中国科学技术大学《概率论与数理统计》2021-2022学年第一学期期末试卷.docx
中 国 科 学 技 术 大 学20212022学年第一学期考试试卷考试科目概率论与数理统计得分所在院系 姓名 学号 考试时间: 2022 年 1 月 12 日上午 8:3010:30;可使用简单计算器一、 (30分, 每小题3分) 填空题或单选题, 答案可以直接写在试卷上.(1) 设将ABC三个字母之一输入某信道, 独立地输出结果为原字母的概率是 0.8, 而输出为其它一字母的概率都是 0.1. 现等可能地将字母串AAAA, BBBB和CCCC之一输入该信道, 若已知输出结果为ABCA, 则输入的结果为AAAA的概率是 .(2) 设 A, B, C 三个事件两两独立, 则它们相互独立的充分必要条件是()(A) A 与 B C 独立(B) A B 与 A C 独立(C) A B 与 A C 独立(D) A B 与 A C 独立(3) 设随机变量 X N (0, 1), Y 服从参数为 0.5 的 Bernoulli 分布, 则 Z = XY 的分布函数的间断点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从区间 (0, 1) 上的均匀分布, 则对任一正整数 n, 概率 P(Xn + Y > 1) = .(5) 设在单位正方形内部随机取一点, 然后以该点为圆心画一个单位圆, 若以 X 表示落在该圆内正方形顶点的个数, 则 EX = .(6) 设 X1, X2, · · · , Xn 是来自参数 = 3 的指数分布总体的一组简单随机样本, 若对nni=1i(A) 1(B) 2(C) 1(D) 4任一 > 0, 都有 lim P. 1 nX2 a. = 0 成立, 则常数 a = ()9939(7) 设 X1, X2, · · · , X10 是来自标准正态总体的一组简单随机样本, 且记统计量 Y =20212022学年第一学期概率论与数理统计试卷共4 页第4 页4i=1ii=1(A) 2(B) 2(C) 2(D) 21 102X2 + 5X2i1X2i, 则 Y 的分布为()5910. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 装. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 订. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 线. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(8) 设 X1, X2, · · · , Xn 是来自均匀总体 U (, 2) 的一组简单随机样本, 其中 > 0 为一未知参数, 则 X(1) = minX1, X2, · · · , Xn 为 的()(A) 矩估计(B) 极大似然估计(C) 无偏估计(D) 相合估计(9) 设 X1, X2, · · · , X36 是来自正态总体 N (µ, 8) 的一组简单随机样本, 且记 X 为样本均值. 若以区间 X 1, X + 1 作为 µ 的置信区间, 则其置信水平为 .12322(1 ) (1 )2(10) 设 X , X , X 是来自总体 X . 123 的一组简单随机样本,若假设检验 H0 : = 0.1 H0 : = 1 的拒绝域为 X1 = X2 = X3 = 1, 其中0.5 < 1 < 1 是一个给定的常数, 则此检验犯第二类错误的概率为 .二、 (20分) 设随机变量 X N (0, 1), 而对任一实数 x, 在 X = x 条件下, Y N (x, 1).(1) 试求随机变量 Y 的密度函数 fY (y), 并指出 Y 服从何种分布.(2) 试求条件期望 EXY |X = x.(3) 试求 X 和 Y 的相关系数.(4) 试求常数a, 使得随机变量 aX + Y 和 aX Y 相互独立.三、 (15分) 设随机变量 X1, X2, X3 相互独立且都服从区间 (0, 1) 上的均匀分布.(1) 若随机变量 Y = a ln X1, 其中 a > 0 为一给定常数, 试求 Y 的概率密度函数.(2) 试求随机变量 Z = X2/X1 的分布函数.(3) 试求随机变量 U = 1/(X1X2X3) 的概率密度函数.四、 (20分) 设一列随机变量 Y1, Y2, · · · , Yn 满足Yi = xi + i,i = 1, 2, · · · , n,其中 x1, x2, · · · , xn 为给定非负常数且不全相等, 1, 2, · · · , n 相互独立且均服从正态分布 N (0, 2), 而 和 2 为两个未知参数.(1) 根据 Y1, Y2, · · · , Yn 的分布, 请写出似然函数 L(, 2).(2) 试求 的极大似然估计量 , 并证明 为 的一个无偏估计.i=1i=1(3) 证明 = nYi/ nxi 也为 的一个无偏估计, 并比较 和 哪个更有效.五、 (15分) 在 2021 年日本东京举行的第 32 届夏季奥运会中, 我国运动员杨倩和杨皓然获得了射击混合双人团体 10 米气步枪金牌. 决赛中 15 轮射击结果如下(单位: 环):杨倩 10.59.7 10.0 10.5 10.3 10.2 10.1 10.6 10.49.9 10.8 10.8 10.4 10.4 10.4杨皓然 10.3 10.4 10.9 10.2 10.5 10.4 10.2 10.8 10.6 10.0 10.5 10.7 10.4 10.1 10.7设两位运动员的每次射击结果相互独立, 且均服从正态分布. 利用你所学的统计知识并结合上述决赛数据, 回答如下问题 (显著性水平 = 0.05):(1) 两位运动员在比赛中射击成绩的方差是否可以认为是相等的?(2) 假设“杨皓然平均射击水平高于杨倩”是否显著成立?附录标准正态分布函数: (1.645) = 0.95, (1.96) = 0.975, (2.121) = 0.983上分位数: t28(0.025) = 2.048, t28(0.05) = 1.701, F14,14(0.025) = 2.979, F14,14(0.05) = 2.484(完)一、 每小题 3 分.参考答案5n+114 ; A; B; 1 ; ; B; B; D; 0.966; 1 6.二、 每小题 5 分.(1) 由x1 21 (yx)2fX(x) = 2 e,fY |X(y|x) = e,222可知随机向量 (X, Y ) 的联合密度为1 x2+(yx)2f (x, y) = fX(x)fY |X(y|x) = 2 e2.从而, 随机变量 Y 的密度函数为fY (y) = 1 f (x, y)dx = 2 ey2 4 ,即 Y 服从正态分布 N (0, 2). 没指明具体分布扣 1 分.(2) 由题目条件, EXY |X = x = xEY |X = x = x2.(3) 由 (1) 知 Var(Y ) = 2, 而由 (2) 知 EXY = EE(XY |X) = EX2 = 1. 从而,Cov(X, Y )X,Y = Var(X) · Var(Y ) =EXY 22= 2 . (4) 易知, (aX + Y, aX Y ) 服从二维正态分布, 且 Cov(aX + Y, aX Y ) = a2 2.由于二维正态随机向量的不相关性和独立性等价, 故所求常数 a = ±2.三、 每小题 5 分.(1) 对任一 y > 0, 由于P(Y y) = P(a ln X1 y) = P(X1 ey/a) = 1 ey/a,故 Y 服从参数为 1/a 的指数分布, 从而其概率密度函数为fY (y1y) =ea a ,y > 0.缺少或写错取值范围扣 2 分.(2) 将 (X1, X2) 视为单位正方形上的均匀分布, 利用几何概型可知, 当 0 z < 1 时,P(Z z) = P(X2 zX1) = z/2;而当 z 1 时,故 Z 的分布函数为P(Z z) = P(X2 zX1) = 1 /(2z).FZ(z) =0,z < 0;z/2,0 z < 1;漏了 z < 0 的部分扣 1 分. 1 1/(2z), z 1.i=1(3) (此小题也可用其它方法计算, 但稍繁) 由 V := ln U = 3ln Xi 及 (1) 可知,V 为 3 个独立Exp(1)随机变量之和, 故 V 服从 (1, 3) 分布, 即其概率密度函数为f (v) = 1 v2ev,v > 0.V2再由 U = eV 及密度函数变换公式可知, U 的概率密度函数为ln2 ufU (u) =,u > 1.缺少或写错取值范围扣 2 分.2u2四、 第 1 小题 4 分, 后面两个小题都涉及两个结论, 各 8 分. 1,2(1) 由 Yi N (xi, 2), i = 1, 2, · · · , n 及它们相互独立可知,L(, 2 1) = (2)n expn22i=1i=1(yi xi) ,.(2) 记对数似然函数 l(, 2) = ln L(, 2), 并令 l= 0 可得, n(yi xi)xi = 0,即 的极大似然估计量为 =i=1n i=1 nxiYi x2 .i由 为一列独立正态随机变量的线性组合, 故 也服从正态分布, 且其期望和方差为ini=1x22E() =ni=12 = ,Var() =n2 .xii=1ix从而 为 的一个无偏估计.(3) 与 类似, 估计量 也是一列独立正态随机变量的线性组合, 且iE() =n i=1 nxi x= ,Var(n2) =.i=1 xi. n2i=1故 也为 的一个无偏估计, 且由Cauchy-Schwarz 不等式可知, 当 x1, x2, · · · , xn不全相等时, Var() < Var(), 从而 更有效.1五、 先做一些计算. 杨倩: n1 = 15, x = 10.333, (n1 1)S2 = 1.353; 杨皓然: n2 = 15, y =222w10.447, (n2 1)S2 = 0.957; S2 = 0.2872. 上面的计算 3 分, 后面每小题各 6 分.(1) H0 : 2 = 2 H1 : = .12由0.336 =1211S 2<= 1.414 < F14,14(0.025) = 2.979,S2F14,14(0.025)2接受 H0, 即可以认为他们的发挥稳定性相同. (2) H0 : µ1 µ2 H1 : µ1 < µ2.由于 X YSwn1 + n2t =. 1 1 = 1.08 > t28(0.05) = 1.701,故接受 H0, 即不能认为杨皓然的比赛成绩显著高于杨倩.
