2021-2022年高三上学期期末数学试题(解析版).pdf

高三上学期期末数学试题高三上学期期末数学试题一、单选题一、单选题1 1若命题甲：若命题甲：x1 0，命题乙：，命题乙：lg2xlgx 0，则命题甲是命题乙的（，则命题甲是命题乙的（）A A充分非必要条件充分非必要条件C C充要条件充要条件【答案】【答案】A【解析】【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.【详解】解：当x1 0，即x 1时，lg2xlgx lg21lg1 0，故命题甲可推出命题乙；当lg2xlgx 0，可得x 1或x 10，故命题乙不可以推出命题甲,故命题甲是命题乙的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.2 2已知函数已知函数f1(x)为函数为函数f(x)的反函数，且函数的反函数，且函数f(x 1)的图像经过点的图像经过点(1,1)，则函数，则函数B B必要非充分条件必要非充分条件D D非充分也非必要条件非充分也非必要条件f1(x)的图像一定经过点（的图像一定经过点（）A A(0,1)【答案】【答案】B【解析】【解析】先求出函数f(x)的图像必经过点，然后即可求出函数f1(x)的图像一定经过点.【详解】解：函数f(x 1)的图像经过点(1,1)，则函数f(x)的图像经过点(0,1)，则函数f1(x)的图像一定经过点(1,0)，故选：B.【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题3 3以抛物线以抛物线y2 4x的焦点为右焦点，且长轴为的焦点为右焦点，且长轴为 4 4 的椭圆的标准方程为（的椭圆的标准方程为（）第 1 页 共 17 页B B(1,0)C C(1,2)D D(2,1)x2y2A A11615【答案】【答案】Cx2y2B B1164x2y2C C143x2D D y214【解析】【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中a,b的关系，再根据长轴长可得椭圆a，进而可求出b，即可得椭圆的标准方程.【详解】22xy解：有已知抛物线y 4x的焦点为(1,0)，设椭圆方程为221，ab2则a2b21，又由已知a 2，所以b2 3，x2y2故椭圆方程为1，43故选：C.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.4 4动点动点A(x,y)在圆在圆x2 y21上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是间恰好是 1212 秒，已知时间秒，已知时间t 0时，点时，点A的坐标是的坐标是(3 1,)，则动点，则动点A的纵坐标的纵坐标y关关22于于t（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）A A0,3【答案】【答案】D【解析】【解析】先根据题意：已知时间t 0时，点A的坐标是(B B3,6C C6,9D D9,123 1,)，得xOA0，322t，利用三角函数的6再依据每 12 秒运动一周得出点A每秒旋转的角度，从而t秒旋转定义即可得出y关于t的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.【详解】解：根据题意，第 2 页 共 17 页得xOA 3，点A每秒旋转2，126所以t秒旋转t，A0OA t,xOA t，6663y sinxOA sint 则36令2 2k6t 32 2k,k Z，解得：512k t 112k,k Z，经检验：当k 1时，7 t 13，故 D 符合，故选：D【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题二、填空题二、填空题5 5若集合若集合A x|0 x 3，集合，集合B x|x 2，则，则A【答案】【答案】(0,2)【解析】【解析】直接利用交集的概念运算即可.【详解】解：由已知AB _B x|0 x 2，故答案为：(0,2)【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.2n26 6lim2_n3n 1第 3 页 共 17 页【答案】【答案】232n22lim2 lim【解析】【解析】将原式变形为n3n 1n1，进而直接求极限即可.32n【详解】2n222lim2 lim解：n3n 1n13，32n2故答案为：3【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.7 7已知复数已知复数z满足满足iz 1i（i为虚数单位）为虚数单位），则，则z.【答案】【答案】2.【解析】【解析】试题分析：因为iz 1i，所以z 1i i1,z 2，也可利用复数模i的性质求解：iz 1i i z 1i z【考点】复数的模2.x y 1y8 8若关于若关于x、的方程组为的方程组为，则该方程组的增广矩阵为，则该方程组的增广矩阵为_x y 2111【答案】【答案】112【解析】【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.【详解】111解：由题意可得方程组的增广矩阵为，112故答案为：【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.9 9设设an是等差数列，且是等差数列，且a13，a3a518，则，则an_【答案】【答案】2n 1【解析】【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出an.111.112第 4 页 共 17 页【详解】解：设等差数列an的公差为d，则a3a5 a12d a14d 18，又a13，d 2，an 2n1，故答案为：2n 1.【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.1 1010在在x的二项展开式中，常数项的值为的二项展开式中，常数项的值为_x 6【答案】【答案】15【解析】【解析】写出二项展开式通项，通过6【详解】r3r61rr6rr22二项展开式通项为：C6x6rC6xxC6xx r3r 0得到r 4，从而求得常数项.2当63r 0时，r 424常数项为：C615本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.1111已知圆柱的底面半径为已知圆柱的底面半径为 1 1，母线长为，母线长为 2 2，则其侧面积为，则其侧面积为_._.【答案】【答案】4【解析】【解析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为 2，根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为S 2rl 212 4.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.第 5 页 共 17 页1212已知集合已知集合A 2,1,1,2,3，任取，任取k A，则幂函数，则幂函数f(x)xk为偶函数为偶函数的概率为的概率为_（结果用数值表示）（结果用数值表示）【答案】【答案】1 1 12 3 214【解析】【解析】首先找到使幂函数f(x)xk为偶函数的所有k，然后利用概率公式求解即可.【详解】解：要幂函数f(x)xk为偶函数，则k 2,2，故使幂函数f(x)xk为偶函数的概率为故答案为：【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.1313 在在ABC中，中，边边a、b、c满足满足ab 6，C 120，则边则边c的最小值为的最小值为_【答案】【答案】3 3【解析】【解析】利用a2b2(a b)22ab和余弦定理得出c2 36ab，利用条件求出ab的最大值，代入c2 36ab，即可得边c的最小值.【详解】解：由已知c2 a2b22abcos120(ab)22abab 36ab21，8414 ab 6ab 9，22c2 369 27，22c 3 3，故答案为：3 3【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.1414若函数若函数y ax2a 1 x2存在零点，则实数存在零点，则实数a的取值范围是的取值范围是_【答案】【答案】0,33【解析】【解析】将函数y ax2a 1 x2存在零点转化为f(x)ax2,g(x)1x2第 6 页 共 17 页图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a的取值范围.【详解】解：设f(x)ax2,g(x)1x2，则函数y ax2a 1 x2存在零点等价于f(x)ax2,g(x)1x2图像有交点，如图：函数f(x)ax2的图像恒过点(2,0)，当其和函数g(x)1 x2的图像相切时，a 12213，33，3所以f(x)ax2,g(x)1x2的图像有交点时0 a 故答案为：0,【点睛】33本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.1515已知数列已知数列an，a11，nan1(n1)an1，若对于任意的若对于任意的a2,2，nN N*，不等式不等式an1 3a2t恒成立，则实数恒成立，则实数t的取值范围为的取值范围为_n1【答案】【答案】(,1an1an111【解析】【解析】由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可n1nn(n1)nn1得an1，再由不等式恒成立问题可得2 3 a2t恒成立，转化为最值问题可得实数t的n1取值范围【详解】第 7 页 共 17 页解：由题意数列an中，nan1(n1)an1，即nan1(n1)an1则有an1an111n1nn(n1)nn1an1 an1an anan1 an1an2 1则有a2a1a1n1n1nnn1n1n22111 1111 1 1)1 2 2nn1n1nn2n12n1又对于任意的a2,2，nN N*，不等式an1 3a2t恒成立，n1即2 3 a2t对于任意的a2,2恒成立，a2t1，a2,2恒成立，22t1 t 1，故答案为：(,1【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将nan1(n1)an1变形为1616如果方程组如果方程组值是值是_【答案】【答案】90【解析】【解析】当n 90时，用方程（2）减去方程（1）的 45 倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从n 90开始分析，当n 90，我们可以取x1,x2,an1an11n1nnn1sinx1sinx2 sinxn 0有实数解，则正整数有实数解，则正整数n的最小的最小sinx12sin x2 nsinxn 2019,x90使sin xi 1(i 1,2,45)，sin xj1(j 46,47,90)得出方程组的实数解，进而可得正整数n的最小值.【详解】如果n 90，对于方程组sinx1sinx2 sinxn 0(1)sinx12sin x2 nsinxn 2019(2)用方程（2）减去方程（1）的 45 倍，得第 8 页 共 17 页44sin x143sin x2（3）sin x44sin x462sin x47(n45)sin xn 2019（3）式的左端的绝对值不大于(44 43 1)2 1980，因此（3）式不可能成立，故原方程组当n 90时无解；从n 90开始分析，当n 90，我们可以取x1,x2,x90使sin xi 1(i 1,2,sin xj1(j 46,47,45),90)(sinx12sin x2 nsinxn)max 123 454647 90 2025则sinx12sin x2 nsinxn 123 424304404546047048 49 90 2019时，nmin 90故答案为：90.【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现n 90时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.三、解答题三、解答题1717如图，四棱锥如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，的底面是正方形，SD 平面平面ABCD，SD AD a，点，点E是线段是线段SD上任意一点上任意一点.（1 1）求证：）求证：AC BE；.（2 2）试确定点）试确定点E的位置，使的位置，使BE与平面与平面ABCD所成角的大小为所成角的大小为 3030【答案】【答案】（1）证明见解析（2）当ED 6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为303第 9 页 共 17 页【解析】（1）连结BD，通过证明AC 平面SBD，即可得AC BE.另外可以利用空间向量证明线线垂直；（2）由SD平面ABCD可得BE与平面ABCD所成角为EBD，ED t，在RtEDB中可求出t值，即可得到点E的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.【详解】（1）证明：连结BD，因为四边形ABCD为正方形，所以，AC BD，又因为SD平面ABCD，AC 平面ABCD，AC BD所以AC SD由AC SDAC 平面SBDBDSD D又因为BE 平面SBD，所以AC BE（2）解法一：设ED t，因为SD平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角为EBD在RtEDB中，由tanEBD tan30t6 t a2a3所以，当ED 6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为303解法 2：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D0,0,0，Aa,0,0，Ba,a,0，C0,a,0第 10 页 共 17 页设DE t,则E(0,0,t)则AC a,a,0，BE a,a,t因为ACBE a2a20 0，所以AC BE;（2）取平面ABCD的一个法向量为n 0,0,1因为BE a,a,t，可知直线BE的一个方向向量为d a,a,t设BE与平面ABCD所成角为，由题意知30d与n所成的角为，则cosd nd nta a t222，t11，因为sin cos，所以，2a2a2t22解得，t 6a3当ED【点睛】6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为303本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题.1818已知函数已知函数f(x)2cos2x3sin2 x.（1 1）求函数）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；的最小正周期及单调递增区间；（2 2）在）在 ABC中，中，BCBA 6，若函数，若函数f(x)的图像经过点的图像经过点(B,2)，求，求 ABC的面的面积积.【答案】【答案】（1）周期T，单调递增区间k,k,kZ（2）3 336【解析】【解析】（1）将函数f(x)整理为f(x)2sin2x1，进而可求出周期，令62 2k 2x62 2k,k Z，求出x的范围，即可得函数f(x)的单调递增区间；（2）由函数f(x)的图像经过点(B,2)可求出B，再根据BCBA 6，可求出ac，利第 11 页 共 17 页用面积公式即可求出ABC的面积【详解】解：（1）由已知f(x)cos2x13sin2x 2sin2x16T 令2,2 2k 2x262 2k,k Z，得k3 x k6,k Z所以函数f(x)的单调递增区间为k,k,kZ；36f(B)2sin2B1 2 B 6（2）由已知，30 B 又BC BA accos3 6 ac 12，SABC【点睛】113acsin B 12 3 3222本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.1919某贫困村共有农户某贫困村共有农户 100100 户，均从事水果种植，平均每户年收入为户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.81.8 万元，在当地万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定政府大力扶持和引导下，村委会决定20202020 年初抽出年初抽出5x户（户（xN N*，x 9）从事水果）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%，而从事水果销售的农户平均每户年收入为而从事水果销售的农户平均每户年收入为(31x)万元万元.5（1 1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.42.4 万元，那么万元，那么20202020 年年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2 2）若一年后，该村平均每户的年收入为）若一年后，该村平均每户的年收入为f(x)（万元）（万元），问，问f(x)的最大值是否可以达的最大值是否可以达到到 2.12.1 万元？万元？【答案】【答案】（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到2.1万元，详见解析【解析】【解析】（1）首先得出种植户的平均收入1.8(14x%)3，得不等式1.8(1第 12 页 共 17 页x3)2.4，25解不等式即可得出答案;xx5x(3)1.8(1005x)(1)（2）得出该村平均每户的年收入为525，利用二f(x)100次函数的性质求出最大值.【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为1.8(14x%)3因而由题意1.8(1x3x4)2.4，得13 x 2.516125325由xZ x 3,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作.xx5x(3)1.8(1005x)(1)（2）5251(34x266x180)(xN*,x 9)f(x)100100255对称轴x 165N*，34因而当x 5时，f(x)max 2.12 2.1可以达到2.1万元【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.2020已知曲线已知曲线C:x2 y21，过点，过点T(t,0)作直线作直线l和曲线和曲线C交于交于A、B两点两点.（1 1）求曲线）求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离；的焦点到它的渐近线之间的距离；（2 2）若）若t 0，点，点A在第一象限，在第一象限，AH x轴，垂足为轴，垂足为H，连结，连结BH，求直线，求直线BH倾倾斜角的取值范围；斜角的取值范围；（3 3）过点）过点T作另一条直线作另一条直线m，m和曲线和曲线C交于交于E、F两点，问是否存在实数两点，问是否存在实数t，使，使得得ABEF 0和和AB EF同时成立？如果存在，同时成立？如果存在，求出满足条件的实数求出满足条件的实数t的取值集合，的取值集合，如果不存在，请说明理由如果不存在，请说明理由.【答案】【答案】（1）1（2）(0,arctan)（3）存在，实数t的取值集合为 2,2【解析】【解析】（1）求出曲线C的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；（2）设l:y kx(0 k 1)，A(x1,y1),B(x1,y1),H(x1,0)，表示出直线BH的斜率，根据k的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；（3）直接求出当直线l:y 0，直线m:x t和当直线l:x t，直线m:y 0时，t的2222 2值，当l:y k(xt)k 0时，与双曲线联立可得(1k)x 2k tx(1k t)0，12第 13 页 共 17 页利用弦长公式求出|AB|和|EF|，利用AB EF列方程求出t的值，验证判别式成立即可得出结果.【详解】（1）曲线C的焦点为F1 2,0,F2由对称性，不妨计算F2 2,0，渐近线方程y x，2 021.2,0到直线y x的距离，d（2）设l:y kx(0 k 1)，A(x1,y1),B(x1,y1),H(x1,0)，从而kBH又因为点A在第一象限，所以0 k 1，从而kBH0，所以直线BH倾斜角的取值范围是(0,arctan)；（3）当直线l:y 0，直线m:x ty1k2x121 212AB 2,E 0,t21,F 0,t21，2 t21=2t 2.当直线l:x t，直线m:y 0时，t 2不妨设l:y k(xt)k 0，与双曲线联立可得(1k2)x22k2tx(1k2t2)0，1k2(t21)k21 2由弦长公式，|AB|1k221k1k2k21 t21k21将k替换成，可得|EF|2k21k由|AB|EF|，可得(t21)k21t21k2，解得t 2，此时 4(k2t2k21)0成立因此满足条件的集合为 2,2【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.2121定义定义f(a1,a2,an)a1a2 a2a3 an1 an（nN N，n 3）为有）为有限实数列限实数列an的波动强度的波动强度.第 14 页 共 17 页（1 1）求数列）求数列 1 1，4 4，2 2，3 3 的波动强度；的波动强度；（2 2）若数列）若数列a，b，c，d满足满足(ab)(bc)0，判断，判断f(a,b,c,d)f(a,c,b,d)是是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3 3）设数列）设数列a1，a2，an是数列是数列1 21，2 22，3 23，n 2n的一个排列，的一个排列，求求f(a1,a2,an)的最大值，并说明理由的最大值，并说明理由.【答案】【答案】（1）6（2）fa,b,c,d fa,c,b,d是正确的，详见解析（3）当n为偶数时，n 4，fa1,a2,.,anmaxn12nn 42 9223；当n为奇数时，n 3，2fa1,a2,.,anmaxn1125nn 42 132222【解析】【解析】（1）根据波动强度的定义直接计算；（2）作差fa,b,c,d fa,c,b,d ab cd ac bd，利用a b c或a b c判断正负即可；i（3）设bii2，1 i n，bn是单调递增数列，可整理fa1,a2,.,an x1a1 x2a2 xnan，其中x1,xn1,1，xn 0.经过上述调整后的数列，系数x2,.,xn12,0,2，并且x1 x2x2,.,xn1不可能为 0，分n的奇偶性讨论，确定各自含有的2,2,1,1的个数，进而求出f(a1,a2,an)的最大值.【详解】解：（1）f1,4,2,3 14 42 23 6（2）fa,b,c,d fa,c,b,d是正确的证明：fa,b,c,d fa,c,b,d a b b c c d a c c b b d ab cd ac bda b c或a b c，ab ac bc且cd bd bc fa,b,c,d fa,c,b,d cd bc bd bc bc 0第 15 页 共 17 页所以fa,b,c,d fa,c,b,d0，即fa,b,c,d fa,c,b,d并且当b c时，d b可以取等号，当c b时，d b可以取等号，所以等号可以取到；i（3）设bii2，1 i n，bn是单调递增数列.分n是奇、偶数情况讨论fa1,a2,.,an x1a1 x2a2 xnan，其中x1,xn1,1，xn 0.经过上述调整后的数列，系数x2,.,xn12,0,2，并且x1 x2x2,.,xn1不可能为 0.当n为偶数时，系数中有1个2和1个2，1个1和1个1.当n为奇数时，有两种情况：系数中有或系数中有n2n2n1n3个2和个2，2个1；22n1n3个2和个2，2个1.221n是偶数，n 2k,k 2,kN*，2b2kbk2bk1bk2bk1b1 22kk 1k 1 k k 12kk1kkk12222 2 2 22k1k1=2k212222 22 2k2122k22k32k4n12nn 42 922322n是奇数，n 2k 1,kN*，因为b2k2bk1bk 0，2bk2bk1bkbk2bk12bk，可知2b2k1bk2bk1bk2bk1b12b2k1bk3bk2bk12bkb1fa1,a2,.,an fbk,bk2,b1,bk3,b2,bk4,b3,.,b2k1,bk1,b2k,bk1 2b2k1bk2bk1bk2bk1b1第 16 页 共 17 页 22k+1k 2k 1k 1+k 2+k 12k+1k2k+1k1k22222+2+22k2k2+32k 2k22+k 2+k 12222 22 2k22k 122k3132k14n1125nn 42 132222n12nn 42 9223；2综上，当n为偶数时，n 4，fa1,a2,.,anmax当n为奇数时，n 3，fa1,a2,.,anmax【点睛】n1125nn 42 132222本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.第 17 页 共 17 页