【公开课】一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第二课时）课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

第 八 章 成 对 数 据 的 统 计 分 析8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第二课时）李思目录C O N T E N T03 04 01 02典型例题 课堂总结 知识回顾 残差分析与非线性回归分析知识回顾P A R T.0 1知识回顾1.什么是经验回归方程？我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.2.什么是最小二乘估计?经验回归方程中的参数计算公式为：问题引入相应的经验回归直线如图所示.编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父亲身高/cm174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180儿子身高/cm176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182问题引入不一定，还有其他影响儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子的身高.不过,我们可以作出推测,当父亲的身高为176cm时,儿子身高一般在177cm左右.残差分析与非线性回归分析P A R T.0 2残差残差分析：残差表：将残差以表格的形式呈现；残差图：将残差以图象的形式呈现。残差表编号 父亲身高/cm 儿子身高观测值/cm 儿子身高预测值/cm 残差/cm1 174 176 174.943 1.0572 170 176 171.587 4.4133 173 170 174.104 4.1044 169 170 170.748 0.7485 182 185 181.655 3.3456 172 176 173.265 2.7357 180 178 179.977 1.9778 172 174 173.265 0.7359 168 170 169.909 0.09110 166 168 168.231 0.23111 182 178 181.655 3.65512 173 172 174.104 2.10413 164 165 66.553 1.55314 180 182 179.977 2.023残差表：残差为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，画出残差图，如下：012345-1-2-3-4-5160 165 170 175 180 185残差/cm父亲身高/cm观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边.说明残差比较符合一元线性回归模型的假定。可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设.残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图若残差点比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好残差图思考:以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定?通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.残差残差非线性回归分析问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号 1 2 3 4 5 6 7 8年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.951.画散点图：非线性回归分析由散点图可知，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.2.求经验回归方程：将经验回归方程叠加到散点图，如图(3)所示.由图形可知，散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.根据最小二乘法，由表中数据可得经验回归方程为非线性回归分析3.修改模型：散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征.用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中c1,c2 是待定参数.现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2.注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可认为散点集中在曲线y=c1+c2ln(t-1895)的周围.其中c1和c2为未知参数，且c2 0.非线性回归分析为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2，引进一个中间变量x，令x=ln(t-1895).通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如下表所示.编号 1 2 3 4 5 6 7 8x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95作出上表的散点图：由散点图可知，现在散点的分布呈现出很强的线性相关特征，故可以一元线性回归模型建立经验回归方程.非线性回归分析在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程的图像(蓝色)以及经验回归方程的图像(红色)，如图所示.我们发现，散点图中各散点都非常靠近的图像,表明非线性经验回归方程对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程.下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.非线性回归分析用ti表示编号为i的年份数据，用yi表示编号为i的纪录数据，则经验回归方程和的残差计算公式分别为两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程远远小于，即经验回归方程的拟合效果要远远好于.编号1 2 3 4 5 6 7 8t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 19680.591-0.284-0.301-0.218-0.196 0.111 0.092 0.205-0.001 0.007-0.012 0.015-0.018 0.052-0.021-0.022非线性回归分析在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反.可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.由可知Q2小于Q1.因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.决定系数R2 通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.决定系数R2的计算公式为R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2在线性回归模型中有0R21，因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好决定系数R2编号1 2 3 4 5 6 7 8t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 19680.591-0.284-0.301-0.218-0.196 0.111 0.092 0.205-0.001 0.007-0.012 0.015-0.018 0.052-0.021-0.022由上述残差表可算出经验回归方程和的决定系数R2分别为由于 因此经验回归方程的刻画效果比经验回归方程的好很多.刻画回归效果的三种方法刻画回归效果的三种方法1残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适2残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好3决定系数法：R2越接近1，表明回归模型的拟合效果越好典例2：在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，模型14的R2值分别是0.98，0.80，0.60，0.55，则其中拟合效果最好的模型是()A模型1 B模型2C模型3 D模型4A典型例题P A R T.0 3残差分析例1：为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：x 5 10 15 20 25 30y 7.25 8.12 8.95 9.9010.911.8(1)作出散点图并求经验回归方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的效果；(3)进行残差分析残差分析解：(1)散点图如图所示样本点分布在一条直线附近，所以y与x具有线性相关关系残差分析非线性回归分析非线性回归分析非线性回归分析例3：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值非线性回归分析非线性回归分析课堂总结P A R T.0 4课堂总结1.残差;2.残差表和残差图；3.残差平方和；4.决定系数；5.非线性回归分析。李思T H A N K