2023年江西省新干县高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知双曲线C：=一4 =1 (。0/0)的左、右焦点分别为耳，居，过片的直线/与双曲线C的左支交于A、a2 b28两点.若|AB|=|A|,NB46=120,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=+-x B.y=+-x C.y=D.y=(/5-l)x2.达芬奇的经典之作 蒙娜丽莎举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑,，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对 蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A C处作圆弧的切线,两条切线交于8点，测得如下数据：AB=6cm,BC=6cm,AC=10.392cm(其 中 且a 0.866).根据测量得到的结3.在AA3C中，。为AC的中点，E为AB上靠近点5的三等分点，且8D,CE相交于点P,则 丽=(A.-A B +-A C3 21 一 1 .B.-A B +-A C2 41 1 -C.AB 4 AC2 32 1_D.-A B +-A C3 34.已知函数/(x)=J-x(a0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，则实数。的取值范围为()ar2 v2 45.已知双曲线C：-2 _=i（a0,Z0）的右焦点为尸，过原点。作斜率为；的直线交C 的右支于点A,若0*=|。尸|,a-b 3则双曲线的离心率为（）A.百 B.小 C.2 D.73+16.设。，区厂分别为AA3C的三边的中点，则方+定=（）A.B.册 C.BC D.-BCxnx-2x,x07.已知函数/（x）=%3 n的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=-l 对称的点在g（x）=-l 的图像x+/x,x W 0上，则女的取值范围是（）A.（：,1）B.（U）c.（1,1）D.（；,1）8.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）口019.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7 的 7 个相同的球，从中任取3 个编号不同的球，则取的3 个球的编号的中位数恰好为5 的概率是（）2 8 6 3A.B.C.D.一35 35 35 71 0.如 图 1,九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1 丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，间折断处离地面的高为()尺.C.4.2 D.5.811.某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）1 2.已知。=（=严,）=l o g|0.2,c =d,则 a,6,c 的大小关系是（）2 2A.abc B.cab C.ach D.bc 0）的左右焦点为片，尸 2,过 K 作 x轴的垂线与C 相交于A,8 两点，耳8 与），轴相交于。.若则双曲线C 的离心率为.1 5.已知a是第二象限角，且 s i n a=,5t a n （a+尸）=-2,贝!t a n =16.32-x-,x.O232x-,x02已知函数/（x）=/（2-m），则实数m 的取值范围为三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）.f（x）=l n x-侬有最大值，且最大值大于0.（1）求 的取值范围;(2)当时，/(%)有两个零点看,(百%2)，证明：xfx2 0)过 M(2,V2)，N(,1)两点，O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 厉_ L而？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由.21.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间叵-2s,元+2s)之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中三,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s。15(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小；(2)若一个零件的尺寸是100 c m,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.1 。22.(10 分)已 知/(x)=x-5(l n x)-Al n x-l(k e R).(1)若.f(x)是(0,+8)上的增函数，求人的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点，判断函数,f(x)零点的个数.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】设|伍|=加，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设=|人用=加,.忸近|=11 一2 1 人用.|人尼卜 c o s 12()=J 5 m ,由双曲线的定义可知：|从用=加-2a,因此忸用=2a,再由双曲线的定义可知：忸 闾 _ 忸 凰=2 二 m=。，在 三 角 形 6中，由余弦定理可知：|耳闯2=的+|你-21ApJHM|COS120 n o?=(5-2 6)/=以 2+从=(5-2回 储=k=(4 一2/3)2=勺=(4一2百)=2 =6-1，因此双曲线的渐近线方程为：a ay =(百-1)龙.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.2.A【解析】由已知A B =8 C =6,设 N A B C =2 6.可得s i n 6=喷 上=0.866.于是可得。，进而得出结论.【详解】解：依题意A 3 =B C =6,设 Z A B C =26.贝（j s i n 0=*_ o 866 工 7 2.0 =-9 20=.3 3设 蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为。.贝（J a +2。=%，7 TC L =.3故选：A.【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.3.B【解析】.AP=xAB+yAC,贝！I 而=x荏 +2y 赤，A P =-A E+y A C,由B,P,。三点共线，C,P,E三点共线，可知x +2y =l,5+y =l,解得羽）即可得出结果.【详解】_ _ _ _ .设 丽=x A +y 而，则/=%而 +2），而，A P =-A E+y A C,因为8,P,。三点共线，C,P,E三点共线，3r 1 1所以x+2y =l,三 +=1,所以x =q，y =：.2 2 4故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.4.B【解析】函数y =/（x）的图象恒在X轴的上方，纪 x 0在（0,+8）上恒成立.即e x,即函数y =e的图象在直线y =xa a a上方，先求出两者相切时a的值，然后根据“变化时，函数y =4的变化趋势，从而得a的范围.a【详解】由题 x 0在（0,+8）上恒成立.即4 x,ay =的 图 象 永 远 在 =的上方,aa*.a设y =C与y =X的 切 点（毛,%）,贝 卜a，解 得“=e，%。易 知。越 小，y =J图象越靠 上，所 以0Jc2+h2 h2-,则cb24产方 一,整理计算可得离心率.a【详 解】解：以。为圆心，以|。尸|为半径的圆的方程为联 立 r2 +2=2CV J2,取第一象限的解得1ajc2+b2x=-cb2y=c即Aay/c2+/?2 b2、/b2,则4aslc2+h2 3,整 理 得（9 c2-5/）卜2-5）=0,c2 5 c2则 二=士 j5.a故选：B.【点 睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6.B【解 析】根据题意,画出几何图形，根据向量加法的线性运算即可求解.【详 解】根据题意,可得几何关系如下图所示：EB=-1（BC+BA）,FC=-（CB+C4）方+卮=_ g阿+网 （而+可=-A B +-A C =A D2 2故选:B【点 睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.7.D【解 析】根据对称关系可将问题转化为/（X）与y =-1有且仅有四个不同的交点；利 用 导 数 研 究/（X）的单调性从而得到/（x）的图象；由 直 线y =一 区 1恒 过 定 点A（O,-l）,通过数形结合的方式可确定Me（心。,以J；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得kA C和kAH,进而得到结果.【详解】g(x)=依-1关于直线)，=-1对称的直线方程为：y=-kx-l原题等价于/(力与丁=一衣-1有且仅有四个不同的交点由丁=一日一1可知，直线恒过点A(0,I)当x()时，/,(x)=l n x+l-2=l n x-l./(力在(0 0上单调递减；在(e,+x)上单调递增由此可得/(x)图象如下图所示：其中A 3、A C为过A点的曲线的两条切线，切点分别为8,C由图象可知，当 左c(左A。，砥J时，/()与 =一日T 有且仅有四个不同的交点设C(w,mI n机一27w),m 0,贝!J心。=此；一1 =-,解得：m=m-02 3,c m i c H n +1 W 0,贝L 0,3 2k.=2n+-=-AB 2 n-Q解得：=一1,c 3 1 KB=-2+-=-设B,则Acr1本题正确选项：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.8.C【解析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-A旦G A中截去四棱锥4-ABC。所形成的几何体，该几何体的体积为V=13-1x12x1=2.3 3故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.9.B【解析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有C；C；,所 有 的 情 况 有 种，由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的 情 况 有 所 有 的 情 况 有 种由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：8C；35故选：B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.10.B【解析】如图，已知 AC+AB=10,B C =3,A B2-A C2=B C2=9：.(AB+A C X A B-A C)=9,解得 A8 AC=0.9,AB+AC=10 AB=5.45AB-AC=0.9 AC=4.55折断后的竹干高为4.55尺故 选B.11.D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA_L底 面ABC。的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高 为PA=2,.四棱锥的体积为V=LI t?2 2=4f .3 2 3故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.属于中等题.12.B【解析】利用函数y=与函数y=lg X互为反函数，可得0。人 1,再利用对数运算性质比较a,C进而可得结论.【详解】依题意，函数），=（；）与 函 数=关于直线）=x对称，则。（）log.0.2,（.0.2xlog,0.2 z log,O.20 2/.、0.2 z 1、0.2即又0=。=（5）-=（耳 =0.2。=a，所以，cab.故选：B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.2 0.2【解析】分别求出随机变量第和&的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a,Z G1,2,1,4,5 ,则p（却=a）=,其部分布列为：:112145P11111/55555E(Q)=-x (1+2+1+4+5)=1.D(羡)=|x (1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2=2.第=1.4|a-b|的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,4 2 3 3 2 2 1 1产=1.4)=?=于 尸=2飞=而，P =4.2)%=历，P-5.6)=声方可得分布列.421.42.34.25.6,、2 3 2 1E（弓2）=1.4 x F 2.3 x-F 4.2 x-1-5.6 x 2.3.5 10 10 10P253To2To1To：.E(Q)-E(a)=0.2.故答案为：2,0.2.【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.14.7 3【解析】由 已 知 可 得=4 8=也，结合双曲线的定义可知|A K|A居|=Z=2 a,结合C 2=/+从，从而可求出离心率.【详解】解：-.-0 =F2O,O D H F2B,|D|=|7)|,又.A 0 _L 8不 贝!j|A制=|A B|=2|A段.A2 7 A2 A2.AFA=,:.AF=A B=,：.AF-AFJ=2a,即=2/=c?Ya a a解得 c=M a 即 e =V 3 .故答案为：7 3.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出|A F j =幺关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.315.4【解析】由a是第二象限角，且s i n a =q，可得t a n a,由t a n (a+/)=-2及两角和的正切公式可得t a n力的值.【详解】解：由a是第二象限角，且sina=,可得c o s a =-2叵，t a n =-5 5 22/八 tan a +tan -由 tan（a +4）二-2,可得；-=-2,代入 tana=/1 -tan or x tan p3可得 tan 0 =一 一 ,43故答案为：一二.4【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性.16.2 4【解析】画图分析可得函数是偶函数，且在（0,+8）上单调递减，利用偶函数性质/（x）=/（W）和单调性可解.【详解】作出函数/（X）的图如下所示，观察可知，函数/（X）为偶函数，且在（Y,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，故/（3加-1）/（2-加）o|3m-l|2-m|,1 38m-2m-3 0 m,2 41 3故实数?的取值范围为（-小亍）.2 41 3故答案为：2 4【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：（1）如果函数/（X）是偶函数，那么f（x）=/（凶）.（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)|0,-|；(2)证明见解析.I ej【解析】求 出 函 数y =/(x)的定义域为(0,+。)，r(x)=竺，分 心0和a0两种情况讨论，分析函数y =/(x)的单调性，求出函数y =/(x)的最大值，即可得出关于实数。的不等式，进而可求得实数。的取值范围；(2)利用导数分析出函数y =/(x)在(0,3)上递增，在(3,+8)上递减，可得出0玉 3 o,进而得出，再由函数y =/(x)在区间(3,+8)上的单调性可证得结论.kXl 7【详解】(1)函数/(x)=l n x-a r的定义域为(0,+功，且/(力=.当时，对任意的x0,f(x)0,此时函数y =/(x)在(0,+8)上为增函数，函数y =/(x)为最大值；当a0时，令/(x)=0,得1 =.a当0 x 0,此时函数y =/(x)单调递增；当尤(时，/(x)0,解得0aL综上所述，实数。的取值范围是0。!；e(2)当a =g时，”x)=l n x-；x,定义域为(0,+功，r(x)=-=-,当o%o；当x 3时，r(x)o.x 3 3元所以，函数y =/(x)的单调递增区间为(),3),单调递减区间为(3,+8).由于函数y =/(x)有两个零点斗、且办 ，.,.0 X 1 3 工2,r/J 3 0)“、/30(.x Q f,3 0 1 0、7 I 3；1 0 =f M-f =加玉一寸-I n -r=3 1 0%,-+-J-1 H 3 0,X1 /3 7%1 Xx)。Ix i n构 造 函 数g(x)=3 1 n x-3 +W l n 3 0,其 中0 工 3,g x)=2 0X3-9X2+6033 x3令/z(x)=/-9 f+6 0,(x)=3 f-1 8 x =3 x(x-6),当0 x 3时，(x)M 3)=6 0,则g (x)0.所 以，函 数y =g(x)在 区 间(0,3)上单调递减，/0 x,(？(3)=3 1 n 3-l +-l n 3 0 =l n 0.9 +-0,9 9gP/(x2)-/-T =/(%)-7 T =g(x j。,即/(工2)/T G J X1 7.c 0 玉 w3 0 =1 0 3n“,、且 3,而 函 数y =/(x)在(3,+c o)上为减函数,3 0 ,所 以，xi ,因此，xx2 0)过M(2,血)，N(四,1)两点，a b4.2=1解得=1FIFT+-26一2a如所J_1I，所以；=8椭 圆E的方程为+$=11 _ 1 b2=4 8 4F=4(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 砺，砺，设该圆的切线方程y=kx+m为 y=kx+m解方程组/2 得/+2(H+加)2 =8,即(1 +2左2口2+4加优+2病一 8 =0,+=18 4则乙=1 6二加2 ,4(1 +2k2)(2 病-8)=8(8/-m2+4)0，即 8k2-m2+4 0%+x24km-1 +2公2加2 81 +2公 、/,、，2、2 左 2(2 _ 8)4k2 m2 2 rn2-8k2yxy2-kxx+m)(kx2+/?)=k xx2-k-km+x2)4-m -j-+m =yy2=(g +m)(kx2+m)=k2xtx2+k m +x2)+m2=2今-:上 工+m2=:裁1 I-乙 K 1 I-乙 K J L 乙 K要 使 砺J.砺，需使内电+正=0,即 冽 Y+*=0,所以3 m2 一8心-8 =0,所以k2=迎 二 2 0又1 +2 k 1 +2 k 88k2-m2+4 0,的、1 1 /2 U G、|2、8 2A/6 T 2 7 6所以,，所以m2二，即mN二 一 或根4一,3 m-8 3 3 3因为直线丫=+，为圆心在原点的圆的一条切线，2 2 cH，=工=_nr_=r所以圆的半径为=7 /1 +/3 m 2-8 3,r =，J l +公 1 3O所求的圆为/+：/=,此时圆的切线丫 =履+，都满足 匹或根西，3 3 3而当切线的斜率不存在时切线为x =半 与 椭 圆/+(=1的两个交点为(厚，士 逑)或(-半，土半)满 足OA1OB,Q综上，存在圆心在原点的圆/+使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 砺，砺.考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系.点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定 理.存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性.2 1.(1)6 6.5 (2)属于【解析】(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解；(2)求出叵-2 s,元+2 s),即可判断得解.【详解】(1)j c =3 5 x 1 0 x 0.0 0 5 +4 5 x 1 0 x 0.0 1 0+5 5 x 1 0 x 0.0 1 5 +6 5 x 1 0 x 0.0 3 0+7 5 x 1 0 x 0.0 2 0+8 5 x 0.0 1 5+9 5 x 1 0 x 0.0 0 5-6 6.5(2)x+2 s=6 6.5 +3 0 =9 6.5,x 2 s =6 6.5-3 0 =3 6.5,v l 0 0 9 6.5所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.(7,1 三个零点【解析】(1)由题意知f(x)20恒成立，构造函数F(x)=x-nx-k,对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；当 攵 1时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证/(内)0,/(x2)0.【详解】(1)由 /(x)=x-g(l n x -Al r u-l 得,由题意知/(%)2 0恒成立，即x l n x左20,设F(x)=x-h r v Z,F(x)=l-px e(O,l)时户(x)0,尸(x)递增;故厂(x)疝n=尸(1)=1 一ZNO,即ZW1,故攵的取值范围是(一8.(2)当Z W 1时，/(x)单调，无极值；当左 1 时，/(1)=1一0,且E(x)在(0,1)递减，所以尸(x)在区间卜T,1)有一个零点.另一方面，尸(*=/一2女，设g(k)=ek_2 k(Q 1),则g伙)=才 一2 0,从而g(。在(1,+8)递增，则g伏)g(l)=e-2 0,即 网i)0,又尸(x)在(1,小)递 增，所以尸(x)在区间(1,/)有一个零点.因此，当左 1时/()在卜一”,1)和(I)各有一个零点，将这两个零点记为不x2(%,1 0,即/(x)0；当x e(X ,X 2)时”(x)0,即/,(x)0；当XG(W，+0,即/(力 0：从而/(x)在(0,%)递增，在(石,电)递减，在(%,+8)递增；于是*是函数的极大值点，是函数的极小值点.下面证明：/(%,)0,/(x2)0由/(七)=0 得%IrW -k=0,即 Z =X 1-ln X 1,由/(玉)=玉 _ g(ln X 1)2 A ln x 1一1得 了(%)=菁-(in X j)2-(x j-IrLrJln X j-1J 2xl+(in%,)-x j g -1,1 2令m(x)=x +5(ln x)-xnx-l,则 加(x)(1 x)ln xx当j(O,l)时 加()2 =0,而 王 0；当X W(l,+8)时7”(x)1，故/(&)；一方面，因为/(e-2*)=e-l 0)得e*1+左，则有：/(e4*)=e4 A-12 -l(l+Z:)4-12 P-l=A:4+1上 0,、4 J 4又 )0,且“X)在(匕，位)递 增，故“X)在卜2，0公)上有一个零点，故/(X)在(%2，+。)上有一个零点.又/=0,故/(X)有三个零点.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用.在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论.