杆的纵向振动与轴的扭转振动.ppt
燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University假设假设:(1)杆杆的的横横截截面面在在振振动动时时始始终终保保持持为为平平面面，并并作作整整体体运运动；动；(2)略略去去杆杆纵纵向向伸伸缩缩引引起起的的横向变形。横向变形。已知已知:(1)杆杆的的单单位位体体积积的的质质量量为为(x)，截截面面积积为为A(x)，杆杆长长为为L，弹性模量为弹性模量为E；(2)杆受分布力杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。作用作纵向振动。3.2 杆的纵向振动杆的纵向振动坐坐标标：以以u(x,t)表表示示杆杆x截截面面在在时时刻刻t的的位位移移，即即位位移移是是截截面位置面位置x和时间和时间t的二元函数。的二元函数。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University在杆上在杆上取微段取微段dx。微元受力如图。微元受力如图所示。微元纵向应变为所示。微元纵向应变为 x截面上的内力为截面上的内力为N；x+dx截面上的内力为截面上的内力为内力内力N是是x,t的函数的函数根据牛顿根据牛顿运动定律得运动定律得 杆杆纵纵向向振振动动的的偏微分方程为偏微分方程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University若若 杆杆 的的 单单 位位 体体 积积 质质 量量(x)=常常 数数，截截 面面 积积A(x)=A=常常数数，杆杆纵纵向向振振动动的偏微分方程简化为的偏微分方程简化为如果如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为则杆纵向自由振动的偏微分方程为 a为弹性波沿为弹性波沿x轴的传播速度。轴的传播速度。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University 类类似似于于弦弦的的横横向向振振动动，仍仍然然采采用用分分离离变变量量法法求求解解杆杆纵向振动的偏微分方程。设纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为表示为杆纵向自由振动的偏杆纵向自由振动的偏微分方程可以分解为微分方程可以分解为两个常微分方程两个常微分方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University式式中中：C,D为为待待定定常常数数，由由两两个个端端点点的的边边界条件决定。界条件决定。两个常微分方程的解两个常微分方程的解式式中中：A,B为为待待定定常常数数，由由两两个个初初始始条条件件决定。决定。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率为固有频率为 振型函数为振型函数为 边界条件对固有频率、振型的影响边界条件对固有频率、振型的影响(1)两端固定两端固定固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为 将边界条件代将边界条件代入振型函数入振型函数D=0C=1燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityC=0D=1固有频率为固有频率为 振型函数为振型函数为 (2)两端自由两端自由自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为=0=0，杆作刚杆作刚体纵向平动体纵向平动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan UniversityD=0C=1(3)一端固定一端自由的杆一端固定一端自由的杆边界条件为边界条件为 由此得由此得 频率方程为频率方程为 固有频率为固有频率为 振型函数为振型函数为 燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University对于上述三种边界条件：对于上述三种边界条件：两端固定的杆；两端固定的杆；两端自由的杆；两端自由的杆；一端固定、一端自由的杆。一端固定、一端自由的杆。前三阶振型图为：前三阶振型图为：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：上端固定的边界条件为解：上端固定的边界条件为 下下端端具具有有附附加加质质量量M，在在振振动动时时产产生生对对杆杆端端的的惯惯性性力力。取取质质块块为为研研究究对对象象，杆杆对对质质块块的的作作用用力力方方向向向向上上，下端点的边界条件为下端点的边界条件为例例-1 求求如如图图所所示示的的上上端端固固定定、下下端端有有一一附附加加质质量量M的的等等直直杆杆作作纵纵向向振振动动的的固固有有频频率率和和振型函数。振型函数。实例实例燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University考虑到考虑到故下端边界条件为故下端边界条件为由顶端边界条件由顶端边界条件 U(0)=0由下端边界条件由下端边界条件固有频率方程固有频率方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因因a2=E/。整整理理后后得得上上式式为为特特征征方方程程，即即固固有有频频率率方方程程。方方程程左左边边为为杆杆的的质质量量与与附附加加质质量量的的比比值值。当当给给定定比比值值后后，通通过过数数值值法法可可以以求得各个固有频率求得各个固有频率 r的数值解，也可以用作图求出。的数值解，也可以用作图求出。固有频率方程变化为固有频率方程变化为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University设质量比设质量比 AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为则特征方程简化为作作出出tg 和和1/两两个个图图形形，如如图图所所示示。两两个个图图形形的的交交点点 1和和 2,，便便是是各各阶阶固有频率。固有频率。M=0，即一端固定、一端自由的杆，即一端固定、一端自由的杆燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University与与一一端端固固定定一一端端自自由由的的等等直直杆杆比比较较，杆杆下下端端的的附附加加质质量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。如如果果杆杆的的质质量量相相对对附附加加质质量量很很小小，AL/M1，1亦亦为为小小值值，可可近近似似地地取取tg 1 1，因因此此特特征征方方程程可可以以简简化化为为由此计算得基频由此计算得基频式中式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。为附加质量。因因 =L/a燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University这这一一结结果果与与单单自自由由度度系系统统的的结结果果相相同同，说说明明在在计计算算基基频频时时，如如果果杆杆本本身身质质量量比比悬悬挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。若进一步取进一步取将第一次的近似将第一次的近似 =AL/M代入上式，可得代入上式，可得例如，当例如，当 AL/M=1/10时，误差仅为时，误差仅为1.25。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University所以基频所以基频 1为为上上式式就就是是将将杆杆质质量量的的三三分分之之一一加加到到质质量量M上上所所得得的的单单自自由由度度系系统的固有频率计算公式。统的固有频率计算公式。和瑞利法所得的结果相一致。和瑞利法所得的结果相一致。例如，附加质量例如，附加质量M等于杆的质量时，有等于杆的质量时，有因因此此，只只要要杆杆的的质质量量不不大大于于附附加加质质量量，由由简简化化公公式式计计算算的的基基频频能能够满足工程实际应用的要求。够满足工程实际应用的要求。精确解时，系数为精确解时，系数为0.860.86，误差仅为，误差仅为0.70.7。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例2 求求如如图图所所示示的的一一端端固固定定一一端端弹弹性性支支承承的的杆杆作作纵纵向向振振动的固有频率和振型函数。动的固有频率和振型函数。解：左端为固定端，边界条件为解：左端为固定端，边界条件为 右右端端联联结结一一刚刚度度为为k的的弹弹簧簧。弹弹簧簧力力与与杆杆轴轴向向内内力力大小相等，方向相反，即大小相等，方向相反，即燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由此得由此得令令=-EA/kL，则则由上式可求得各个固有频率由上式可求得各个固有频率 r的数值解。的数值解。由左端边界条件由左端边界条件U(0)=0由右端边界条件由右端边界条件与各个与各个 r相应的振型函数为相应的振型函数为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例3 如如图图所所示示的的一一端端固固定定一一端端自自由由的的均均质质杆杆。设设在在自自由由端作用轴向力端作用轴向力F，在，在t=0时释放。求杆运动规律时释放。求杆运动规律u(x,t)。解解：一一端端固固定定一一端端自自由由杆杆的的固固有频率和振型函数为有频率和振型函数为因因燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University常数常数Ar和和Br决定于初始条件决定于初始条件第第一一个个条条件件给给出出了了t=0时时是是均均匀匀初初始始应应变变；因因在在t=0时时释释放放此此力力，所以第二个条件表示初始速度为零。所以第二个条件表示初始速度为零。故杆的位移故杆的位移u(x,t)可以表示为可以表示为故由第二个初始条件得故由第二个初始条件得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由第一个初始条件得由第一个初始条件得用用 乘乘以以上上式式的的两两边边。考考虑虑到到三三角角函函数数的的正正交交性性，在在0 x L上积分，可得的上积分，可得的Br的值，有的值，有 由上述方程可得由上述方程可得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University所以杆的纵向运动为所以杆的纵向运动为在自由端在自由端x=L处振幅最大，即处振幅最大，即这正是杆在静拉力这正是杆在静拉力F作用下自由端的位移。作用下自由端的位移。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University运动微分方程的解运动微分方程的解上节课内容回顾上节课内容回顾杆纵向振动杆纵向振动杆纵向振动的偏微分方程为杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例4 求图示组合杆柱纵向振动的固有频率求图示组合杆柱纵向振动的固有频率燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第1种情况种情况边界条件：顶端弹性约束；底端自由边界条件：顶端弹性约束；底端自由用振型函数表示为用振型函数表示为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University由边界条件由边界条件1由边界条件由边界条件2固有频率方程固有频率方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第2种情况种情况分析：分析：如何选择坐标系？如何选择坐标系？如何建立运动微分方程？如何建立运动微分方程？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University边界条件：顶端弹性约束；底端自由边界条件：顶端弹性约束；底端自由连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同坐标系：每级杆柱独立坐标系。坐标系：每级杆柱独立坐标系。运动微分方程：运动微分方程：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University振型函数表示的边界条件与连续性条件振型函数表示的边界条件与连续性条件燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率方程固有频率方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University解：第解：第3种情况种情况边界条件与边界条件与连续性条件：连续性条件：坐标系：每级杆坐标系：每级杆柱独立坐标系。柱独立坐标系。运动微分方程：运动微分方程：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固有频率方程固有频率方程燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University圆轴扭转振动示意图。圆轴扭转振动示意图。6.3 6.3 轴的扭转振动轴的扭转振动 已知：已知：(x)为为轴单位体积的质量；轴单位体积的质量；I(x)为轴单位长度的转动惯量；为轴单位长度的转动惯量；J(x)为轴横为轴横截面的极惯性矩截面的极惯性矩；f(x，t)为作用于轴上为作用于轴上的分布扭矩。的分布扭矩。L为轴长为轴长；G为为剪切弹性模量。剪切弹性模量。以以(x，t)表示表示x截面的角位移。截面的角位移。微元受力图微元受力图燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University假设：假设：(1)理想弹性体；理想弹性体；(2)轴轴的的横横截截面面在在扭扭转转振振动动中中仍仍保保持持为为平平面面作作整整体体运运动动，即即忽忽略略扭扭转转振振动动时截面的翘曲。时截面的翘曲。取取微微段段dx，由由材材料料力力学学知知，轴轴的的扭扭转转应应变变为为 ，作用于微段作用于微段dx两侧截面上的扭矩分别为两侧截面上的扭矩分别为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University微段运动微分方程为微段运动微分方程为整理得整理得上式为圆轴扭转振动的偏微分方程。上式为圆轴扭转振动的偏微分方程。若若单单位位长长度度的的转转动动惯惯量量I(x)=I=常常数数，单单位位体体积积的的质质量量(x)=常常数数，截截面面极极惯惯性性矩矩J(x)=J=常常数数，且且有有I=J。则则轴扭转振动的偏微分方程轴扭转振动的偏微分方程为为燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦弦的的横横向向振振动动、杆杆的的纵纵向向振振动动以以及及轴轴的的扭扭转转振振动动具具有有相同形式的偏微分方程。相同形式的偏微分方程。当当f(x，t)=0，圆，圆轴扭转自由振动偏微分方程为轴扭转自由振动偏微分方程为或或式中式中a表示剪切弹性表示剪切弹性波沿波沿x轴的传播轴的传播速度。速度。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University同同样样，式式中中有有四四个个待待定定常常数数。系系数数C,D决决定定于于边边界界条条件件；系数系数A，B取决于初始条件。取决于初始条件。扭转振动偏微分方程的解为扭转振动偏微分方程的解为求求轴轴扭扭转转振振动动的的固固有有频频率率和和振振型型函函数数的的方方法法与与上上两两节节完完全全相相同同，需需要要利利用用边边界界条条件件解解出出固固有有频频率率，并并确确定定振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似。振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University固定端固定端 (0,t)=0 (L,t)=0自由端自由端 惯性载荷惯性载荷弹性载荷弹性载荷 其其中中kt为为扭扭转转 弹弹 簧簧 刚刚度。度。轴扭转振动的边界条件轴扭转振动的边界条件燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University因因为为系系统统是是线线性性的的，故故系系统统的的全全解解是是由由无无限限阶阶固固有有振振型叠加而成，即型叠加而成，即则有则有设给定初始条件为设给定初始条件为解上述立方程即可确定积分常数解上述立方程即可确定积分常数Ar和和Br。振振型型函函数数由由边边界界条件确定。条件确定。结结合合系系统统的的固固有有频频率率 r和和振振型型函函数数 r(x)，便便求求得得系系统的位移响应。统的位移响应。将将Ar和和Br带带回回通通解解方程。方程。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例1 设设轴轴一一端端固固定定，另另一一端端附附有有圆圆盘盘，如如图图所所示示，圆圆盘盘转动惯量为转动惯量为I，求扭转振动的固有频率与振型函数。，求扭转振动的固有频率与振型函数。解：轴扭转振动可表示为解：轴扭转振动可表示为(x,t)=(x)F(t)且有且有左端为固定端，边界条件为左端为固定端，边界条件为(0,t)=0 或 (0)=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University轴在轴在L端的边界条件可由端的边界条件可由L端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出用振型函数表示为用振型函数表示为按按截截面面扭扭矩矩的的正正负负规规定定来来判判断断上上面面等等式式的的“”号号：在在L端端的的扭扭矩矩以以逆逆时时针针为为正正，所所以以作作用用在在圆圆盘盘I上上的的扭扭矩矩顺顺时时针针为为正正；截截面面角角位位移移(x，t)逆逆时时针针为为正正，以以圆圆盘盘I为研究对象，即可列出园盘运动微分方程为研究对象，即可列出园盘运动微分方程即为轴在即为轴在L端的边界条件。端的边界条件。燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University轴扭转振动的特征方程为轴扭转振动的特征方程为 tan=因为因为a2=G/。并引入。并引入 的的物物理理意意义义：轴轴的的转转动动惯惯量量与与圆圆盘盘转转动动惯惯量量之之比比。对于给定对于给定 值，可以求出轴扭转振动固有频率的数值解。值，可以求出轴扭转振动固有频率的数值解。(0)=0燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University实实际际上上，通通常常基基频频振振动动最最为为重重要要。根根据据轴轴扭扭转转振振动动的的特征方程，可以求得不同特征方程，可以求得不同 值时的基本特征值值时的基本特征值 1。当当 值值很很小小时时，即即轴轴的的转转动动惯惯量量与与圆圆盘盘转转动动惯惯量量之之比比很很小小时时，可可以以近近似似地地取取tan 1 1。轴轴扭扭转转振振动动特特征征方方程程的简化。的简化。或写为或写为式中式中k=GJ/L为轴的扭转弹性刚度为轴的扭转弹性刚度。对基频的影响对基频的影响 tan=燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University该该式式为为略略去去轴轴的的质质量量后后所所得得的的单单自自由由度度系统的固有频率公式。系统的固有频率公式。如如果果轴轴的的转转动动惯惯量量与与圆圆盘盘的的转转动动惯惯量量相相近近，由由单单自自由由度度理理论论所所述述的的瑞瑞利利法法，将将轴轴转转动动惯惯量量的的三三分分之之一一加加到到圆圆盘盘的的转转动动惯惯量量I上上，再再按按单单自自由由度度系系统统计计算算基基频频，可可得得较较好的近似值。好的近似值。例如当例如当=1时，有时，有用上式计算所得的基频近似值的误差还不到用上式计算所得的基频近似值的误差还不到1。显然，固有频率近似解的误差约为显然，固有频率近似解的误差约为5。当当=0.3时，时，1的近似解的近似解 tan=1=0.551的数值解的数值解1=0.52近似解近似解1=0.866数值解数值解1=0.864燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University例例2 如如图图所所示示的的等等直直圆圆轴轴，长长为为L，以以等等角角速速度度 转转动动，某瞬时左端突然固定，求轴的扭转振动响应。某瞬时左端突然固定，求轴的扭转振动响应。解解：一一端端固固定定一一端端自自由由的圆轴的边界条件为的圆轴的边界条件为(0,t)=0 或 (0)=0或根据边界条件，可得根据边界条件，可得哪个力学模型？哪个力学模型？燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University式中常数取决定于初始条件式中常数取决定于初始条件将其代入位移响应表达式，得将其代入位移响应表达式，得固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University将将上上式式两两边边同同时时前前乘乘以以 并并沿沿轴轴全全长长积积分分。利用固有振型的正交性，解出利用固有振型的正交性，解出代入扭转振动响应代入扭转振动响应(x,t)表达式，得表达式，得燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦的横向振动弦的横向振动弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动杆的纵向振动杆的纵向振动轴的扭转振动轴的扭转振动通解通解燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动燕山大学机械工程学院School of Mechanical Engineering,Yanshan University弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动
