2016年数学立体几何高考试题及答案(共12页).docx

精选优质文档-倾情为你奉上2016年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN平面PAD.(2)求证：MNCD.(3)若PDA45°，求证：MN平面PCD.2如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC解答证明：（）连接CE，则ADBC，BC=AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设ACBE=O，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC3如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC解答：证明：（1）D、E为PC、AC的中点，DEPA，又PA平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF；（2）D、E为PC、AC的中点，DE=PA=3；又E、F为AC、AB的中点，EF=BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90°，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面ABC；DE平面BDE，平面BDE平面ABC4如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PCE；（2）求证：平面PCE平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，F为PD的中点，E为AB的中点，FGCD，AECDFGAE，AFGEGE平面PEC，AF平面PCE；（2）证明：PA=AD=2，AFPD又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，AFCDPDCD=D，AF平面PCD，GE平面PCD，GE平面PEC，平面PCE平面PCD；（3）由（2）知，GE平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GFCD，所以GFPD，EG=AF=，GF=CD=，SPCF=PDGF=2得四面体PEFC的体积V=SPCFEG=5如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD解答：解：（）PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD（）ABCD，ABAD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD（）平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD 由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD6如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明：EF平面A1CD；（）证明：平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解答：证明：（I）三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DEAC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点A1F=DE，A1FDE，所以A1DEF是平行四边形，所以EFDA1，DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF平面A1CD（II）D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1AB=A，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（III）过B作BGA1D交A1D于G，平面A1CD平面A1ABB1，且平面A1CD平面A1ABB1=A1D，BGA1D，BG面A1CD，则BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由A1ADBGD，得BG=，在直角BGC中，sinBCG=，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE解答：解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD中点（）证明：PB平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值解答：解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PBMO因为PB平面ACM，MO平面ACM所以PB平面ACM（II）证明：因为ADC=45°，且AD=AC=1，所以DAC=90°，即ADAC又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，ACPO=O，AD平面PAC（III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MNPO，且MN=PO=1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，所以，在RtANM中，=即直线AM与平面ABCD所成的正切值为9三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值解答：（1）证明：PC平面ABC，AB平面ABC，PCABCD平面PAB，AB平面PAB，CDAB又PCCD=C，AB平面PCB（2）解：取AP的中点O，连接CO、DOPC=AC=2，C0PA，CO=，CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DOPACOD为二面角CPAB的平面角由（1）AB平面PCB，ABBC，又AB=BC，AC=2，求得BC=PB=，CD=cosCOD=1如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ_.2 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC90°，且AA1ADDC2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM_.3如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中点(1)求证：平面PDC平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离；4如图，PO平面ABCD，点O在AB上，EAPO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD. (1)求证：BC平面ABPE；(2)直线PE上是否存在点M，使DM平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由5如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点(1)求证：EF平面ABC1D1；(2)求证：EFB1C；(3)求三棱锥B1EFC的体积6如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90°(1)求证：PCBC(2)求点A到平面PBC的距离1.aB1D1平面ABCD，平面B1D1P平面ABCDPQ，B1D1PQ，又B1D1BD，BDPQ，设PQABM，ABCD，APMDPQ，2，即PQ2PM，又APMADP，PMBD，又BDa，PQa.2.答案2DADCDD1且DA、DC、DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M平面A1C1D，DM2. (2)过A作AFPD，垂足为F.在RtPAD中，PA2，ADBC4，PD2，AF·PDPA·AD，AF，即点B到平面PCD的距离为.4.解析(1)PO平面ABCD，BC平面ABCD，BCPO，又BCAB，ABPOO，AB平面ABP，PO平面ABP，BC平面ABP，又EAPO，AO平面ABP，EA平面ABP，BC平面ABPE.(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，EA1，PO2，NO1，又EA与PO都与平面ABCD垂直，EFAB，F为PB的中点，NFOB1，EF2，又CD2，EFABCD，四边形DCFE为平行四边形，DECF，CF平面PBC，DE平面PBC，DE平面PBC.当M与E重合时即可5.(1)证明：连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EFD1B，又EF平面ABC1D1，D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1.(2)证明：B1CAB，B1CBC1，ABBC1B，B1C平面ABC1D1，又BD1平面ABC1D1，B1CBD1，又EFBD1，EFB1C.(3)解：CFBD，CFBB1，CF平面BDD1B1，即CF平面EFB1，且CFBFEFBD1，B1F，B1E3，EF2B1F2B1E2，即EFB190°，VB1EFCVCB1EF·SB1EF·CF×·EF·B1F·CF××××1.6.解析(1)PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC.由BCD90°知，BCDC，PDDCD，BC平面PDC，BCPC.(2)设点A到平面PBC的距离为h，ABDC，BCD90°，ABC90°，AB2，BC1，SABCAB·BC1，PD平面ABCD，PD1，VPABCSABC·PD，PD平面ABCD，PDDC，PDDC1，PC，PCBC，BC1，SPBCPC·BC，VAPBCVPABC，SPBC·h，h，点A到平面PBC的距离为.专心-专注-专业