一元二次方程问题综合（解析版）-苏科版2022年初三数学一模（期末）压轴题汇编30题.pdf

【玩 转 压 轴 题】类 型 一：一 元 二 次 方 程 问 题 综 合(解 析 版)学 校:姓 名：班 级：考 号：一、单 选 题 3 1 11.实 数 X满 足 V 3 2=一 3,则 X+上 的 值 为()X X XA.3 B.0 C.3 或 0 D.3【答 案】A【分 析】由 炉-3*+2=3-二，去 分 母 可 得：/-3/+2/-3+1=0,利 用 分 组 分 解 法 可 得：x x(X2+1)(X2-3X+1)=0,从 而 可 得：X2-3X+1=0,从 而 可 得 答 案.【详 解】3 1解：*.*x 3 x+2=-,X Xx4-3x3+2x2=3 x-l,x4 3x+2x 3x+1=0,/-1+(-3/-3x)+(2 f+2)=0,(x2+1)(x2-1)-3x(x2+1)+2(x2+1)=0,.(X2+1)(X2-1-3X+2)=0,/.(X2+1)(X2-3X+1)=0,f+1 0 o,x 3x+1=0,X工 0,x 3 4=0,X1 cX4=3.X经 检 验：x+=3符 合 题 意.X故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 的 是 解 分 式 方 程，利 用 因 式 分 解 的 方 法 解 高 次 方 程，分 式 的 求 值，掌 握 分 组 分解 法 分 解 因 式 解 方 程 是 解 题 的 关 键.2.用 X表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数，则 方 程 f-2x-3=0 的 解 的 个 数 为()A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【分 析】由 于 x2x,所 以 可 把 方 程 x2-2x-3=0写 成 2x=x2-3,可 得 不 等 式 2x 2司,求 得 x 的 取 值 范 围.再 将 X 的 取 值 范 围 分 为 5 类 求 解 即 可 进 行 选 择.【详 解】解：因 为 xNx,方 程 变 形 为 2X=X2-3,2xx2-3,解 此 不 等 式 得：-10XW3.现 将 x 的 取 值 范 围 分 为 5 类 进 行 求 解(1)-lx0,则 原 方 程 化 为 x2-l=0,解 得 x=-l；(2)0 xl 则 x=0,原 方 程 化 为 X2-3=0,无 解；(3)lx2,则 x=l,原 方 程 化 为 x2-5=0,无 解；(4)2 x 3,则 因=2,原 方 程 化 为 x2-7=0,解 得 x=；(5)x=3显 然 是 原 方 程 的 解.综 合 以 上，所 以 原 方 程 的 解 为-1,不,3.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 了 含 取 整 函 数 的 方 程，任 意 一 个 实 数 都 能 写 成 整 数 与 非 负 纯 小 数 之 和，即：x=x|+x.解 题 的 关 键 是 确 定 x 的 取 值 范 围，从 而 得 到 x的 值.注 意 分 情 况 进 行 讨 论.试 卷 第 2 页，共 6 4页3.如 果 关 于 x 的 方 程-2=匕 与 有 正 数 解，且 关 于 x 的 方 程 皿 2_2&x-l=0有 2-x x-2两 个 不 相 等 的 实 数 根，则 符 合 条 件 的 整 数，的 值 是（）A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1【答 案】A【分 析】先 由 分 式 方 程 的 解 为 正 数，求 解 山 的 范 围，再 由 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根,求 解，的 范 围，结 合 机 为 整 数，从 而 可 得 答 案.【详 解】去 分 母 得：l-2（2-x）=-l+/nr,：.（2-rn）x=2,因 为 方 程 有 正 数 解，所 以 加*2,2x=-,1-m2 m 0,w2,综 上：，/2 1+4”?0,且“7 X,.机-2 且/n w 0,综 上：-2加 2 旦 加 且 切 片 0，又 因 为 m 为 整 数，故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 的 是 分 式 方 程 的 解 及 解 分 式 方 程，一 元 二 次 方 程 的 定 义 及 根 的 判 别 式，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.4.如 图，AOA4，AA4冬,&纭，是 分 别 以 A，A,为 直 角 顶 点，一条 直 角 边 在 X 轴 正 半 轴 上 的 等 腰 直 角 三 角 形，其 斜 边 的 中 点 G(ax),G(超，%)，【答 案】A【分 析】根 据 点 G 的 坐 标，确 定 尹，可 求 反 比 例 函 数 关 系 式，由 点 G 是 等 腰 直 角 三 角 形 的 斜 边 中 点，可 以 得 到 0 4 的 长，然 后 再 设 未 知 数，表 示 点 C2的 坐 标，确 定”，代 入 反 比 例 函 数 的 关 系 式，建 立 方 程 解 出 未 知 数，表 示 点 C3的 坐 标，确 定”，然 后 再 求 和.【详 解】解：过 Cl、C2、C3分 别 作 X 轴 的 垂 线，垂 足 分 别 为。I、2、3.则/O(1C1=NOD 2c2=/0。3c3=90,.三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形，：.ZAtOB=45,：.ZOCD=45,.OD=CD,4其 斜 边 的 中 点。在 反 比 例 函 数 y=一 上，X：.C(2,2),即 yi=2,:.ODi=DiA=2t尸 2。0 尸 4,4设 4)2=，则 此 时。2(4+m)，代 入 y=得：a(4+)=4,x解 得：4=2 0-2,即：”=2近-2,同 理：第=25/3 2A/2，)4=2/4 2/3，试 卷 第 4 页，共 6 4页)2O21=2V2021-2V2020,二+)2+.+券 021=2+2 s/2-2+2 6-2&+.+2V202T-2J2020=2V202I，本 题 考 查 反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质、反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征、等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 一 元 二 次 方 程 的 解 法 等 知 识，通 过 计 算 有 一 定 的 规 律，推 断 出 一 般 性 的 结 论，得 出 答 案.45.某 数 学 小 组 在 研 究 了 函 数 y产 x 与 y2=一 性 质 的 基 础 上，进 一 步 探 究 函 数 丫=力+丫 2x的 性 质，经 过 讨 论 得 到 以 下 几 个 结 论：函 数 y=yi+y2的 图 象 与 直 线 y=3没 有 交 点；函 数 y=yi+y2的 图 象 与 直 线 y=a只 有 一 个 交 点，则 a=4；点（a,b）在 函 数 y=yi+y2的 图 象 上，则 点（一 a,b）也 在 函 数 丫=丫|+丫 2的 图 象 上.以 上 结 论 正 确 的 是（）A.B.C.D.【答 案】B【分 析】先 求 出 函 数 y=%+12的 解 析 式，再 与 直 线 y=3联 立，看 方 程 组 是 否 有 解 即 可 得；联 立 函 数 y=y+%和 直 线 y=。的 解 析 式，根 据 只 有 一 个 交 点 可 得 相 应 的 一 元 二 次 方 程 只 有 一 个 实 数 根，由 此 即 可 求 出 a 的 值；根 据 点（。为）在 函 数 y=y+%的 图 象 上 可 得 4 4a+-=b,从 而 可 得-“+=-6，由 此 即 可 得 出 答 案.a-a【详 解】4由 题 意 得：y=Ji+?2=x X 4、，、y=x+联“X,）=3整 理 得：X2-3 X+4=0,此 方 程 根 的 判 别 式 为=(-3)2-4 x lx 4=-7.函 数=%+%的 图 象 与 直 线 y=a 只 有 一 个 交 点，二 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程-以+4=0 只 有 一 个 实 数 根，,此 方 程 根 的 判 另 1 式=(-a)2-4 x lx 4=0,解 得 a=4,则 结 论 正 确；4 点(出 与 在 函 数=%+必=*+的 图 象 上，x4,:.a+=b,a4,-a H=-b,-a点(-a,-力 也 在 函 数 y=X+必 的 图 象 上，则 结 论 正 确：综 上，结 论 正 确 的 是，故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 综 合、一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 等 知 识 点，熟 练 掌 握 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 是 解 题 关 键.6.如 图，在 R h 4 5 c中，ZABC=90,A B:3 c=1:2.点。是 A C上 一 点，连 接 BQ,将 沿 折 叠 至 B C D.连 接 AC,AC/BC,AE平 分/R 4 C 交 6 C 于 点 E.若 AC,=43+,则 AE 的 长 为()A.近 B.五+1 C.8 D.V6+1【答 案】A试 卷 第 6 页，共 6 4页【分 析】作 EFJ_AC EG J_A B,通 过 勾 股 定 理 AB?+AC。=3。?，求 出 AB,BC,的 长 度，E 是 NBAC,的 角 平 分 线，得 出 AGEF为 正 方 形，利 用 正 方 形 性 质 及 勾 股 定 理 即 可 求 出 答 案.【详 解】解：作 EFJ_AC EGJ_AB,由 题 得 NABC=90。，AB:BC=l:2,ACHBCA ZB AC=90,BC=BC,；.A B：BC=1:2,ZAC B=30,ZABC=60,又 AC=6+I，；AB2+AC2=BC2AB2+AC2=4AB2.*.AB=l+.B C=2Afi=2+3 3；A E是/B A C 的 角 平 分 线；.EG=EF,；四 边 形 AGEF为 正 方 形 设 AG=x,：.FA=AG=GE=EF=xFC=A/3+1x,C E=2xEF2+CF2=C E2x?+（石+1x）=4x2解 得 x=1或 x=-26（舍 去）；.x=l,即 FA=AG=GE=EF=1A E为 正 方 形 AGEF的 对 角 线 AE=-/l+l=5/2.【点 睛】本 题 主 要 考 查 折 叠 的 性 质 正 方 形 的 性 质 及 勾 股 定 理 的 应 用，解 题 关 键 在 于 做 出 辅 助 线,得 出 AGEF为 正 方 形.7.如 图，在 等 腰 内 作 正 方 形 使 点 D,E,F 分 别 在 边 AC,A3,8 C上，在 正 方 形 DEBF中 依 次 作 正 方 形 JIHG和 正 方 形 LMNO使 J L H E B.若 正 方 形 LMNO和 正 方 形 G 的 面 积 分 别 为 1和 2 5,则 阴 影 部 分 面 积 为（）AEBA.25 B.C.D.752 2【答 案】B【分 析】首 先 求 出 正 方 形 LMNO和 正 方 形 的 边 长，再 求 出 正 方 形 8ED尸 的 面 积，从 而 得 到 边 长，同 时 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 4 E和 C K利 用 勾 股 定 理 求 出 BH1、A EIJ、DGJ、的 直 角 边 长，最 后 利 用 三 角 形 面 积 公 式 计 算 即 可.【详 解】解：；正 方 形 和 正 方 形 的 面 积 分 别 为 1和 25,MN=NO=OL=LM=1,JI=IH=HG=JG=5,四 边 形 BEDF是 正 方 形,SDEBA-2SA E+2SA DGJ+2sA FGH+2sA BHI+SMNOL=25X 2-1=49,：.DE=DF=BE=BF=1,；ZVIBC是 等 腰 直 角 三 角 形，.NB4C=N3CF=45,NAED=NDFC=9。,AEQ filA DFC是 等 腰 直 角 三 角 形，:.AE=DE=DF=CFW,由 题 意 可 知：/FGH,：.BH=EI=DJ=GF,BI=EJ=DG=HF,设 8/=x,BH=1-x,则 x2+（7-x）2=52,试 卷 第 8 页，共 64页解 得：户 4 或 3,即 8/=E/=QG=HF=4,BH=EI=DJ=GF=3,；阴 影 部 分 面 积=SA AU+SA CHG.=-x A Ix E J+-x C H x F G2 2=x l0 x 4+xl 1x32 2_73-T故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理，正 方 形 的 面 积，解 题 的 关 键 是 理 解 题 意，读 懂 图 形，找 到 图 中 面 积 和 线 段 之 间 的 转 化 关 系.8.如 图，在 正 方 形 A8CD中，边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 A功 的 顶 点 反 厂 分 别 在 8 C和 CD上，下 列 结 论：C E=C F；=75。；8 E+O F=EF；S正 方 形 48co=2+6，其 中 正 确 的 序 号 是（）【答 案】A【分 析】根 据 正 方 形 的 性 质 可 得 N BAD=ZB=ZD=90。，AB=AD=BC=CD,然 后 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 AE=AF,Z E A F=6 0,然 后 利 用 H L即 可 证 出 RtA ABE丝 及 A D F,从 而 证 出 BE=DF,/B A E=/D A F,即 可 判 断；先 求 出/B A E,根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 判 断；证 出 AE，2 B E,即 可 判 断；设 正 方 形 的 边 长 为 x,求 出 C E,最 后 利 用 勾 股 定 理 列 出 方 程 即 可 求 出 x,从 而 判 断.【详 解】解：；四 边 形 ABCD为 正 方 形 二 NBAD=NB=ND=90,AB=AD=BC=CDv A A E F为 等 边 三 角 形，AE=AF,ZEAF=60在 R S ABE 和 R S ADF 中 AOAEAFARtA ABERtA ADF，BE=DF,ZBAE=ZD AFB C-B E=C D-D F：.C E=C F,故 正 确；./B A E=N D A F=g(Z B A C-Z E A F)=15N AEB=90。-Z BAE=75。，故 正 确；在 R S ABE 中，ZBAE/3O0二 AE#2BE：.E F B E+D F,故 错 误；设 正 方 形 的 边 长 为 x,VCE=CF,ZC=90,EF=2.C E F为 等 腰 直 角 三 角 形 二 ZCEF=45，C E=0贝 U B E=B C-C E=x-V 2在 R S ABE 中，AB2+B E2=AE2x2+(x V 2)2=22解 得：x尸 虫 捶,x2=0 一(不 符 合 实 际，舍 去)2 2S正 方 形 A B C O=/=2+G，故 正 确 综 上：正 确 的 有.故 选 A.【点 睛】此 题 考 查 的 是 正 方 形 的 性 质、等 边 三 角 形 的 性 质、全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质、直 角 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理，掌 握 正 方 形 的 性 质、等 边 三 角 形 的 性 质、全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质、直 角 三 角 形 的 性 质 和 勾 股 定 理 解 直 角 三 角 形 是 解 决 此 题 的 关 键.9.如 图，在 矩 形 A BCD中，AB=14,BC=7,M、N 分 别 为 AB、C D的 中 点，P、Q 均 试 卷 第 10页，共 6 4页为 C D边 上 的 动 点（点 Q在 点 P左 侧），点 G 为 M N上 一 点，且 PQ=NG=5，则 当 MP+GQ=13时，满 足 条 件 的 点 P 有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个【答 案】D【分 析】分 三 种 情 况 讨 论：当 在 N 的 两 侧 时，设 QV=X,则 PN=5-X,当 P,Q在 N 的 右 侧 时，设 QV=x,当 P,。都 在 N 的 左 侧 时，设 QN=x,再 利 用 勾 股 定 理 与 平 方 差 公 式 求 解 x,从 而 可 得 答 案.【详 解】解：如 图，当。/在 N 的 两 侧 时，设 QN=x,则 PN=5-x,矩 形 ABC。，M、N 分 别 为 AB、C O的 中 点，四 边 形 A D V M,四 边 形 M N C8都 是 矩 形，PQ=NG=5,BC=7,A5=14,:.M N=BC=7,由 勾 股 定 理 得：=4 9+（5 X）2,QG：=25+X 2,:.P M2-Q G-=(PM+QG)(P M-Q G)=4 9-10 x,-.PM+QG=3,：.P M-Q G=49-lO x13.2PM=13+49-lO x13.-.PM=l W5-,Q G=60+5x1360+5x13|=X2+25,整 理 得：1 44x2-600.r+625=0,.(12X-25)2=0,如 图，当 P,Q在 N 的 右 侧 时，设 QN=x,解 得“这 不 合 题 意 舍 去，如 图，当 只 Q 都 在 N 的 左 侧 时，设 QN=x,同 理 可 得：加=5 等,。6=丝 浮 解 得：%不 合 题 意 舍 去，12综 上：满 足 条 件 的 P 点 只 有 1个，故 选：D【点 睛】本 题 考 查 的 是 矩 形 的 性 质 与 判 定，勾 股 定 理 的 应 用，平 方 差 公 式 的 应 用，一 元 二 次 方 程 的 解 法，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.1 0.如 图，直 线 A 8与 坐 标 轴 交 于 4 3 两 点，。4=3,OB=.若 将 直 线 AB绕 点 A逆 时 针 旋 转 45。后 交 x 轴 于 点 C,则 点 C 到 直 线 AB的 距 离 是（）试 卷 第 12页，共 6 4页yAA.2710 B.4 C.-yflO D.士 如 4 5【答 案】C【分 析】过 点 C 作 C D，A 3于 点。，八 4 8 为 等 腰 直 角 三 角 形，A D=CD,BD=A B AD.BC边 用 面 积 法 推 导，最 后 在 心 中，利 用 勾 股 定 理 求 解 即 可.【详 解】ZA)C=90,/直 线 4 8 绕 点 A逆 时 针 旋 转 45Z)AC=45，ZZMC=45A D=CD在 RT AAOB 中，OA=3,OB=1AB2 OB2=10AB=y0又：AB.CD=B C O A.R r Vio r n3在/?以 3。中：BC2=B D2+CD2设 CD=x,则 BO=A B-A O=M-X,BC=X3；.呼 外 2=(加 化 简 得：4X2-9 A/10X+45=0解 得:芭 而；(舍)，亚 g|j：co-Vio4故 选：c【点 睛】本 题 考 查 勾 股 定 理，等 角 对 等 边、一 元 二 次 方 程 的 解 法 等 知 识 点，根 据 相 关 内 容 列 出 等 量 关 系 是 解 题 关 键.二、填 空 题 1 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，O 为 坐 标 原 点，反 比 例 函 数 y=&(k 0)的 图 象 上 有 两 点 XA,B(点 A 在 B 上 方)，直 线 A B的 解 析 式 为 y=k，x+1 8.在 第 一 象 限 内 有 一 点 C(8,12),NACB=90。，若 ABC和 AB O的 面 积 相 等.则 k 的 值 为.【答 案】日 或 等.【分 析】分 当 点 C 和 O 在 A B的 两 侧 和 同 侧 两 种 情 形 分 别 求 解 即 可.【详 解】解：分 两 种 情 形 讨 论：(1)当 点 C和。在 A 8的 两 侧 时，如 图 1中，过 点 C作 C E V A B 于 E,连 接 O C 交 AB于 尸.设 直 线 A 3交 y 轴 于 点 M,交 x 轴 于 点 M 取 A 8的 中 点 G,连 接 C G.过。作 于 点 D.试 卷 第 14页，共 6 4页：SABc=-AB-CEf S ABO=-A B-O D,且 A3。和 A 50 的 面 积 相 等，CE=OD：ZFEC=NFDO=90。,ZEFC=NDFO,二 E F g X D F O(A4S),CF=OF,：0(0,0),C(8,12),*F(4,6),直 线 A B的 解 析 式 为 y=kfx+Sf k=-3,直 线 A B的 解 析 式 为 y=-3x+18,.M(0,18),N(6,0),G是 A B的 中 点，GA=GB,:AM=BN,(这 个 一 般 结 论 的 证 明 如 下：构 造 如 图 所 示 的 图 形，四 边 形 PQ O H是 矩 形,:PQ/OM,一=一,b n*PH/ON,/,/cl如 图，：=?,?=?,(其 中 S 是 矩 形 PQ。”的 面 积),a k h k：.G(3,9),V ZACB=90f GA=G C:.CG=AG,设 A(m,-3m+18),则 有(m-3)2+(-3?+18-9)2=(8-3)2+(12-9)2,解 得,”=3-遮 或 3+姬(舍 弃)，5 5当,”=3-返 时，-3，+18=3(3+返)，5 5”=(3-姬)x3(3+姬)=%5 5 5(2)当 点。和 点。在 A 3 的 同 侧 时，如 图 2 中，由 题 意 可 得 OC AB,VC(8,12),直 线 AB：y=/x=18,3 直 线 A B 的 解 析 式 为 y=1x+18,：.M(0,18),N(-12,0),9：GA=GB1 AM=BN,：.GM=GN,：.G(-6,9),试 卷 第 16页，共 6 4页 NACB=90。，GA=GB,：.AG=CG,3 3设 A（m,一 m+18）,则 有（机+6）2+（一 加+1 8-9）2=（8+6）2+（1 2-9）2,2 2.的/古、/8 4 528.k的 值 为 工-或 方.故 答 案 为 为 5 或.【点 睛】本 题 考 查 反 比 例 函 数 的 性 质，一 次 函 数 的 性 质，解 一 元 二 次 方 程 等 知 识，掌 握 运 用 分 类 讨 论 的 思 想 解 决 实 际 问 题 成 为 解 答 本 题 的 关 键.12.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 A、B分 别 在 x轴、y轴 上，线 段 OA、0 8 的 长（0 4 0 8）是 关 于 x 的 方 程 V-18x+72=0 的 两 个 实 数 根，C 是 线 段 的 0 8 中 点.（2）若 P是 直 线 A C上 的 点，求 平 面 内 使 0、A、P、Q 为 顶 点 的 四 边 形 是 菱 形 的 点 Q坐 标.【答 案】y=-x+6（3,-3）或（-3&,3 4）或（3 4，-3五）或（6,6）【分 析】（1）求 出 一 元 二 次 方 程 的 根，得 到 0A,0 B,从 而 得 到 点 C 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 求 解；（2）分 0 A 为 对 角 线 和 边 分 别 讨 论，画 出 图 形，再 结 合 菱 形 的 性 质 求 解.【详 解】解：（1）方 程 N-8 X+7 2=0,因 式 分 解 得：（x-6）（=0,解 得:xi=6,X2-12,即 0A=6,OB=12,即 A(6,0),B(0,12),是 线 段 的。8 中 点,；.OC=6,即 C(0,6),设 直 线 A C 的 解 析 式 为 y=kx+h,则 0=6k+b6=6,解 得:k=-b=6*,直 线 A C 的 解 析 式 为 y=-x+6；（2）若 为 菱 形 的 对 角 线,如 图，四 边 形 OHAQi为 菱 形,则 Pi和 Qi在 O A 的 垂 直 平 分 线 上,AC的 解 析 式 为：y=-x+6,：.ZOAC=45,贝 ijNCAQ=90,此 时 菱 形 OPAQi为 正 方 形，又 OA=6,：.Qi(3,-3)；若 O A 为 菱 形 的 边,当 四 边 形 OAP20为 菱 形 时,AP2/OQ2,OQi=OA=6,ZCAO=ZDOQz=Z COQ=45,=3后,-02(-3 0,3亚);当 四 边 形 OAP3Q3为 菱 形 时,同 理 可 得：（3 4，-3 A/2）:当 四 边 形 O4Q4c为 菱 形 时，此 时 点 P 和 点 C 重 合,则/AOC=90,则 此 时 菱 形 O A Q C 是 正 方 形,：.QA(6,6)；综 上：点。的 坐 标 为（3,-3）或（-3&，3&）或（372-3&）或（6,6）.试 卷 第 1 8页，共 6 4页故 答 案 为：y=-x+6；（3,-3）或（-3&，3拒）或（3亚，-3&）或（6,6）.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 待 定 系 数 法 求 函 数 的 解 析 式，解 一 元 二 次 方 程，菱 形 的 性 质，正 方 形 的 判 定 和 性 质，掌 握 待 定 系 数 法 求 一 次 函 数 解 析 式 的 一 般 步 骤、灵 活 运 用 分 情 况 讨 论 思 想 是 解 题 的 关 键.1 3.如 图，在 正 方 形 A BCD中，边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 A E F的 顶 点 E、F 分 别 在 BC和 C D上，下 列 结 论：BE+DF=EF；C E=C F；N A E B=75。；四 边 形 ABC。面【答 案】【分 析】由 正 方 形 的 性 质 得 Z B=Z D=9 0,由 等 边 三 角 形 的 性 质 得 则 可 判 断 阳 A8E丝 A D F,得 至 凡 Z B A E Z D A F,力 口 上 N E A F=6 0,易 得 N8AE=ZDAF=5,利 用 互 余 得 N A B=75。，则 可 对 进 行 判 断；由 于 CB=CD,BE=DF,则 CE=CF,于 是 可 对 进 行 判 断；先 判 断 C E F为 等 腰 直 角 三 角 形 得 到 C E=C F=X ZE F,设 正 方 形 的 边 长 为 x,在 放 ABE中 利 用 勾 股 定 理 得 x,则 可 计 算 出 BE+D凡 即 可 判 断 错 误；然 后 利 用 正 方 形 面 积 公 式 可 对 进 行 判 断.【详 解】四 边 形 A 8 C O 为 正 方 形，：.AB=ADf ZB=ZD=90,;A所 为 等 边 三 角 形，：.AE=AF=EF=2f NEA/=60。，AB=AD.JzB=Z=90AE=AF：.4 8%A M；BE=DF,/BAE=/DAF,VZEAF=60,：.ZBAE=ZDAF=5f：.ZAEB=90o-ZBAE=75t 即 正 确:CB=CD,:.CB-BE=CD-DF,：.C E=C F,即 正 确；CE广 为 等 腰 直 角 三 角 形，：.C E=C F=E F=4 2设 正 方 形 的 边 长 为：尤，则 放 A3E 中，AB2+BE2=AE2f：.X2+(X-V2)2=22解 得：制=正 域，初=变 二 色(舍 去)，2 2:.BE+DF=2(x-亚)=2 心 坯-丘)=#-夜 彳 2,即 错 误；2四 边 形 ABC。面 积=/=幅;=2+6，即 正 确.故 答 案 为：.【点 睛】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形、正 方 形、等 边 三 角 形、等 腰 三 角 形、勾 股 定 理、一 元 二 次 方 程、直 角 三 角 形 两 锐 角 互 补、二 次 根 式 的 知 识；解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 全 等 三 角 形、正 方 形、等 边 三 角 形、勾 股 定 理、一 元 二 次 方 程 的 性 质，从 而 完 成 求 解.14.如 图，AA O B 两 个 顶 点 4-2,-1),8(1,2)在 反 比 例 函 数 图 象 上，若 点 P 是 第 一 象 限 内 双 曲 线 上 一 点，且 AP8=2SOS，则 P 点 的 坐 标 为.试 卷 第 2 0页，共 6 4页【答 案】冲 号)或 3)【分 析】先 求 出 S OB,再 讨 论 点 尸 在 点 B上 方 与 下 方 两 种 情 况 求 解.【详 解】解：设 A 8所 在 直 线 为 将 4-2,-1),3(1,2)代 入 得:-l=-2 k+b2=k+b，解 得 k=lb=l/.y=x+l.当 y=o时，x=T,直 线 与 x 轴 交 点 为(-1,0).。1/、3SN O B(力 一 力)，SM P B=2sM0 8=3.,.-2x(-1)=1x2=2,2 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y=一，X设 点 尸 横 坐 标 为 加，则 纵 坐 标 为 一 2，即 点 P 坐 标 为(皿 42).mm 当 点 P 在 点 8 上 方 时，作 P C平 行 于 y 轴 交 A 3于 点 C,将 x=m代 入 y=X+l得=机+1,0点 C 坐 标 为（孙 加+坐 1 1 2S A P B=-（xB-XA）（）-）=T x（I+2）（_ _ m-）=3,2 2 m解 得?=如 或 初=会 叵（舍）.2 2,2 屈+3-,m 2二 点 户 坐 标 为（土 2叵，丝 虫）.2 2 延 长 A 0 交 双 曲 线 与 点 尸，右 对 称 性 可 知。为 中 点,:.A P=2AO,-S PB=25AAa,.点。坐 标 为（21）.故 答 案 为：（马 姮，号。）或（2）.【点 睛】本 题 考 查 反 比 例 函 数 的 应 用，解 题 关 键 是 掌 握 三 角 形 的 水 平 宽 与 铅 锤 高 求 面 积 的 方 法.15.如 图，双 曲 线）=：（b 0）与 线 段 A 8 交 于 点 A（l,）、C 两 点，点 8 坐 标 为 B（a+l,O）,A C连 接 OA,AOA?的 面 积 为 6,则=.2【答 案】j.【分 析】将 已 知 点 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 中，得 到。=火,通 过 三 角 形 面 积 的 表 示 得 到 关 于“的 一 元 二 次 方 程，求 解 出 和 女 的 值，得 到 反 比 例 函 数 解 析 式 以 及 A、8 点 的 坐 标，通 过 待 定 系 数 法 求 出 直 线 A 8 解 析 式，进 一 步 求 得 交 点 坐 标，最 后 根 据 两 点 间 距 离 公 式 求 得 对 应 线 段 长 再 求 解 即 可.【详 解】试 卷 第 22页，共 64页解：将 点 A（La）代 入 y 中，得。=心 线 段 0 B 的 长 度 OB=4-1,设 048的 茴 为 h,则 h=a,S,OAB=g OB.h=；x(a+1)X a=6解 得：6=3,a2=-4（舍 去）,a=k=3,，双 曲 线 y=2,A（l,3）,B（4,0）,X X设 直 线 A 3 的 解 析 式 为：y=cx+d,3=c+d 4,0=4c+d，解 得 c=-ld=4则 直 线 A 8 的 解 析 式 为：y=-x+4,令-X+4=3,x得：%=1,彳 2=3,令 x=3代 入 y-x+4中，得：y=l,.C（3,l）,二 AC=7（l-3）2+（3-l）2=，B=7（l-4）2+（3-0）2=V18，nillAC _ 瓜 _2血 _ 2AB V18 3V2 32故 答 案 为：【点 睛】本 题 主 要 考 查 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 综 合 应 用、解 一 元 二 次 方 程 与 二 元 一 次 方 程 组 等 知 识 点，其 中 利 用 三 角 形 的 面 积 求 解 出 系 数 k 的 值 是 解 题 的 关 键.16.折 纸 艺 术 发 源 于 中 国，它 是 一 种 将 纸 张 折 成 不 同 形 状 图 案 的 艺 术 活 动，在 数 学 中 也 有 不 少 折 纸 活 动.如 下 图 是 将 正 方 形 纸 片 折 叠 成 了 领 带 形 状 的 折 纸 过 程.其 步 骤 为：先 将 8 边 沿 C F 折 叠，。点 的 对 应 点 为“，再 将 B C 沿 C D 折 叠，使 得 8 点 恰 好 落 在 C尸 边 上 的 B处 折 痕 与 A 8 边 交 于 E.若 正 方 形 边 长 为 石，连 接 防，则.AEF的 面 积=AA【答 案】2-7 3【分 析】设 AE=x,BC=G-x,根 据 折 叠 的 性 质 表 示 出 RtADEF各 边，利 用 勾 股 定 理 列 出 方 程,解 之 即 可 得 到 A E,利 用 三 角 形 面 积 公 式 计 算 即 可.【详 解】解：由 折 叠 可 得 图 象，是 正 方 形，EC,F C 平 分 N3CD,ZBCF=zLECF=ZFCD=30.设 4 E=x,BC=6-x，由 折 叠 性 质 可 得：EB，=BE=g-x,V ZB=90,NBCE=30,EC=2BE=2(C-x).由 折 叠 性 质 可 得，E,尸 在 同 一 水 平 上，/.AE=AF,FD=yf3-x,且 尸=。尸=V 5-X,DC=DC=g,ED=EC-DC=6-2 x,在 RCOEF 中，E F=D F+D E，EF=y/2x.DF=6-X，E=G-2 X，(疯 y=(6-+(6 _ 2,2,试 卷 第 24页，共 6 4页解 出 玉=1+石（舍 去），1,X-yfi 1：.S F=Y AE-AE=X2=2-y/3.故 答 案 为：2 G.【点 睛】本 题 考 查 了 折 叠 的 性 质，勾 股 定 理，正 方 形 的 性 质，一 元 二 次 方 程，解 题 的 关 键 是 熟 练 运 用 折 叠 的 性 质 得 到 相 应 边 的 关 系.1 7.如 图，在 正 方 形 A8CO中，A8=6,E 是 对 角 线 A C上 的 一 点，连 结 8 E,过 点 E 作 E F L B E 交 A D 于 点 F.ABCE和 AAF的 面 积 分 别 为 豆 和 邑，若 2=3邑，则 C 的 长 为 _.【答 案】2拒【分 析】连 接 E Q,过 E 作 MN_LBC于 N,交 于 M,推 出 MN=CD=6,D M=C N,证 明 CDE/XCBE,得 到 ED=EB,Z E D C=Z E B C,再 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 证 明 ED=EF,说 明 NEC是 等 腰 直 角 三 角 形,设 NE=NC=x,分 别 表 示 出 S,和 S2,根 据 2Si=3Sz得 到 方 程，解 之 即 可 得 到 CE.【详 解】解：连 接 E,过 E 作 MN_L8C于 M 交 A于；四 边 形 4 8 c o 是 正 方 形，AB=BC=CD=AD=6,N A B C=Z BCD=Z A D C=Z DAB=90,.Z 1=Z2=45O,；MN 上 BC,ZENC=ZENB=90t 四 边 形 MNCO是 矩 形，:MN;CD=6,DM=CN,NDME=90。,在。后 和 4 C B E中,CD=CB Z2=Z1,CE=CE:A C D E咨 4 C B E(SAS),：.ED=EB9/E D C=N E B C,*：ZCDA=ZCBA=90：./CDA-/EDC=N CBA/EBC,即 NADE=NABE,V E F1B E,ZFEB=90f：N FEB+N DAB+NAFE+N ABE=360。,ZAFE+ZABE=360-Z FEB-ZDAB=180,.*ZAFE+ZEFD=180,，NABE:NEFD,：./A D E=/E F D,:ED=EF,ZDME=90,：.E M lD Ff：.DM=MFf在 A NEC 中,Z l=45,N EC是 等 腰 直 角 三 角 形，设 NE=NC=x,则 CE=DM=MF=CN=x,：.AF=AD-DM-MF=6-2xfME=MN-EN=6-x,：.S=BC EN=x 6 x x=3x f 52 AF-EM=1(6-2 x)(6-x)=x2-9x+18,25,=352,试 卷 第 26页，共 6 4页2.3X=3(X2-9 X+18),解 得：x,=2,x2=9(舍),CE f2x=2/2,故 答 案 为：2夜.【点 睛】本 题 考 查 了 正 方 形 的 性 质，等 腰 直 角 三 角 形 的 判