【高中数学】总体离散程度的估计 高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）.pptx

9.2.4总体离散程度的估计 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效的决策.下面的问题就是一个例子.问题3 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对这两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.作出两人成绩的频率分布条形图，观察他们水平差异！甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7作出两人射击成绩的频率分布条形图：环数频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（甲）环数频率0.40.30.20.14 5 6 7 8 9 10 O（乙）但从上图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见他们的射击成绩是存在差异的，那么，如何度量成绩的这种差异呢？甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到甲命中环数的极差=10-4=6乙命中环数的极差=9-5=4 可以发现甲的成绩波动范围比乙大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。极差越大，数据越分散，越不稳定;极差越小，数据越集中，越稳定.我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.思考：如何定义“平均距离”？我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即 由于上式含有绝对值，运算不太方便，通常改用平方来代替，即 我们称(1)式为这组数据的方差.有时为了计算方便，我们还把方差写成以下形式 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即我们称(2)式为这组数据的标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，YN，总体平均数为Y，则称为总体的方差.与总体均值类似，总体的方差也还可以写成加权的形式.如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k个(kN)，不妨记为：Y1，Y2，Yk，其中Yi 出现的频数 fi(i=1，2，k)，则总体方差为 如果一个样本中的变量值分别为:y1，y2，yn，样本平均数为y，则称为样本方差.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小；显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得 由s甲 s乙 可知,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲。例6 在对树人中学高一学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?解：把男生样本记为:x1，x2，x23，平均数记为x，方差记为sx2;把女生样本记为:y1，y2，y27，平均数记为y，方差记为sy2;把总样本数据的平均数记为z，方差记为s2.则解：把男生样本记为:x1，x2，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生样本为:y1，y2，y27，y=160.6,方差记为sy2=38.62;总样本数据的平均数记为z，方差记为s2.则根据方差的定义，总样本方差为解：把男生样本记为:x1，x2，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生样本为:y1，y2，y27，y=160.6,方差记为sy2=38.62;总样本数据的平均数记为z，方差记为s2.则解：把男生样本记为:x1，x2，x23，x=170.6，sx2=12.59;女生样本为:y1，y2，y27，y=160.6,方差记为sy2=38.62;总样本数据的平均数记为z，方差记为s2.则 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为总样本的方差为51.4682，估计高一年级全体学生的身高的方差为51.4862.样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小,平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数和样本标准差分别为1、数据5，7，7，8，10，11 的标准差是（）A、8 B、4 C、2 D、1C2、如果一组数中每个数加上同一个非零常数，则这一组数的()A、平均数不变，标准差不变 B、平均数改变，标准差改变 C、平均数不变，标准差改变 D、平均数改变，标准差不变D练习巩固B166AB1.用定义计算样本方差和样本标准差2分层抽样总样本方差的计算课 堂 小 结(1)标 准 差、方 差 描 述 了 一 组 数 据 围 绕 平 均 数 波动 的 大 小.标 准 差、方 差 越 大，数 据 的 离 散 程 度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小;3.标准差与方差的特征：(2)标准差、方差的取值范围：0，)标 准 差、方 差 为0时，样 本 各 数 据 全 相 等，表 明数据没有波动幅度，数据没有离散性；(3)标 准 差 的 平 方s2称 为 方 差，有 时 用 方 差 代 替 标准 差 测 量 样 本 数 据 的 离 散 程 度 方 差 与 标 准 差 的测 量 效 果 是 一 致 的，在 实 际 应 用 中 一 般 多 采 用 标准差；(4)标准差的单位与样本数据一致