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研究高考试题提升解题能力黄山市歙州学校 巴忠平高三 年 级 的 数 学 教 学，特 别 是高三年 级 的 第 二、三 轮 的 复 习 教 学，它的教学目标已经不同于新授课的数学教学，也不同于第 轮 的 复 习 教 学，它应该着眼于“支 撑 学 科 知 识 体 系 的 重 点 内 容”，因 为 高 考 的 数 学 命 题 者 要“精心设计考查数学 主 体 内 容，体 现 数 学 素 质 的 试 题”。因 此，二、三 轮的复习工作应抓住核心内容 和 方 法，从 数 学 思 想 和 方 法 入 手，完 成 构 建 知 识 网 络，提 升 解 题 能 力 为 目 标。其 实，无 论 是 构 建 知 识 网 络，还 是 提 升 能 力，最终的目标还是以提高学生的应 试 能 力，取 得 令 人 满 意 的 考 试 结 果 为 目 的。因 此，如何提高学生分析问题和解决 问 题 的 能 力，是 当 前 摆 在 高 三 数 学 教 师 面 前 最 突 出 的 问 题，每一位高三的老师在 自 己 的 教 学 实 践 中 都 有 着 自 己 一 套 行 之 有 效 的 方 法，同 时 因 为 学 情 各 异，面对不 同 的 学 生 也 有 不 同 的 应 对 方 法。在 这 里，我 本 人 就多年从事 高 三 毕业教学过程中 的 一 点 思 考 和 做 法 提 出 来 和 各 位 老 师 交 流，我 期 望 通 过 和 各 位 老 师 的 交 流，找到 更 合 适 有 效 的 方 法，使 我 们 的 工 作 更 有 成 效，使 更 多 的 学 生 受 益。我 们 在 平 常 的 解 题 教 学 中，志 在 求 知，为 培 养 学 生 能 力，应 尽 量 避 免“解题套 路”，而 着 重 于 学 生 能 力 的 培 养，故 应 多 发 散，但 在 高 考 的 考 场 上，学生在两个 小 时 内 要 完 成 一 张 试 卷，时 间 紧、任 务 重，为 完 成 得 分 任 务，在遇到熟悉问题时，应 考 虑“套”、“搬”、“借”，而 一 张 高 考 试 卷 不 可 能 题 题 都 创 新，可 以“套”、“搬”、“借”的 题 目 应 该 不 在 少 数。因 此，在 二、三 轮 的 复 习 中，帮助学生建立一些常规的解题模板，使 学 生 在 解 题 时 对 常 规 题 做 到 有 理 可 据、有型可依也是我们 的 教 学 目 标 之 一。怎 样 去 构 筑 解 题 模 板 呢？我 想 高 考 考 什 么、怎 么 考，最直接的信息应来源于历 年 的 高 考 试 题。因 此，研 究 高 考 试 题，从历年高考试题中去提炼解题模板应该是 最 直 接、最 有 效 的 途 径 了。下 面 我 就 以 函 数 及 其 导 数 为 例，剖析近儿年的高考试 题，揭 示 考 查 的 核 心 关 键，建 立 起 解 题 模 板，希 望 通 过 这 样 一 个 实 例，给大家提 供 一 个 基 本 模 型。先 看 下 面 的 例 子：(20 13全 国 新 课 标(I)卷 第21题)设函数 f(x)=x2+a x+b,g(x)=e*(cx+d).若曲线 y=/(x)和曲线 y =g(x)都过点P(0,2),且在P处存在相同切线y =4x+2(1)求a,b,c,d的值；(2)若x N-2时，/(x)-2,F(x)0;.-.F(0)=2 k-2 0 k lF(x)=2 kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)F (x)=0 =X j=-lnZ,尤2=一2k 左 K0当 x e (-2,-lnZ:)时F(x)0,尸(x)在(-2,-I nk)上单减，在(-nZ,+oo)上单增/3=b(-I nk)=lnk(2-lnk)N 0即当x N 2时,F(x)0即/(x)4口(x)恒成立k=e 2 时F(x)=2 e2(x+2)(/-e2)当 x-2 时，F(x)0,F(x)在(-2,+o o)上单增，F(x)P(2)=0f(x)4%g(x)恒成立1k e2,则F(-2)=-2 ke-2+2=-2 e-2(k-e2)-2时/(%)4七(x)不可能恒成立综 上，k el,e2再看一例(20 10 年山东第22题)-a 1已知函数/(x)=lnx a r +-1,(1)当。一时，讨论了(x)的单调性；x201(2)设 8(幻=/一 2 +4,当。=时，若对0 玉3 2)存在1,2 使/(占)2 832),求实数匕的取值范围。八/八 、a ax1 x+(1 a)八分析：(1)/(x)=a-=-*-,x 0X X X这样的流程是不是具有普遍性，在解题过程是不是好使，我们再来看看0 9-13年安徽的导数考题20 0 9年(1 9)(本 小 题 满 分12分)已 知 函 数/(x)=x-2+i_ a nx,a0,讨 论/(x)的单调性.X本 小 题 主 要 考 查 函 数 的 定 义 域、利 用 导 数 等 知 识 研 究 函 数 的 单 调性，考 查 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 和 运 算 求 解 的 能 力。本 小 题 满 分12分。解：/*)的 定 义 域 是(0,+8),八%)=1+/一q=-+2X X X设g(x)=/_ 如+2,二 次 方 程g(x)=0的 判 别 式A =、一8.当 八=。2一8 0,即0 a 0都 有 广(x)0,此 时 了(%)在。+8)上 是 增 函 数。当 =/一8=0,即a =28时，仅对尤=后 有r(x)=0,对 其 余 的x 0都有:(x)0,此 时/(x)在(0,+)上 也 是 增 函 数。当 =。2一8 0,即。2/时，方 程g(x)=0有 两 个 不 同 的 实 根 玉=匕 尹,=手1,0 /In 2-1 且 x 0 时，ex x2 2ax+1 0(17)(本小题满分12分)本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.(I )解：由/(z)=e*-2x+2a,xER 知广(Z)=e*-2,x e R.令/G)=0,得z =ln2.于是当工变化时,/(x),f(z)的变化情况如下表:X(-oo,In 2)In 2(In 2,+oo)r(x)-0,+KG单调递减2(1-ln2+a)单调递增7故/(工)的单调递减区间是(-8 ,I n 2),单调递增区间是(I n 2,+),/(%)在工=I n 2处取得极小值，极小值为/(I n 2)=eh 2-21n 2+2a =2(1-I n 2+a).(H )证：设g(x)=e*+2a x-l,x e R.于是g，(x)=/-2工+2a,x W R由(I )知当 a ln2-l 时,g (x)最小值为 g，(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意工E R.都有g (x)0,所以式乃在R内单调递增.于是当a i n 2-1时,对任意工6(0,+8),都有g(x)g(0).而g(0)=o,从 而 对 任 意(0,+8),g(工)o.即 e*-x2+lax-1 0,故 e*/-2 a x +1.2 0 n 年（1 6）（本小题满分1 2 分）设/（%）=_-，其中。为正实数1 +Q X（I ）当Q=g时，求/（X）的极值点;（I I）若/（X）为R上的单调函数，求。的取值范围。（16）（本小K 满分12分）本题与化林数的诏算.物值点的判断.导散符号南数小调性之间的关系.东第一元二次不等式导播本知识.等 运算求解能力.粽合分析和解决同盟的徙力.解:对/U）求导得/.1/OT-24U/(jr)c-，(!)(I)当。时.若/(x)=O.则4-8 3=0.解得_3结 合 I所以.（II）若/U）为 R 卜的冷调雨数.则/0.知ox-2ax+1#0fF R 上忸成立.因此=4/7,X40.知0 0)aex(I)求/(X)在 0,+8)上的最小值;3(I I)设曲线y =/(x)在点(2 J(2)的切线方程为丁二万九；求力的值。【解析】(I)设 f =e(f 2 1)；则 y =+/?=1at ar ar当a 2 1时，0 =y =+/?在f 2 1上是增函数at得：当f =l(x =0)时，/(x)的最小值为a +ba当0。2-st-bat当且仅当G=l(Z =ex=-,x=-I n a)时，f(x)的最小值为。+2a(I I)f(x)=aex+0=fr(x)=aex aex aex/二二321 .cic H-+Z?=3a_2_2由题意得：，3 =O,e八2);-2a e2 -1 =3、ae 2b-22013年(1 7)(本小题满分12分)设 函 数f(x)=o x-(l +1)/,其中。(),区 间/=x(x)0 .(1)求/的 长 度(注：区间(a,夕)的 长 度 定 义 为a )；(2)给定常数上e(0,l),当1 +女时，求/的长度的最小值。解：(1)因为方程以一(1 +/)2=()(4 0)有两个实根 =0,4=，,故/(幻 01 +。的解集为 x l x。)。令d (a)=0，得a =1。由于Z e (0,1),l +a(1 +a )故当火 -1 4 a l 时，d (a)0,d(a)单 增;当 l V a 4 1 +k 时，d(a)0,d(a)单减。所 以 当l-k 4 a 4 1 +%时，d(a)的最小值必定在4 =女1或a =l +Z处取得。1 kT d Q k)l +(i)2 2-k2-k3,而-=,=-3?1d(l+k)1+:2-k2+k31 +(1+17故 d Q k)0）由尸（、）=0有两不等正实根得X X =Q2 80 0 =t z 2 /24F(0)=2 x02-tz x0 +l 0c/一 2、ax+a-)1(2)由 h(x)=x2-a x+I n-得(x)=2尤 一a d-=-G-,1 2 a x 4-1 Q X+1 2A _ p.Q-_2 ,a_2 6/1 2 1 1q h(x)=0 X j=0 或 z=-，由 a (1,2)%2 =-=-二一2 a-2。2 a 2 2 2hx在 L 1 上单增，.力1 mx (x)=/?=1 一 a +I n 竺L a e(1,2)。22只要以1 _4 2)0 对 V a e(1,2)恒成立。_,2 ka+2 ka-a a(2 ka+2 k-l)+2 ka=-=-F l a +1 。+1令(p(a)=0 =a =0 或 2 ka+2%-1 =0综上可得:左,+应即为所求。4本题有一定的综合性，头绪多，学生得分情况不理想，但用上面的模去套，则条理清晰，完成本题则不困难。从上面的例子可以看出，只要我们认真去研究高考试题，仔细揣摸命题意图，高考的命题规律还是有迹可循的，在二、三轮复习中，将高考试题的解题规律呈现给学生对提高学生的解题能力，提升学生的自信心是很有帮助的。
