数学压轴题集粹(高考适用).pdf

教学压轴题集粹(高考适用)历年全国高考数学试卷中，压轴题(解答题最后一 题)的分值为1 4分，将近占卷面总分的1 0%,且综合性较强，对考生的数学能力，思维能力也有较高要求，其难度和重要性自然不言而喻.所以对于压轴题的专项训练必不可少.压轴题一般涉及到函数(数列属于特殊的函数)，解析儿何，不等式三大方面内容，还穿插有集合思想，三角代换与运算，向量与导数的运用(新教材内容)，立体几何初步等等.作者从各类试卷，教学杂志，参考资料中收集了 一些压轴题，十分具有综合性及定难度，训练考生的数学思维和逻辑推理能力,提高考生解高考压轴题的能力.1 .设 a,6为常数，M=/(x)|/(x)=a c o s x +b s i n x ;E：把平面上任意一点(a,b)映射为函数a c o s x +b s i n x.(1)证明：不存在两个不同点对应于同一个函数：(2)证 明:当/0aAM/COn/oa+JeM,这 里1为常数;(3)对于属于M的一个固定值/0(x),得 陷=/(x+/),/火 ,在映射F的作用下,防作为象，求其原象，并说明它是什么图象.讲 解：(1)假 设 有 两 个 不 同 的 点(a,b ),(c,d )对 应 同 一 函 数，即F(a,b)=a c o s x +b s i n x 与 F(c,d)=c c o s x +d s i n x 相同，即 a c o s x +b s i n x =c c o s x +d s i n x对一切实数 x 均成立.TT特别令产0,得 所c；令l=,得b=d这 与(a b),(c,d)是两个不同点矛盾，假2设不成立.故不存在两个不同点对应同函数.(2)当/0a)时，可得常数为，庆，使于 0(X)=4。c o s X +d s i n x j (x)=/(x +。=a。c o s(x +。+d s i n(x +f)=(a0 c o s t +b。s i n t)c o s x+(d c o s t -a0 s i n t)s i n x,由于。0，dJ为常数，设%c o s/+ds i n /=m.bQ c o s /-a0 s i n /=，则见 是常数.从而/(x)=w c o s x +w s i n x G M.(3)设/o(x)e M,由此得/)(%+/)=?c o s x +s i n x,其中优=a0 c o st +b0 s i n/,=/c o s f-。o S i n r,在映射F 之下，/o（x +。的原象是（m,n）,则此的原象是（/,）m =a0 co s t+b0 s i n/,=b0 co s t-a0 s i n/G R .消 去 t得机2+2=必+年，即在映射F之下，M 1 的原象（肛）加2+/2=尿+铸 是以原点为圆心，为半径的圆.2.已知函数尸af+f e r+c（a W O）图象上有两点小（相0）加 2y2）,满足。2+（yi+y2vH 月 歹 2=0,求证：（1）存在，1,2,使y=l q;（2）抛物线产ad+A x+c与 x轴总有两个不同的交点；（3）若使该图象与x轴交点为（肛0）（电0）,（修切）,则存在，1,2,使修0./.b24ac0.抛物线y=ax2+hx+c与 x轴总有两个不同的交点.b Q（3）方程ax2+hx+c=0有两个实数根X 、M/+、2=/1 应=.a a2-）b c l 1/.（m-X ）（也一应）=如（X|+X 2）A W/+X 1 X 2=/W/A W/H （。见+b 7,+C 尸 一乂,由（1 ）a a a a可知一歹尸1 0,/.X /W/(X,)-+2讲解(1)令 x =y=0,则 2/(0)=/(0),/(0)=0令夕=-X,则 f(x)+f(-x)=/(0)=0,二 /(-x)=-/(x)为奇函数.(2)/(X,)=心=7,/(x+l)=/(生)=/(：+“)=八X.)+/(x)=2 f(x),21 +x；1 +Xj X”.回1 =2即/(x )是以1 为首项，2 为公比的等比数列.f(x)(3)1 1 1 n 1 1 1 /a)/(x2)/(X j 2 22 2“一”1 一 天 1 1=-p =-(2-)=-2+-2,2而2 n +5 1 、_ 1 _=(2 H )=-2 -./(演)f(x2)f(x)n +2在求解当中，化归出等比(等差)数列是数列问题常用的解题方法.25 14.已知圆A、圆 B的方程分别是(x +2 y+y 2 =彳,(一2)2+歹 2，动圆P 与圆A、圆 B均外切，直 线 1 的方程为：x =(1)求圆P 的轨迹方程，并证明：当a=,时，点 P 到点B的距离与到定直线1 距离2的比为定值；(2)延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q,求户。的最小值；(3)如果存在某 位置，使得P Q 的中点R在 1 上的射影C,满足P CLQC,求 a 的取值范围.讲 解(1)设动圆P 的半径为r,则 I PA I=r+工，I PB|=r +-,2 2?.|PA|-I PB =2.点 P 的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4,实轴长为2 的双曲线的右准线的右支，其方程为二=a 1).若a=L，则 1的方程x =已为双曲线的右准线，3 2 2点 P 到点B的距离与到1的距离之比为双曲线的离心率e =2.(2)若直线PQ 的斜率存在，设斜率为k,则直线PQ 的方程为y=k(x-2)代入双曲线方程，得(3-k2)x2+4 k2x-4 k2-3 =0A0由4 a1x.+x?=-3-k24左 2+3x.x,=-：1 2 3-k20,0解得4 2 3.,cc,、7T,6(k2+1),24,PQ=+k 2 X,-x2=：-=6 +f-6.12 E 3 k1-3当直线的斜率存在时，可=必=2，得 弘=3,%=一 3,I PQ=6.,IPQI的最小值为6.(3)当 PCUQC 时，P、C、Q 构成口.R到直线1 的距离I 明=闿=4 一。2又点P、Q都在双曲线x =1上，3.SI 31 1XP 2 XQ 2：.1p gi+1|=2,即 p g|=4 X r _2.Xp+-1.R 4将代入得=1 1 +2 a,|PQ|=2-4 a 6.2 4故有a W 1.“如果存在”并不意味着一定存在，如何修改本题使其成为不存在的范例呢？问题的提出既能延伸我们的思绪，更能完善我们的知识技能，无形中使解题能力得到逐渐的提升.5.设一次函数7(x)的图象 关 于 直 线 尸 对称的图象为C,且人一1尸0.若点(”+1,皿)(“Ga”N*)在曲线C 上,并且q=念=1.(1)求曲线C 的方程；(2)求数列 为 的通项公式；(3)设&=5+”+2!3!+，求 S.(+1)!讲解：(1)设7(x)=ar+ZmW0),则 C 的方程为:y=-(x-b),a由4-1)=0,得一 q+b=O,由 点(2,空)在 曲 线 C 上，得%l=-(2-b),Q由解得cr=b=l,工曲线。的 方 程 为 尸 一1.(2)由 点(+1,刍 虫)在 曲 线 C 上，有.=,an a“丁-是 a”.一I4一2a、即2=(-1)!,a；。1=1,a,f=(n-1)!.,、0!1!21 (H-1)!1 1 1 1(3)Sn=-1-1-F.4-=-1-1-1-.-2!3!4!(w+1)!2x1 3 x2 4x3 (+1)1、/1、/1、/1 、，1二(1-份-？+(门+(厂7 7 T)=6 .已知a 0,n为正整数.(1)设尸(x。)，证明 y =n(x a);(2)设立(x)=x(x),对任意 2a,证明 O)(+1)(+1)().讲解：(1)因为。一 =七 C：(一a)+x*,A=0所以y (一。)41=支C (_ a)i .xi=(x-T.k=l k=(2)对函数 fn(x)x-(x-a)求导数：f：(x)=/t 心 尸所以，,：(尸 T 一(a)T.当 x Z a 0 时/(x)0.当xa时、工(x)=x(xa)是关于x的增函数.因此，当 时，(+1)(+1(n a)n./.O)(+l)=(+D (勿+1)(+1 a)(n+l)/(一 a)(H+1)勿 一(一Q)i =(”+i y/；().即对任意心a,工：+1(+1)(+1)/：().7 .已知双曲线二一亡=1(“0 力 0)的两准线间的距离为3,右焦点到直线中一1=0的a2 b2距 离 为 近.2(1)求双曲线方程；(2)设直线尸区+机伍#0 M#0),与双曲线交于不同的两点C、D,若/的 坐 标 为(0,-b),且|4 C|=|4 D|,求 A:的取值范围.讲解:(1)设双曲线的右焦点为(c,0)(c 0)则C-1_42V 2 -V*7 2求得。=2,又 =3./.。2=3/2=1.所求双曲线方程为二一/=1.3y=kx+m(2)联立消去乂=1得(3 公一1)丁+6 碗%+(3 m 4 3)=0,当 3 必一 1 W 0即#土 巨 时，3/=(6km)之 一 1 2(3 必一1)(“+1 户 1 2(毋 一3 必+1),令/0 得/-3 2+1 0,设CSM)Q(X2/2)C。的中点尸(必,为)，9：ACAD,：-APCD,6km _ X +/_ 3kmt3k2 m m乃=履3+片 z-+171=;-3二一1 3/一 1m则.kyP-yA w+3Z:2 1 342 1 3k2-m-Ap=八=-六-=-；-xp-xA 3K-1-3km 3km3 k2 m _ 1 1由 4 P _ L C Q,得一-/N O,加W O)3 km k_ 1化简得：3 炉=4 相+1 ,m=-，4-1把代入得(-)2 -3*+1 0,即:4(3*2-l)(3 A2-1 7)0,3左 2一 1 0 3A-Ivo/.或3:2-170 3左 2-17 1 7 或弘2 cl.解得也751，或 3迎 或-立 4 立 3 3 3又已知W 0,二由、得上的取值范围为：,同一百，-c,也T、，回k -，或一-0,或 0 k-.3 3 3 38 .已知点（一3,0）,点 P在 y 轴 匕 点。在 x轴的正半轴上，点”在直线尸0上，且.-3满足 H P PM=Q,P M =-M Q,（1）当点尸在y轴上移动时，求点M 的轨迹C；（2）过 点 7（1,0）作直线/与轨迹C交于/、8两点，若在x轴上存在一点E（x o,O）,使得 N B E 为等边三角形，求 x o 的值.讲解：（1）设点M 的坐标为（x y）,由 丽=一,破，得尸（0,-5）,0（*0）,由 丽 丽=0,得（3,一叁）（x,）=0,又得丁=钛由点。在 x轴的正半轴上，得 x 0,所以，动点M 的轨迹C是 以（0,0）为顶点，以（1,0）为焦点的抛物线，除去原点.(2)设直线/:产网x+1),其中A H O,代入J=4 x,得 以 2+2(后-2)x+左 2=0,设 (X I M),8(x 21y 2),则X /2 是方程的两个实根,.+2*2-2).Xi+X2=-4 1X 2=1,2-k1 2所以，线 段 的 中 点 坐 标 为(一 卜k k线段AB的垂直平分线方程为2令产0%0=万+1,K2所以点E的坐标为(尸+1,0)因为/B E为正三角形，所以点E(与+1,0)到 直 线 的 距 离 等 于 坐A B,kz而 I 48 I=-J(x1-X2)2+(7j-y2)22 百 j i-F _ 2 7 m解得k=+当，得x0=y.9.设力(x)=J-,定义0i(x)=/i M(x)，为=第三 淇 中WN*(1)求 数 列 “的通项公式；(2)若 耳=0+2念+3的+.+2侬,。产，产：”；，其中GN*,试比较9T2,与。”的大小，/Is，7 l M I并说明理由.2-1 1讲解：(1)力(0)=2。产三二r2加(0)=/i E(0)=而，/“M(0)+2 2 _ +2 4+2/(0)1 +Z,(O)2 (0)+2 2.数 列 的是首项为:，公比为一)的等比数列，1(-1 V14(5)(2)72=。+2。2+3。3+(2-；72=(一；。1)+(一；)2。2+(一；)3。3+i+(一；)(2-1)4 2-1+(一；)2 n a2 n=。2+2。3+一+(2 -1)。2 一 勿。2”,3两式相减得72=。1+。2+%+4 2+。2，213 4所以，1 +工23 +122B).3 +122。“=13/7+1(2+1)2 当=1 时，22=4,(2 +1)2=9,.,.9 72&,;当 =2 时，2 2=16,(2+1y=2 5,二9 72 (2+1)2,：.9T2Q.1 0 .设人)是定义在-1,1上的偶函数，段)与g(x)的图象关于直线x=l对称，且当x 2,3 时，g(x)=a(x 2)2(x 2)。为常数).(1)求大幻的解析式；(2)若在 0,1上是增函数，求。的取值范围；(3)若a d(6,6),问能否使人)最大值为4.讲解：与g(x)的图象关于直线x 1=0对称，A x)=g(2-x),当 x G 1,0 时，2 x G 2,3,7(x)=g(2 x)=ax+2x3,又.火 )是偶函数，；.x e 0,1 时，一 1,0 fix)=Jx)=ax2x,ax+2,x,x e 1,0 尸，3ax lx ,x G 0,1(2/e=a-6 f./x)为 0,1 上的增函数,.f(X 尸 4 6x 2 N O,在x G 0,1 上恒成立，*.,6X26,.a6.(3)当 xG 0,1 时,由/(x)=0,得 鼻 卷,由/(J )=4，得片6,.。6(6,6)时!/)的最大值不可能为4.1 1 .已知於尸。()+。1户。22+ar(eN*),且片/(x)的图象经过点(1,2),差数列.(1)求数列,的通项公式；(2)当n为奇数时，设g(x)=；以(X)/(x),是否存在自然数m和恒成立？若存在，求出M一 桃的最小值；若不存在，说明理由.讲解：由题意,现尸诡即2的 十。+。2+=,令 n=1 ,ao+a i=1,a i=1 -6 705令 开=2必()+。1+2=4,/.6/2=4(a()+a)=3,令 =3,Qo+4+a2+43=9,数列 4 为等M,使不等式工 的=9-So+m+。2尸5,;为等差数列,，d=a36/2=2,.1 a1=32=1,。()=0,。=2 1.(2)/(x)=a 11+。2，+。#3+,为奇数，A x)=ix+x2-ar3+,*+aM-ixw-1-a潦,g(x)=g L/(x)y(x)=ax+ayx+ai+anxn.g(l=(；)+5(；)3+9(；)*“+(2-3)(；厂2+(2-1)(；).J 乙 乙 乙 乙 乙-1g1(-)=(-1,1 5 1 1?+5(-)5+-+(2 -3)(-)+(2-1)(产5两式相减，得3 1 1 r 1 ,1 5 1 ,力 1 什2 g()=+4(5)+(5)+,+()(2 -1),(),1 14 13 1 2 1 2)=V-T*(2 -3W，(2b令 a=g(；)2 1 ：C iCn=-n (-),0,(MN*).C e W gC/jg n的增大而减小，又213(上1)随的增大而减小.9 2为的增函数,当=1 时,g(；)mi n=g,.14 1 3,1、“2 z 1 14而-()n ().9 9 2 3 2 9.W,2 2 9.使zn g(；)0)上的点外)，过尸。作曲线c的切线与A轴交于Q,过苗作平行于y轴的直线与曲线c交 于 吕(,，打)，然后再过尸 作曲线。的切线 交x轴于Q 2,过Q 2作平行于y轴的直线与曲线c交 于 (丫2，2)，依次类推，作出以下各点：P。,Q”P,Qi,P,明 尸”，Q 0+i，已知*o=2,设 P”(x y )(nS N)(I )求出过点八 的切线方程；(I I)设x=F (n),求f(n)的表达式；(I I I)设 S=x()+-V x n,求 li m S”.T oo讲解：(I ):区)=2 M()=4,过点的切线方程为4 x y 4=0(n)=2x“，过区的切线方程为y x n2=2 x n(x-x将0“+i(x +i，0)的坐标代入方程得：X n2=2 X n (X n +X n)故 X 是首项为*0=2,公比为工的等比数列2x 0 =f()=2 (1)，即 f()=(1)T2 22(1 一 击)1(HD S k-RnS“=4(1一/)1-A 22li m SFli m 4(1-)=4-8-8 2+lV31 3 .已知函数f(x)=-7 L3X+V3(I)求证：函数片f(x)的图象关于点(L,-)对称；2 2(II)求 f(-2)+F(-l)+f(0)+f(l)+f(2)+f的值;(III)若6=J ),求证：对任何自然数，总有6 成立./()讲解：(I)证明：设P(x,0是尸F(x)的图象上任意一点，关 于(,，一,)对 称 点 的2 2坐 标 为(1一 x,1 y)由已知 y=-f=则一1 y=-1 +-T=-尸,f(l-x)=3X+V3 3v+V3 3v+V3Q =3：3-V+73-3v+V3y =f x),即 函 数=f(x)的 图 象 关 于 点(,，一工)对称.2 2(H)解：由(I)有 F(l-x)=T-F(x)即 f(x)+f(l-*)=T.,./(-2)+/(3)=-1,f(T)+f(2)=T,AO)+AD=-1则 A-2)+/(-l)+A0)+F(1)+(2)+f(3)=-3(III)证明：b,=-=-=V3/?=3/()V3不 等 式 百b 2即为3 n2下面用数学归纳法证明当77=1时，左=3,右=1,3 1不等式成立当炉2时，左=9,右=4,9 4不等式成立令n=k(k 不等式成立即3*k2则 =4+1 时，左=3*=3 33 k2右=(4 +1)2=X+2 A+11 3V3 k2-(/+2 A +1)=2/一2 1=2(A-)2-2 2当A 2 2,衣GN时，上式恒为正值则左右，即3+i(4+1)2,所以对任何自然数，总有3 成立，即对任何自然数，总有4 bn n2成立1 4.双曲线的两个焦点分别是、A,其 中E是抛物线片-工(户1)旺1的焦点，两点/4(-3,2)、8(1,2)都在该双曲线上.(I)求点F的坐标；(I I)求点K的轨迹方程，并回出轨迹的草图；(III)若直线尸x+t与内的轨迹有月.只有一个公共点，求实数t的取值范围.讲解：（I）;（x+1）J-4（尸 1）.（T,0）（II）./、，在双曲线上，IM川 T/知 1=11如 H 即 U/2 啦-|力用1 =12拉遇1 1若 2於-|/&=2啦-|即 I|力川=I朋 I则点展在 线 段 的 中 垂 线 上.点R的轨迹方程为年T（斤 0,yW4）若 2拉-|力4|=|防|-2 四二|回+|阻=4及.点K 的轨迹是以4、6 为焦点，*2 后，/2,6 4,中 心 为（-1,2）的椭圆，其方程为（x +l）2 +（1）2 =（少（草图略）8 4 +（2）2 （III）1 8 4J =x+/将代入消去y 得到3/+（4 2-6）户 2/一 8 什 1=0 =4（2 夕 3）2-12（2*8 什1）0.3+2 近 或 t b cf.a 0,t,0,/.(H)证明：设 f(x)=af+H+L O 两根为xi,松则一个根为1,另一根为色,aX V a 0,c0,-8 。且 b=-a-c0,:a -c c,：-2 V W Ta2W|x-x2 3(III)解：设 F(x)=a(尸xi)(尸E)=a(,1)(尸土)a由已知f(加二-a 或f n k)-a不妨设 f n h)-a 则 a(z-l)(zi-)=-c?+3 1a：.f(n h+3)f(l)0.，f(如+3)0同理当F(汲)二 一 a时，有/、(色+3)0,./U+3)或/U+3)中至少有一个为正数1 6.设双曲线C的中心在原点，以抛物线/=2 百 4 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.(I)试求双曲线，的方程；(I I)设直线1:尸2广1 与双曲线，交于力、8 两点，求|/引；(III)对于直线片M l,是否存在这样的实数%,使直线，与双曲线C的交点4、B 关于直线片ax(a为常数)对称，若存在，求出左值；若不存在，请说明理由.讲解：(I)山抛物线/=2 J J 尸4,即/=2 6(尸g),可知抛物线顶点为(集，0),V3准线方程为6在双曲线C中，中心在原点，右 焦 点(至2,0),右 准 线 产 片,6Fr Cr百a=3h=2 7 3c 二-c 6J=/+双曲线c的方程3f-/=ly 2 x +1(H)由1 ，=3/-(2 x +i y=lnY+4+2 =03x2-y2=1，1 4创=2 9(I I I)假设存在实数左使/、8关于直线片a x对称，设4(为,乂)、B5,心,ka=-1则,必+歹2 =k(X +1 2)+2y=A x +1 0,由，?=(3-A:2)X2-2AX-2=0 y=3 x2-i由，有 3(汨+加=内汨+才2)+2 2 k由知：汨+热 二-代入3 -k整理得a公3与矛盾，故不存在实数片使4方关于直线六a x对称.1 7 .对于函数f(x),若存在照W R,使f(照)=照成立，则 称 照 为F (x)的不动点.如果函数F(x)=ax +bx+l(0)有两个相异的不动点x i,x 2(I)若为 1 及，且/(%)的图象关于直线片=加对称，求证：-z z K l;2(I I)若I x,|0 V I 1 A 2 2(汨1)(尼1)0 H P X X 2 (x.+x2)-(E+E)-1 1=2 1 2 2 2又，荀 生 XI 于是有 7 7 7=(小+及)X X 2 (X i+热)X i2 2 2 2=X 2 1 /n 0,.xi.同号a(i)若 02：.g(2)0)代入式得2,(“1y+324 解之得：b -4(ii)若一2VEV0,则在=2+EV 2.g(-2)0,即 4d 26+3V0_ _ _又2a+1 =/1)2 +i 代入得2j(b l)2+l 0).(I)当 尸x轴时，求双曲线C方程；(II)求直线 户与双曲线C右支的另一个交点N的轨迹方程.讲解：(I)可知材为圆心，e =一 =2,尸(3,2),材为右顶点MA 1(y-2)设双曲线方程为a 一?)：l-x0=a 0),则 IN到9轴的距离e=2 得|阿=2x又 I 脑v|=NF+MF=2X+2 得&_ 1)2 +3-2)2 =2x+2.9(x+g)23(y2)2=16(x0)1 9.已知直线/：尸Ax和抛物线C：(y+l)2=3(z-1).(I)4=J_时，求点以3,0)关于直线)的对称点 的坐标，并判断点N是否在抛3物 线。上.(H)当A变化(AW0)且直线/与抛物线C有公共点时，点P(a,0)关于直线/的对称点为Q(死，泗)，请写出刈关于左的函数关系式x0=/(A),并求出点。在直线x=l上时。的取值范围.讲解：(I)设 点.(x,川，由对称性得12x=12 9解得 即点N的坐标为(一,-一)9 5 512 9,:N 不满足抛物线C的方程，5 5.点 不在C上(II)由 y=Ax与(y+l)2=3(x-1)消去 y得k2x+(2 A-3)x+4=0二/与c有公共点且MWO,.=(2%-3)2-16左2与o2 1解得w AW 且AW O3 2,点0(X(；,%)、P(a,0)关 于 尸 Ax对称,；.生 二h3且4=一 上 解得2 2 XQ-a kxoa(-k2)1 +8,+C2+C3+C“，求 l i m-讲解：(I)依 题 意 公=。吗 7,即 +4-)2 =4(+1 6 目)=40=2/,/斤 0/.国=2 d数列 a 公比q=3 =+4=3；an=a 1-3 7 又=q +(b -l)d =安由得4=丝 2 124 =2 d 丰 0,6“=2 ,3 1 1(II)Tn=C ,+C 2+-+C；6=C；(2 3-1)+C (2 3 -1)+(2 3 -1)7=-C；3+C；3,+C：3 TC；+C；+C：)2 2 1=-(1+3)-1 -(2-1)=-4-2 +-3 3 32 4“_ 2 2+1 +1(-r)：.li m-=li m-：-=li m-=-8 4 +勿 78 4 +2 31-1 T8+1(3)“T _(1)“32 1.”、8 是两个定点，且0 8|=8,动点M 到 4点的距离是1 0,线段M B的垂直平分线/交 标 1 于点P,若 以 所 在 直 线 为 x 轴，的中垂线为y 轴，建立直角坐标系.(I )试求尸点的轨迹C的方程；(II)直线w x y4 相=0(切CR)与点P所在曲线C交于弦EF,当加变化时，试求AAE F的面积的最大值.讲解：(I )以Z8 所在直线为x轴，中垂线为y 轴，则/(-4,0),B(4,0)R4+PB=R4+PM=O/.2 o=1 0,2 c=8,/.a=5,c=4:.p点轨迹为椭圆+=12 5 9(I I )m x y m=Q,过椭圆右焦点 B (4,0)y =m(x -4)一V A-1-11 2 5 9x =+42m 2 C.-w O)工+匕=11 2 5 9I 72：(2 5+9 -)y2+y 81 =0m mI-加2办7r9 0加7 1*m2,/%为直线斜率 可 令 片 tg，代入*得加一 时 竟僵喘方意(V si n。0)9 0 si n 9 _ 9 0 -21 2“T1-2k 2 +5 c ,1 、c 1 而-=(2 H-)=-2-/(X.)/区)/区)+22 3.函 数 f(x)=log“(x-3a)(a 0,且 aW l),当点尸(x,y)是函数产f(x)图象上的点时，0(x2a,y)是函数片g(x)图象上的点.(I)写出函数片g(x)的解析式.(I I)当 x e a+2,A3时，恒有(x)g(x)|W 1,试确定a 的取值范围.x=x-2a讲解：(I)设尸(xo,是 尸 f(x)图象上点，0(%y)，则1 ,广 一 为/=x+2。1/.j=logrt(+2a3a),产log,，-(xa)7o=-y xax-3 a 0(I I)x-a 0.,.x3a丁F(x)与 g(x)在 界2,出3上有意义.3aVK2AO1*.*I f(x)g(x)I W1 恒成立=|logaCr-3a)(xa)|W1 恒成立.-1V log (x-2。)2-V 1 2 2 18L o a (x-2 a)2-a2 -0 Q 1a对 齐2,歼3上恒成立，令力(x)=(xZa)?一J其对称轴产2&2aV2,2 Vm*2.当 万 卅2,a+3Anin(x)二 力(K 2),Am二 力(a+3)原 问 题 等 价 1一之力 max(X),aQ 4 4。i=0 9-6 t7a9-V 5 71 22 4 .椭圆中心在原点0,焦点在x轴上，其离心率6 =,过 点C(1,0)的直线/与椭圆后相交于4 6两点，且。分 有 向 线 段 的 比 为2.(I )用直线/的斜率以20)表示A 4 8的面积；(I I)当而占的面积最大时，求椭圆 的方程.讲解：(I )设椭圆 的方程为W +q=l(a 8 0),由 二=2a2 b a V 3.,.a=3 Z 2故椭圆方程1+3/=3 设4(小,)、以及,),由于点C(T,0)分有向线段方的比为2,M+2x2 L必+2%=0I 3X +1 =-2(X2+1)、必=-2%由 06k23k2-3b2“5引1 1 3 3 3 _而8*=5|必%1=5|2%1=5 1%1=5 1以2+1)1=5 1眉I/+1 I 由得:用+1=一一，代入得：&。后-4幺L/HO)3 左 2+1 3 2+1(Il)因见以尸 3，=-=-,当且仅当k=,5M也取得最大3%+1 3|%|+工 2 g 2 3阳x+2 Y止 匕 时 与+莅 二 一 1,X V 1 二 一 13*e X-1,X 2=-2将矛1,照及底工代入得3庐 53.椭圆方程1+3/=52 5.已知函数段）在（一1,1）上有定义，尸1,当且仅当0 4 i时，兀00,且对任意X、x+yyG(1,1),都司(x)+/y)y 孙).试证明：(I)/为奇函数；(1 1)4 0 在(一 1，1)上单调递减；1 1 -i-)+/()(III)1+/(5)+11)+“+犬(”+1)(+2)1 +2=o.(M eN,)/)+/3)=/(产)，令x=1 =0讲解：证明：(I)由 肛得/(0)+/(0)=/(0)./(0)=0Y-Xy=-X,则y(x)+/(-%)=/(-)=/(o)=o令1-X-BP/(-%)=-/；.兀 0 为奇函数(1【)先证在(0,1)上/(X)单调递减.令 0 X 工 2 V 1f(x2)/(X)=f(x2)+f(-Xt)=/(*2。)1 -x2-Xj 0 X 0 1 -x2-Xj 0-0.l-x2-x又(2 -X1)-(l-X2 X )=(x2-l)(Xj+1)0.x2-x 1 -x2 X jx2-Xj.,.01-%2 ,X1 )2)0)4(2)设两直线方程分别为：yl=k(xa)y1=-y-(xa)k代入方程 +(yT)2=l(y0)4由 0=a2 0=a2 k=l=a2 5k2又 P(a,l)不在线段y=l(-2WxW2)上，a 2Aae(-V5,-2)U(2，V5)2 7.已知直线/:y=M+6 与椭圆G V+匕=1 交于4、6 两点，是线段4?的中点，03为坐标原点.(1)当直线/与x+尸 0 平 行(不 重 合)时，求 直 线 的 斜 率；(2)如果|例=1,证明：.=优 丁3)2；E+9(3)在(2)的条件下，当线段15 的长度取最大值时，求直线的方程.讲解：(1)k M =3(2)证明：将 y=k x+b 代入曲线方程得(k2+3)x2+2kbx+b2-3 =0解 出 M(三 也，二 +人)k2+3 k2+3由|OM|=1化简得b=k2+9直线的方程为y=6 x土 后 或 丫=-拒x土也2 8.在A勿平面上有一点到A(如 外，8(恁，对每个自然数,点8位 于 函 数 尸 2000(巴)(0a+匕+2 =三 叵?b+1 A b=巴 土 正 或 色 士理10 2 10 2又 OVaVlO.,.a (5(右 一1),10)(3)解：在(2)所确定的范围内的最小正整数为77 1令 Cn=lg(bn)=lg2000()2 03.3010+(-1+0.8451)(n+-)02,1 ,3.3010 O1n+-21.312 0.1549n V 2 0.8,故数歹IJC的前20项和最大2 9.已知函数/(x)=m(%+-)的图象与函数h(x)-(x +-)+2 的图象关于点x4 x/(0,1)对称.(I)求m 的值；(1)若 8(x)=/-(x)+且 且 g(x)在 区 间(0,2)上为减函数，求实数。的取值4x范围；(HI)在条件(II)下，试证明曲线c i：y=，与曲线0：y=l(x+l)3x4 的交点不可能落在y 轴的左侧.讲解：(I)设 P (x,y)为函数h(x)图象上任意一点，点P关于点A的对称点为0(x,y),则有-=02x =-x即 2，(y =-y-,点。在 f (x)=m x +y =m(x +x1.m=.42 y=t n (_ x-),即 y w(x H )+2,.1XX(I I)g(x)=L(x +上 与.设任意x”e (0,2 ,且X +“)0,4 X%2对一切网,e(0,2 恒成立.xtx2-(1 +a)0对 一切X ,%2 w (0,2 恒成立.1 +心 4 ,3.(I l l)y =1 2/(x +1)-3 x -4 =x +1证法一：假设两曲线的交点在y轴左侧，即交点的横坐标x 0 0 G o W-1)则 I。=且o /。1,.o 1,即 J.x 2.x0+1 x0+1 2这与假设x V 0矛盾，故两曲线的交点不可能在y轴左侧.证法二：假设两曲线的交点在y轴的左侧，即交点的横坐标.M 4 六一 1)1 若 一1 死 2,而O v/。1,与假设矛盾；%+12 若x 0,与假设矛盾.X。+1故曲线a与曲线C z的交点不可能在y轴左侧.3 0 .已知抛物线y 2 =2 p x(p 0)上有两动点A、B及一个定点M(x 0,打)，F是抛物线的焦点，且|A F|、|M F|、|BF咸等差数列。(1)求证：线段AB的垂直平分线经过这。(+,0)；(2)若|M F|=4,|O Q 1=6 (O是坐标原点)，求此抛物线的方程；(3)对 于(2)中的抛物线。问：A、B两点的距离为何值时，4AQB的面积最大？试说明理由。讲解：(1)设/&,必),8包,力)，则项+g,忸曰=/+，PMF xo+-.依题意：=目+|8 F|),即与+，；%+?+卜(+彳PZHX.+x2fJ XQ=。.线段AB的中点坐标可设为（x 0,/）,其中/=旦 士 左。因 3=/二力 if 士伊一弘+打，线段AB的垂直平分线方程为y t -（x X。），即/x （XQ+尸）+y p-0 ,P故线段AB的垂直平分线过定点Q（X o+p,0）。（2）由|网=4,国=6,得Xo+y=4,x0+p=6,联立解得：p 4,XQ 2 .抛物线的方程为_/=8 x。（3）将直线AB的方程歹一/=；（一2）代入y 2 =8 x,得/-2勿+2 -1 6 =0,依题意乂,必是上述方程的两实根。.4=一4/+6 4 0 得/e（4,4）,且，,o=2 1 6，（乂 一%）2 =（乂+无 一4乂%=（2 7）2 4（2/2一1 6）=6 4-4儿又（项一工2=白（-贡）2 =（弘+%）2（弘-h）2 =（必-%）2 =（1 6-2）。6 4 6 4 l o 4AB=J（X|f）2 +（弘 一/）2 =1 7（1 6 +/2X16-/2）。又点Q （6,0）至lj AB的距离d =J 1 6 +,S“小郎；J(1 6 +/2)(1 6 +，)(1 6一 J)4A/21(1 6 +/)(1 6 +/)3 2-2)4 H等令 1 6 +=3 2 ,得，=3有 (4,4),则当且仅当/=3 jJ时.，60缈)=丝 痴。3 /m a x 9此时 回=；J(1 6+产16)1 6 7 23故当A、B两 点 的 距 离 为 与2时;A 4 Q 8的面积最大。3 1 .已 知AB是椭圆T +4 =l(a b 0)的一条不与坐标轴平行的弦，M (2,1)是a b AB的中点，以M为焦点，椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线A B交于点N(4,-1).(i)求椭圆的离心率e；(i i)设双曲线的离心率为e,试将椭圆的半长轴a表示为e的函数，并求出椭圆长轴长的取值范围。讲 解：(i)设 椭 圆 上 的 点A、B的 坐 标 分 别 是(花,)、昆，)，则K 一8=m=_ 卜=乂+%=1x,-x2-2-4 5 O M X+X2 2 又:两 式 相 减 得*=-中21ZA.=_ q,_ 1=_ 1,2 =2 6 2 2 =2 _/=从。X 乙 了1+工2 。2，椭圆的离心率/=r-。a 42b 22（i i）椭圆的右准线为x =M =2=2 Z。c b由双曲线过点N （4,-1）及双曲线的定义有 +）+（：一 夕=e,即e =i。|2/）-4|卜-2 阀*/e 1,*.-1,解得 2 。2 5/2 ，或。2A/+2|a-2 v 2|直 线AB的方程为y =x +3,代入椭圆方程、2+2歹2 =。2得 工2+2（工+3）2 =。2,即3 x 1 2 x +1 8 c i =0 直线与椭圆相交，.=1 2 2 4 x 3 x（1 8 。2）0,即Q26M后 取的交集得痛42后 或2也 42拒+2。椭圆的长轴长2a e（2后,4J 5）U（4V 2,4V 2+4）3 2.有一位同学写了这样的一个不等式x2+c +1C +1(X 7?)0（i）他发现当c取正整数1、2、3时，不等式都成立。他想，当c取 区 间（0,1）内的数时，不等式成立吗？若成立，请你帮他证明；若不能成立，请你帮他举一反例。(i i)这位同学还发现，对已知的正数c,把不等式右边的“C +1 ”4c换为某些值（如一C、0等），不等式总是成立，请你帮他求出所有这样的值的集合M。讲解：（i）当0c l时，不等式不成立。例如取c =,x=12x2+X +1 _