专题二　2.2基本不等式及不等式的应用-高三数学一复习.pptx

2.2 专题二、基本不等式及不等式的应用知识梳理基础篇考点一基本不等式及其应用1.基本不等式基本不等式 不等式成立的条件等号成立的条件 a0,b0 a=b其中 为正数 a,b 的算术平均数,为正数 a,b 的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要不等式1)a2+b22 ab(a,b R),当且仅当 a=b 时取等号.2)a+b 2(a0,b0),当且仅当 a=b 时取等号.3)ab(a,b R),当且仅当 a=b 时取等号.4)a+2(a0),当且仅当 a=1 时取等号;a+-2(a0),当且仅当 a=-1 时取等号.注意:运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.另外,等号成立仅用来验证最值是否能取到,不能用来求值.3.一个重要的不等式链条:(a0,b0)上述链条中的任意两个中有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:a2+b22 ab,+2(ab0)等,所以利用基本不等式及其变式求最值(或证明不等式)既方便又具有很强的技巧性.考点二应用基本不等式求解最值已知 x0,y0,1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值2(简记:积定和最小).2)如果 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值(简记:和定积最大).注意:1.求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指两数均为正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指必须满足等号成立的条件.2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立.综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略1.恒成立问题:若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立 f(x)min A(x D);若 f(x)在区间 D 上存在最大值,则不等式 f(x)B 在区间 D 上恒成立 f(x)max A 成立 f(x)max A(x D);若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)B 成立 f(x)min A 恰在区间 D 上成立 f(x)A 的解集为 D;不等式f(x)B 恰在区间 D 上成立 f(x)B 的解集为 D.4.双变量的恒成立与存在性问题1)若 x1 I1、x2 I2,f(x1)()g(x2)恒成立,则 f(x)min()g(x)max.2)若 x1 I1,x2 I2,使得 f(x1)()g(x2),则 f(x)min()g(x)min.3)若 x1 I1,x2 I2,使得 f(x1)()g(x2),则 f(x)max()g(x)max.4)若 x1 I1,x2 I2,使得 f(x1)()g(x2),则 f(x)max()g(x)min.5)已知 f(x)在区间 I1上的值域为 A,g(x)在区间 I2上的值域为 B,若 x1 I1,x2 I2,使得 f(x1)=g(x2)成立,则 A B.例1 若对任意 x0,a 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A.B.C.D.解析对任意 x0,有=,当且仅当 x=,即 x=1 时,等号成立,即 的最大值为 由对任意 x0,a 恒成立,a,即 a 的取值范围是.故选B.答案B例2(2021 江苏苏州新草桥中学月考,13)已知函数 f(x)=,设 b0,若存在 x,使 f(x)1,则 b 的取值范围是.解析若存在 x,使 f(x)1,f(x)=,则 1,由 b0 得 b x-x2,即 b,x-x2=-+,x,x=时,(x-x2)max=,则 b.故0 b.答案0 b 例3 已知函数 f(x)=x2,g(x)=-m,若对任意 x 1,2,都有 f(x)g(x),则实数 m 的取值范围是.解析对任意的 x 1,2,都有 f(x)g(x),转化为 m-x2,则 m,令 h(x)=-x2,易证 h(x)在 x 1,2 上为减函数,故 h(x)max=h(1)=-,故 m.答案例4 已知 f(x)=x2-2 x,g(x)=ax+2(a0),对任意的 x1-1,2,存在 x2-1,2,使得 g(x1)=f(x2),则 a 的取值范围是.解析由 x-1,2,f(x)=x2-2 x,g(x)=ax+2(a0)可得 f(x)的值域为-1,3,g(x)的值域是-a+2,2 a+2.对任意的 x1-1,2,存在 x2-1,2,使得 g(x1)=f(x2),则f(x)的值域包含 g(x)的值域,即-a+2,2 a+2-1,3,则-1-a+22 a+2 3,解得0 a,故 a.答案2.2 专题二、基本不等式及不等式的应用习题精练基础篇考点一基本不等式及其应用1.(2022 广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2 的是()A.y=x+B.y=lg x+(1 x1)D.y=sin x+答案C2.(2022 重庆西南大学附中月考)已知 x,y0,x+9 y+xy=7,则3 xy 的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C3.(多选)(2023 届山东潍坊五县联考,9)设 a0,b0,a+b=1,则下列不等式中一定成立的是()A.ab B.+C.2a+2b2 D.+8答案ACD4.(多选)(2022 沈阳二中月考)已知 a0,b0,且 ab=4,则()A.+2 B.+4C.log21 D.2a(a-b)答案BC5.(多选)(2022 新高考,12,5 分)若 x,y 满足 x2+y2-xy=1,则()A.x+y 1 B.x+y-2C.x2+y22 D.x2+y21答案BC6.(2023 届湖北摸底联考,14)若函数 f(x)=ax+bx(a0,b0,a 1,b 1)是偶函数,则+的最小值为.答案47.(2018 天津,13,5 分)已知 a,b R,且 a-3 b+6=0,则2a+的最小值为.答案8.(2019 天津理,13,5 分)设 x0,y0,x+2 y=5,则 的最小值为.答案49.(2021 浙江湖州中学月考)函数 y=+的最大值是.答案2考点二应用基本不等式求解最值考向一配凑法求最值1.(2023 届辽宁鞍山质量监测,8)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,经常应用于高中数学竞赛,主要用来处理分式不等式.其表述如下:设 a,b,x,y0,则+,当且仅当=时等号成立.根据权方和不等式可以比较容易得出,函数 f(x)=+的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49答案B2.(2022 山东平邑一中开学考,6)实数 a,b 满足 a0,b0,a+b=4,则+的最小值是()A.4 B.6 C.D.答案D3.(2023 届福建龙岩一中月考,15)已知正实数 a,b 满足 ab+a+b=3,则2 a+b 的最小值为.答案4-34.(2022 天津南开中学模拟,13)若实数 x,y 满足 x y0,且 xy=4,则 的最大值为.答案5.(2022 湖南湘潭三模,14)已知正数 a,b 满足 a+b=5,则+的最小值为.答案考向二常数代换法求最值1.(2022 河北邢台入学考,7)已知 a0,b0,且 a+b=2,则+的最小值是()A.1 B.2 C.D.答案C2.(2022 辽宁六校联考,7)已知定义在R 上的偶函数 f(x)=|x-m+1|-2,若正实数a、b 满足 f(a)+f(2 b)=m,则+的最小值为()A.B.C.D.答案B3.(多选)(2021 山东潍坊四中检测,10)已知 a1,b0,且+=1,则下列命题正确的是()A.a2 B.ab-b 的最小值为16C.a+b 的最小值为9 D.+的最小值为2答案ABD4.(2021 天津二模,14)已知正实数 x,y 满足 x+y=+6,则 x+y 的最小值是.答案85.(2020 天津,14,5 分)已知 a0,b0,且 ab=1,则+的最小值为.答案4考向三两次及以上使用基本不等式求最值1.(2022 河北邢台“五岳联盟”10 月联考,7)函数 f(x)=4x+的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.3答案C2.(多选)(2020 新高考,11,5 分)已知 a0,b0,且 a+b=1,则()A.a2+b2 B.2a-bC.log2a+log2b-2 D.+答案ABD3.(2021 天津,13,5 分)若 a0,b0,则+b 的最小值为.答案2综合篇考法不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略考向一恒成立与能成立共存问题1.(多选)(2022 湖南衡阳八中模拟,11)已知函数 f(x)=-x-1,x-2,2,g(x)=x2-2x,x-1,2,下列结论正确的是()A.x-2,2,f(x)a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a a,则实数 a 的取值范围是 a1C.x-1,2,g(x)=a,则实数 a 的取值范围是-1 a 3D.x-2,2,t-1,2,f(x)=g(t)答案ABC2.(2022 重庆巴南月考,14)已知函数 f(x)=x+,g(x)=2x+a,若 x1,x22,3,使得 f(x1)g(x2),则实数 a 的取值范围是.答案考向二函数最值与不等式结合问题1.(2022 重庆名校联盟联考,5)已知 x0、y0,且+=1,若2 x+y m2+8 m 恒成立,则实数 m 的取值范围为()A.(-1,9)B.(-9,1)C.-9,1 D.(-,-1)(9,+)答案B2.(多选)(2023 届重庆南开中学质检,10)已知正数 x,y 满足 x+2 y=4,若存在正数 x,y 使得+x t-2 y-成立,则实数 t 的可能取值是()A.2 B.4 C.6 D.8答案CD3.(2021 广东佛山南海石门中学模拟,5)已知 x,y(0,+),且 x+y=1,若不等式 x2+y2+xy m2+m 恒成立,则实数 m 的取值范围是()A.B.C.(-2,1)D.(1,+)答案A4.(2021 浙江绍兴模拟,4)若关于 x 的不等式 x2+ax-20 在区间1,5 上有解,则实数 a 的取值范围为()A.B.C.(1,+)D.答案A5.(2021 湖南师大附中月考,13)已知函数 f(x)=x2+4,g(x)=ax,当 x 1,4 时,f(x)的图象总在 g(x)图象的上方,则 a 的取值范围为.答案(-,4)6.(2021 广东云浮月考,15)已知 f(x)=x2-2 x+4,g(x)=ax(a0 且 a 1),若对任意的 x11,2,都存在 x2-1,2,使得 f(x1)g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是.答案(2,+)一、单项选择题专题综合检测1.(2022 石家庄二中月考,9)下列命题为真命题的是()A.若 a b0,则 ac2 bc2B.若 a b,则 a2 b2C.若 a b0,则 a2 ab b2D.若 a b答案D2.(2022 辽宁丹东五校联考,9)设 b2B.ab b2C.a+b 2 D.2a+2b2答案D3.(2022 河北曲阳一中月考,4)已知函数 f(x)=log2log2,若 f(x1)=f(x2)(其中 x1 x2),则+的最小值为()A.B.C.2 D.4答案B4.(2022 石家庄二中月考,6)若正数 x,y 满足 x+3 y=5 xy,当3 x+4 y 取得最小值时,x+4 y 的值为()A.2 B.3 C.4 D.5答案B5.(2022 重庆涪陵实验中学期中,6)已知 x0,y-1,且+=3,则 x+y 的最小值为()A.4 B.3 C.2 D.1答案C6.(2022 广州执信中学月考,11)设 a,b R,则下列结论正确的是()A.若 a b0,则(a-1)22-a-2-b,则 a bD.若 a b0,且 a+b=1,则 ab ba答案BCD二、多项选择题7.(2022 辽宁六校协作体期中,10)下列说法正确的是()A.当 x(0,1)时,x B.sin2x+的最小值为2C.D.若 a1,b,则1答案ACD8.(2022 辽宁省部分中学期末,11)三元均值不等式:“当 a、b、c 均为正实数时,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当 a=b=c 时等号成立.”利用上面结论,判断下列不等式成立的有()A.若 x0,则 x2+3B.若0 x0,则2 x+3D.若0 x1,则 x(1-x)2答案AC9.(2022 重庆七中期中,13)正数 a,b 满足+=1,若不等式 a+b m 对任意实数 m 恒成立,则实数 m 的最大值是.答案16三、填空题10.(2022 沈阳三十一中月考,15)已知 a b,关于 x 的不等式 ax2+2 x+b 0 对于一切实数 x 恒成立,又存在实数 x0,使得 a+2 x0+b=0 成立,则的最小值为.答案211.(2022 广东深圳实验学校月考,14)已知log2(a+4 b)=2log2(2),则 a+b 的最小值是.答案12.(2022 广东阳春一中月考,16)已知不等式 ax2+bx+c0 的解集为 x|2 x3,则=,b+c+的最小值为.答案-813.(2022 河北曲阳一中月考,14)已知 a,b R,且 a0,则 a2+的最小值是.答案2