数学（理）知识清单-专题14 直线与圆（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

1专题专题 14直线与圆直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解1直线方程直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角的取值范围：0180.倾斜角为(90)的直线的斜率 ktan，倾斜角为 90的直线斜率不存在当 00 且 k 随倾斜角的增大而增大当 90180时，k0)，圆心坐标为D2，E2，半径 rD2E24F2.(2)点与圆的位置关系几何法：利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的关系判断：dr点在圆外，dr点在圆上；d0)的位置关系如下表.方 法 位 置关系几何法：根据 d|AaBbC|A2B2与r 的大小关系代数法：AxByC0 xa2yb2r2消元得一元二次方程，根据判别式的符号相交d0相切dr03相离drr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是()A(0，1)B.122，124C.122，13D.13，12高频考点二高频考点二两直线的位置关系两直线的位置关系例 2、已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【举一反三】已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB 为直角三角形，则必有()Aba3Bba31aC(ba3)(ba31a)0D|ba3|ba31a|0【变式探究】设R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【变式探究】设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_高频考点三高频考点三圆的方程圆的方程例 3圆(x2)2(y3)22 的圆心和半径分别是()A(2,3)，1B(2，3)，3C(2,3)，2D(2，3)，2【举一反三】若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为()A(x1)2y21Bx2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2y21【变式探究】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【变式探究】一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_高频考点四高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系例 4直线 axby0 与圆 x2y2axby0 的位置关系是()A相交B相切5C相离D不能确定【举一反三】设直线 xya0 与圆 x2y22x4y20 相交于 A，B 两点，若|AB|2，则 a()A1 或 1B1 或 5C1 或 3D3 或 5【变式探究】已知直线 l：x 3ya0 与圆 C：(x3)2(y 3)24 交于点 M，N，点 P 在圆 C 上，且MPN3，则实数 a 的值等于()A2 或 10B4 或 8C62 2D62 3【变式探究】过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D101.（2019江苏高考）在平面直角坐标系?中，P 是曲线?上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是_.?舍?2（2019北京高考）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_3.（2019浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)A，则m_，r _.4.（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_5(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D46.（2018全国高考）直线1yx与圆22230 xyy 交于AB，两点，则AB _7(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_8.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2,3 2D2 2，3 269(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B.4,8C 2，3 2D2 2，3 210(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D41(2017北京卷)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2，0)，O 为原点，则的最大值为_2.(2017天津卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120，则圆的方程为_1.【2016 高考新课标 2 理数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）22.【2016 高考上海理数】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.3.【2016 高考新课标 3 理数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD _.4.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆222150 xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.7专题专题 14直线与圆直线与圆(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解1直线方程直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角的取值范围：0180.倾斜角为(90)的直线的斜率 ktan，倾斜角为 90的直线斜率不存在当 00 且 k 随倾斜角的增大而增大当 90180时，k0)，圆心坐标为D2，E2，半径 rD2E24F2.(2)点与圆的位置关系几何法：利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的关系判断：dr点在圆外，dr点在圆上；d0)的位置关系如下表.方 法 位 置关系几何法：根据 d|AaBbC|A2B2与r 的大小关系代数法：AxByC0 xa2yb2r2消元得一元二次方程，根据判别式的符号相交d0相切dr09相离drr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是()A(0，1)B.122，12C.122，13D.13，12【解析】(1)当直线 yaxb 与 AB、BC 相交时(如图)，由yaxb，xy1得 yEaba1，又易知 xDba，|BD|1ba，由 SDBE12abaaba112得 b111a10，12.11图图(2)当直线 yaxb 与 AC、BC 相交时(如图)，由 SFCG12(xGxF)|CM|12得 b1221a2122，1(0a0 恒成立，b0，12 122，1，即 b122，12.故选 B.【答案】B高频考点二高频考点二两直线的位置关系两直线的位置关系例 2、已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【答案】2 55【解析】利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.【举一反三】已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB 为直角三角形，则必有()Aba3Bba31aC(ba3)(ba31a)0D|ba3|ba31a|0【解析】若OAB 为直角三角形，则 A90或 B90.当 A90时，有 ba3；当 B90时，有ba30aa30a01，得 ba31a.故(ba3)(ba31a)0，选 C.【答案】C【变式探究】设R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的()12A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】当3 时，两条直线的方程分别为 6x4y10,3x2y20，此时两条直线平行；若两条直线平行，则 2(1)6(1)，所以3 或1，经检验，两者均符合，综上，“3”是“直线2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的充分不必要条件，故选 A.【答案】A【变式探究】设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【解析】易求定点 A(0，0)，B(1，3)当 P 与 A 和 B 均不重合时，不难验证 PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|PA|2|PB|225(当且仅当|PA|PB|5时，等号成立)，当 P 与 A 或 B 重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是 5.【答案】5高频考点三高频考点三圆的方程圆的方程例 3圆(x2)2(y3)22 的圆心和半径分别是()A(2,3)，1B(2，3)，3C(2,3)，2D(2，3)，2【解析】圆的标准方程为(x2)2(y3)22，圆的圆心坐标和半径长分别是(2，3)，2，故选D.【答案】D【举一反三】若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为()A(x1)2y21Bx2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2y21【解析】由题得圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为 x2(y1)21.故选 C.【答案】C【变式探究】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）（A）43（B）34（C）3（D）213【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y4)4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24 111ada，解得43a ，故选 A【变式探究】一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，2)三点，(4，0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为 y12(x2)，令 y0，解得 x32，圆心为32，0，半径为52.故圆的标准方程为x322y2254.【答案】x322y2254高频考点四高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系例 4直线 axby0 与圆 x2y2axby0 的位置关系是()A相交B相切C相离D不能确定【解析】将圆的方程化为标准方程得xa22yb22a2b24，圆心坐标为a2，b2，半径 ra2b22，圆心到直线 axby0 的距离 da2b22a2b2a2b22r，则圆与直线的位置关系是相切故选 B.【答案】B【举一反三】设直线 xya0 与圆 x2y22x4y20 相交于 A，B 两点，若|AB|2，则 a()A1 或 1B1 或 5C1 或 3D3 或 5【解析】由题得圆的方程为(x1)2(y2)23，所以圆心为(1,2)，半径为 3.所以圆心到直线的距离为3212|12a|2，a1 或 5.故选 B.14【答案】B【变式探究】已知直线 l：x 3ya0 与圆 C：(x3)2(y 3)24 交于点 M，N，点 P 在圆 C 上，且MPN3，则实数 a 的值等于()A2 或 10B4 或 8C62 2D62 3【解析】由MPN3可得MCN2MPN23.在MCN 中，CMCN2，CMNCNM6，可得点 C(3，3)到直线 MN，即直线 l：x 3ya0 的距离为 2sin61.所以|3 3 3a|131，解得 a4 或 8.故选 B.【答案】B【变式探究】过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D10【解析】由已知，得AB(3，1)，BC(3，9)，则ABBC3(3)(1)(9)0，所以ABBC，即 ABBC，故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令 x0 得(y2)224，解得 y122 6，y222 6，所以|MN|y1y2|4 6，选C.【答案】C1.（2019江苏高考）在平面直角坐标系?中，P 是曲线?上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是_.【答案】4【解析】当直线?平移到与曲线?相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线?的距离最小.由?，得?舍?，?，即切点?，15则切点 Q 到直线?的距离为?，故答案为 4。2（2019北京高考）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1,0），准线 l 的方程为 x=-1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.3.（2019浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)A，则m_，r _.【答案】2m 5r【解析】可知11:1(2)22ACkAC yx ，把(0,)m代入得2m，此时|4 15rAC.4.（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_【答案】2220 xyx【解析】设圆的方程为220 xyDxEyF，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01 104020FDEFDF，解得：200DEF，则圆的方程为2220 xyx.5(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D4【答案】C【解析】易知 d|cos msin 2|m21|msin cos 2|m21|m21mm21sin 1m21cos 2|m21|m21sin()2|m21(其中 cos mm21，sin 1m21)，因为1sin()1，所以|2 m21|m21dm212m21，m212m2112m21，所以当 m0 时，d 取得最大值 3，故选 C。166.（2018全国高考）直线1yx与圆22230 xyy 交于AB，两点，则AB _【答案】2 2【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4xy，所以圆的圆心为(0,1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得220 1 121(1)d ，结合圆中的特殊三角形，可知2 422 2AB，故答案为2 2.7(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_【答案】x2y22x0【解析】设圆的方程为 x2y2DxEyF0.将已知三点的坐标代入方程可得F0，DEF20，42DF0，解得D2，E0，F0，所以圆的方程为 x2y22x0.8.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2,3 2D2 2，3 2【答案】A【解析】圆心(2,0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2,0)，B(0，2)，所以 AB2 2，所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2,6，即ABP 面积的取值范围是2,69(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B.4,8C 2，3 2D2 2，3 2【答案】A17【解析】设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 xy20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为|22|22 2，可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以ABP 面积的最大值为12|AB|dmax6，ABP 面积的最小值为12|AB|dmin2.综上，ABP 面积的取值范围是2,610(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D4【答案】C【解析】解法一：由点到直线的距离公式得 d|cosmsin2|1m2，cosmsin 1m211m2cosm1m2sin，令 sin11m2，cosm1m2，cosmsin 1m2sin()，d|1m22|1m21m221m2121m2，当 m0 时，dmax3，故选 C解法二：cos2sin21，P 点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又 xmy20 表示过点(2,0)且斜率不为 0 的直线，如图，可得点(1,0)到直线 x2 的距离即为 d 的最大值故选 C1(2017北京卷)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2，0)，O 为原点，则AOAP的最大值为18_【解析】法一由题意知，AO(2，0)，令 P(cos，sin)，则AP(cos 2，sin)，AOAP(2，0)(cos 2，sin)2cos 46，故AOAP的最大值为 6.法二由题意知，AO(2，0)，令 P(x，y)，1x1，则AOAP(2，0)(x2，y)2x46，故AOAP的最大值为 6.【答案】62.(2017天津卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120，则圆的方程为_【解析】由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(1，a)(a0)，则 A(0，a)又 F(1，0)，所以AC(1，0)，AF(1，a)，由题意得AC与AF的夹角为 120，得 cos 12011 1a212，解得 a 3.所以圆 C 的方程为(x1)2(y 3)21.【答案】(x1)2(y 3)211.【2016 高考新课标 2 理数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y4)4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24 111ada，解得43a ，故选 A2.【2016 高考上海理数】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【答案】2 55【解析】利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.193.【2016 高考新课标 3 理数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD _.【答案】4【解析】因为|2 3AB，且圆的半径为2 3，所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为22|()32ABR，则由2|33|31mm，解得33m ，代入直线l的方程，得32 33yx，所以直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|4cos30ABCD 4.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆222150 xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.【答案】（）13422yx（0y）（II）)38,12【解析】（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA.又圆A的标准方程为16)1(22yx，从而4|AD，所以4|EBEA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）.（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),(11yxM，),(22yxN.由134)1(22yxxky得01248)34(2222kxkxk.则3482221kkxx，341242221kkxx.20所以34)1(12|1|22212kkxxkMN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky，A到m的距离为122k，所以1344)12(42|22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112|212kPQMNS.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.当l与x轴垂直时，其方程为1x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积为 12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.