专练13（30题）（几何压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.pdf

2022中考考点必杀500题专练13（几何压轴大题）（30道）1.（2 0 2 2 广东广州大学附属中学一模）如图，在直角梯形/8 C D 中，0 D=0 C=9 O,A B=4,B C=6,A D=8.点 P、。同时从4点出发，分别做匀速运动.其中点尸沿/8、8C向终点C运动，速度为每秒2 个单位，点。沿 向 终 点。运动，速度为每秒1 个位、当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了/秒.（1）当点尸，S 分别为Z 8 和 C。中 点 时（如图一），连接P S,称尸S为梯形的中位线.试判断P S 与 8 C,A D的关系，并证明.（2）当 0 V/V 2 时，求证：以P。为 直 径 的 圆 与 相 切（如图二）：以 P 0为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出/的值或f 的取值范围；若不可能，请说明由.【答案】（1）S R 3 8 c l 3 4。；SP=（B C+A D）-理由见解析（2）见解析能；/=二 一 小时,以尸。为直径的圆与CD相切2【解析】【分析】（D 连接C P 并延长，交 的 延 长 线 于 点 E,根据三角形形的中位线性质证明即可：（2）当 0 f 2 时，根据直线与圆的关系解答即可；（3）当 P 在 上 时，即 0 f V 2,显然不可能和CD相切，当 P 在 8 c 上时，即 2 4 瓜5时，如果圆与C。相切，设切点为K,连接圆心和K,这条线段就是直角梯形P C D Q的中位线，由此可用C P,DO表示出OK,也就可以用含f 的式子表示出圆的直径；如果过P 引/。的垂线，那么C P,的差，C D,尸。这三者恰好可以根据勾股定理来得出关于/的方程，解方程后即可求出,的值.（1）S P BC AD,S P=g（A O +B C）；理由如下：连接。并延长，交。4的延长线于点区 如图所示:回S、尸分别为CO,的中点，由SPDE,SP=-D Ef2BC/AD,例 SP BC AD,BCAE,国 ZB=ZM4E,/BCP=ZAEP,又勖P=ZP,0ABPCAAPE(AAS),AE=BC,/.DE=AD+AE=AD+BC，SP=A D +BC)-(2)当0 V f 2时,过8作5血。，如图所示:回在直角梯形 48C。中，0D=SC=9O,AB=4,BC=6,AD=8,&4E=AD-BC=8-6=2,即分*AP=2tf AQ=t,AP 2t 0=2,AQ tAB AP即 至=而，物L4=0J,APQABE,丽尸 0 4=骷 EZ=90,胡。为直径，团以。为直径的圆与力。相切.当 0 f0=8T,OK SiD C,团 O K是 梯 形P CDQ的中位线，朋 0=2OK=PC+OO=18-37,在直角梯形 PC。中，P O2=CD2+（D O-C P）2,解 得：,=13后,2历 史 巫 5,不合题意舍去，22 13-V15 5,2因此，当，二 叵 时，以 P。为 直 径 的 圆 与 CZ）相切.【点 睛】本题主要考查了圆的综合题，关键是根据直角梯形的性质，解直角三角形的应用以及中位线的应用等知识点解答.2.（2022广东广州市第四中学一模）已知等边N8C边 长 为 6,D为边4B上一点,E 为 直 线 N C 上一点,连 接。,将。E 绕 点。顺 时 针 旋 转 9 0 得 到 线 段 DF.(1)如图1,若N4 E D=90 ,过点尸作尸GL/C于点G,求 行 的 值;F G(2)若/。=无，/的最小值为y,若 x=4,求y的值；直 接写出y 与 x的关系式.【答案】(i)g、+63(2)2/2；y=；(l +M0 G,AD=DG团 在 M E 和 4D F 中 团 A)=x=4,0 DG=AD=4,国 在 Rt国OHG 中，NDGH=60。,DH=DG-tanZDGH=4 x tan60=4 6，AH=A+)”=4+4 5田 在 RffiWM”中，ZH=30,：.AM=；AH=g x 4 x(6 +l)=2 6 +2,团当尸点在M点时，/尸最小，取=4时，y的值为2/J+2;由得，点尸在与。G成60。的 直 线 上 运 动，;NGDH=90,ZDGH=60,NH=30。,0 ZAM/7=180-Z/-ZA=90,在 RtEIGW/中，DG=AD=x,/DGF=60,DH=DG-tan 60=币x 在 RtSWA/“中，AH=AD+DH=x+6 x,A M=gA”=*+x)=g(l+6)x,r.y=g(l+6)x,(0 x 于点,若 工=4,则四边形/8C。的面积等于.(2)等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2,四边形中，A D=D C,E L4+I3 C=18O0,连接 8。，求证：8。平分G L4 8c.现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部门要求：四 边 形 是 一 个“等对补四边形”，满足1。=。，A B+A D=1 2,鲂/。=12 0。，因地势原因，要求3。4 6,求该区域四边形N8C Z)面积的最大值.【答案】9 见解析 2 7 6【解析】【分析】(1)过A作/F _ L B C,交C B 的延长线于尸，求出四边形A F C E 是矩形，根据矩形的性质得出N/=A E=90,求出 N QA E =N SA F=90 -N B 4 E,根据 A A S1 得出 W 8 =,根据全等得出 A E=A 尸=3 ,SM n=SM E D,求出Sj E 方 形 C =9,求出Sn iil l fiA B C D-S正 方 彩 C ，代入求出即可；(2)如图1中，连接A C,8。.证 明 A,B,C,。四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题.(3)如图3中，延长W到H,使得=连接 H,过点D4作。K J _ A H 丁 K,根点8 作T M.BN LCD于N .设A 8 =x.构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.(1)解：如图1,过A作 A F J L B C,交C 8 的延长线于F,ADQAE1 CD,ZC=90/.ZAZ)=ZF=ZC=90o,四边形AFCE是矩形，.Z F A E =9 0 ,vZZMB=90,D A E =B A F =9 0 -,在M.F B和MED中，Z F=Z A E D:.ZABD=ZCBD,，班)平分44 8c.解：如图3中，延长54到，使得AH=A于 A 7,8 N _ L 8 于 N.设 A 8=x.HK/图3N8A D+NC =1 80。，Z B A D=1 2 0,Z C=6 0,.*.Z/i 4 D=6 0,：AD=AH,.A A D”是等边三角形，.Z H=6 0,.-.Z/7=Z C,由(2)可 知.B O平分NA 3 C,D,连接过点D4作。K L AW TK,过点B作助 B D =B D，:.DBHmADBC,ABDM=4BDN,DH=AD=1 2-xfBMJLDH,BN 上 CD,/.BM=B N,A H A B =AB+AD=2,JTBM=BN=BH sin60=6 6，DK=AD-sin60=-(1 2-x),S四边形A BC=SABCD+AABD=2-Jc)-6A/厂3+x (12-x)=一 x2+3 6 f,0 3 1 2-x 6 ,0 6 x A MF B F NE,有不 7=广*,，求 正1的值，进而可知B E 的值，F E E N由四边形B E F G的面积=8 x E N 计算求解即可.(1)解：连 接/立 如 图 1所示，图11 3 四边形/8 C D 是矩形，C D=A B=5,B C=A D=3,E L 4 8c=田。=回。=90 ,由翻折的性质得：A F=A B=5,F E=B E,D F=JAF2-AD2=V 52-32=4，CF=CD-DF=1,在R/E1CE/中，由勾股定理得：CE，CF2=FE2,即(3-BE)2+l2=BE2,解得：BE=；(2)解：连接4 F,过点尸作MN0BC于N,交/。丁 如 图2所示,则 MNAD,AM=BN,AMFFNE=90,E E L4 尸A/+啊 朋=90,由翻折的性质得：AF=AB=5,FE=BE=1,AFE=ABE=90,WAFM+BIEFN=9O,FAM=EFN,AMFBFNE,AM AF 5团-=-=一FN FE 1B4A7=5 尸M0 B N=5FN,在A同VE广中，山勾股定理得：FN2+EN2=FE2,即 FN2+(5FN-1)2=甘,解得:F N=3,或EV=O(舍去),即点尸到台。边的距离为；分两种情况:点G在矩形Z8CQ的内部时，连接4户，过G作GMZL）于，过点尸作A/MMC于M 交4。于如图 3 所小,贝 IJM?附G，MNAD,MN=CD=S,mADG 的面积=；ADxGH=1 x3xGH=3,田 GH=2,由翻折的性质得：BG=FG,FE=BE,BG=BE,G=FG=FE=BE,国四边形8E/G 是菱形，FGBCAD,团 四 边 形 尸 是 平 行 四 边 形，团 GHEL4。，GHM=SQf团 平 行 四 边 形 是 矩 形，团FM=GH=2,N=M N-FM=3,AM=4AF2-F M2=yj52-22=721同（2）得：也4Mm的FNE,AM AF团-=-,FN FE即叵=A,3 FEaFE=述I,7E L 8=1I,7回四边形BEFG的面积=8xFN=三 包 x 3=生 包：7 7 点 G 在矩形48。的外部时，连接4F，过 G 作 G/TEWD于，过点E 作 EM3FG于 N,过/作 ZM3FGT M,如图4所示,同得：AM=GH=2,FM=AF2-AM2=52-22=/2?AMFFNE,国 EN=BM=AB+AM=5+2 =7,心=,FE 7解得：/后=生 旦，3鲂=5何,3回四边形8 A G 的面积=8 E x E N=典1 x 7=身 叵;3 3综上所述，四边形8 E F G 的面积为 受 巨 或 史 亚 1.7 3【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形相似，勾股定理，菱形、矩形的判定引性质.解题的关键在于对知识的灵活运用.5.（2 0 2 2 广东韶关.模拟预测）如图1,在EL4 8 c 中，AB=AC=2,8/C=9 0。，点 P 为 8c边的中点，直线a 经过点/,过 8作 8 比访 垂足为,过 C 作 C/同。，垂足为F,连接PE、PF.（1）当点8、P 在直线a的异侧时，延长E P 交 C尸于点G,猜想线段尸尸和E G的 数 量 关 系 为；（2）如图2,直线。绕点N 旋转，当点5 P 在直线。的同侧时，若（1）中其它条件不变，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)直线。绕点Z 旋转一周的过程中，当线段P尸的长度最大时，请判断四边形8 E F C 的形状，并求出它的面积.【答案】(1)PF=E G；(2)成立，见解析；(3)矩形：4【解析】【分析】(1)证A PB E=A PCG G 4 A S),得 P E=P G,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；(2)延长 即 交 F C 的延长线于G,同(1)得A PB EnA PCG(A 4 S),得P E=P G,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；(3)连接小，由等腰三角形的性质 得 加 B =9 0 =N B E 4,设线段AB的中点为M ,得点P、E 都在以线段AB为直径的圆上，当PE=M=2 时，P E 取得最大值，此时四边形B E针是正方形，则四边形5 E F C 是矩形，即可求解.【详解】(1)PF=；E G,理由如下：;BE La,CFla,：.B E H C F ,BE=ZPCG,ZPEB=Z P G C,点尸为8 c 边的中点,:.PB=PC,:.lPBEPCG(AAS),:.P E=P G,-.-CFa,:.ZEFG=90,PF=-E Gf2故 答 案 为：PF=；EG；(2)(1)中 的 结 论 还 成 立，证 明 如 下：延 长E P交 小 的 延 长 线 于G,如 图2所 示：同(1)得：APBEAPCG(AAS),:.PE=PG,/.Z F G=90,:.PF=-E G；2(3)连 接AP,如 图3所 示：.A B =AC,点 尸 为BC边 的 中 点,;.BP=CP,APLBC.:.ZAPB=90,设 线 段A8的 中 点 为M,/BE J_ a,/.Z BE4 =90,点P、E都 在 以 线 段AB为 直 径 的 圆 上，当P E=AB=2时，PE取 得 最 大 值，此 时 四 边 形 班A P是 正 方 形,则 四 边 形3 EF C是 矩 形，AE也AB=,2四 边 形3 EF C的 面 积=2正 方 形BEAP的 面 积=2 x A E?=2 x 2 =4 .EB图2【点 睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.6.（2 0 2 2广东中山一模）在如图平面直角坐标系中，矩 形0/8 C的 顶 点8的 坐 标 为（4,2）,OA,OC分别 落 在x轴 和y轴 上，是矩形的对角线.将回。1 8绕 点。逆时针旋转，使 点8落 在y轴 上，得到k。与C 8相交于点尸，反比例函数y=-（x 0）的图象经过点R交 力5于 点G.x（1）求 发 的 值 和 点G的坐标；（2）连接尸G,则图中是否存在与鼬尸G相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证 明；若不存在，请说明理由；（3）在 线 段 以 上 存 在 这 样 的 点P,使得胪FG是等腰三角形.请直接写出点尸的坐标.【答 案】（1）4=2,点 G 的坐标 为（4,1 ）；（2）C OF B F G x A OB B F G-,W D E B F G-,C B OB F G,证明详见解析；（3）点 尸 的 坐 标 为（4-而，o）或（:，0）或（2 1叵，0）.【解 析】【分 析】（1）证明团C。用0/1 0 5,则三，=，求 得：点 尸 的 坐 标 为（1，2）,即可求解；A B OAA O 4 -=-（2）0 C O/T 3 0 5 F G；回/O 优冏8 E G；回。的 1 8 尸 G；C B O B F G.证 1 3 0/8 0 1 3 8 尸 G：=-,B G 3 3B F 3 即可求解.（3）分 G F=P F、P F=P G、GF=PG三种情况，分别求解即可.【详解】解：（1）回四边形O 4 8 C 为矩形，点 2的坐标为（4,2）,0 0 O C S=SOA B=EW 5 C=9 0 ,O C=A B 2,O/=5 C=4,E B O D E 是 回 0/8 旋转得至I 的，即：OD E B OA B,W C O F A O B,W C O F W A O B,团点尸的坐标为（1,2）,眇=&（x0）的图象经过点F,X0 2=Y ,得 仁 2,回点G在上，团点G的横坐标为4,对于歹=，当X=4,得、=不，团点G的坐标为（4,1）；（2）0 C O/T W F G；A O B m B F G；W D E B F G C B OW B F G.卜.面 对 目 O Z A t l Z BF G 进行证明：团点G的坐标为（4,1）,胡 G=；,0 5 C=O Z=4,C F=1,A B=2,M F=BC-C F=3,B G=A B -AG=-.2A O 4团-B F 3A B 2 4布 一 一 .2A O A B0-=-B F B G盟。4 8=团用6=90,团 回。力80MBG.（3）设点尸（加，0）,而点尸（1,2）、点G（4,g）,9 451则尸G?=9+=,PF2=（m-1）2+4,PG2=Cm-4）2+,4 44当G F=PF时，即 孚=（w-1）2+4,解得：加=2三变（舍去负值）;4 2当PF=PG时，同理可得：加=?：O当GF=PG时，同理可得：加=4-JTT;综上，点P的坐标为（4-8,0）或（孕，0）或d +四,0）.8 2【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到旋转的性质、三角形相似、等腰三角形的性质等，其 中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.7.（2022广东广州一模）如图，在矩形Z8CD中，AB=6,=8,点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长。C到点尸，使E C=2C F,且/尸与BE交于点G.当EC=4时，求线段8G的长:（2）设CF=x,E1GEF的面积为y,求y与x的关系式，并求出y的最大值:连接Q G,求线段。G的最小值.【答案】2百e 2 108融【解析】【分析】(1)先利用矩形的性质证明A4GB之AFGE(AAS),证得BG=G E,在后ABCE利用勾股定理求得BE的长,进而可求解；(2)设ZF与8 c交于点尸，过点G作GM_L3C于，利用相似三角形的判定和性质分别求得GM,PC,P M,最后求得C M,在 回GE尸中利用三角形的面积公式即可求解；(3)过点G作GNLC。，连接D G,则四边形CNGM是矩形，在&ADGN中,利用勾股定理求得QG?的最小值，进而得到答案.(1)解：回 四边形ABCD是矩形，AB=6,49=8,SAB=CD=6,AD=BC=8,ABCD,AD/BC,/BCD=90,S1ZBAG=ZF,EC=2CF,EC=4,0CF=2,0EF=CE+CF=6,SEF=AB.Z A G B =ZFGE,0MGBAFGE(A4S),0BG=GE,在 RtBCE 中，BE=JBC?+CE?=芯 +4=4百，SIBG=LBE=2 62解：设4斤与8 c交于点P,过点G作GMJ_8C于M,如图所示，S1CD/AB,AGEFSGBA,GE回 一=BGEFAB=6,EF=CE+CF=2x+x=3x,GE 3x x团-=一.BG 6 2团 GMJL3C,/BCD=90。,2 GM CE,CE BE BG+GE,_=_ _GM BG BG口 门 2x BG+GE.xGM BG 2团 GM=-x+2团 AO3C,中FCPsFDA,PC CF.PC x s _ _ 8x0=，即一=-，解得PC=-AD DF 8 x+6 x+6又国G M C E,AFCPsAGMP，4xGM PM nn TT?PMCF PC x 8xx+6.32x解得P匹2)(x司，回 CM=PM+PC=32x 8x(x+2)(x+6)x+68xx+21 1 Q y0y=S,r.=-EF.CM=3x.-J AC 2 2 x+212x2x+2眇 与 x 的关系式为:y=区,x+2圈点E 是。边上的一个动 点(点 E 不与点C 重合)，CE=2x,!302x6,BP0r/2AB=3y/2k,四边形ABC。，AEFG是正方形，：.ZAFH=ZACF,ZFAH=ZCAF,.-.AAFHMCF,AF FH,AC-CF FC 3/2 _ 3石FH=O=-【点本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键.9.(2022广东惠州模拟预 测)如图，在回A8C中，已知4?=AC=5,BC=6,S.ABCEDEF,将回ABC与(3 D E F重合在一起，0 A B C不动，0 D E F运动，并且满足：点、E在边B C上沿B到C的方向运动(点E 与 B、C不重合)，且OE始终经过点A,E F 与 A C 交于点、M .求证：S1ABEWECM；探究：在回D E/运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出B E的长；若不能，请说明理由；当线段AM最短时，求重叠部分的面积.【答案】见详解；(2加 的长为1或1：(3)当x =3时，AM最短为葭，SM E M-.【解析】【分析】(l)lt l 根据等边对等角，可得回8=团。又山Z U 8 5 A D E F与三角形外角的性质，易证得E 1 C E M=回历则可证得 M B 3 E C M;(2)首先由E W E F=M=i a C,且创M E I 2 C,可得1比/必然后分别从北=“与去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；首先设8 E=x，由 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例，易得CM=-m+3 =-(*-3)2+,继而求 得 的 值，利用二次函数的性质,即可求得线段的最小值,继而求得重叠部分的面积.(1)解：回AB=AC,团NB=NC,0AABC=ADF,0 Z 4 E F =Z B,又 E l Z AEF+N C E M =Z A E C =N B+Z B A E,ZBAE=Z C E M ,ABE 励 ECM；(2)解：0 Z A E F =Z B =Z C,_ E Z A A f f i Z C,Z A M E Z A E F,团 AE w AM；当A=EM 时，1 2 1 A ABE 邈 ECM；0 M BE=A E C M,CE=AB=5,BE=BCEC=6 5=1；当 A M=A Oq.，则 NM4E=NME4,Z MA E+A B A E =A M E A+A C E M,即 NC4B=NCE4,又团NC=NC,团 A C 4 E A C B A,CE AC团=,CA CB团 由 6-务综合BE的长为1 或1：0DBE解：设8 E=x,A B E A E C M ,C M C E C M 6-xa=,即=,B E B A x 51 3 CM+-X=-(X-3)2+-,5 5 5V 50 A M=5-G M=-(x-3)2+,5、512当x=3时，AM最短为,又回当8 E =x =3 =g8C时，点E为 B C 的中点,1 2 AE1BC,0 AE=/A B2-B E2=4 此时，E F A.A C,田E M =J C E2-CM，=L,【点此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题，此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键.1 0.（2 0 2 2 广东深圳模拟预测）【知识再现】学完 全等三角形 一章后，我们知道 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）是判定直角三角形全等的特有方法.【简单应用】如 图（1）,在距1 8C 中，0 5/C=9 O。，AB=AC,点、D、E分别在边/C、4 B上.若CE=BD,则线段/和线 段 的 数 量 关 系 是【拓展延伸】在a 48c 中，S B A C a(9 0 a ；【拓展延伸】(D相等,证明见解析；(2)A E -A D=2A C*co s(1 80-),理由见解析【解析】【分析】简单应用：证明尺血48由 侬。石(/辽)，可得结论.拓展延伸：(1)结论：4E=AD.如 图(2)中，过点C作。团 皿 交 历 1 的 延 长 线 于 过 点 N作 8 M 3 0交 C Z 的延长线于 M 证明回。M E B 44N (44S),推出 C M=8 N,AM=AN,证明 H 烟C M E 1 3R/0 8N。(Z J,推出EM=ON,可得结论.(2)如图(3)中，结论：A E -A D=2m co s(180 -).在力8 上取一点 ,使得 8 Z)=C?,贝 lj 4Z)=Z 过点 C作 C 70 Z E 于T.证 明T E=T E,求出Z T,可得结论.【详解】简单应用：解：如 图 中，结论：A E=A D.图理由：E E L 4=0 J=9 O。，A B A C,B D=C E,Z Rt A B D SRt A C E (H L),SA D A E.故答案为：AE=AD.拓展延伸:(1)结论：AE=AD.图理由：如 图(2)中，过点。作C朋 回 区4交 加 的 延 长 线 于 过 点N作交。的延长线于M团 团M=囱N=90,CAM=BANf CA=BA,BCAMBAN(AAS)9由CM=BN,AM=AN,酿M=囱N=90,CE=BD,CM=BN,R电CMER但BND(HL),mEM=DN,AM=ANfAE=AD.(2)如 图(3)中,结 论：AE-AD=2mcos(180-a).图(3)理由：在4 8上 取 一 点,使 得B D=C,则4。=4 ,过点C作C7a4E于7.回CE7=BD,CE=BD,0C=ClacraEF,M T=7F,L4T=ACcos(180-。)=7cos(180-。)，0JE-AD=AE-AE=2AT=2irfCQs(180-a).【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.1 1.(2 0 2 2 广东模拟预 测)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积5，邑，S3之间的关系问题 进行了以下探究：类比探究(1)如图2,在4 8 c 中，B C 为斜边，分别以A氏AC,3 c为斜边向外侧作RtZ A3,Rt/A C E,Rt B C F,若 N 1 =N 2 =N3,则面积，邑，邑之间的关系式为:推广验证(2)如图3,在R/AABC中，B C为斜边，分别以AB,4C,8c 为边向外侧作任意A8。，A C E,A B C F ,满足4 =N 2 =N 3,4 =ZE=ZF,则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用(3)如图 4,在五边形 AB C D E 中，N A =N E =N C =1 0 5 ,A B C =9(.),A B =2 下,E =2 ,点 P 在 A E 上，Z A B P =3O ,PE =4 i,求五边形A B C O E的面积.【答案】(1)S,=s,+s2；(2)结论成立，证明看解析；(3)6A/3+7【解析】【分析】(1)由题目已知班8、a4C E、0 5 C F、财5c均为直角三角形，又因为N l =N 2=N 3,则有R t A A B Da Rt A A C E R t B C F,利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，找到从而找到面积之间的关系；(2)在国48。、E W C E,回 8c 尸中，N 1 =N 2=N 3,Q =N E =N F,可以得至“ABOEIAACE 回 B C F ,利用相似三角形的面积比为边长平方的比，列出等式，从而找到面积之间的关系：(3)将不规则四边形借助辅助线转换为熟悉的三角形，过 点/作/8 P 于点，连接P),BD,由此可知 A P =#,B P =B H +P”=3+6,即可计算出 出，根据班即理m/硒 C B D,从而有S 阳,=5%眇(史)?山（2）结论有，5）8=%+5”加最后即可计算出四边形/8。的面积.【详解】（1）血1 8c是直角三角形，AB2+AC2=BCmA B D,A C E.El 8c/均为直角三角形，且N 1 =N 2=N 3,1 3 R t z M B DS R f A A C EEl R s B C F,S.A B2 S,A C20 =-r,=-r，S B C2 S?B C2S.S,S.+S2 A C2 A B2 A C2+A B2 B C2,5,S3 S 3 B C,B C2 B C2 B C2回句=$+邑得证.（2）成立，理由如下：回8 c是直角三角形，A B-+A C2=B C2,团在0 J8。、EL 4C E.勖C尸中，Z 1 =Z 2=Z 3,Z =Z E=Z F,0 A A B D回 AACEGI A B C F ,5,A B2 S,A C2团 =-r,=S3 B C2 S3 B C2.5,1 S2 _S,+S,A C2 1 A B2 A C2+A B2 B C2 1回工+g-S3 一 +记 一 B C i B C7-团邑=+昆得证.（3）过点力作4H_ L 5尸于点，连接P。，B D,S Z A B H =30 .A B =2后S1A H =B B H=3,/B A H=600 Z B A P =1 0 5 ,0 Z/M P =45 .S PH=A H=y/3,团 A P =,B P=B H +PH =3 +日c。B P A H（3+舟 曲 3 4+3PE =4 2,ED=2,P _ /2 _ 7|E D 2 有 A P 3 而 一 访 一 号 PE回 一=APEDAB团 N E =N 84P=1 0 5 ,团 EL 48宛团EO P,团 N P Z)=Z A P 8=45 ,PD PE 43而一而一3 a N BPD =90,PD=1 +6,3 6 +3 1 _G+1 23 2B P P D(3+6)(1 +扬-2-2=3 +2 0团 t an ZPBD=BP 3团 N P B D =30团/A B C =90、A B P =300 Z D B C =300 Z C =1 0 5 A B P E D P C B D3+3+1 +6圆 S&B C D=+S&E PD =i-2=2+2 6S 四 边 琢 B C D=S&B C D +S&A B P+SA E PD +SgPD =+个+(2+2-J 5)+(3+2/J)=6.+7 故最后答案为6 遥+7.【点睛】（1）（2）主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即可；（3）主要考查了不规则四边形面积的计算以及（2）的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键.12.（2022广东模拟预测）如图，R tS 48c中，回C=9 0。，B C=8cn t,A C=6 c m.点尸从8出发沿8/向工运动，速度为每秒1。相，点E是点8以尸为对称中心的对称点，点P运动的同时，点。从力出发沿N C向C运动，速度为每秒2 c/n,当点。到达顶点C时，P,。同时停止运动，设P,。两点运动时间为，秒.当/为何值时，尸0 8 C?（2）设四边形P Q C 8的面积为y,求y关于，的函数关系式；四边形P。面积能否是曲8 C面积的,？若能，求出此时/的值；若不能，请说明理由；当,为何值时，财。为等腰三角形？（直接写出结果）KC节 X【答案】/=右；（2）.y=-8/+24；（3）四边形PQ CB面积能是EW 8c面积的，此时/的值为5-J叵；当/为5 泮 子30 秒325秒时，A E Q为等腰三角形.【解析】【详解】试题分析：（1）先在RtBABC中，山勾股定理求出A B=10,再由BP=t,A Q=2t,得出A P=10-t,然后由PQ0BC,根据平行线分线段成比例定理得 出 第 一 罪，列出比例 式 器4，求解即可；（2）根据 S mPQCB=SAACB-SAAPQ=AC*BC-y APAQsinA,即可得出 y 关于 t 的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是13ABe面积 的.列出方 程 2-8 t+2 4=x 2 4,解方程即可：（4）团AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：AE=AQ；EA=EQ：Q A=Q E,每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可.试题解析:（1）Rt0ABe 中，00C=9O,BC=8cm,AC=6cm,0AB=lOcm.0BP=t,AQ=2t,0AP=AB-BP=lO-t.0PQ0BC,解得t=三30；（2）0S 四 边 形PQCB二SACB-SAAPQ:J AJBC-；AP AQ sinAi i 8 4 4y=-x6x8-yx（10-2t）*2 f =24-t（10-2t）=-t2-8t+24,4即y关于t的函数关系式为y=yt2-8t+24；3（3）四边形PQCB面积能是0ABC面积的，理由如下：由题意，得4 ）3-t2-8t+24=-x24,5 5整理，得t2 10t+12=0,解得匕 二5-加，t2=5+JB（不合题意舍去）.故四边形PQCB面积能是0ABe面积 的.此时t的值为5-V13；（4）EJAEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：如 果AE=AQ,那么10-2t=2t,解得t=g；如 果EA=EQ,那 么（10-2t）x A=t,解得t*;如 果QA=QE,那么2 tx=5-t,解得t=1.故当t为|5 秒、子30 秒、五25秒时，EIAEQ为等腰三角形.考点：相似形综合题.13.（2021广东惠州二模）如图，在 R 3/3C 中，E L4c8=90。，AC=8,BC=6,CQ0/18 于点。.点尸从点。出发，沿线段D C向点C运动，点。从点C出发，沿线段C 4向点/运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为f秒.求线段C D的长；设A C P。的面积为S,求S 与/之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻使得S A C P 0：S M B C=9：1 0 0?若存在，求出/的值：若不存在，则说明理由.是否存在某一时刻/,使得A C P。为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的/的值；若不存在，则说明理由.【答案】线 段 的 长 为 4.82 48 9(2)5=-/-+?；当/=一或 t=3 时，S L C P Q：S A A B C =9：1 0 05 25 5144 24存在，当,为 2.4 或 行 或 行 时，回 C P 0 为等腰三角形【解析】【分析】(1)利 用 勾 股 定 理 可 求 出 长，再用等积法就可求出线段8 的长；(2)过点P作 尸 曲 C,垂足为，通过三角形相似即可用f 的代数式表示P H,从而可以求出S Hr 之间的函数关系式；f l j f f l S CPQ：S z U 8 C=9：1 0 0 建立/的方程，解方程即可解决问题；(3)可分三种情况进行讨论：由 C0=CP可建立关于f 的方程，从而求出f；由 P 0=P。或 0 C=0P不能直接得到关于/的方程，可借助于等腰三角形的三线合一及三角形相似，即可建立关于f 的方程，从而求出/.(1)解：如图1.0EL4C5=9O,AC=8,BC=6,&48=10,aczxzws,SABCBC*AC=AB*CD,回 但 誓=篝=4 8回线段CD的长为4.8；解：过点尸作P他C,垂足为，如图2所示.由题可知。尸=3 CQ=t,贝lj CP=4.8-t,00JCS=0C)S=9OO,mHCP=90-0)。8=站,12PMC,EBCP=90,CHP=ACBf盟C”尸幽8 C 4PH PC0-=-,AC ABPH4.8-r1 0国 一=8朋团 S Q Q=QM=3 噗T)=-2家存在某一时刻，使得S z C 尸 0：S/5 C=9：1 0 0.a S 8 C=g x 6 x 8 =2 4,J g.SACPQ：SAABC=9：1 0 0,2 4 80 (-尸+/)：2 4=9：1 0 0.5 2 5整理得：St-2 4 f+2 7=0.即(5 Z-9)(/-3)=0.9解得：/=或，=3.团 0 4 4.8,Q团当，=1或才=3 时，SACPQ：SAABC=9：1 0 0；(3)解：存在.若。=。尸，如图1,则 r=4.8 -6解得:/=2.4；若P Q=P C,如图2所示.PQ=PC,P/1SQC,中 QH=CH=；QC=；,C H PBCA.CH CP0-=-,BC ABt_田 耳 _ 4.8-1,1 0解得:144 若QC=QP,过 点。作。0C P,垂 足 为E,如 图3所示.综上所述：当f为2.4或 大或 打 时，回CP0为等腰三角形.【点 睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键.14.（2021广东云浮一模）如 图，四 边 形 和 四 边 形G”都是正方形，点 同时是边8 c和/的中点，点/是 边/。的中点，点K是 边G J的中点，连 接8 ,FK.AFBGK JH E图1DC 如 图1,当/与8 c在同一条直线上时，直 接 写 出8与FK的数量关系和位置关系;正方形/B C D 固定不动，将 图