2021-2022学年山东省日照市高二上学期期末校际联合考试数学试题(解析版).pdf
2021-20222021-2022 学年山东省日照市高二上学期期末校际联合考试学年山东省日照市高二上学期期末校际联合考试数学试题数学试题一、单选题一、单选题1设点A 1,1,2关于坐标原点的对称点是B，则AB等于（）A4【答案】A【解析】求出点A 1,1,2关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点A 1,1,2关于坐标原点的对称点是B 1,1,2222 AB 1(1)(1)12(2)2 2(2 2)4222B2 3C2 2D2故选：A2设aR，直线ax2y1 0与直线xay 1 0平行，则a（）A2【答案】C【分析】根据直线平行求解即可.【详解】因为直线ax2y1 0与直线xay 1 0平行，所以a2 2，即a 2，经检验，满足题意.故选：C3在ab的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则n（）A5【答案】Bn【分析】当 n 为偶数时，展开式中第1项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中2nB 2C 2DB6C7D8第n1n3和项二项式系数最大.22n【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故1 4，得n 6.2故选：B4阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b，则椭圆的面积公式为S ab，第 1 页 共 22 页若椭圆的离心率为2，面积为2 3，则椭圆的标准方程为（）x2y22A y 1或 x2144x2y2y2x2C1或163631x2y2y2x2B1或14343x2y2x2y2D1或1169916【答案】B【解析】根据题意列出a,b,c的关系式，即可求得a2 4,b2 3，再分焦点在x轴与y轴两种情况写出标准方程.【详解】根据题意c1,S ab 2 3,a2 b2c2，可得a2 4,b2 3,c21，a2x2y2y2x21或1.所以椭圆的标准方程为4343故选：B5将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A60 种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1 名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有C5种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列2方法数有 4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有C54!240种不同的分配方案，B120 种C240 种D480 种2故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.6已知某地区7%的男性和 0.49%的女性患色盲假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（）A0.01245【答案】D【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解.B 分别表示随机选 1 人为男性或女性，【详解】用事件 A，用事件 C 表示此人恰是色盲，第 2 页 共 22 页B0.05786C0.02865D0.03745则 AB，且 A，B 互斥，故11PC PAPC A PBPC B700.490 0.037450202故选：D7设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）A1【答案】C【分析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面 AB C平行，从而求出投影面积的最大值.【详解】设正方体ABCD ABCD投影最大时，是投影面与平面 AB C平行，三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为2，即投影面上三条对角线构成边长为B2C3D3 342的等边三角形，如图所示，所以投影面积为2S故选：CABC16 22 3.22x2y2x2y28 已知椭圆C1:221a1b1 0与双曲线C2:221a2 0,b2 0有相同的焦a1b1a2b2点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点 P 为椭圆C1与双曲线C2的交点，且F1PF23，则当13取最大值时e1e2的值为（）e1e2第 3 页 共 22 页A3【答案】DB4 33C2 2D2 62【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得a1，a2，c的关系，由此可得132 4，再利用重要不等式求最值，并求此时的e1e2的值.e12e2【详解】设P为第一象限的交点，|PF1|m、|PF2|n，则m n 2a1、mn 2a2，解得m a1a2、n a1a2，222m n 4c1在PF1F2中，由余弦定理得：cosF1PF2，2mn2222m2 n2mn 4c2，(a1 a2)(a1a2)(a1 a2)(a1 a2)4c，213a123a2a 3a 4c，22 4，22 4，e1e2cc212221 133 28，22ee1e21e22即131362 2 2，当且仅当，即e1，e2时等号成立，2e1e2e1e222 62此时e1e2故选：D二、多选题二、多选题9如图，5 个数据x,y，去掉点D3,10后，下列说法正确的是（）第 4 页 共 22 页A相关系数 r 变大B残差平方和变大C变量 x 与变量 y 呈正相关D变量 x 与变量 y的相关性变强【答案】ACD【分析】根据图中的点，计算去掉D(3,10)前后的相关系数、残差平方和、R2，即可判断各选项的正误.1234103451012 4，y 6.8，则【详解】由图，x 55(xi x)(yi y)51.4，(xi x)50，(yi y)2 62.8，2i1i1i1555相关系数r 51.4 0.9173.5062.8令回归方程y a bx，则b 51.41.028，50i)为(1,3.716)，a 6.81.0284 2.688，即回归方程为y 1.028x2.688，可得(xi,y(2,4.744)，(3,5.772)，(4,6.8)，(10,12.968)，5i yi)2 23.1192，故R21残差平方和(yi1 y)(yii52 y)(yii1i15 0.5625，2去掉D(3,10)后，41241034512x1 4.25，y1 4.8，则(xi x1)(yi y1)49，45i1(x x)i1i142 48.75，(yi y1)2 55.76，i14相关系数r149 0.9398.48.7555.76r1 r，A、D 正确；令回归方程y mnx，则n 491.005，48.751i)为m 4.81.0054.25 0.5288，即回归方程为y 1.005x0.5288，可得(xi,y(1,1.5338)，(2,2.5388)，(4,4.5488)，(10,10.5788)，41i yi)2 6.5082，故R121残差平方和(yi1(y(yi1i1441i yi)2 y1)0.8679，21i22R1 R，B 错误，C 正确；故选：ACD第 5 页 共 22 页10甲盒中有3 个红球和 2 个白球，乙盒中有2 个红球和 3 个白球先从甲盒中随机取出一球放入乙盒用事件E 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件 F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A事件 F与 G是互斥事件CPGB事件 E与 G不是相互独立事件DPG E121330【答案】BCD【分析】利用互斥事件定义可判断选项A，利用独立事件概率公式可判断选项B，利用古典概型概率计算公式求出PG可判断选项 C，利用条件概率计算公式求出PG|E可判断选项 D【详解】对选项 A：事件 F 与事件 G 能同时发生，故 A 错误；1111C3C3C2C213对选项 C：P(G)1111，故 C 正确；C5C6C5C63033P(EG)561，故 D 正确；对选项 D：P(G E)3P(E)25对选项 B：因为P(EG)33331313，P(E)P(G)，561053050所以P(EG)P(E)P(G)，所以事件 E 与事件 G 不是独立事件，故B 正确；故选：BCD.11如图，空间直角坐标系O xyz中，已知点A2,0,0，B2,0,0，C0,4,0，D0,0,4，则下列说法正确的是（）1A异面直线 AC与 BD所成角的余弦值为5B设点E在 xOy平面内，若EA的斜率与 EB的斜率之积为 2，则点E的轨迹为双曲线第 6 页 共 22 页C设点 P在 xOz平面内，若点 P 到直线 OC的距离与点 P 到直线 BD 的距离相等，则点 P 的轨迹是抛物线D设点 M在 xOy面内，且MA MB 6，若向量MN与 z轴正方向同向，MN 4，则NA NB最小值为 50【答案】ABCD【分析】向量内积的两种计算方法，坐标法和夹角法；由斜率积求轨迹方程判断是否为双曲线；由抛物线的定义可得；利用配方法和基本不等式，可以计算最小值.【详解】对于 A：BD4，0，BD 2，0，4，ACBD AC BD cos AC，由于AC 2，22BD=因此cos AC，ACBDAC BD=2-222-421=-2-24251由于异面直线的夹角范围在0，故直线 AC和 BD 所成角的余弦值为，故 A 正52确；对于 B：0，则在 xOy平面内，kEAkEB设点 E的坐标为x，y，x2y2148yy 2，x2 x2即点 E的轨迹是双曲线，故 B 正确；对于 C：直线 OC 垂直平面 xOy，点 O 是定点，直线 BD是定直线,由于点 P 到直线 OC的距离与点 P 到直线 BD 的距离相等，故点 P到定点 O 的距离与点 P 到定直线 BD的距离相等根据抛物线的定义，点P的轨迹是抛物线，故 C 正确；定义 D：由于点 M在 xOy面内，且MA MB 6，MN 4，NA NB MA 16 MB 16 MA MB2 MA MB 322222 2682 MA MB又因为MA MB 6 2MA MB所以2 MA MB 18第 7 页 共 22 页NA NB 682 MA MB 5022即NA NB的最小值为 50，故 D 正确.故选：ABCD12已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，M 为棱CC1上的动点，AM 平面，下面说法正确的是（）A若 N 为DD1中点，当AM MN最小时，CM21CC12221B直线 AB与平面所成角的正切值的取值范围为,12C当点 M 与点C1重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大9D若点 M 为CC1的中点，平面过点 B，则平面截正方体所得截面图形的面积为2【答案】AD【分析】利用展开图判定A、M、N 三点共线，进而利用相似三角形判定选项A 正确；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定选项B错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正切值的取值范围，进而判定选项C 错误；利用线面垂直得出点E的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定选项 D 正确【详解】对于 A：将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D展开成一个平面（如图所示），若AM MN最小，则 A、M、N三点共线，因为CC1/DD1，所以MCAC2 2 22，DNAD2 2 222CC1，2所以MC 22 DN 即MC2221，故 A 正确；CC122对于 B：当点 M 与点 C 重合时，连接 A1D、BD、A1B、AC、AC1，（如图所示），第 8 页 共 22 页在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BDCC1，又因为 BDAC，且 ACCC1=C，所以 BD平面 ACC1，又 AC1平面 ACC1，所以 BDAC1，同理可证 A1DAC1，因为 A1DBD=D，所以 AC1平面 AB1D，易知A1BD是边长为2 2的等边三角形，3其面积为SA1BD 2 242 2 3，周长为2 23=6 2；设 E、F、Q、N，G，H 分别是 A1D1，A1B1、BB1，BC，CD，DD1的中点，易知六边形 EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面EFQNGH平面 A1BD，正六边形 EFQNGH 的周长为6 2，面积为634 22 3 3，则 A1BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，即选项B 错误；对于 C：以点 D 为坐标原点，DA、DC、DD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 A（2，0，0），B（2，2，0），设 M（0，2，a）（0a2），因为 AM平面，所以AM是平面的一个法向量，AB 0,2,0，AM 2,2,a，且|cos AM,AB|42 a2832,，a2832232所以直线 AB 与平面所成角的正弦值的取值范围为,，322,1，故 C 错误；则直线 AB 与平面所成角的正切值的取值范围为2第 9 页 共 22 页对于 D，连接 AC、BD，设平面a交棱 A1D 于点 E（b，0，2），M（0，2，1），所以AM 2,2,1，因为 AM平面a，DE 平面a，所以 AMDE，即AM DE 2b 2 0，得b 1，所以E1,0,2，即点 E 是 AD1的中点，同理点 F 是 A1B 的中点，则 EFBD 且 EF BD，所以四边形 EFBD 是梯形，且BD 2 2，EF 2，a DE 1,0,2，设2DB22(,0)，22|DB|则a 5，a2，213 2，22所以梯形 EFBD 的高，即点 E 到直线 BD 的距离，为a2(a)2513 29所以梯形 EFBD 的面积为S(2 2 2)，故 D 正确；222故选：AD.三、填空题三、填空题213抛物线y 2pxp 0焦点坐标是1,0，则p _【答案】2【分析】根据抛物线的几何性质直接求解可得.【详解】py2 2pxp 0的焦点坐标为(,0)2p1，即p 2.2故答案为：214如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB 2，AD 1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为_.第 10 页 共 22 页【答案】90【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，A,0,1，GF 1,1,1，1E 1设异面直线A1E与GF所成角为，cos cos A1E,GFA1EGFA1E GF 0，异面直线A1E与GF所成角为90.故答案为：90.15 已知随机变量 X 服从正态分布N,5【答案】2.522若PX 0 PX 51，则 _，【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.【详解】XN,2，PX 0 PX 51，又PX 0PX 01，PX 5 PX 0，第 11 页 共 22 页505.225故答案为：.2222216已知实数x1，x2，y1，y2满足x1 y1 4，x2 y2 4，x1x2 y1y2 0，则x1 y13 x2 y23的最大值是_【答案】10【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为A,B两点到直线x y 3 0的距离和的2倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求得答案.【详解】2222由x1 y1 4，x2 y2 4，x1x2 y1y2 0，可知，点Ax1,y1Bx2,y2在圆上，由x1x2 y1y2 0 OA OB，即OAB为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式d 变形得x y 3 2d，即所求问题可转化为A,B两点到直线x y 3 0的距离和的2倍，作AM l于MAN l于N，AB中点为E，MN中点为F，由梯形中位线性质可得，AM BN 2 EF，作OT EF于T，OC l于C，连接OE，则EF ET TF ET OC EO OC，当且仅当T与O重合，E,OT,C三点共线时，EF有最大值，由点到直线距离公式可得OC 323 2，2x y 32可理解为圆心到直线x y 3 0的距离，由几何性质可得OE 2，EFmax OC OE 5 2，2此时AM BN 2 EF 5 2，故x1 y13 x2 y23的最大值为2 5 2 10.第 12 页 共 22 页故答案为：10.四、解答题四、解答题17已知圆心 C的坐标为2,0，且A 4,4 2是圆 C上一点(1)求圆 C的标准方程；(2)过点M4,2的直线 l被圆 C 所截得的弦长为8 2，求直线 l的方程【答案】(1)x2 y2 68(2)x 4或4x3y22 0【分析】（1）计算圆的半径，写出圆的标准方程即可；（2）先验证斜率不存在时，是否满足题意，再分析斜率存在时，利用点到直线的距离求出斜率即可得解.(1)由题意得：CA 42 4 22222 2 17所以，圆 C的标准方程为x2 y2 68(2)当直线 l的斜率不存在时，直线l的方程为x 4，此时所截得的线段的长为2 68628 2，符合题意当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为y2 kx4，即kx y4k 2 0，圆心2,0到直线 l的距离d 26k 2k 12，6k 2 由题意，得 4 22k 1 24 68，解得k ，34直线 l的方程为y 2 x4，即4x3y22 03综上，直线 l的方程为x 4或4x3y22 018中国男子篮球职业联赛（Chinese Basketball Association），简称中职篮（CBA），由中国国家体育总局篮球运动管理中心举办的男子职业篮球赛事，旨在全面提高中国篮球运动水平，其中诞生了姚明、王治郅、易建联、朱芳雨等球星该比赛分为常规赛和季后赛由于新冠疫情关系，某年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前 8 球队进入季后赛下表是 A 队在常规赛 60 场比赛中的比赛结果记录表第 13 页 共 22 页阶段第一阶段第二阶段比赛场数3030主场场数1515获胜场数2025主场获胜场数1015(1)根据表中数据，完成下面22列联表：主场客场合计(2)根据（1）中的22列联表，判断是否有 90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？nad bc附：K abcdacbd22A 队胜20A 队负5合计60PK2 k0.1002.7060.0503.8410.0255.024k【答案】(1)填表见解析(2)没有【分析】（1）由 A 队在常规赛 60 场比赛中的比赛结果记录表可得答案；nad bc（2）根据（1）中的22列联表，代入K2可得答案.abcdacbd2(1)（1）根据表格信息得到列联表：主场客场A 队胜2520A 队负510合计3030第 14 页 共 22 页合计(2)451560nad bc602510205K 2.222 2.706abcdacbd30304515222所以没有 90%的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.219已知抛物线E:y 2pxp 0的焦点为 F，其中 P为 E 的准线上一点，O是坐标原点，且OF OP 1(1)求抛物线 E的方程；(2)过Q1,0的直线与 E 交于 C，D两点，在x轴上是否存在定点Mt,0t 0，使得x轴平分CMD？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y2 4x(2)存在；M1,0p【分析】（1）设P,yP，利用向量坐标运算求出p即可；2（2）设直线 MC，MD的斜率分别为k1，k2，利用坐标计算k1 k2 0恒成立，即可求解.(1)p2抛物线E:y 2pxp 0的焦点为F,0，2pp p设P,yP，则OF,0，OP,yP222p2 1，得p 2因为OF OP 1，所以4所以抛物线 E 的方程为y2 4x(2)假设在 x轴上存在定点Mt,0t 0，使得 x 轴平分CMD设直线的方程为x my 1，设点Cx1,y1，Dx2,y2，x my1联立2，可得y24my 4 0y 4x 16m216 0恒成立，y1 y2 4m，y1y2 4设直线 MC，MD的斜率分别为k1，k2，第 15 页 共 22 页则k1k2yx t y2x1ty1y212x1tx2tx1tx2t2my1y21ty1 y2y1my21t y2my11tx1tx2tx1tx2t由定点Mt,0t 0，使得 x 轴平分CMD，则k1 k2 0，所以2my1y21ty1 y2 0把根与系数的关系代入可得8m4m1t 0，得t 1故存在t 1满足题意综上所述，在 x轴上存在定点M1,0，使得 x 轴平分CMD20 如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，PA PC 2，PB PD，且ABC 60，E为 PD的中点(1)求证：AC PD；(2)求二面角E ACD的大小；(3)在侧棱 PC上是否存在点 F，使得点 F 到平面 AEC的距离为值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析PF6？若存在，求出的FC6(2)4(3)存在；PF 2FC【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角；（3）设出 F点坐标，用空间向量的点到平面距离公式进行求解.(1)第 16 页 共 22 页证明：连接 BD，设 BD 与 AC交于点 O，连接 PO因为PA PC 2，所以AC PO四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形，则AC BD又POBD O，所以AC 平面 PBD，因为PD 平面 PBD，所以AC PD(2)因为PB PD，所以BD PO，所以由（1）知PO平面 ABCD，以 O 为原点，OB，OC，OP的方向为 x轴，y 轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A0,1,0，B3,0,0，C0,1,0，D 3,0,0，P 0,0,3，33E,0,2，2所以AC 0,2,0，DC 3,1,0，AE33,1,，22第 17 页 共 22 页n AE 0n x,y,zAEC设平面的法向量，则n AC 033x yz 0即2，令x 1，则n 1,0,12y 0平面 ACD的法向量OP 0,0,3，cos n,OP nOPn OP322，2 3所以二面角E ACD为；4(3)存在点 F 到平面 AEC的距离为6，理由如下：6由（2）得CP 0,1,3，BC 3,1,0，设CF CP 0,3,0,1，则OF OC CF 0,1,3，所以点 F 到平面 AEC的距离d OF nn36，621PF1 2解得，CF CP，所以3FC321某厂有 4 台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1 次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为13(1)若出现故障的机器台数为X，求 X的分布列；(2)已知一名工人每月只有维修1 台机器的能力，每月需支付给每位工人1 万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障时能及时维修，都产生 5 万元的利润，否则将不产生利润若该厂在雇佣维修工人时，要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于 90%，雇佣几名工人使该厂每月获利最大？【答案】(1)答案见解析(2)雇佣 3 名【分析】（1）设出现故障的机器台数为X，由题意知X解；（2）设该厂雇佣n名工人，n 可取 0、1、2、3、4，先求出保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%需要至少 3 人，再分别计算3 人，4 人时的获利即可得解.第 18 页 共 22 页1B4,，即可由二项分布求3(1)1每台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，34 台机器相当于 4 次独立试验设出现故障的机器台数为X，则X1B4,，311PX 0C 304240 21611，PX 1C4381324 232，381331PX 2C 32 22431，PX 3C438138 2，38111PX 4C 34441 2，3810则 X 的分布列为：XP(2)设该厂雇佣 n名工人，n 可取 0、1、2、3、4，设“在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修”的概率为PX n，则：nP(X n)0168101681123881432812481181148812728138081417280 90%，8181至少要 3 名工人，才能保证在任何时刻多台机器同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于 90%当该厂雇佣 3 名工人时，设该厂获利为Y 万元，则 Y 的所有可能取值为 17，12，PY 17 PX 3Y 的分布列为：Y180，PY 121PY 17，81811712第 19 页 共 22 页PEY17808118180113721216.9，818181该厂获利的均值为 16.9 万元当该厂雇佣 4 名工人时，4 台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为100%，该厂获利的均值为454 16万元若该厂要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%时，雇佣 3 名工人使该厂每月获利最大x2y222 己知椭圆C:221a b 0与直线2y 2a 0相切，点 G 为椭圆上任意一点，abG11,0，G21,0，且GG1GG2的最大值为 3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线l:y kxm与椭圆 C交于不同两点 E，F，点 O为坐标原点，且OM 112 MG2的取值范围OE OF，当EOF的面积取最大值时，求MG21x2y2【答案】(1)142(2)2 2,12【分析】（1）设点Gx,y，根据题意，得到a 2b，根据向量数量积的坐标表示，得222，即可得出椭圆方程；到PP1PP2y a 1，根据其最小值，求出a 2,b（2）设Ex1,y1，Fx2,y2，Mx0,y0，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出EOF的面积S的最值，得到m2 2k21；得x2出点M的轨迹为椭圆C1:y21y 0，且点G1,G2为椭圆C1的左、右焦点，记2t MG1，则t1 12 1,2 1，得到2 MG2 2t 24 2，根据对勾函MG1t数求出最值.(1)设点Gx,y，由题意知a 2b，所以：C:x2 2y2 a2，则GG1GG2 x2 y21 y2a21，第 20 页 共 22 页当y 0时，GGGG2取得最大值，即a213 a 2，b 2x2y2故椭圆 C 的标准方程是142(2)x22y2 4设Ex1,y1，Fx2,y2，Mx0,y0，则由得y kxm2k21x24mkx2m24 0 x1 x2 4mk，2k21，2m2 4x1x2，点 O 到直线 l的距离d 2k21mk 1221m14mk 2m242S d ABk 1242222k 12k 12k 12 mm24k22m24k22m22222k 12k 1222对m4k 2m用均值不等式，则：m24k22m2m24k22m2424k2242当且仅当m2 4k2 2m2即m2 2k21，4k22x x2mk2k，S取得最大值2此时，x012 22S 22222k 1m2k 1mx012k21y0 kx0 m m，即m，k x0 代入式整理得22y0y0mm2x02 y01y0 0，2x2即点 M 的轨迹为椭圆C1:y21y 02且点G1，G2为椭圆C1的左、右焦点，即MG1 MG2 2 2记t MG1，则t2 1,2 1于是：112 MG22 2 2 t，MG1t1 12t 4 2 2t 24 2tt由对勾函数的性质：当t 2时，min 2 2，2第 21 页 共 22 页且2 1 2 12 1 12，故的取值范围为2 2,12第 22 页 共 22 页
