数学（文）知识清单-专题23 数学思想方法及其应用（原卷+解析版）.pdf

1专练专练1.已知函数 f(x)13x3a243 x24323ax(0af(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围2.是否存在实数 a，使得函数 ysin2xacosx58a32在闭区间0，2上的最大值是 1？若存在，则求出对应的 a 的值；若不存在，则说明理由3已知 aR，函数 f(x)23x12，h(x)x，解关于 x 的方程 log432fx134 log2h(ax)log2h(4x)4在正项数列an中，a13，a2nan12(n2，nN*)(1)求 a2，a3的值，判断 an与 2 的大小关系并证明；(2)求证：|an2|14|an12|(n2)；(3)求证：|a12|a22|an2|0)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点(1)若ED6DF，求 k 的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值210在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c.已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b；(2)若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积11已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项 an；(2)设数列bn的通项 bn1anan1，记 Sn是数列bn的前 n 项和，若 n3 时，有 Snm 恒成立，求 m 的最大值12已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为22.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为103时，求 k 的值13设关于的方程3cossina0 在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数 a 的取值范围；(2)求的值14设有函数 f(x)a x24x和 g(x)43x1，已知 x4,0时恒有 f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围15.已知函数 f(x)x33ax1，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围16.已知实数 x，y 满足x2y50，x1，y0，x2y30，则yx的最大值为_17.已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线，A、B是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值318已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M，当 K(m,0)是 x 轴上一动点时，讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系19设关于 x 的函数 y2cos2x2acosx(2a1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)12的 a 的值，并求此时函数的最大值20已知 a 是实数，函数 f(x)x(xa)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(a)为 f(x)在区间0,2上的最小值写出 g(a)的表达式；求 a 的取值范围，使得6g(a)2.21.设 F1、F2为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且 PF1PF2，求PF1PF2的值22.已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1上有最大值 2，求 a 的值23.设集合 AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若 BA，求实数 a 的值24f(x)13x3x，x1，x21,1时，求证：|f(x1)f(x2)|43.25已知函数 f(x)elnx，g(x)1ef(x)(x1)(e2.718)(1)求函数 g(x)的极大值；(2)求证：112131nln(n1)(nN*)26.已知集合 AxR|x24mx2m60，BxR|x0，若 AB，求实数 m 的取值范围27已知数列an的前 n 项和 Sn满足 an12Sn.(1)求证：数列an为等比数列；(2)设函数 f(x)log13x，bnf(a1)f(a2)f(an)，求 Tn1b11b21b31bn.28.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAB2，AA11，E 为 D1C1的中点，如图所示4(1)在所给图中画出平面 ABD1与平面 B1EC 的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1平面 B1EC；(3)求平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值29在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1a4cos C，b1.(1)若 A90，求ABC 的面积；(2)若ABC 的面积为32，求 a，C30某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润(1)求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；(2)求的分布列及数学期望 E()5高考押题专练高考押题专练1.已知函数 f(x)13x3a243 x24323ax(0af(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】因为 f(x)x2a83 x4323ax23(xa2)，所以令 f(x)0，解得 x123，x22a.由 0a1，知 12a0，得 x2a；令 f(x)0，得23x2a，所以函数 f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增所以函数 f(x)在1,2上的最小值为 f(2a)a6(2a)2，最大值为 maxf(1)，f(2)max13a6，23a.因为当 0a25时，13a623a；当25a13a6，由对任意 x1，x2，x31,2，都有 f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得 2f(x)minf(x)max(x1,2)所以当 013a6，结合 0a25可解得 122a25；当25a23a，结合25a1 可解得25a2 2.综上，知所求实数 a 的取值范围是 122a1，即 a2 时，函数 y(ta2)2a2458a12在 t0,1上单调递增，t1 时，函数有最大值 ymaxa58a321，解得 a20132(舍去)；当 0a21，即 0a2 时，ta2函数有最大值，ymaxa2458a121，解得 a32或 a4(舍去)；当a20，即 a0(舍去)，综上所述，存在实数 a32使得函数有最大值3已知 aR，函数 f(x)23x12，h(x)x，解关于 x 的方程 log432fx134 log2h(ax)log2h(4x)【解析】原方程可化为 log43223x16 34log2axlog24x，即 log4(x1)log2axlog24xlog2ax4x，当 1a4 时，1x0，此时 x6 204a23 5a，1x4 时，1x4，由 x1ax4x，得 x26xa40，364(a4)204a，若 4a0，方程有两解 x3 5a；若 a5 时，则0，方程有一解 x3；由函数有意义及知，若 a1 或 a5，原方程无解综合以上讨论，当 1a4 时，方程仅有一解 x3 5a；当 4a5 时，原方程无解4在正项数列an中，a13，a2nan12(n2，nN*)(1)求 a2，a3的值，判断 an与 2 的大小关系并证明；(2)求证：|an2|14|an12|(n2)；(3)求证：|a12|a22|an2|0，所以 an2 与 an12 同号又 a1210，所以 an20(n2)，即 an2.(2)证明：由题设，|an2an12|1an2，由(1)知，an2，所以1an214，因此|an2an12|14，即|an2|14|an12|(n2)(3)证明：由(2)知，|an2|14|an12|，8因此|an2|14n1|a12|14n1(n2)因此|a12|a22|an2|11414214n1114n11443114n3123212.所以的取值范围是(12，)(2)因为弦 CD 垂直平分弦 AB，所以弦 CD 所在直线的方程为 y3x1，即 xy20，将其代入椭圆的方程，整理得 4x24x40.设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦 CD 的中点为 M(x0，y0)，则 x3，x4是方程的两个根所以 x3x41，x012(x3x4)12，y0 x0232，即 M12，32.所以点 M 到直线 AB 的距离 d1232412123 22.所以以弦 CD 的中点 M 为圆心且与直线 AB 相切的圆9的方程为x122y32292.6、如果方程 cos2xsinxa0 在(0，2上有解，求 a 的取值范围【解析】方法一设 f(x)cos2xsinx(x(0，2)显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，af(x)有解因为 f(x)(1sin2x)sinx(sinx12)254，且由 x(0，2知 sinx(0,1易求得 f(x)的值域为(1,1故 a 的取值范围是(1,1方法二令 tsinx，由 x(0，2，可得 t(0,1将方程变为 t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设 f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t12，如图所示因此 f(t)0 在(0,1上有解等价于f(0)0，f(1)0，即1a0，1a0，所以10)与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点(1)若6，求 k 的值；(2)求四边形 AEBF 面积的最大值【解析】(1)依题意得椭圆的方程为x24y21，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，ykx(k0)如图，设 D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中 x10)，即当 k12时，上式取等号所以 S 的最大值为 2 2.即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2.10在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c.已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b；(2)若 sinCsin(BA)2sin2A，求ABC 的面积【解析】(1)由余弦定理及已知条件得，a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.12联立方程组a2b2ab4，ab4，解得 a2，b2.(2)由题意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA，当 cosA0 时，A2，B6，a4 33，b2 33，当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组a2b2ab4，b2a，解得 a2 33，b4 33.所以ABC 的面积 S12absinC2 33.11已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项 an；(2)设数列bn的通项 bn1anan1，记 Sn是数列bn的前 n 项和，若 n3 时，有 Snm 恒成立，求 m 的最大值【解析】(1)an是等差数列，a11，a2a3a10144，S10145，S1010(a1a10)2，a1028，公差 d3.an3n2(nN*)(2)由(1)知 bn1anan11(3n2)(3n1)1313n213n1，Snb1b2bn13113n1，Snn3n1.Sn1Snn13n4n3n11(3n4)(3n1)0，数列Sn是递增数列13当 n3 时，(Sn)minS3310，依题意，得 m310，m 的最大值为310.12已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为22.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为103时，求 k 的值【解析】(1)由题意得a2，ca22，a2b2c2，解得 b 2.所以椭圆 C 的方程为x24y221.(2)由yk(x1)，x24y221，得(12k2)x24k2x2k240.设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x24k212k2，x1x22k2412k2.所以 MN(x2x1)2(y2y1)2(1k2)(x1x2)24x1x22(1k2)(46k2)12k2.又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离d|k|1k2，所以AMN 的面积为S12MNd|k|46k212k2.由|k|46k212k2103，解得 k1.所以，k 的值为 1 或1.13设关于的方程3cossina0 在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数 a 的取值范围；14(2)求的值【解析】(1)原方程可化为 sin(3)a2，作出函数 ysin(x3)(x(0,2)的图象由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是1a21，a232，即2a 3或 3a2.(2)由图知：当 3a2，即a21，32 时，直线 ya2与三角函数 ysin(x3)的图象交于 C、D 两点，它们中点的横坐标为76，所以276，所以73.当2a 3，即a232，1时，直线 ya2与三角函数 ysin(x3)的图象有两交点 A、B，由对称性知，26，所以3，综上所述，3或73.14设有函数 f(x)a x24x和 g(x)43x1，已知 x4,0时恒有 f(x)g(x)，求实数 a 的取值范围【解析】f(x)g(x)，即 a x24x43x1，变形得 x24x43x1a，令 y1 x24x，15y243x1a.变形得(x2)2y24(y0)，即表示以(2,0)为圆心，2 为半径的圆的上半圆；表示斜率为43，纵截距为 1a 的平行直线系设与圆相切的直线为 AT，AT 的直线方程为y43xb(b0)，则圆心(2,0)到 AT 的距离为 d|83b|5，由|83b|52，得 b6 或23(舍去)由图可知，当 1a6 即 a5 时，f(x)g(x).15.已知函数 f(x)x33ax1，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围【解析】(1)f(x)3x23a3(x2a)，当 a0，当 a0 时，由 f(x)0，解得 x a，由 f(x)0，解得 ax0 时，f(x)的单调增区间为(，a)，(a，)；单调减区间为(a，a)(2)f(x)在 x1 处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由 f(x)0，解得 x11，x21.由(1)中 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.16因为直线 ym 与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，结合如图所示 f(x)的图象可知：m 的取值范围是(3,1)16.已知实数 x，y 满足x2y50，x1，y0，x2y30，则yx的最大值为_【答案】2【解析】画出不等式组x2y50，x1，y0，x2y30，对应的平面区域为图中的四边形 ABCD，yxy0 x0表示的平面区域上的点 P(x，y)与原点的连线的斜率，显然 OA 的斜率最大17.已知 P 是直线 l：3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线，A、B是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值【解析】从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积 SRtPAC12PAAC12PA 越来越大，从而 S四边形PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时 PC|31418|32423，从而 PA PC2AC22 2.17所以(S四边形PACB)min212PAAC2 2.18已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M，当 K(m,0)是 x 轴上一动点时，讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系【解析】(1)抛物线 y22px 的准线为 xp2，由题意得 4p25，所以 p2，所以抛物线的方程为 y24x.(2)由题意知，圆 M 的圆心为点(0,2)，半径为 2.当 m4 时，直线 AK 的方程为 x4，此时，直线 AK 与圆 M 相离；当 m4 时，由(1)知 A(4,4)，则直线 AK 的方程为 y44m(xm)，即 4x(4m)y4m0，圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离d|2m8|16（m4）2，令 d2，解得 m1.所以，当 m1 时，直线 AK 与圆 M 相离；当 m1 时，直线 AK 与圆 M 相切；当 m1 时，直线 AK 与圆 M 相交19设关于 x 的函数 y2cos2x2acosx(2a1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)12的 a 的值，并求此时函数的最大值【解析】令 cosxt，t1,1，则 y2t22at(2a1)2(ta2)2a222a1，关于 t 的二次函数的对称轴是 ta2，18当a21，即 a1，即 a2 时，函数 y 在 t1,1上是单调递减，所以 f(a)f(1)4a112，解得 a18，这与 a2 矛盾；当1a21，即2a2 时，f(a)a222a112，即 a24a30，解得 a1 或 a3，因为2a2，所以 a1.所以 y2t22t1，t1,1，所以当 t1 时，函数取得最大值 ymax2215.20已知 a 是实数，函数 f(x)x(xa)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(a)为 f(x)在区间0,2上的最小值写出 g(a)的表达式；求 a 的取值范围，使得6g(a)2.【解析】(1)函数的定义域为0，)，f(x)xxa2 x3xa2 x(x0)若 a0，则 f(x)0，f(x)有单调递增区间0，)若 a0，令 f(x)0，得 xa3，当 0 xa3时，f(x)a3时，f(x)0.f(x)有单调递减区间0，a3，有单调递增区间(a3，)19(2)由(1)知，若 a0，f(x)在0,2上单调递增，所以 g(a)f(0)0.若 0a6，f(x)在0，a3上单调递减，在(a3，2上单调递增，所以 g(a)f(a3)2a3a3.若 a6，f(x)在0,2上单调递减，所以 g(a)f(2)2(2a)综上所述，g(a)0，a0，2a3a3，0a6，22a，a6.令6g(a)2.若 a0，无解若 0a6，解得 3aPF2，PF14，PF22，PF1PF22.综上知，PF1PF272或 2.22.已知函数 f(x)x22ax1a 在 x0,1上有最大值 2，求 a 的值【解析】函数 f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为 xa.20(1)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1 或 a2.23.设集合 AxR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若 BA，求实数 a 的值【解析】A0，4，BA，于是可分为以下几种情况(1)当 AB 时，B0，4，由根与系数的关系，得2a14，a210，解得 a1.(2)当 BA 时，又可分为两种情况当 B时，即 B0或 B4，当 x0 时，有 a1；当 x4 时，有 a7 或 a1.又由4(a1)24(a21)0，解得 a1，此时 B0满足条件；当 B时，4(a1)24(a21)0，解得 aln(n1)(nN*)(1)【解析】g(x)1ef(x)(x1)lnx(x1)，g(x)1x1(x0)令 g(x)0，解得 0 x1；令 g(x)1.函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知 x1 是函数 g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即 lnx(x1)2lnxx1(当且仅当 x1 时等号成立)，令 tx1，得 tln(t1)，t1，取 t1n(nN*)时，则1nln11n lnn1n，1ln2，12ln32，13ln43，1nlnn1n，叠加得 112131nln(23243n1n)ln(n1)即 112131nln(n1)26.已知集合 AxR|x24mx2m60，BxR|x0，若 AB，求实数 m 的取值范围【解析】设全集 Um|(4m)24(2m6)0，即 Um|m1 或 m32若方程 x24mx2m60 的两根 x1，x2均为非负，22则mU，x1x24m0，m32，x1x22m60所以，使 AB的实数 m 的取值范围为m|127已知数列an的前 n 项和 Sn满足 an12Sn.(1)求证：数列an为等比数列；(2)设函数 f(x)log13x，bnf(a1)f(a2)f(an)，求 Tn1b11b21b31bn.【解析】(1)证明：数列an的前 n 项和 Sn满足 an12Sn.a112a1，解得 a113.n2 时，an112Sn1，可得 anan12an.an13an1.数列an是首项和公比均为13的等比数列(2)由(1)可知 an13n，则 f(an)log13ann.bn12nn（n1）2.1bn21n1n1.Tn1b11b21b31bn2112 1213 1n1n1211n1 2nn1.28.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAB2，AA11，E 为 D1C1的中点，如图所示(1)在所给图中画出平面 ABD1与平面 B1EC 的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1平面 B1EC；(3)求平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值23【解析】(1)连接 BC1交 B1C 于 M，连接 ME，则直线 ME 即为平面 ABD1与平面 B1EC 的交线，如图所示(2)证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，于是以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示因为 ADAB2，AA11，所以 D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1)所以(2，2,1)，(2,0,1)，(0，1,1)，设平面 B1EC 的法向量为 m(x，y，z)，则即2xz0，yz，不妨令 x1，得到平面 B1EC 的一个法向量为 m(1,2,2)，而m2420，所以m.又因为 BD1平面 B1EC，所以平面 B1EC所以 BD1平面 B1EC(3)由(2)知(0，2,0)，(2，2,1)，设平面 ABD1的法向量为 n(x1，y1，z1)，则即2y10，2x12y1z10，不妨令 x11，得到平面 ABD1的一个法向量为 n(1,0,2)，因为 cosm，nmn|m|n|149 555，所以平面 ABD1与平面 B1EC 所成锐二面角的余弦值为55.29在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1a4cos C，b1.(1)若 A90，求ABC 的面积；(2)若ABC 的面积为32，求 a，C【解析】(1)b1，a1a4cos C4a2b2c22ab2a21c2a，2c2a21.24又 A90，a2b2c2c21，2c2a21c22，c 2，a 3，SABC12bcsin A12bc121 222.(2)SABC12absin C12asin C32，sin C3a，a1a4cos C，sin C3a，14a1a23a21，化简得(a27)20，a 7，又a1a4cos C，cos C2 77.由余弦定理得 c2a2b22abcos C712 712 774，从而 c2.30某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4期或 5 期付款，其利润为 300 元表示经销一件该商品的利润(1)求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A)；(2)求的分布列及数学期望 E()【解析】(1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”，可得A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中，无人采用 1 期付款”又 P(A)(10.4)30.216，故 P(A)1P(A)10.2160.784.(2)的可能取值为 200,250,300.P(200)P(1)0.4，P(250)P(2)P(3)0.20.20.4，P(300)P(4)P(5)0.2.25所以的分布列为200250300P0.40.40.2E()2000.42500.43000.2240(元)