专题11《代数初步知识—式与方程（一）》（解析板）2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）.pdf

2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）专题1 1代数初步知识一式与方程（一）用字母表示数的意义和作用用字母表示数数量关系，运算定律和性质几何形体的计算公式用字母表示数的写法式与方程将数值代入式子求值简易方程等式的意义方程的意义等式与方程的关系一、用字母表示数1、用字母表示数的意义和作用用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式常见的数量关系 路程用s表示，速 度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：s=v t v=s/t t=s/v 总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系：a=bc b=a/c c=a/b运算定律和性质加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：a b=ba乘法结合律：（a b）c=a（bc）乘法分配律：(a+b)c=a c+bc减法的性质：a-(b+c)=a-b-c用字母表示几何形体的公式 长方形的长用a 表示，宽用b 表示，周长用c 表示，面积用s 表示。c=2(a+b)s=a b 正方形的边长a 用表示，周长用c 表示，面积用s 表示。c=4 a s=a2 平 行四边形的底a 用表示，高用h 表示，面积用s 表示。s=a h 三角形的底用a 表示，高用h 表示，面积用s 表示。s=a h/2 梯形的上底用a 表示，下底b 用表示，高用h 表示，中位线用m 表示，面积用s 表Z j os=(a+b)h/2 s=m h 圆的半径用r 表示，直径用d 表示，周长用c 表示，面积用s 表示。c=nd=2 r i r s=n r2 扇形的半径用r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用S 表示。s=n nr2/3 6 0 长方体的长用a 表示，宽用b 表示，高用h表示，表面积用s 表示，体积用v 表示。v=s h s=2(a b+a h+bh)v=a bh(9)正方体的棱长用a 表示，底面周长c 用表示，底面积用s 表示，体积用v 表示.s=6 a2 v=a3 圆柱的高用h 表示，底面周长用c 表示，底面积用s 表示，体积用v 表示.s 侧=chs 表=$侧+2 s 底 v=s h 圆锥的高用h 表示，底面积用s 表示，体积用v 表示.v=s h/33、用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时，乘 号 可 以 记 作，或者省略不写；数与数相乘，乘号不能省略。当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。数字和字母相乘时，将数字写在字母前面。在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。4、将数值代入式子求值 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。一、间勿万程1、等式：表示相等关系的式子叫等式。2、方程：含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时,方 程 才 成 立。一.用字母表示数磐-精讲精练【例1】（2019春泰兴市校级期中）一张长方形纸片，长 x 分米，宽 y 分米.如果从这张纸的一端剪下一个最大的正方形，剩下长方形的周长是（）分米.A.4y B.2x C.2（x+y）D.4x【解答】解：（y+x-y）x2=2x（分米）答：剩下纸片的周长是2x分米.故选：B.【变式1-1】（2019春新田县期末）如果f=2 x,那么x 不可能等于（）A.0 B.1 C.2【解答】解：假设）=，则，/=0 2=0,2 x =2 x 0 =0,0 =0,符合要求;假设*=1，则，V=F=1,2 x =2 x l =2,1#2,不符合要求；假设x =2,则，X2=22=4；2X=2X2 =4,4 =4,符合要求；故选：B.【变式1-2（2 0 1 9 秋东城区期末）一本书有7 8 页，小明每天看x 页，看了 4天，还剩_ 7 8-4 x页没看，当x =1 8 时，还剩 页.【解答】解：（1）还剩：7 8-4 x （页）.答：还剩7 8-4 x 页.（2）当工=1 8 时，7 8-4%=7 8-4 x 1 8=7 8-7 2=6（页）.答：还剩6页.故答案为：7 8-4 x：6.【变式1-3（2 0 1 9 秋汉川市期中）图中的空白部分是一个正方形.（1）用字母表示出空白部分的面积.（2）用字母表示出阴影部分的面积.（3）当 =4 cv n,b=6.2cm t b j*,求阴影部分的面积是多少？b2【解答】解：根据题干分析可得：（1）空白处的面积是：axa=a（平方厘米），（2）阴 影 部 分 的 面 积 是（平方厘米），（3）当“=4 cm,7 7 =6.2C T M 时，代入浦 a?即为：4 X6.2-4?=2 4.8-1 6=8.8 （平方厘米）所以当a =4 c，8 =6.2。”时，阴影部分的面积是8.8 平方厘米.答：空白处的面积是2平方厘米；阴影部分的面积是 一 片 平方厘米；当。=4 c?，b=6.2 c机时,阴影部分的面积是8.8 平方厘米.【变 式 1-4】（2 0 1 9 保定模拟）小华的集邮册里，每页贴。行邮票，每行贴b 张，一共贴了 x 页.（1）用含有字母的式子表示一共贴邮票的张数.（2）如果。=4,b=5,x =8 ,一共贴邮票多少张？【解答】解：（1）=（张）；答：x 页一共贴匕 张.(2)当 a =4,b=5,x =8 时,box=4 x 5 x 8 =1 6 0 （张）.答：一共贴了 1 6 0 张邮票.二.含字母式子的求值鹿 二习精讲精练【例 2】（2 0 1 9 北京模拟）已知a =0.1 ,是a 的 3 0 倍，c 是b 的 1 0 倍，那么6 x c+6 x b+2 0 x a 的结果是（)A.2 0 0 B.9 8 C.3 6 0 D.1 8 8【解答】解：0.1 x 3 0 =33 x 1 0 =3 06 x c+6 x Z?+2 0 x a=6 x 3 0 +6 x 3 +2 0 x 0.1=1 8 0 +1 8 +2=2 0 0答：6 x c+6 x b+2 0 x a 的结果是 2 0（）.故选：A.【变式2-1】（2 0 1 9 衡水模拟）已知。=8,。=9 时，3 a +2 b 的值是（）A.4 1 B.4 2 C.4 3【解答】解：把。=8,8 =9 代入式子3 a+2%可得，3cl+2b=8 x 3+2 x 9=2 4 +1 8=4 2；故选：B.【变 式2-2（2 0 1 9 春常熟市期末）昆虫爱好者发现某地蟋蟀叫的次数与气温之间有如下近似关系：/?=8 0（2）.【解答】解：据分析解答如下：（1）2X80；（2）10 0 +x =5 0 x 3 .故答案为：2 x 8 0 ,10 0 +x =5 0 x 3【变式3-4看图列方程，并求出方程的解.杨树苕,杏 树:遇4倍,柳 树:一”:T 桃树:：6 0 B.7.2 +8.3 =15.5 C.x +2 =7【解答】解：A、7 +5 x 6 0 不是方程，因为它是不等式而非等式；故本选项错误；B、7.2 +8 3 =15.5 不是方程，因为不含有未知数；故本选项错误;C、x+2=7 符合方程的定义，所以它是方程；故本选项正确.故选：C.【变式4-1（2017春南岸区校级期末）下面式子中，不是方程的是（）A.y=0 B.4 a-3=0 C.3x-8 D.14=3x+5【解答】解：A、，=,既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程;B、4-3 =0,既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；C、3-8,只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；14=3X+5,既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程.故选：。.【变式4-2 .（2019春淮安期末）下面的式子中，（）是方程.A.X+8 B.4y=2 C.x+815【解答】解：A、尤+8,只是含有未知数的式子，不是等式，所以不是方程；B、4y=2,是含有未知数的等式，是方程；C、x+8 2.5 D.8x=19【解答】解：A、3X+1.9=0,是含有未知数的等式，所以是方程.B、3机=，是含有未知数的等式，所以是方程.C、x+1.9 2.5,虽含有未知数，但它是不等式，所以不是方程.D、8X=1 9,是含有未知数的等式，所以是方程.故选：c.【变式4-4】.下面的式子，哪些是方程？哪些不是方程，为什么？4 1 1 7 x -x+-=4 2x-5.6+1.2x=48.5 5 2 64 1 x 一【解答】解：5 5,虽然含有未知数，但它是不等式，不是等式，所以不是方程x _ _=42 ,既含有未知数，又是等式，符合方程的意义，所以是方程2 X-5.6,虽然含有未知数，但它不是等式，所以不是方程7 +I.2 x =4 86 ,既含有未知数，又是等式，符合方程的意义，所以是方程.【变 式4-6】.下面的式子哪些是方程，在横线上画“Y”；哪些不是方程，在横线上画“O(1)x +9.1=4 4.3(2)7.5 x-12.8(3)6.7-1.3 x =6.3(4)0.6 x x 3 =12.4(5)5.3 x=10.8 x(6)4.2 +1.4 x =0.6.【解答】解：(1)X+9.1=4 4.3,是含有未知数的等式，所以是方程，丸(2)7.5 x T 2.8,只是含有未知数的式子，所以不是方程，X.(3)6.7-1.3X=6.3,是含有未知数的等式，所以是方程，(4)0.6 x x 3 =12.4,是含有未知数的等式，所以是方程，弋；(5)5.3X=10.8X,是含有未知数的等式，所以是方程，；(6)4.2 +1.4X=0,是含有未知数的等式，所以是方程，故答案为：x,4,4,7x-3=9；B、x-1 1 ；C x =0 ；D x +5 =0 ；E x +1 l是不等式，所以既不是等式，也不是方程；C、=是含有未知数的等式，所以既是等式，乂是方程；D、x +5 =是含有未知数的等式，所以既是等式，又是方程；E、x +1 是不等式，所以既不是等式，也不是方程；所以等式有7X-3 =9、X=0、X+5=0,方程有7X-3 =9、x =0、x +5 =0 .故答案为：A C D,A C D.【变 式5-3(2 0 1 4 秋香洲区校级月考)一个商店原有1 2 0 千克苹果，又运来了 1 0 筐苹果，每筐重。千克.(1)用式子表示出这个商店里苹果重量的总数.(2)根据这个式子，当a =2 5 时，商店一共有多少千克苹果？【解答】解：(1)1 2 0 +1 0%(2)当“=2 5 时，代人 1 2 0 +1 0”，1 2 0 +1 0 x 2 5=1 2 0 +2 5 0=3 7。(千 克)；答：商店一共有3 7 0 千克苹果真题强化训练一.选 择 题（共 5 小题）1.（2019春泰兴市校级期中）一张长方形纸片，长 x 分米，宽 y 分米.如果从这张纸的一端剪下一个最大的正方形，剩下长方形的周长是（）分米.B.2xC.2(x+y)D.4x【解答】解：（y+x-y）x2=2x（分米）答：剩下纸片的周长是2x分米.故选：B.2.（2019春淮安期末）下面的式子中，（）是方程.A.X+8 B.4y=2 C.x+815【解答】解：A、x+8,只是含有未知数的式子，不是等式，所以不是方程；B、4y=2,是含有未知数的等式，是方程；C、+8 l【解答】解：A、4%+3.2,含有未知数，但不是等式，不是方程；B、3x=0,是含有未知数的等式，是方程；C、3X-0.5 1,含有未知数，但不是等式，不是方程；故选：B.4.（2018昆明）贝贝今年a 岁，晶晶今年（a-5）岁，7 年以后两人相差（）A.6 岁 B.5 岁 C.11 岁 D.7 岁【解答】解：。一（-5）a-a+5=5（岁）；因为两人年龄同时增长，所以年龄差不变；故选：B.5.（2 0 1 8 春获嘉县月考）x x 0.2 5 O x +4,O里应填（）A.B.C.=D.无法比较x 4-4 =x x =x x 0.2 5【解答】解：因为 4所以x x 0.2 5 =x +4,。里应填“=”.故选：c.二.填 空 题（共 7小题）6.（2 0 1 9秋滩溪县期末）小林买4支钢笔，每支a 元；又买了 5本练习本，每本匕元.一共付出的钱数可用式子_ 4 a +5h元 来 表 示.【解答】解：买 4支钢笔花了：a x 4 =4 a （元），买 5本练习本花了：bx5=5b（元），一共需付出：4“+5 b元.故答案为：4+5 万元.7.（2 0 1 9北京模拟）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为x =3,则最后输出的结果是2 3 1 .【解答】解：把 工=3 代入程序流程得:3 x（3 +l）.-=626 1 0 0把 6 =3 代入程序流程得：6X（6+1）Q I22 1 1 0 0最后输出的结果是2 3 1.故答案为：2 3 1.8 .（2 0 1 9芜湖模拟）一辆轿车从温岭驶往上海，每小时行驶1 0 0 千米，行。小时后距上海还有50千米.温岭到上海共有_（1 0 0。+50）_千米，轿车到上海还需要行 小时.【解答】解：l O O x a +50=1 0 0 a+50 （千米）50 4-1 0 0 =0.5（小时）答：温岭到上海共有Q 0 +5）千米，轿车到上海还需要行0.5小时.故答案为：+0.5.9 .（20 1 9 春南京月考）小明从家到学校每分走7 5 米，a 分钟到学校；小华从家到学校每分走8 0米，分钟也到达学校，小明.小华的家和学校都在同一条马路上，则小明和小华家，最远相距1 55a _米，最近相距 米.【解答】解：小明从家到学校的距离:7 5x a =7 5a 9 米），小华从家到学校的距离：8 0 x a =8 0 a （米），8 0 a -75a=5a（米），8 0 a+7 5 =1 55a （米），答：明和小华家，最远相距又，米，最近相距1 55a 米：故答案为：1 55”，5a.1 0 .学校科技小组的男生是女生人数的4倍，设女生有x 人，男生有_4x_人，男女生共一人.【解答】解：4 =公（人）4 x +x =5x （人）答：男生有 人，男女生共5人.故答案为：4x,5x.1 1 .张师傅每天做“个零件，王师傅每天比张师傅多做1 0 个，王师傅5 天做的零件个数用式子表示是：_5a+50_.【解答】解：根据题干分析可得：（Q+10）X5=5 +50答：王师傅5 天做的零件个数用式子表示是54+50.故答案为：5“+50.1 2.操场上原来有1 0 个同学在跳绳，现在又来了。个人，又走掉了 b个人，现在操场上有_（1 0 +4-6）个人.【解答】解：1 0 +“-6 （人）答：现在操场上有（1 +-勿 个人；故答案为：（1 +吁 切.三.判 断 题（共 6 小题）1 3.（20 1 9 秋巨野县期末）等式一定是方程._x_（判断对错）【解答】解：因为只有含有未知数的等式才是方程；所以等式一定是方程的说法是错误的.故答案为：x.1 4.（20 1 8 秋永吉县期末）V表示两个x 相 加._x_.（判断对错）【解答】解：根据乘方的意义可知：V表示两个x 相乘，所 以“产表示两个工 相加”的说法是错误的.故答案为：x.1 5.（20 1 9 春宁乡市期末）如果4+6 =,，b 就是a 的 3 倍.7 .（判断对错）3 一【解答】解：因为如果“,一3,1a=bx-所以 31,1 1a+=bx+一3 3 3即 3a=b也就是方是”的 3 倍.故答案为：.1 6.（20 1 9 郴州模拟）方程一定是等式，等 式 却 不 一 定 是 方 程.V .（判断对错）【解答】解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式,但是等式不一定都含有未知数，所以原题说法是正确的.故答案为：17.（2017秋雁江区期末）如果A+3 A x 3,那么5 1._ Y _ （判断对错）【解答】解：当5小 于1时，A+5大于A,A xB小于A,所以A+5大于A x 5,所以原题说法正确.故答案为：18.a x人省略乘号写作中，8*6省略乘号写作8as._ x _ （判断对错）【解答】解：一位a x b省略乘号写作。为，但8x6省略乘号不能写作805.故原题的说法错误.故答案为：x.四.应 用 题（共3小题）1 9.节约用水，人人有责.为了鼓励市民节约用水，水费根据用水量分段收费，如表：你能求出“，。的值吗？用水量10立方米及以下超 过10立方米不超过15立方米的部分收费标准每立方米。元每立方米方元壮壮6立方米.女成东每月7初 住 家*A 比农 F 网*SJ方米.本 费 是 必 5七0【解答】解：。=21+6=3.5,因为淘淘家比壮壮家多用水5立方米，壮壮家用水6立方米,所以淘淘家用水6+5=11（立方米）10 x3.5=35（元），39.5-35=4.5（元）,4.54-（11-1）=4.5+1=4 5 (元)即 b=4.5由上可得，。=3.5,b =4.5.20.某地块有2 个居民小区，A小区有20 0 户居民，3小区有3 0 0 户居民，两个小区相距9 0 0 米.要在两个小区之间设立一个直饮水站，设置在哪里比较合理？(1)设直饮水站距离B小区x 米.当 x 取不同的值时，计算两个小区所有居民到直饮水站的距离之和.填表.X01 0 05 0 09 0 0距离之和/加(2)如果要让两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等，直饮水站应距离A小区多少米?(3)你认为直饮水站设置在哪里比较合理？【解答】解：(1)两个小区所有居民到直饮水站的距离之和=30X+200X(900-X)X01 0 05 0 09 0 0距离之和/机1 8 0 0 0 01 9 0 0 0 023 0 0 0 0270 0 0 0(2)设直饮水站应距离A小区。米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等.2(X)4 =3 0 0 x(9 0 0-4)20 0。=270 0 0 0-3 0 0 a5 0 0 a=270 0 0 0a=5 4 0答：直饮水站应距离A小区5 4 0 米时，两个小区的居民到直饮水站的距离之和相等.(3)假设直饮水站设置在距离B小区x 米处比较合理，设置在此处两个小区所有居民到直饮水站的距离之和最小，更方便大家的生活.S =3 0 0 x +20 0 x (9 0 0-x)S =3 0 0 x+l 8 0 0 0 0-20 0 x5 =1 8 0 0 0 0 +1 0 0 x当x =时，距离总和最小，更方便大家的生活.答：直饮水站设置在距离B小区处比较合理，设置在此处两个小区所有居民到直饮水站的距离之和最小，更方便大家的生活.故答案为：1 8 0 0 0 0,1 9 0 0 0 0,25 0 0 0 0,270 0 0 0.21.（20 1 5 泉山区）某地居民生活用电基本价格是每千瓦时a 元，若每月用电量超过1 20 千瓦时，则超出部分按每千瓦时b元计费.小 明家8月份用电1 1 5 千瓦时，交电费6 9 元；9月用电1 4 0 千瓦时，交电费9 4 元.（1）求“、。的值.（2）若小明家十二月所交付的电费为8 3 元，问：他家十二月份的用电量为多少千瓦时？【解答】解：（1）1 1 5 1 2,1 4 0 千瓦时分成两部分1 20 x 0.6 =72（兀）1 4 0-1 20 =20 （千瓦时）所以的 值是：（9 4-72）4-20=22+20=11（元）答：。的值是0.6,力的值是1.1.（2）1 20 x 0.6 =72（元）8 3 72（8 3-72）4-1.1=1 1 +1.1=1 （千瓦时）1 20 +1 0 =1 3 0 （千瓦时）答：他家十二月份的用电量为1 3 0 千瓦时.五.解 答 题（共 5小题）22.（20 1 8 春聊城期中）修路队要修1 8 0 0 米长的公路.（1）平均每天修机米，5天修了多少米？（2）当机=1 25 时，还剩多少米没有修？【解答】解：5，“（米）答：5天修了 5 机米.（2）把 1 25 代入5 加，得出5 x 1 25 =6 25 （米）1 8 0 0-6 25 =1 1 75 （米）答：还 剩 1 1 75 米没有修.23.（20 1 7秋温宿县校级月考）用含有字母的式子表示下面的数量关系.（1）比x的 2 倍少3的 数._ 2 x-3（2）一列火车每小时行78 千米，f小时行多少千米？（3）李庄川公顷的麦田，共收 千克的小麦，平均每公顷产小麦多少千克？（4）。与b的差除以4的商.（5）办公桌每张单价a 元，办公椅每把单价b 元，买加套办公桌椅共付多少元？.【解答】解：（1）比x的 2 倍少3的数是：2x-3（2）一列火车每小时行78 千米，小时行：78，（千米）（3）李庄根公顷的麦山，共收4千克的小麦，平均每公顷产小麦：。+加（千克）.（4）。与 的 差除以4的 商.（。一 0+4（5）办公桌每张单价。元，办公椅每把单价人元，买机套办公桌椅共付：（a +b）m（元）.故答案为：2X-3,78 r （千米），a-rn（千克），（”-）+4 ,（a+与 加（元）24.（20 1 6 秋隆林县期末）某小学书法教室的面积是a 平方米，舞蹈教室的面积是书法教室的2.8倍.（1）用式子表示舞蹈教室与书法教室的面积差.（2）当“=5 0 时，舞蹈教室比书法教室大多少平方米？【解答解：（1）ax 2.8-a=2.8 a-a=1.8（平方米）（2）当。=5 0 时.Sa=1.8 x 5 0 =9 0 （平方米）答：舞蹈教室比书法教室大9 0 平方米.25.（20 1 9 秋新泰市校级期中）水果店运来苹果箱，运来的香蕉比苹果的4倍还多16 箱.（1）运来香蕉多少箱？（2）运来的香蕉和苹果一共多少箱？（3）当”=8 0 时，运来的香蕉和苹果一共多少箱？【解答】解：（1）4。+1 6（箱）答：运来香蕉4。+16 箱.（2）4 a+16 +=5+16 （箱）答：运来的香蕉和苹果一共 +16 箱.（3）把。=8 0 代入5。+16=5 x8 0+16=4 00+16=4 16 （箱）答：当a =8 0时，运来的香蕉和苹果一共4 16 箱.26.（2018 春聊城期末）学 校“阳光体育运动”己经正式启动，学校准备为同学们购买跳绳130根,若每条跳绳x 元.（1）学校拿去1000元，应找回多少元？（用含有字母的式子表示出来）（2）若 x=7,计算一下应找回多少元？【解答】解：1 0 0 0 T 3 0 X（元）（2）把 工=7 代入1000-130X 中,得 1000-130 x=1000-130 x7=1000-910=9。（元）答：学校拿去1000元，应找回a 00-130 x）元；若 x=7,应找回90元