三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（解析版）.pdf

考向2 1三角恒等变换【2022 全国高考真题】若sin(a+0 +cos(a+4)=2 0 c o s(a +制 si”，则()A.ta n(a-0 =lB.tan(a+y?)=lC.tan(a-/?)=-l D.tan(a+/?)=-1【答案】C【解析】由已知得：sin a cos 0+cos a sin 尸+cos a cos/?一 sin a sin/=2(cos a -sin a)sin 尸，即：sin a cos/3-cos asn/3+cos a cos(3+sin a sin/7=0,HP：sin(6Z-)+cos(6z-/?)=0.所以 tan(a-/7)=-l,故选：C【2022 浙 江 高 考 真题】若 3sina-sin 夕=+=,则 sin a =,cos ip =【答案】M il i10 5【解析】a+B=%,/.sin/7=cosa,即 3sina-cosa=JT5,即5/15j”s i n a-Ws a =M ,令 sin0=,cos=M,t 10 10)10 10则 屈 sin(a-9)=ViU,：.a-d =+2k7t,k e Z,即。=+2%乃，.(c 万 c,)zi sina=sin，+2ATT=cos 6=-,I 2)10e c 4贝 Ijcos2/?=2COS2/?-1=2sin(7-1=.故答案为：亚；1.10 51.给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2.给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：(1)先化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.3.给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是(0-)，则选正、余弦皆可；若角的2范围是(0,疳，则选余弦较好；若角的范围为(一至二)，则选正弦较好.2 24.与三角函数的图象及性质相结合的综合问题(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成旷=4$析(5+9)+/或y=Acos(ftzr+9)+f 的形式.(2)利用公式7=空(。0)求周期.C D(3)根据自变量的范围确定5+e的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值.(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(yx+夕)+f或 y=Acos(&x+e)+f 的单调区间.常用结论1.两角和与差正切公式变形tan a tan/?=tan(a /3)(干 tan a tan/?)；八 .tan a +tan tan a -tan。.tana-tany?=l-=-1.tan(a+。)tan(a-(J)2.降幕公式与升幕公式.2 1-cos2a 2 1 +cos2a.1 .sm-a=-；cos-a -；sin or cos a =sm 2a;2 2 21 +cos 2a=2 cos*1 2 a；l-cos 2a=2sin2；1 +sin 2tz=(sin a+cos a)2；1 -sin 2a=(sin a-cos a)2.1.两角和与差的正余弦与正切 sin(a/3)=sinacos(3 cosasinp ；cos(cr/3)=cos a cos/?qz sin sin p ；ta n(a 0=a n a土tan J1 +tan a tan p2.二倍角公式 sin=2 sin tz cos a；cos 2a=cos2 a-sin2 a=2 cos2 tan =）.la2+b2 Ja2+b2 a1.（2022四川省内江市第六中学模拟预测（理）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰 义的顶点P 在半径为20m的大。上，点 M,N 在半径为10m的小。上，点 0,P 在弦MN的同侧.设NMON=2 a（0 a ）,当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时c o s 2 a=（）【答案】CC.1-石 D.0【解析】等腰中，NMCW=2 a（0 a J,设PMN的面积为5（a）,贝 lj S（a）=2 x SOP/V+SOMN=2x；x 20 x1 Ox sin（乃 一 a）+-1xl0 xl0 xsin2a=200sina+50sin 2a,求导 S 0,函数单调递增;当a Sx(a)2/冗、冗、cos(cr 4-y)-sin (cr+y)=cos2(a+y)-sin2(a+y)-)z 71.2/兀、cos-(a+)+sin(a+)1-tan2+-77 n.-3tan-l cr+1 +1cos收卜率N +H呜），所以sin（p +&冬故 cos（2a-夕）=乎.故选：D.2.（2022河南省杞县高中模拟预测（理）己知若sin（2-；）=一 条，则sin e+co s6=（A述 B.亚 C.延或迤 D,叵 或 迪5 5 5 5 5 5【答案】B【解析】因为所以一/10 R 710 r 3 M 口 650 50 10 5【答案】A【解析】因为a,夕均为锐角，故cosa=J l-s in 2 a =,又tan(a-7?)=-；,故-1 a-4 0,故sin(a-p)-,cos(cr /?)=.-=：,故cos/?=c o s a-(a-)=cosacos(a-77)+s in a(a-)95J10971050故选：A6.（2022 全国高三专题练习）已知，若 tan71a 3-2，则c o s|a 考()A 3710A.-10B 噜 屈L -10D.371010【答案】Dc 口 口 万 兀 27r=-2,即_ a ,3 37ta-兀a 所以 sin|a-q【解析】由题设m a一7-1/2 sin由一 4+2 E 2 x-+2loik G Z),解得一百+E x W 亚+E,(Z G Z),2 4 2 8 8C.cos4-sin4=-88 2D.，一上=4sin 10 cos 10【答案】AD【解析】-2。）=霏畸=1,，tan250+tan20+tan25tan20=1 ,所以 A 正确;.设 A=sin 21。+sin 2 20+sin 2 3+sin?89，则 A=cos289+cos2880+cos287+-+cos21,而sir a+cos2a=1,故2A=89即 A=；,故 B 错误.4 7C.4 7t?71.9 if 2 冗.2 Ic o s-sin =cos+sin cos-sin 8 8 I 8 8 人 8 8)=c o s2 _sin2-=co s-=,所以 C 错误，8 8 4 2fi h 、-厂 2-cos 10-sin 10 _ G _ coslOO-GsinlO。_(2 2 Jsin 10 coslO0-sin 10 cos 10-sin 10 cos 102(sin 30cos 10-cos 30sin 100)2 sin 20当=0 时，-g w 筌，即函数F（x）在 4者上单调递增.8 8 L o o _37r因为函数/*）在 0,?上单调递增，所以0 4%4 9.故选：A C.9.（多选题）（2 02 2.湖北武汉.模拟预测）已知函数/（x）=a s in x-co s x e R）关于x 对称，则下列结论正确的是（）B.仆）在 g国上单调递增C.“X）的 最 大 值 为 半D.把/（X）的图象向左平移。个单位长度，得到的图象关于点（,（）对称【答案】A C【解析】对 A,函数 x）=a s ir u 8 s x（xwR）关于x =，对称，故，（0）=/（。），所以-l =a s in -co s =-g(x)的最小正周期为万D.函数y=x (x)在 区 间(十 国 内单调递增【答案】BC【解析】A：g(-*=cos,卷+看)=1,故y=g(x)关于x=-对 称，错误；B：f(x+-)=sin(x+-)=sin +(x+)=cos(x+-)=S(x)，正确；3 3 2 6 o，/、/、/冗、6.1 .2 v3 sin2x cos2x 1 1 ,九、1 廿由C：y=/(x)-()=sinxcos(x+)=smxcosx sin x=-+-=-s m(Z x+-,JIM)J s 6 2 2 4 4 4 2 6 4期为乃，正确；D：在上2%+/w(-,苧)，故y=/(x g(x)在 内不单调，错误.o 3 7 6 6 6故选：BCC.tana,tan4 可能是方程工 2一 6工+7=0 的两根11.（多选题）（2022.全国河源市河源中学模拟预测）如果函数/（。）=sin最大值为夜，那么该三角函数的周期可能为（）_ T CA.2 B.4 C.D.2【答案】BD【解析】.f（e）=sin（e+?）+cos（e+）=（cos号一l）sina6+sin（贝!1其最大值为J，os詈 一 1）+（sin詈）=j2-2 c o s詈=应，djr7 1所以cos：=0,则”=2+4k,k w Z,函数的周期即 为 由 可.对照四个选项中只有BD 符合.故选：BD1 2.（多选题）（2022 重庆西南大学附中模拟预测）已知a,夕，y e（0,1A.若sina+cosa=&，则 tana=1B.若 tana=2,则+4(夕 +()+cos(0+(a R)的兀T-costz0.T 1T T且a +p +y=,则()D.t a n t a n/?+t a n/?t a n/+t a n t a n cr =1【答案】A B D【解析】A.由s in a +co s a =应，s in2a +co s2a=且 问0国,所以Sin a 考co s a 岑，所以t a n a =l 故1E 确;B.因为t a n a =2,且aoO，n co s a 二,且 a +7=,所以5皿(夕 +/)=5皿(一2)=85 a=故正确;C.若 t a n a,t a n/7可能是方程 一 6 太 +7=。的两根，则 t a n a +t a n/7=6,t a n a t a n/7=7,t a n(,+)=tana+tan/?=_,7 1 -t a n(2 t a n p因为a,4 e(0,3所以0 a +7 t,所以a +=?,又内(0 0，a+B +7 比,故错误;D.t a n a t a n，+t a n a t a n/+t a n 尸 t a n y ,=t a n a t a n/74-t a n y(t a n 2 +t a n(3),=t a n a t a n /?+t a n-a-3(t a n a +t a n /7),=t a n a t a n +t a n a +t a n pt a n a +t a n p1 -t a n a -t a n P=t a n a t a n y?+1 -t a n a -t a n /?=1 ,故正确；故选：A B D13.(2 02 2.浙江杭师大附中模拟预测)函数/(x)=G s in x+co s x,/(a)=1,ae飞 黑则co s a =【答案】4-3 610【解析】/(x)=G s inX4-COSX=2 s in(x +(/./(a)=2 s in6Z4-TC 85.(4 4 5万/.s in a+=,乂,I 6j 5|_ 6 6.71 7 t.a +,7i6 3.si ng，乌”+白 耳,小，；.cs-I 6 j 5 2 6 3 )6；5乃 (乃、7i.(万、.乃 3 41 4-3A/3-=co s CL H co s F s in oc H s in =x-1 x =-6)6 I 6)6 (6 J 6 5 2 5 2 10故答案为：士 萨.14.（2022 安徽师范大学附属中学模拟预测（文）方程sinx+G cosx=l 在区间 0,3句 上的所有解的和等于【答案】学【解析】由sinx+GOcosx=2sin x+I 3=1可得sin(x+卜2*/0 x 0,；.x-2y=0 即 3E=2EF,i EF=EB.（2）由（I）知，A E =B F =x=2y,B E=y,在ABE中，由余弦定理知AB?nAE+BE-ZAE-BEcoslZO：=4V+y2+2y2=7yt*.A B -Jly,_ A B2+B E2-A E2 ly2+y2-4y2 2cos p =-=,，=-f=2 A B B E 2/7-y2 不由题意知夕是锐角,故 sin/?=万同理可得c os a =AB2+AE2-BE22ABAEly2+4y2-y2 _477 /一 2出5由题意知a是锐角，故s i n a =,2 V 7故 c os(a-)=c os a c os 尸+s i n a s i n 6=*3+系 嗝=葛 1 8.(2 0 2 2.浙江 绍兴一中模拟预测)已知函数f(x)=s i n r c os(x +a).(1)求函数fM的最小正周期和对称中心；57r(2)若X 0,9,方程/(x)-，=0 有两个实数解，求实数机的取值范围.O【解析】(l)/(x)=s i n x-c os(x +j-十2X2Xnnsis i立4立4=-1-41-4小 2 4所以，最小正周期7=师=不，由正弦曲线可得I 4 2 _ _ 4/019.(2022浙江省江山中学高三期中)已知函数f(x)=sinx cosx-sinxT T 求区数y=/(x)在 区 间 0,y 上的值域;若 a e 0,乃 ,求3 c o s/4q-C2a【解析】(1)解：)=.(6.siar cosx-sinx3所以/(x)=sin2x+当x w 吟时，白2、+*2，_ 2 J 6 6 6171故-，矛盾!故一Wa+一4 万，cos2 6a+6从而 sin(2 a+?所以 co s?_ 2a=sin 12a+(1.(2022 全国高考真题)若sin(a+p)+cos(a+/7)=2&cos(a+?卜in，则()A.tan(a-yff)=lB.tan(a+/7)=lC.tan(a-/?)=-l D.ta n(a+0 =-l【答案】C【解 析】由已 知得：sin a cos p+cos a sin 尸+cos a cos/一 sin a sin/=2(cos a -sin a)sin/,BP：sin a cos/?-cos a sin/?+cos a cos 尸 +sin a sin 尸=0,即：sin(a-)0)+cos(a 分)=0,所以 tan(a-/7)=-1,故选：c2.（2021.全国高考真题（文）cos2-兀-COS2125兀12=()A.|B.立2 3C.正2D.B2【答案】D【解析】由题意，cos2cos2547 1-2 4c o s-12-cos71|.2万-=c o s-sin 12J 12 1271 G=cos=6 2故选：D.3.（2021 浙江高考真题）己知必尸,丁 是互不相同的锐角，则在sin cco s/A sin/co s-in/co sa三个值中，大于T的个数的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】法 1 ：由基本不等式有sin acosj3疝 广,i e .0 sin2 Z J+cos27.sin2y+cos2aNJ 理 sin p cos/-,sin y cos a-，3故 sin a cos 夕 +sin/?cos/+sin/cos a ,故 sin a cos/?,sin f3 cos y,sin y cos a 不可能均大于 J.,f TV 门 式 冗取0左 二则 sinacos=；,sin y cos a=手;，故三式中大于3 的个数的最大值为2,故选：c.法 2：不妨设 a /?cos 0 cos/,sin a sin/?5+sin/cos a=sin(/+a)-i-sin2/?,故 sin a cos/?,sin f3 cos y,sin y cos a 不可能均大于 J.,冗 c 式 冗取a左 二贝 iJsinacos=；,sin y cos a=手;，故三式中大于3 的个数的最大值为2,故选：C.4.（2021全国高考真题（文）若aw,tan 2a=cos a2 sin aA书C.D.平B.f呜,则 tan a =()3【答案】A-八 cos a【解析】/tan 2a=：一2 sinac sin 2a 2sinacosatan 2a=-=-；cos 2a l-2sin-acos a/.co sa O,2 sina2sina1 2sin2 a 2 sin a，解得sin/.cos a-V l-sin2 a-4sin atan a=-cos a1511a故选：A.5.（2021全国高考真题（理）2020年 12月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C 三点，且 A,B,C 在同一水平面上的投影A,9,C 满足N/VC6=45。，ZABC=60.由 C 点测得B 点的仰角为15。，8 8 与CC的差为100；由B点测得A 点的仰角为45。，则 A,C 两点到水平面ABC的高度差 A 4-C C 约 为(6 =1.732)()【答案】BC.446D.473过C 作过B作 BDL/VT,故 AA-CC=A 4(8 8:8 )=A 4 3夕+100=A+100,由题，易 知 为 等 腰 直 角 三 角 形，所以AZ)=8.所以 A4CC=DB+100=AB+100.因为NBCH=1 5 ,所以CH=C*=-tan15在9 C 中，由正弦定理得：4B _ CB _ 100 _ 100sin 45 sin 75 tan 15 cos 15 sin 150r _ 5而 sin 15。=sin(45-30)=sin 45cos 300-cos 45 sin 30=V4/y1 0 0 x 4 x 期 以 A 8=%一 p-=100(6+1)。273,V6-V2所以 A 4-C C =A B+100B373.故选：B.6.(2021全国高考真题)若tan6=2,贝 叮 型 如 迎 竺 1=()sin 0+cos 06 2 2A.一 一 B.一 一 C.一 D.5 5 5【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得:sin (1+sin 20 sin6(sin 9+cos_ 6+2sinecos。),、-=-=sin 6(sin。+cos 0sin。+cos。sin 6+cos。_ sine(sin6+cos。)_ tan*2 *6+tan-l 2-1 _ 11 +tan 6 1 +2 3_3 5,310.(2022浙江高考真题)若3sina-sin4=JiU,a+4 =g,则sina 二 ,cos 2/3=【答案】噜i【解析】a+B=:、sin p =cos a,即 3sina-cosa=,即可噜sin a噜。sa,令s i n 噜=噜,则 Ji6sin(a e)=河a -+2%乃，kw Z,即。=6+工+2k7i,2 2sintz=sin 6+2%乃 =cos =2-，I 2)10、4则 cos 2/7=2 cos2/?-l=2sin2 cjf-1=.故答案为：也；7.10 51 1.(2022.北京.高考真题)若函数f(x)=4sinx-/5cosx的一个零点为(，则 4=【答案】1 -五【解析】：吗）=等 4-曰=0，A=1/（x）=sinx-/3cosx=2sin（x ）/（E）=2sin（N ）=-2sin 之-近12 12 3 4故答案为：1,-V212.（2022 上海高考真题）已知tana=3,贝 U tan（a+）的值为.【答案】-2【解析】由两角和的正切公式得tan a +?7ttan a +tan4 _ 3a +.1i.71 1-3x11 tan e x,tan4故答案为-2.13.(2020 北京高考真题)若函数/(x)=sin(x+)+cosx的最大值为2,则常数夕的一个取值为T T T T【答案】-(2k万+W，%eZ均可)2 2【解析】因为 J(x)=cosgsinx+(sin/+l)cosx=Jcos29+(sin3+1)2 sin(x+6)，所以Jcos2+(sin(+1)2=2,解得sing=l,故可取7 7T T故答案为：4 (2 版+9，%eZ 均 可).2 2 r r H14.(2020江苏高考真题)已知s i r(：+a)=,则sin2a的值是.4 3【答案【解析】Qsin2(+a)=(costz-i-sincr)2=(1+sin2a)4 2 2 2二.(1+sin 2a)=sin 2a=-2 3 3故答案为：g15.(2021天津高考真题)在 A B C,角ABC所对的边分别为b,c,已知sinA:sinB:sinC=2:l:血,b=V2(I)求。的值；(II)求cos。的值；(III)求sin(2 C-?)的值.【解析】(I)因为sin A:sin B:sin。=2:1:夜，山正弦定理可得：c=2:1:，：b=y2,/.=2 0,c=2；a2+tr-c2 8+2-4 3(ID由余弦定理可得C O S C=4 4sin2C=2sin CeosC=2x -x=-,cos2C=2cos2 C-l=2x-l=i448 16 8所以s i n p j?=sin2Ccos-cos2Csin-=电xxL 3收-16 6 8 2 8 2 16