2020重庆考研数学二真题及答案（精品真题）.docx

2020重庆考研数学二真题及答案一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当 x ® 0+ 时，下列无穷小量中最高阶是（）00（A） ò x (et2 -1)dt（B） òx ln (1+ t2 )dtò（C） sin x sin t 2dt0【答案】（D）1-cos xò（D） 0sin t 2 dt【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A） (òx (et 2-1)dt )¢2= ex-1 x200（B） (ò x ln (1+t 2 )dt )¢ = ln (1+x2 ) : x（C） （C）(òsin xsin t 2 dt )¢= sin (sin2 x) : x2（D） (0sin t 2ò1-cos x0dt )¢ =sin(1- cos x)2sin x : 1 x32经比较，选（D）（2） 函数 f (x) =1ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)的第二类间断点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】（C）【解析】由题设，函数的可能间断点有 x = -1, 0,1, 2 ，由此ex-1 ln 1+ x1ex-1 ln 1+ xlim f (x) = lim- 1= -e 2lim ln 1+ x = -¥ ；x®-1x®-1 (ex -1)(x - 2)3(e-1 -1) x®-1 1lim f (x) = lim= - e-1limln(1+ x) = - 1 ；x®0x®0 (ex -1)(x - 2)2x®0x2eex-1 ln 1+ x1lim f (x) = lim= ln 2 1 lim ex-1 = 0;x®1-ex-1 ln 1+ x1x®1- (ex -1)(x - 2)1- e x®1-；lim= ln 2 1 lim ex-1 = -¥x®1+ (ex -1)(x - 2)1- e x®1+12x®2ex-1 ln 1+ xe ln 31x®2x®2 (exlim f (x) = lim-1)(x - 2) = (e -1) lim x - 2 = ¥故函数的第二类间断点（无穷间断点）有 3 个，故选项（C）正确。ò1 arcsin（3） （3）x dx = （）0p 2（A）4x (1- x)p 2（B）8p（C）4p（D）8【答案】（A）x【解析】令= sin t ，则 x = sin2 t ， dx = 2 sin t cos tdtppp2ò1 arcsinx dx = ò 2 t2 sin t cos tdt = ò 2 2tdt = t22 = p0x (1- x)0 sin t cos t004（4） f ( x) = x2 ln (1 - x), n ³ 3 时， f (n) (0) =（A） -n! n - 2（B）n! n - 2(n - 2)!-（C）（D）n(n - 2)!n【答案】(A)¥ xn2¥ xn+2¥xnn【解析】由泰勒展开式， ln(1- x) = -ån=1，则 xln(1- x) = -ånn=1= -å，n - 2n=3故 f (n) (0) =n! .n - 2ì xy, xy ¹ 0ï（5）关于函数 f ( x, y ) = í x,ïî y,y = 0x = 0给出以下结论¶f¶x¶f¶x¶y(0,0) = 1 (0,0)= 1 lim( x, y )®(0,0)f ( x, y) = 0 lim lim f ( x, y) = 0y®0 x®0正确的个数是（A）4（B）3（C）2（D）1【答案】（B）¶ff ( x, 0) - f (0, 0)x - 0【解析】¶x(0,0) = limx®0¶fx - 0¶f¶x (0, y )-1- ¶f= limx®0x= 1，正确 ¶f = lim ¶x (0, y )¶x (0, 0) = lim,¶x¶y(0,0)y®0y - 0y®0y而¶f= lim f ( x, y ) - f (0, y ) = lim xy - y = lim x -1 × y不存在，所以错误；¶x (0, y )x®0x - 0x®0xx®0xxy - 0 = xy , x - 0 =x , y - 0 =y , 从而( x, y) ® (0, 0) 时，lim( x, y )®(0,0)f ( x, y) = 0 ，正确。ílim f ( x, y ) = ì0, xy ¹ 0或y = 0 , 从而limlim f ( x, y) = 0 ，正确x®0î y ,x = 0y®0 x®0（6）设函数 f (x) 在区间-2, 2 上可导，且 f '(x) > f (x) > 0 .则(A)f (-2) > 1f (-1)(B)f (0) > ef (-1)(C)f (1)f (-1)< e2(D)f (2)f (-1)< e3【答案】(B)f (x)f '(x)ex - f (x)exf '(x) - f (x)【解析】构造辅助函数 F (x) =，由 F '(x) =，由题exf (x)e2 xexf (0)f (-1)意可知， F '(x) > 0 ，从而 F (x) =单调递增.故 F (0) > F (-1) ，也即exe0>e-1，又有 f (x) > 0 ，从而f (0)f (-1)> e .故选(B).（7） 设 4 阶矩阵 A = (aij )不可逆，a12 的代数余子式 A12 ¹ 0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 为矩阵 A 的列向量组， A* 为 A 的伴随矩阵，则 A* x = 0 的通解为（）（A） x = k1a1 + k2a2 + k3a3 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（B） x = k1a1 + k2a2 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（C） x = k1a1 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数（D） x = k1a2 + k2a3 + k3a4 ，其中k1, k2 , k3 为任意常数【答案】（C）【解析】由于A 不可逆， 故r ( A) < 4 ， A = 0 .由 A12¹ 0 Þ r ( A* ) ³ 1，r ( A) ³ 4 -1 = 3 ，则r ( A) = 3 ， r ( A* ) = 1，故 A* x = 0 的基础解系中有4 -1 = 3个无关解向量。此外， A* A = A E = 0 ，则 A 的列向量为 A* x = 0 的解。则由 A ¹ 0 ，可知a ,a ,a 线性12134无关（向量组无关，则其延伸组无关），故 A* x = 0 的通解为 x = k a + k a + k a，即选1 12 33 4项（C）正确。（8） 设 A 为 3 阶矩阵，a1,a2 为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，a3 为 A 的属æ 100 ö于特征值-1的特征向量，则 P-1 AP = ç 0-10 ÷ 的可逆矩阵 P 为（）（A） (a1 + a3,a2 , -a3 )（C） (a1 + a3, -a3,a2 )ç÷èøç 001 ÷（B） (a1 + a2 ,a2 , -a3 )（D） (a1 + a2 , -a3 ,a2 )【答案】（D）【解析】设 P = (b , bæ 100 ö, b ) ，若 P-1 AP = ç 0-10 ÷ ，则 b , b 应为 A 的属于特征值 1123ç÷13èøç 001 ÷的线性无关的特征向量， b2 应为A 的属于特征值-1的线性无关的特征向量。这里根据题设，a1,a2 为 A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量，则a1 + a2 也为A 的属于特征值为 1 的线性无关的特征向量。又因a3 为 A 的属于-1的特征向量，则-a3 也为 A 的属于特征值-1的特征向量。且æ 100 öæ 100 ö(a + a , -a ,a ) = (a ,a ,a ) ç 101 ÷ ,由于ç 101 ÷可逆，1232123ç÷ç÷è 0-10 øè 0-10 ø故r(a1 + a2 , -a3 ,a2 ) = r(a1 ,a2 ,a3 ) = 3,即a1 + a2 , -a3 ,a2线性无关æ 100 ö综上，若 P = (b , b , b ) = (a + a , -a ,a) ，则 P-1 AP = ç 0-10 ÷ .1231232因此选项（D）正确。ç÷èøç 001 ÷二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.ïìx =t2 +1)2d 2 yî（9） 设ïí y = ln (t +，则= t 2 +1d x t = 12【答案】-【解析】dy =×= 1dydtdxdt1+tt2 +1t + t2 +1t 2 +1dxttd æ 1 öt2 +1t2 +1d 2 ydyç t ÷ dt1= è ø ×= -×= -d 2 xdxdtdxt 2tt3d 2 y d 2 x2= -(10)t = 111ò0 dyò yx +1dx = 32(【答案】 2 29- 1)【解析】交换积分次序，原式1x2000= ò dxòx3 +1dy = ò1 x2x3 +1dx23= 1 ò1 x3 +1d (x3 +1) = 1 × 2 (x3 +1)2 1 = 2 (2-1)3 03 309(11) 设 z = arctan éë xy + sin ( x + y )ùû ，则dz (0,p ) = 【答案】(p -1) dx - dy¶zy + cos( x + y )¶zx + cos( x + y )ëûëû【解析】 ¶x = 1+ é xy + sin ( x + y )ù2 , ¶y = 1+ é xy + sin ( x + y )ù2¶z¶z将(0,p ) 带入得¶x = p -1, ¶y = -1因此dz (0,p ) = (p -1) dx - dy(12) 斜边长为2a 的等腰直角三角形平板，铅直的沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g ，水的密度为 r ，则该平板一侧所受的水压力为 .【答案】 1 r ga33【解析】以水面向右为 x 轴，以垂直于三角板斜边向上为 y 轴建立直角坐标系，则此时，三角板右斜边所在的直线方程为 y = x - a ，取微元dy ，则此时dF = - y2xr gdy = -2r gy( y + a)dy ，则一侧的压力 F =0 -2r gy( y + a)dy = r g(- 2 y3 - ay2 ) 0= 1 r ga3 .ò- a3- a30（13）设 y = y ( x) 满足 y'' + 2 y' + y = 0 ，且 y (0) = 0, y' (0) = 1，则ò+¥ y ( x) dx = 【答案】1【解析】由方程可得特征方程为l 2 + 2l +1 = 0, 则特征方程的根为l = -1, l= -1,12则微分方程的通解为 y = c e- x + c xe- x ， 由 y (0) = 0, y' (0) = 1 可得 c = 0, c= 1 ， 则121200y ( x) = xe- x ，则ò+¥ y ( x) dx = ò+¥ xe- xdx = 1a0-110a1-1-111-1a00a（14）行列式= 【答案】a4 - 4a2【解析】a0-11a100a00a1-1 = a 1aa - -11a-11a0-10a1-1a1-10a2= -a 1a - 2a 0a = -a (2a - a3 ) - 2a2a2a-11= a4 - 4a2三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）x1+ x求曲线 y =(1 + x )x ( x > 0) 的斜渐近线【答案】 y = 1 x +e12eyxx11【解析】由k = limx®+¥ x= limx®+¥ (1+ x)x= lim=x®+¥ (1+ 1 )xexb = lim ( y - 1x®+¥ex) = lim (x®+¥x1+ x(1+ x)x- 1 x) = lim x(e ex®+¥x ln x 1+ x -1) = e-1 lim x(e ex®+¥x ln x +1 1+ x-1)= e-1 lim x(x lnx+1)1 = t e-1 limln 1 1+ t+ t洛e-1 lim1= 1 .x®+¥1+ xxt ®0+t 2 t®0+ 2(1+ t)2e故斜渐近线方程为： y = 1 x + 1 .e2e（16）（本题满分 10 分）已知函数 f ( x) 连续且lim f ( x) = 1 ，g ( x) = ò1 f ( xt ) dt ，求 g¢( x) 并证明 g¢( x) 在 x = 0x®0x0处连续.íì 1【答案】 g ' ( x) = ï 2ï f (x) - 1 x = 0xf (u ) dux ¹ 0îïxx2 ò0【解析】因为limx®0 f ( x)x= 1 ，并且 f (x) 连续，可得 f (0) = 0, f' (0) = 1 .g ( x) = ò1 f ( xt ) dt xt = u = 1 ò x f (u ) du ，当 x = 0 时， g(0) = 0 .故0x 0ì 0ïx = 0g ( x) = í 1 x，ïî x ò0f (u ) du x ¹ 0又1 ò x f (u ) du - 0g ' (0) = lim g ( x) - g (0) = lim x 0x®0x - 0xx®0x - 0ò0 f (u ) duf (x) 1ì 1'ï 2= limx®0x2x = 0= limx®0导数定义2x2则 g ( x) = íï f (x) - 1 f (u ) dux ¹ 0，又因为xîïxx2 ò0lim g ' ( x) = lim f (x) - 1f (u ) duxx®0x®0xx2 ò0x= lim f (x) - lim 1f (u ) dux®0xx®0 x2 ò0所以 g¢( x) 在 x = 0 处连续（17）（本题满分 10 分）求 f ( x, y ) = x3 + 8 y3 - xy 极值= 1- 1 = 1 = g ' (0)22【答案】1 11= -f极小( ,)6 12216'2ìx = 1ìï fx (x, y) = 3x - y = 0ìx = 0ï6【解析】令í f ' (x, y) = 24 y2 - x = 0 得í y = 0 或í1 .ïîï yì A =ïf '' (0, 0) = 0îï y =î12xx当驻点为(0, 0) 时， íB =ïïîC =f '' (0, 0) = -1，则 AC - B2 < 0 ，故(0, 0) 不是极值点.xyyyf '' (0, 0) = 0ïxxì A ='' 1 1f ( ,) = 1ï6 121 1当驻点为 ï'' 1 121 1( ,) 时， íB =fxy ( ,) = -1 ，则 AC - B> 0, A = 1 > 0 ，故( ,) 为极6 12ïï''6 121 16 12ïC = f yy ( ,) = 4î6 12= -1 11小值点. f ( ,)为极小值.6 1221621x2 + 2x 1+ x2（18）设函数 f (x) 的定义域为(0, +¥) 且满足 2 f (x) + x f ( ) =x.求 f (x) ，并求曲线 y =f (x), y = 1 , y =3 及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.22【答案】 f (x) =ìxp 21+ x2，621x2 + 2x 1+ x2ï2 f (x) + x f ( ) = 1+ x2ïx【解析】íï111 + 2得 f (x) =x.ï2 f ( ) +f (x) =x1+ x2dy y = sin t3 2pcos tdt = 2pdtîïxx21- y 3 3y2psin2 tp 1- cos 2tVx =12 2p yxdy =12 2p2266ò ò 2 òp3cos tòp2= p (t -1 sin t) 3.=p2pp266（19）（本题满分 10 分）平面D 由直线 x = 1, x = 2, y = x 与 x 轴围成，计算òòDdxdyx2 + y2x【答案】+ln (2233+1)24【解析】x2 + y2p2secqrp11òòdxdy = ò 4 dq òrdr = ò 4 ×× 3sec2 q dqDx3 p30secqòpr cosq02(33cosq 2ò=4 sec3 q dq =2 024 secq d tanq =02 +ln24+1)（20）（本题满分 11 分）1设函数 f ( x) = ò x et2 dt(I) 证明：存在x Î(1, 2), f (x ) = (2 - x ) ex 2(II) 证明：存在h Î(1, 2), f (2) = ln 2 ×heh2【解析】(I)ò法 1：令 F (x) = (x - 2) f (x) = (x - 2) x et2 dt .1由题意可知， F (2) = F (1) = 0 ，且 F (x) 可导，由罗尔中值定理知， $x Î(1, 2) ，使1F '(x ) = 0 ，又 F '(x) = ò x et2 dt + (x - 2)ex2 ，即 f (x ) = (2 - x ) ex 2 .得证.法 2：令 F (x) =f ( x ) + (x - 2)ex2 ，则 F (1) = -e < 0, F (2) = ò2 et 2 dt > 0 ，由零点定理知，1存在x Î(1, 2) ，使得 F (x ) = 0 ，即 f (x ) = (2 - x ) ex 2 .(II)令 g(x) = ln x ，则 g '(x) = 1 ¹ 0.x由柯西中值定理知，存在h Î(1, 2) ，使得f (2) - f (1) =g(2) - g(1)f '(h)，g '(h)f (2)eh 2即=，故 f (2) = ln 2 ×heh 2 .ln 21h（21）（本题满分 11 分）设函数 f ( x ) 可导，且 f ¢( x) > 0 ，曲线 y =f ( x)( x ³ 0) 经过坐标原点，其上任意一点 M处的切线与 x 轴交于T ,又 MP 垂直 x 轴于点 P ，已知曲线 y =f ( x) ，直线 MP以及x 轴围成图形的面积与DMTP 面积比恒为为 3:2，求满足上述条件的曲线方程。【答案】 y = Cx3 (C > 0)【解析】设切点 M ( x, y) ，则过 M 点的切线方程为Y - y = y' ( X - x) .yæyöèøx令Y = 0 ，则 X = x - y' ，故T ç x - y' , 0 ÷ .曲线 y =f ( x) ，直线 MP以及x 轴围成图形的面积 S1 = ò0 y (t ) dt ，D1éæy öùy2MTP 的面积 S2 = 2 y êx - ç x - y' ÷ú = 2 y'ëèøûxS3òy (t ) dt3x3 y2因 1 =，则 0=，即y (t ) dt =，S22y22 y'2ò04 y'3方程两边同时求导，得： y =42 y ( y' )2 - y2 y''( y' )2，整理得： 3yy'' = 2 ( y' )2 ，令 y' = p ，则 y'' = pdp ，代入，得3yp dp dydy= 2 p2 ，解得 p = C y 3 ，即 dy12dx2= C1 y 31从而解得3y 3 = C1 x + C2 .2因曲线过原点，即 f (0) = 0 ，则C = 0 ，故 y = Cx3 .又因为 f ¢( x) > 0 ，所以 y =即曲线为 y = Cx3 (C > 0)f ( x) 单调递增，所以C > 0（22）（本题满分 11 分）设二次型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + x 2 + 2ax x + 2ax x + 2ax x 经过可逆线性变换1231231 21 32 3æ x1 öæ y1 öç x ÷ = P ç y ÷ 化为二次型 g( y , y , y ) = y 2 + y 2 + 4 y 2 + 2 y y .ç 2 ÷ç 2 ÷1231231 2ç x ÷ç y ÷è 3 øè 3 ø(I) 求 a 的值；(II) 求可逆矩阵 P.æ 122 öç3 ÷ç÷【答案】（1） a = - 1 ；（2） P = ç 014 ÷2ç3 ÷ç÷ç 010 ÷ç÷èøé1aaù【解析】（1）根据题设， f (x , x , x ) = X T AX ， A = êa1aú ，二次型 f (x , x , x ) 经123êú123êëaa1úû可逆变换得到 g( y1, y2 , y3 ) ，故它们的正负惯性指数相同。由于g( y , y , y ) = y2 + y2 + 4 y2 + 2 y y = ( y + y )2 + 4 y21231231 2123的正负惯性指数分别为 p = 2, q = 0 ，故 f (x1 , x2 , x3 ) 的也分别为 p = 2, q = 0 .故矩阵A 有特征值为 0，即 A = 0 Þ a = - 1 或1 。2当a = 1 时， f (x , x , x ) = x2 + x2 + x2 + 2x x + 2x x + 2x x = ( x + x + x )2 ，其正负惯1231231 21 32 3123性指数分别为 p = 1, q = 0 ，与题设矛盾，故a = 1 舍。因此a = - 1 符合题意。2（2）当a = - 1 时，2f (x , x , x ) = x2 + x2 + x2 - x x - x x - x x1231231 21 32 3= (x2 - x x - x x ) + x2 + x2 - x x11 21 3232 33æ11ö2333= ç x1 - 2 x2 - 2 x3 ÷+x2 +244x2 -2 x2 x3èøæ11ö232èø= ç x1 - 2 x2 - 2 x3 ÷+( x2 - x3 )4令 z = x - 1 x - 1 x , z =3 ( x - x ), z = x ，则 fz = Px z2 + z2112 22 3222333êúé1- 1- 1 ù22 1 12êú其中 P = ê03-3 ú .1ê22 úêúê001 úêëúû对于 g( y , y , y ) = ( y + y )2 + 4 y2 ，令 z = y + y , z = 2 y , z = y ，则1231231122332f z = P y z2 + z2 ，其中 Pé110ù= ê002ú . 2122êúêë010úûé122 ùê3 úêú由 P X = PY可得X = P-1PY , 令P = P-1P ,则P = ê014 ú 为所求的可逆矩阵121212ê3 úêú（23）（本题满分 11 分）ê010 úêëúû设 A 为 2 阶矩阵， P (a, Aa ) ，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量（1） 证明 P 为可逆矩阵；（2） 若 A2a + Aa - 6a = 0 ，求 P-1 AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵。【答案】（2） P-1 AP = é06 ù ， A 可以相似对角化ê1-1úëû【解析】（1）证明：设k a + k Aa = 0 ，k 肯定为 0，反证法，若k ¹ 0 ，则 Aa = - k1 a ，k12222即a 为 A 的特征向量，与题意矛盾。因此k2 = 0 ，代入得k1a = 0 ，由a 非零得k1 = 0 .由k1 = k2 = 0 得a, Aa 线性无关，向量组秩为 2， r (P) = 2 ，所以 P = (a, Aa ) 可逆。（2）由 A2a + Aa - 6a = 0 得 A2a = 6a - Aa ，A(a, Aa ) = ( Aa , A2a ) = ( Aa , 6a - Aa ) = (a , Aa ) æ 06 öç 1-1÷-1æ 06 öèøæ 06 ö由 P 可逆得 P AP = ç 1-1÷ ，令 B = ç 1-1÷ 由 B - l E= 0 得l1 = 2, l2 = -3èøèø有两个不同的特征值，所以 B 可相似于对角矩阵，由 P-1 AP = B ， A B因为 B 可对角化， A 相似于 B ，所以 A 可对角化，即 A 相似于对角矩阵.