；时，,+1)-1_Z?X-(-1)1,2 丫 1 M -；-2X X因为所以1 0,2 h b b故 Q (x)0,所以函数y =Q(x)在 xe/时单调递增，Q(x)Q(D =0,即 (x)H(l)=0,此 时(*)不成立；所以当x w(0,l),G(x)=(二一+勿I nx Nl 恒成立时，b 2/?-l-x 2-l=0,2 2故0(x)O,所以函数y=Q(x)在XG(1,+8)时单调递增，Q(x)Q(l)=O,即H(x)0,从而函数y=H(x)在xe(l,+)时单调递增，所以(x)(1)=0,此 时(*)成立;当 匕 ；时，i)若必有0(无)0,故函数y=Q(x)在xe(l,+o。)上单调递减，所以Q(x)Q(l)=0,即H(x)0,从而函数y=H(x)在xe(l,+8)时单调递减，所以H(x)H(l)=0,此 时(*)不成立;i i)若0人 1,所以当x (l,L-l)时,2 h hQ(x)=伙 x+l)一可 尤 一(一1)-20X故函数y=Q(x)在x e(l，!D上单调递减，Q(x)Q(l)=0,即”(x)o,所以函数y=(x)在bxe(l-1)时单调递减，所以H(x)-；x-2综上所述，当xw(O,l)U(l,+w),G(x)=(一+Z01nxNl恒成立时，匕 从 而 实 数 匕 的 取 值 集 合x-12明考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括1 2个小题，每小题3 5,共6 0分.每 小 题只有一个选项符合题意)1.,8设函数/(X)=1 0 gl(丁+1)+则不等式/(l o g?)+/(l o g J)2 2的解集为2)A.(0,2 B.r2C.2,4W)2.已知随机变量J服从正态分布N(0,4)，若P C l)=0.2,则P()A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.33.若i是虚数单位，6)i=|-3 4i ,则实数a=()A.-1 B.-2 C.2 D.34.与 圆/+尸=1及 圆/+/一8%+7=0都外切的圆的圆心在().A.一个圆上 B.一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D.抛物线上5.定义在亿”)上的函数/(x),g(X)单调递增，=M,若对任意M,存在士,X2(为 l,A.1 B.2 C.3 D.47 .已 知 函数/(幻=以2+法+,(。/0),满足/(1)=2,且函数g(x)=/(x)x无零点，则()A.方程g(/(x)=o有解 B.方程y(/(x)=x有解C.不等式/(/(x)x有解 D.不等式g(7(x)o有解8 .已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(x 2)=-/(幻，且在 0,1 上是减函数，则()A./(-2 3)/(1 1)/(40)B./(40)/(1 1)/(-2 3)C./(1 1)/(40)/(-2 3)D./(-2 3)/(40)0*0,贝(I“a +0 W 4”是 彷 4 4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12 .直三棱柱 A B C A&C中，A C=B C=AA!,N A C B =90。，E、。分别为 A3、3 8 的中点，则异面直线CE与 C Z 所成角的余弦值为()A回 B V 10 cm D厉4 5 6 5二、填空题(本题包括4 个小题，每小题5 分，共 2 0分)x+y 满足线性约束条件1-,则 z =3 x+2 y 的最大值为_；x y 2 x14.设机，”是两条不同的直线，a,尸,7 是三个不同的平面，给出下列四个命题：若机_La,/a,则/_!_；若。/m _L a,贝!)2 _Ly；若m/a,n!l a 则机；若 尸 _Ly,则 a/月，其 中 正 确 命 题 的 序 号 是.15.复 数 的 共 轨 复 数 乞=_.(其中i 为虚数单位)2+i7t_16 .f(x)=2 si n u)x(0a)()且 力 1,e 为自然对数的底数.)a(1)当a =e 时，求函数y =/(x)在区间xw 0,2 上的最大值;(2)若函数y =f(x)只有一个零点，求”的值.18.如图，在直三棱柱A B C A 4 c l中，A 4,=A B =A C =2,A 8J.A C,M,N分别是棱CG，BC的中点，点P在线段4 8上(包括两个端点)运动.(1)当P为线段4 8的中点时，求证：P N A C,；求 平 面 刖 与 平 面A B C所成锐二面角的余弦值；(2)求直线PN与平面AM N所成的角的正弦值的取值范围.19.(6分)设/(x)=|x-a|,a e R.(1)当一 1 W X W 3时，/W 3,求a的取值范围；(2)若对任意xe R,/(x a)+/(x+a)2 1 2。恒成立，求实数a的最小值.2 0.(6 分)在平面直角坐标系xOy 中，设向量?=(si n x,-l),=(J 5c o sx,c o s2 x).71 当x=时,求，的值；(2)若xe 0,巴 ,且m L.求c o s2 x的值.4 3 2x=t2 1.(6分)在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为,a为参数)，直线加与直线/平行，且y=l +tx=1 +c o s(p过坐标原点，圆。的参数方程为彳 .(。为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建y =2 +si n/立极坐标系.(1)求直线加和圆。的极坐标方程；(2)设直线机和圆。相交于点A、8两点，求A 4 B C的周长.2 2.(8 分)设 函 数/(x)=ln x,g(x)=1 ”.(1)当相=一1时，求函数R(x)=/(x)+g(x)的零点个数；(2)若 必 茂 口 用)，使 得/(毛)2,2即 2f (t)2,所以，f (t)1,又f (1)2+-=l,2 3+1且f (x)在 0,+8)上单调递减，在R上为偶函数，.-IS t S l,即 l o gj x Gf -1,1 ,解得，x G y ,2,故选B.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题.2.C【解析】分析：根据随机变量自服从正态分布N(0,b 2),得到正态曲线关于=0对称，根据尸便 1)=0 2,得到对称区间上的概率，从而可求P(T W J W I).详解：由随机变量二服从正态分布N(0,4 )可知正态密度曲线关于y轴对称，而 尸 1)=0.2,则 P(gV-D=0.2,故P(-lgD=l-P(4D P(JV-D=0.6,故选：C.点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解.3.B【解析】【分析】先利用复数的模长公式得到J(3)2 +(-4)2=5,再根据复数相等的定义，即得解.【详解】由于2a+1(力 一。6)j =|一3 4i|=y/(-3)2+(4)2=5-2a+l =5由复数相等的定义，2，=2a-a-6=0故选：B【点睛】本题考查了复数的模长和复数相等的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4.C【解析】【分析】设动圆P的半径为r,然后根据动圆与圆/+y2=1及圆/+y2-8x+7=()都外切得PF=3 +r,P0=l+r,再两式相减消去参数广，则满足双曲线的定义，即可求解.【详解】设动圆的圆心为P,半径为广，而圆尤？+y2=l的圆心为0(0,0),半径为1；圆x2+y28x+7=o的圆心为尸(4,0),半径为1.依题意得|PE|=3+r,|PO|=l +r,则归尸|-|PO|=(3+r)一(l +r)=2 1,存在玉,马(王 )，使得/(x j =g(w)=%成立，即3 2=2徇 =攵=%=正,%2=1 0 8 2%+1，此时当k=1 0 0时，不存在不 ，故错误；对 于 ,若g(x)=l n r+?是/(x)在 1,+8)上 的“追逐函数”，此时/(l)=g(l)=l,解得m =l,当机=1时，力=2,8(%)=欣+1在 1,+)是递增函数，若 是“追逐函数”则 x：=i n%2+1 =攵=内=,即 4 k e2k2，设函数力。)=x-e2x-2,h x)=1-2e 2A 2 o即x e 2*-2,则存在不 1,存在玉,(玉 )，使得/(%J =g(X 2)=Z成立，即=2一 二 =%=血=丁，当k=4时，就不存在玉 g(x)=2x-l在 1,m)是递增函数，/(l)=g(l)=l,若g(x)=2x-l是“X)在口,饮)上 的“追逐函数”；则V Z:1,存在内,(王 尤 =k,x2=此 时&k 1),h(x)=1 -04 2即x 生止,故存在存在玉 电,所以正确；4故选B【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题.6.B【解析】画出函数/(x)=的图像如图，由g(x)=2Nx)-2 =0可得/(x)=，则问题化为函数/(%)=1-及+:0恒成立，依次判断每个选项得到答案.【详解】函数g(x)=/(x)X无零点，1)=2,g(l)=/-1=108(%)=/(%)一%0即/(%)恒成立A.方程g(x)=O有 解.设/(幻=8。)=0这与8(力无零点矛盾，错误B.方程/(x)=尤有解./(x)x恒成立=/(/(x)/(x)x,错误C.不等式/(/(x)x有解./(x)x恒成立=正确D.不等式g(/(x)0有解.即/(/(力)一/(x)x恒成立=/(/(x)/(x),错误答案选c【点睛】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力.8.D【解析】【分析】根据条件，可得函数/(x)周期为4,利用函数期性和单调性之间的关系，依次对选项进行判断，由此得到答案。【详解】因为/(x 2)=/(x),所以/(x)=/(x+2),/(x+4)=/(x),可得.f(x)的周期为 4,所以/(一23)=/(1),/(II)=/(-1),/(40)=/(0).又因为/(X)是奇函数且在 0,1上是减函数，所以/(x)在-1,1上是减函数，所 以/(0)/(T),即 23)/(40)0,人0时，a+b 24 a b，则当a +/?4,必要性不成立，综上所述，是“，力4 4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取。力的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.12.B【解析】【分析】以C为原点，C 4为X轴，C B为）轴，C G为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线C E与C。所成角的余弦值.【详解】以C为原点，C 4为x轴，C 8为）轴，C C 为二轴，建立空间直角坐标系，B设 AC=3 C=A 4 =2,则 C（0,0,0）、A（2,0,0）、B（0,2,0）、0,1,0）、C （0,0,2）,D（0,2,l）,C E =（U,。）、C =（0,2,_ l）,设异面直线CE与所成角为e,则 co s 0=C E C D2 _ V 1 0CECD-V 2-V 5 -5，异 面直线C E与C D所成角的余弦值为典.5故选：B【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.二、填 空 题（本题包括4 个小题，每小题5 分，共 2 0 分）1 3.8【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.详解：作可行域，则直线z=3 x +2），过 点 A （2,1）时二取最大值8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.【解析】【分析】利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；可借助正方体判断真假.【详解】因为/a,过作平面夕，使得a B =l,则有/；又因为?_ L a,所以加_ U,又因为/，所以加_L，故正确；因为&/,/?/,所以。/人 又 因 为 m _ L a,所以加_1_y，故正确；例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故不正确；选正方体同一顶点处的三个平面记为a,民则有但a 与 7 相交，故不正确.故填：.【点睛】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：(1)直接用性质定理、判定定理、定义去判断；(2)借助常见的空间几何体辅助判断(正方体等).15.-1-z【解析】【分析】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轲复数化简成2=4+初的形式，再根据共甄复数的定义求出所求即可.【详解】-3+z (-3+z)(2-z)-5+5z,.Z=-=-=-=-1+Z ,2+z (2+z)(2-f)5复数Z =字？的共甄复数是-1-Z.2+Z故答案为：1 .【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算、共筑复数的定义，考查基本运算求解能力，属于基础题.【解析】【分析】【详解】24函数f(x)的周期T=,C D八7C因此f(x)=2sin3x在0,上是增函数，CD7t 71*/0u)1和0。1两种情况可得a=J.试题解析：(I)当a=e时，/(x)=e(x+l)g,/(x)=e-e,令/(x)=0,解得x=l,x 0,l)时,/(x)0,/(Dmax=max 0),2)，而 0)=1 e J 2)=e23e g,即“X)m ax=2)=e2_3e.(II)f(x =ax-e(x +tna,/*(%)=axna-ena=na(ax-e ,a 令 尸(力=0，得x=lo g.e,则当 a 1 时，Ina 0，所以当X=l o g e时，/(x)有最小值/(4加=/(l o g e)=-el n o-,X(Fl o g/)l o g e(l o g(,e,-Hx)/（X）-0+“X)极小值/因为函数/（X）只有一个零点，且当X f-8和X.小 时，都 有/（力 +0。，则f（x .=-e lna-=0,即 el n a+L =o,V 7m,n a a因为当a l时，l n a0,所以此方程无解.当0 av l 时，na 0,X(f l o g“e)l o g e(log(,e,+oo)/(x)-0+/（X）极小值/所以当 x =l o g“e 时，,f(x)有最小值 f(x)m m =l o g/0=-el n a-L因 为 函 数 只 有 一 个 零 点，且 当 工-8和%4 8时，都有/（%）+8,所以/(x).=-el n a-L=0,即el n a+=0 (0 Q 1)(*)n a aip