五年级奥数计算专题讲义.pdf

定义新运算知识框架一 定义新运算(1)基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。(2)基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。(3)关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。(4)注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：+、一、X、+等.如：2+3=5 2X3=6都是2 和 3,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，“一”，“X”，“+”运算不相同.二、定义新运算分类(1)直接运算型(2)反解未知数型(3)观察规律型(4)其他类型综合U重难点(1)(2)(3)正确理解新运算的规律。把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。新运算也要遵守运算规律。例题精讲【例1】对于任意两个数X和y,定义新运算 和，规则如下：x*y=2上，XX乙 如:x+2y x+y+31.2=2x1+2,1 0 2=1x21+2x2 1+2+3由此计算：0.3 6.(4)lg =.【巩固】对于任意两个数R,y,定义新运算，运算，规则如下：x y=x x y-x +2,x y=x+y 2 .按此规则计算：3.6 2=,0.124（7.54.8）=【例2】如果。、b、。是 3 个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即Wa+b b+a.(2)(a+/?)+c=a+(b+c)。现在规定一种运算*”,它对于整数a、b、c、d 满足：(a,b)*(c,d)=(axc+b x d,a x c-b x d)o例：(4,3)*(7,5)=(4x7+3x5,4x73x5)=(43,13)请你举例说明，*运算是否满足交换律、结合律。【例 3】用 a 表示。的小数部分，同 表示不超过a的最大整数。例如：尤+2 0.3 =0.3,0.3 =0;4.5 =0.5,4.5 =4 记/(%)=j-,请计算,个)，个1)口(1)的值。【例 4】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按 中f左f右 的顺序。如：图/表 示：2+3,8 表示2+3 X 2 1。图 C中 表 示 的 式 子 的 运 算 结 果 是。【例 5 对于任意有理数x,y,定义一种运算 ，规定:x 片依+勿其中的a，0，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道l X 2=3,2 X 3=4,x X m=x(m*0),则m的数值是【巩固】x、y 表示两个数，规定新运算*及 如下：x*y=mx+ny,x A y=kxy,其中。、k 均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)4=6 4,求(1 A 2)*3 的值.【例 6 喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求3 个正整数（+6）+c 的值。当它依次按了 c,=,得到数字5。而当它依次按4+,为+,c,=时，惊讶地发现得到的数值却是7。这时喜羊羊才明白计 算 器 先 做 除 法 再 做 加 法。于 是，她 依 次 按（,+,0,）,+,c,=,得 到 了 正 确 的 结 果为。（填出所有可能情况）例 7 国际统一书号/S B N 由 1 0 个数字组成，前面9个数字分成3 组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是/S B N 7-1 0 7-1 7 5 4 3-2,它的核检码的计算顺序是：7 x 1 0+1 x 9 +0 x 8 +7 x 7 +1 x 6 +7 x 5 +5 x 4+4 x 3+3x 2 =2 0 7；2 0 7+1 1 =1 8 9；1 1 9 =2。这里的2 就是该书号的核检码。依照上面的顺序，求书号/S 8 N-7-30 3-0 7 6 1 8-口的核检码。例 8 华、杯、赛 三个字的四角号码分别是“2 4 4 0 、4 1 9 9 和 30 8 8 ,将 华杯赛”的编码取为2 4 4 0 4 1 9 9 30 8 8,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变 9,1 变 8等，那 么 华 杯 赛 新 的 编 码 是.【例 9】已知：1 0 A3=1 4,8 A 7=2,三3 士1=1 ,根据这几个算式找规律，如果4 4-x=l,那么x=.8【例 1 0 6 4 =2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 表不成 6 4)=6;2 4 3=3x 3x 3x 3x 3表不成g(2 4 3)=5 .试求下列的值：1 2 8)=(2)/(1 6)=g()/()+g(2 7)=6;如果x,y 分别表示若干个2的数的乘积，试证明:/(x-y)=/(x)+f(y).【例 1 1 对于任意的两个自然数a 和6 ,规定新运算*:a*b=a+(a+l)+(a+2)+-+(a+b-l),其中。、人表示自然数.求1*1 0 0 的值；已知x*1 0 =7 5,求 x 为多少？如 果(尤*3)*2 =1 2 1,那么x 等于几？【巩固】两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为aO b,比如50 2=1,70 25=4,60 8=2.(8级)求 19910 2000,(50 19)0 19,(19 5)0 5;(2)已知11。x=2,而x小于20,求X；(3)已知(190 x)0 19=5,而 x 小于 50,求 x.【例12 设附是两个非零的数，定义冰8=巴+匕b a(1)计算(2派3)派4与2派 幽4).如果已知a是一个自然数，且3=2,试求出a的值.【巩固】定 义 运 算 如 下：对于两个自然数a和 它们的最大公约数与最小公倍数的差记为aQb.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10014=70-2=68.求 12021,5015;(2)说明，如果c整除a和瓦则c也 整 除 如 果c整除a和a。6,则c也整除b;(3)已知6G)x=27,求x的值.课堂检测【随练1】如果 1X2=1+112X 3=2+22+2223X4=3+33+333+333+3333计算(3X2)x5.【随练2】规 定 新 运 算 :若 工 (41)=7,则x=.-家庭作业【作业 1】规定“b=ax(a+2)-(a+l)-b,计算：(2A 1)+(11A 10)【作业2】规定笈2=6+66=722X3=2+22+222=246,1X4=1+1+111+111=1234.7X5=【作业3】如 图 2 只甲虫从画有方格的木板上的A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B,图 1中的路线对应下面的算式：1-2+1 +2+2-1 +2+1=6.请在图2 中用粗线画出对应于算式：21+2+2+2+1+1+1 的路线.【作业4】0 表示一种新的运算符号，已知：203=2+3+4;702=7+8：305=3+4+5+6+7,按此规则，如果nO8=6 8,那么，n=.【作业5】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号表示：羊4 羊=羊；羊4狼=狼；狼4 羊=狼；狼4 狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号表示：羊羊=羊；羊狼=羊；狼羊=羊；狼狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼.求下式的结果：羊（狼羊）羊（狼狼）【作业6】一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为S（），为偶数的那些数字的和记为E（），例如5（134）=1 +3=4,（134）=4.5（1）+S（2）+-+5（100）=；（1）+（2）+-+（100）=.教学反馈学生对本次课的评价。特别满意。满意O一般家长意见及建议家长签字：发现不同:知 识 框 架1、灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和2、能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和-知识框架一、裂差 型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即一 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即axb那么有J _)axb b-a a b2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：-=!-!-x(+R)x(+2左)2k n x (/I +k)(/?+k)(n+2k)nx(+Z)x(+2k)x(n +3k)3k nx(n+k)x(n+2k)(+Z)x(+2Qx(+3k)k(1 13、对于分子不是1的情况我们有：-=-(鹿 +攵)n n-k2 _+左)k n n-k )2 氏 _ 1 1n(n+k)(n+2k)(+&)(+%)(几+2&)3k 1 1(+左)(+2攵)(+3攵)(+%)(+2攵)(+%)(+2攵)(+3攵)h _ h 1 _ (+Z)(+2攵)2k (+攵)(+Z)(+2Z)h_ h 1 1(+2)(+2攵)(+3攵)3k (+Z)(+2Z)(+攵)(+2Z)(+3Z)2)2=i+U _ _ _q(2n-l)(2n+l)212-1 2n+l)二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接（3）分母上几个因数间的差是一个定值。例题精讲1、分子不是1的分数的裂差变型；2、分母为多个自然数相乘的裂差变型。例题精讲用裂项法求一-型 分 数 求 和分析：一i型（为自然数）因为-+1 n _ 1n +1（n为自然数），所以有裂项公式：-=-nn+1）n +1【例 1】填空:I(1)1-=2(2)112(4)(6)5916099x100(8)-99 100【巩 固】Ar白+白+白+息=【例 2】计算:1 1-H-F10 x11 11x12159x60【巩固】计算：-+-+-+-+-1985x1986 1986x1987 1995x1996 1996x1997 1997【例3】计算:112 2一 十 一 十 一+一2 6 15 354十 一77【巩 固】F +H-1-F +6 12 20 30 42 56 72 90【例 4】计算：-_!_!_!_!_!_ L2 6 12 20 30 42 56 72 90【巩 固】计算：1 +2-+3+4+20-2 6 12 20 420【例 5 计算：2008+2009 4-2010 +2011 +2012=18 54 108 180 270,【巩 固】计算:一1 +一5 +11 +19 +29+2 6 12 20 30970197029899+-9900二、用裂项法求一1型分数求和(+女)分析：-1型。(n,k均为自然数)(+%),1 1/1 1 、1 /1 1 、1 r +攵 f 1 -、-=(-)因为：(-;-=-,所以(+攵)k n n+kk n n+k k nn+k)(+4)(+%)【例 6】1 1 1 1-1-1-F H-1x3 3x5 5x7 99x101【巩 固】计算:-1 +一13 151 1 1H-1-d-35 63 991 14-+-143 1951 11【例 7】计算：25x-h 4 F 4-1x3 3x5 5x7-23x25【巩固】计算：(-+)x128=8 24 48 80 120 168 224 288三、用裂项法求-型分数求和（+2）分析：-一型（n,k均为自然数）5 +左）因为，-n+knkn n+k(+&)n(n+k)(+2)_1n n+k,所以(+%)【例 8】求 二2 +=2 +=2 +2的和1 x 3 3 x 5 5 x 7 9 7 x 9 9【巩固】10 x9 9x8 5x42473【例9】计算:-1-h1x4 4x73H-76x793 3 3 巩 固-1-1-1-2x5 5x8 8x113,H-32x35【例10】4 4 4-1-1-F 21 77 16542021【巩 固】2 2 2 2(+-)x463 15 35 575课堂检测1、计算:1 1 1-1-1-1x2 2x3 3x41-I-1-49x502、计算:11111 1 1-1-1-1-1-1-1-8 24 48 80 120 168 224x641111 13、计算：5x7 7x9 9x11 11x13 13x15U 4+47+,+76x79+79x825、计算：1 +3+5 +7 +9 +116 12 20家庭作业1、计算:2、1 1 1+I一6 12 201111+30 42 56 723、计算:1 1-+2 611111+十 一12 20 30 42 56+导击=4、11111-1-1-1-1-=10 40 88 154 2385、2 2 2 2+)x 5 08 24 48 9800概率知识框架三 概率的古典定义如果一个试验满足两条：试验只有有限个基本结果；试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.这样的试验，称为古典试验.对于古典试验中的事件A,它的概率定义为：P（A=-,表示该试n验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件A 包含的试验基本结果数.小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率.其中的加和需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出.四、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和 8 为对立事件（互斥事件），那么A 或 8 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件 5 发生的概率之和，为 1,即：P（A）+P（B）=1.五 相互独立事件事件A 是否发生对事件8 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.如果事件A 和 5 为独立事件，那么A 和 8 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B发生的概率之积，即：P（A B）=P（A）-P（B）.J例题精讲【例 13约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次.这样轮流掷下去.若约翰连续两次掷得的结果相同，则 记 1分，否则记0 分.若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1 次硬币的正面向上，则记1分，否则记0 分.谁先记满10分 谁 就 赢.赢 的 可 能 性 较 大（请填汤姆或约翰）.【巩固】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9,小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块.规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得 1分.当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分.每 人 扔 100次，得分高的可能性比较大.例 14 一个骰子六个面上的数字分别为0,1,2,3,4,5,现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这 种 掷 法 最 有 可 能 出 现 的 总 点 数 是.【巩固】有两个骰子A和B,骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6掷出的两枚骰子朝上的数字之和不是12的可能性是 0【例15】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆.小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车.小 红乘坐 路车的可能性较大.【巩固】同学等车上学，可坐8路或2 3路，8路10分一班，23路 车15分钟，则同学等车不超过8分钟的概率是。【例 161有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从 这8张牌中任意取出2张。请问:这2张扑克牌花色相同的概率是多少？【巩固】小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少【例 17】妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4中水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？【巩固】在标准英文字典中，由 2 个不同字母组成的单词一共有55个.如果从26个字母中任取2 个不同的排列起来，那么恰好能拍成一个单词的概率是多少？例 18 一只普通的骰子有6 个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面朝上的概率都是六分之一。假设你将某一个骰子连续投掷了 9 次，每次的结果都是1 点朝上。那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？【巩固】甲、乙、丙、丁四人玩扑克，发牌以后没人拿到13张 牌（整副牌共52张）。结果甲、乙两人共拿了 11张黑桃。请问：丙、丁两人恰好每人拿到1 张黑桃的概率是多少？有一人拿到2 张黑桃，另一人没有拿到黑桃的概率又是多少？【例 19】一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9 五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是【巩 固】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是 例 20 一个班有女生25人，男生27人，任意抽选两名同学，恰好都是女生的概率是几分之儿?【巩 固】从 6 名学生中选4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为【例21】一张圆桌旁有四个座位，A、B、C、。四人随机坐到四个座位上，求 A 与 5 不相邻而坐的概率.【巩 固】从装有3 个白球，2 个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率.【例 2 2 1 在某次的考试中，甲、乙、丙三人 优 秀（互不影响）的 概 率 为 0.5,0.4,0.2,考试结束后，最容易出现几个人优秀？【巩 固】在某次的考试中，甲、乙 两 人优秀（互不影响）的概率为0.5,0.4,考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？【例 23】A、B、C、D、E、尸六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中“，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽至 中 字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【巩 固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？【例 24某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为4 0%,如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少？【巩固】设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机，则至少应配备几门高射炮同时射击？课堂检测【随练3】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”.对此信息，下列说法中正确的是本市明天将有80%的地区降水.本市明天将有80%的时间降水.明天肯定下雨.明天降水的可能性比较大.【随练4】冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚 或2枚以上的硬币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？【随练5】分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?:家庭作业【作业7】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【作业8】用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为0.95；如果患者没有患肝癌，那么诊断出不是肝癌的概率为0.9。假设人群中肝癌患病率为0.0004。现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，请问：他实际患有肝癌的概率是多少？（结果保留3位小数）【作业9】某小学六年级有6个班，每个班各有4 0名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【作业10】甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：这两个数字的差不超过2的概率，两个数字的差不超过6的概率.【作业11】一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00.如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是.【作业12】工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？公式、特殊结论应用与换元法J考试要求(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算;(2)了解等比数列；(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。知识框架【基本概念】等比数列一一如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列(geome tric progression)o这个常数叫做等比数列的公 比(common ra tio),公比通常用字母。表 示 由#0)。注：(7=1时，a为常数列。【常用公式】F +2 2 +3 2 +.+/=x(+l)x(2”+l)；6(2)l3+23+33+-+n3=(l+2+3+-+z7)2=-；(3)1 +3+5+7+(2 1)=1 +2+3+(+1)+,+3+2+1=；(4)等比数列求和公式：(1)S.=4.+a +a闻1=%(/-1)”)；q-i(2)Sn-atq +aq H-F a)2=a22ah+h2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2 倍乘积在中央”.,例题精讲(1)平方和、立方和公式的灵活运用；(2)等比数列公式的灵活运用。例题精讲【例1】计算：V+22+3?+10()2【巩固】计算：12+22+32+-+502【例2】计算：-+2 3 +33+503【巩固】计算：13+23+33+-+1003【例 3】计算：22+42+62+-+202【巩固】计算：32+62+92+-+812【例 4】计算：23+43+63+83+-+203【巩固】计算：33+63+93+-+813【例5】计算：俨+32+52+29?【巩固】计算：13+33+53+73+-+493【例 6】计算：1 +2+4+8+16+32+64+一+1()24【巩固】计算：3+6+12+24+48+96+192+384+768+1536【例7】计算:1 1+2 41111 I-1-F-1-F8 16 32 6411024【巩固】计算：-+-+11+-+-+3 9 27 81 243 72912187【例8】5 1 +23+33+-+20065计算：-1 +2+3+2006【巩固】计算:13+23+33+-+2001 31 +2+3+2001【例9】对自然数a和 ,规 定=例如3y2=3?+3=12,那么:(1)1 V2+2V2+3V2+99V2=：(2)2V1+2V2+2V3+-+2V99=.【巩固】看规律 13=12,13+23=32,13+23+33=62 ,试求6,+7+1431【例 10】1-+3-+5-+7+9+11 +13+15+17+192 4 8 16 32 64 128 256 5121024rm 团曾 3 3 3 3 3 3【巩固】计算：+-+-+-4 16 64 256 1024 4096【例 11】计算：11x29+12 x 28+19*21=【巩固】计算：1x99+2 x 98+3x97+49x51=【例 12】计算：1x99+2 x 97+3x95+50 x1【巩固】计算：1x49+2 x 47+3 x 45+25x1=家庭作业1、计算：1 +3+5+7+752、计算：42+82+122+162+-+3623、计算：+32+52+19?4、计算：13+33+53+-+993=5、计算:,1111111+-+-+3 32 33 34 35 366、50 x50+49x51+48x52+47x53+46x54=一家庭作业1、计算：1 +3+5+7+9+992、计算：/+22+42+52+72+82+102+112+132+142+1623、计算：36+49+64+81+4004、计算：I3+33+53+73+93+113+133+1535、3 3 3 3一+2+4 +16248 512,563+73+83+5036、计算：-1 +2+3+50公式应用考试要求(1)灵活运用平方和、立方和公式进行计算;(2)了解等比数列；(3)灵活运用等比数列求和公式进行计算。一知识框架【基本概念】等比数列一一如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的也等于同一个非零蛋遨，这个数列就叫做等比数列S e o Re t r/c progression)。这 个 常 数 叫 做 等 比 数 列 的 公 比ratio),公比通 常 用 字 母 g 表示伺*0)。注：疔1 时，为常数列。【常用公式】2、13+23+33+-.+W3=(1+2+3+鹿=鹿2 X (+I)243、1 +3+5+7+(2-1)=1 +2+3+(-1)+(-1)+3+2+1 =2；4、等比数列求和公式:(1)S.=*+“W+“q i =4 W _ D(初);q-i(2)S“=%qO+1?,+!?-=幺 口.。1-夕5、平方差公式：a2-=(a+b)(a-b)：6、完全平方公式：(a +by=a2+lab+b2,a-b=a2-2ab+b2;用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2 倍，两条公式也可以合写在一起：(。城=/2岫+/.为 便 于 记 忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2 倍乘积在中央重难点(1)平方和、立方和公式的灵活运用；(2)等比数列公式的灵活运用。-J例题精讲【例 1 3 (31415926)2-3 1 4 1 5 9 2 5 x3 1 4 1 5 9 2 7=；(2)12342+87662+2468 x 8766=.巩固2009 x 2009 2008 x 2008=【例14】有一串数1,4,9,16,25,36.它们是按一定规律排列的，那么其中第1990个数与第1991个数相差多少？【巩固】a、6 代表任意数字，若 3 +6）x（a-3 =a x a-b x。，这个公式在数学上称为平方差公式.根据公式，你来巧算下列各题吧.98x 102（2）67x 73 64 x 28（4）2x 29x 3x 31【例 15】计算：(31415926)2-31415925x 31415927=【巩固】12342+87662+2468x 8766=【例 16】计算：2004 x 2003-2003 x 2002+2002 x 2001-2001 x 2000+-+2x 1=【巩固】计算：2012X 2011-201 l x 2010+2010 x 2(X)9-2009x 2(X)8+-+2x 1【例 17计算：27+2,*3+2 x3?+24x3*+23 x34+22 x3、+2x3$+3,的值。(已知 3?=2187,38=6561,39=19683,3=59049,2,=128,28=256,29=512,210=1024)【巩 固】计算：37+4 x 36+42 x 35+43 x34+44 x 33+45 x32+46 x3+47【例18】对自然数a和”,规 定 丽=a+尸,例 如3V2=3?+3=1 2,那么:(1)1V2+2V2+3V2+-+99V2=；(2)2V1+2V2+2V3+-+2V99=.【巩固】看规律 13=12,13+23=32,13+23+33=62.,试求6+73+14,【例 19】计算：Ix3+2x4+3x5+-9xll【巩固】计算：1x3+3x5+5x7+7x9+9x11+11x13+13x15【例 20】计算：11x29+12 x 28+19x21=【巩固】计算：1x99+2 x 98+3x97+49x51=【例 21】计算：1x99+2 x 97+3 x 95+50 x1【巩固】计算：1x49+2 x 47+3 x 45+25x1=【例 22】计算：1X2X3+2X3X4+3X4X5+-+8X9X10【巩固】计算：Ix3x5+3x5x7+5x7x9+21x23x25【例 10】计算：100 x100-99x99+98x98-97x97+2x2 1x1【巩固】计算：50 x50 49x49+48x48 47x47+2x2-1x1课堂检测2014x503-503x2010+2006x501-501x2002+6x1-1x21、计算:42、计 算:I3-23+33-43+53-63+73-83+93-IO3+1133、计算：50 x50+49x51+48x52+47x53+46x54=4、计算：2X4X6+4X6X8+6X8X10H-F50 x52x545、计算：56 X76+57 X75+58 X74+59 X73+5IOX72+5 X7一家庭作业1、37x37+2x63x37+63x63=2、计算：2x4+4x6+6x8+8xl()+-+24x263、计算：20 x 20-19x19+18x18-17x17+.+2x2-lxl.4、计算：1x69+2x67+3x65+35x15、计算：56 x36+57 x38+58 x310+59 x312+510 x314计数方法与技巧U知识框架(1)归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系.(2)整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系.(3)对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的.事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式.(4)递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法.例题精讲 例 25 一条直线分一个平面为两部分.两条直线最多分这个平面为四部分.问5 条直线最多分这个平面为多少部分？【巩固】平 面 上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分？平 面 上 100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【例2 6 1平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域?【巩 固】10个三角形最多将平面分成几个部分？【例27】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?【巩 固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【例28】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形.问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？【巩 固】在 三 角 形 内 有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【例2 9 在8 x 8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住6 x 6方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【例3 0 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个?【例3 1 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法.【巩固】学学和思思一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有种不同的摞法。例32 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法.【巩固】将112这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？【例3 3 1圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其 余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点（蓝点）的多边形称为红色（蓝色）多边形.不包含红点及蓝点的称无色多边形.试问，以 这12个点为顶点的所有凸多边形（边数可以从三角形到12边形）中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？【巩 固】有一类各位数字各不相同的五位数V,它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大.另有一类各位数字各不相同的五位数W,它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小.请问符合要求的数 与W,哪一类的个数多？多多少？例34 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法?【巩 固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法?【例 35】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1 3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?【巩 固】一堆苹果共有8个，如果规定每次取1 3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【例36如下图，一只蜜蜂从4处出发，回到家里3处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A房间到达3房间有多少种方法？U课堂检测【随练6】如图所示，在2X2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3X3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5x5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。【随练7】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【随练8】在8x8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的乜”形（如图），一共有多少种不同的方法?家庭作业【作业13】在一大块面包上切6 刀最多能将面包切成多少块.（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【作业14】在一个六边形纸片内有60 个点，以这60 个点和六变形的6 个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_ _ _ _ _ _ _ 个.【作业15】图中可数出的三角形的个数为【作业16】在一次小组长选举中，铮铮与昊昊两人作为候选人参加竞选，一共得了 7 张选票。在将7 张选票逐一唱票的过程中，昊昊的得票始终没有超过铮铮。那么这样的唱票过程有 种 不 同的情况。【作业17】请问至少出现一个数码3,并且是3 的倍数的五位数共有多少个？【作业18 如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里8 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法?裂项 J考试要求(1)