专题6 立体几何中的平行与垂直的证明问题—高一下学期期末复习导学案（解析版.docx

专题6立体几何中平行与垂直的证明问题题型1 空间中平行关系的证明常用定理以及判断方法例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H【解析】证明：（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，HD1MC1又MC1BF，BFHD1（2）取B1D1的中点O，连接EO、D1O，则OEDC，OEDC又D1GDC，D1GDC，OED1G，OED1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1D1，DBBFB，平面BDF平面B1D1H例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D、P分别是棱AB，A1B1的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面【解析】证明：（1）设与的交点为，连结，四边形平行四边形，为中点，又是的中点，是三角形的中位线，则，又平面，平面，平面；（2）为线段的中点，点是的中点，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，平面又平面，且平面，平面，平面平面例3如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FNCM【解析】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DEAB又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE平面ABC，同理DF平面ABC，且DEDFD，所以平面DEF平面ABC又平面PCM平面DEFFN，平面PCM平面ABCCM，所以FNCM例4如图，在直三棱柱中，点分别是中点，平面平面(1)证明：；【解析】（1）证明：取中点G，连接，分别是，中点且又且，四边形为平行四边形平面平面，平面，平面，平面平面，例5 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故面 面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 理由如下：由点分别为中点可得： 面面 由（1）可知，面且故面面例6如图，四边形ABCD为长方形，点E、F分别为AD、PC的中点设平面平面(1)证明：平面PBE；(2)证明：【解析】（1）取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点，所以，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，所以四边形DEGF为平行四边形，所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.题型2 空间中垂直关系的证明常用定理以及判断方法例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E为AD的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD.【解析】（1）因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD，因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC.（2）因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，且PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.例2如图1，在平面四边形中，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.设平面与平面的交线为，求证：；【解析】（1）证明:延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面平面，平面，且平面平面，所以平面，又由，所以平面，因为平面，所以，所以，例3如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为点N.求证：AN平面PBM.来源:学科网ZXXK【解析】因为PA垂直于圆O所在的平面，所以PABM.因为M是圆周上一点，所以BMAM.又因为PAAMA，所以BM平面PAM.所以BMAN.来源:学+科+网Z+X+X+K又因为ANPM，PMBMM，所以AN平面PBM.例4已知多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形是直角梯形，(1)求证：平面平面；【详解】（1）因为四边形是边长为4的正方形，所以，因为四边形是直角梯形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得，因为，所以，由勾股定理逆定理得，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；题型3 空间中平行与垂直的综合问题例1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F【解析】（1）D，E分别为AB，BC的中点，DE为ABC的中位线，DEAC，ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1，DEA1C1，A1C1平面A1C1F，且DE平面A1C1F，DEA1C1F；（2）在ABCA1B1C1的直棱柱中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1，且AA1A1B1A1，AA1、A1B1平面AA1B1B，A1C1平面AA1B1B，DEA1C1，DE平面AA1B1B，又A1F平面AA1B1B，DEA1F，又A1FB1D，DEB1DD，且DE、B1D平面B1DE，A1F平面B1DE，又A1F平面A1C1F，平面B1DE平面A1C1F例2如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点已知侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是矩形，DADP.求证：(1)MN平面PBC；MD平面PAB.【证明】(1)在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MNAD.(2分)又底面ABCD是矩形，所以BCAD.所以MNBC.(4分)又BC平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以ABAD.又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB底面ABCD，所以AB侧面PAD.(8分)又MD侧面PAD，所以ABMD.(10分)因为DADP，又M为AP的中点，从而MDPA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PAABA，所以MD平面PAB.(14分)例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点(1) 求证：EF平面ABC；(2) 求证：BB1AC.【详解】 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点，所以EFAC.(4分)因为EF平面ABC，AC平面ABC，所以EF平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1AB. 因为平面AA1B1B平面ABC，且平面AA1B1B平面ABCAB，BB1平面AA1B1B，所以BB1平面ABC.(12分)因为AC平面ABC，所以BB1AC.(14分)例4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，A1BAC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：（1）OP平面ABB1A1；（2）平面ACC1平面OCP.【详解】（1）在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形，O为A1C的中点，又P为BC的中点，OPA1B，A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，（2）平面ACC1A1是平行四边形，且AA1AC，平面ACC1A1是菱形，AC1A1C，即AC1OC，A1BAC1，且OPA1B，AC1OP，又AC1OC，OPOCO，AC1平面OCP，AC1平面ACC1，平面ACC1平面OCP.例5如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点（1）求证：；ABCDEFP(（2）若平面平面，求证：【解析】 （1）因为是矩形，所以又因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面，所以（2）因为是矩形，所以 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 又平面，所以 又由（1）知，所以【跟踪训练】1.设a，b，c表示不同直线，表示不同平面，下列命题：若ac，bc，则ab；若ab，b，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【详解】由题意，对于，根据线线平行的传递性可知是真命题；对于，根据ab，b，可以推出a或a，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出a与b平行，相交或异面，故是假命题；对于，根据a，b，可以推出ab或a与b异面，故是假命题所以真命题的个数是1.故选：A.2.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ）A平面ABCDB平面PBCC平面PADD平面PCD【答案】C【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，所以，由四边形ABCD为矩形得，因为，所以平面PAD又平面PCD，所以平面平面PAD故选：C3.在三棱柱ABCA1B1C1中，D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若A1C平面BC1D，则D为（）A棱AB的中点B棱AA1的中点C棱BC的中点D棱A1B1的中点【答案】D【解析】解：如图，当D为棱A1B1的中点时，取AB的中点E，连接CE，A1E，由A1DBE，A1DBE，可得四边形BEA1D为平行四边形，即有A1EBD，由A1E平面BDC1，BD平面BDC1，所以A1E平面BDC1，同理可得CE平面BDC1，由CEA1EE，可得平面A1CE平面BC1D，由于A1C平面A1CE，则A1C平面BC1D故选：D4.（多选题）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是（）AOMPD BOM平面PCD COM平面PDA DOM平面PBA【答案】ABC【解析】解：对于A，由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OMPD，故正确；对于B，由于OMPD，OM平面PCD，PD平面PCD，则OM平面PCD，故正确；对于C，由于OMPD，OM平面PAD，PD平面PAD，则OM平面PAD，故正确；对于D，由于M平面PAB，故错误故选：ABC5.（多选）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面若要使得，则需添加下列哪些条件（       ）ABCD【答案】AC【解析】由线面平行的判定定理即可得出答案.由，所以需添加，.故选：AC.6.如图，在五面体P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足求证：平面EMC【详解】证明：连接BD，交MC于F，连接EF，在菱形ABCD中，三角形BMF与三角形FCD相似，且相似比为1:2，所以，故，而BP是平面EMC外的直线，平面EMC，所以平面EMC7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90°，ABAA1，M，N分别是AC，B1C1的中点求证：(1) MN平面ABB1A1；(2) ANA1B.【解析】 (1) 如图，取AB的中点P，连结PM，PB1.因为P，M分别是AB，AC的中点，所以PMBC，且PMBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PMB1N，且PMB1N.(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MNPB1.(4分)而MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为BB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1B1C1.(8分)又因为ABC90°，所以B1C1B1A1.又平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1.(10分)又因为A1B平面ABB1A1，所以B1C1A1B，即NB1A1B.连结AB1，在平行四边形ABB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B.又因为NB1AB1B1，且AB1，NB1平面AB1N，所以A1B平面AB1N.(12分)而AN平面AB1N，所以ANA1B.(14分)8.如图，已知矩形ABCD所在平面与ABE所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点(1) 求证：MN平面BEC；(2) 求证：AHCE.【解析】(1) 解法1 取CE中点F，连结FB，MF. 因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MFCD 且MFCD.(2分) 又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BNCD 且BNCD，所以MFBN 且MFBN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MNBF.(4分) 又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN平面BEC.(6分) 解法2 取AE中点G，连结MG，GN. 因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MGAD.又因为在矩形ABCD中，BCAD，所以MGBC.又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG平面BEC.(2分) 因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GNBE.又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN平面BEC.又因为MGGNG，MG，GN平面GMN，所以平面GMN平面BEC.(4分) 又因为MN平面GMN，所以MN平面BEC.(6分) (2) 因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB.因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，且BCAB，所以BC平面ABE.(8分) 因为AH平面ABE，所以BCAH.因为ABAE，H为BE的中点，所以BEAH.(10分) 因为BCBEB，BC平面BEC，BE 平面BEC，所以AH平面BEC.(12分) 又因为CE平面BEC，所以AHCE.(14分) 9.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC平面ABCD，PBPD，点Q是棱PC上异于P，C的一点(1) 求证：BDAC；(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QFBC.【解析】 (1) 因为PC平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点又PBD中，PBPD，所以BDOP.(4分)又PCOPP，PC，OP平面PAC.所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以BDAC.(7分)(第(1)问也可按如下方式证明：可由PC平面ABCD，得PCCD，PCCB，则由PD，PB，得CDCB，故ABCD为菱形，从而ACBD.)(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC.又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.(10分)又AD平面ADQF，平面ADQF平面PBCQF，所以ADQF，所以QFBC.(14分)学科网（北京）股份有限公司