2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题06 导数大题基础练（解析版）.docx

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题06 导数大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2022秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知函数(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值2（2022秋·山西晋中·高三校考阶段练习）已知函数且.(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求函数零点的个数.3（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间4（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）已知函数，且求：(1)a的值及曲线在点处的切线方程；(2)函数在区间上的最大值5（2022秋·广东揭阳·高三统考阶段练习）已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最小值6（2022·浙江·高三专题练习）设函数.(1)若在点处的切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间. 7（2022秋·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.8（2022秋·江苏苏州·高三统考期中）给定函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数9（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围.10（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.11（2022秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试）已知函数在处取得极大值1.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程.12（2022秋·安徽安庆·高三校考阶段练习）已知函数，（为常数，）.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.13（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若，讨论的单调性(2)若，求实数的取值范围.14（2022秋·重庆江北·高三校考阶段练习）设函数，在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求函数在上的单调区间和最值.15（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时，求在上的最大值与最小值16（2022秋·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）已知函数(1)求的单调区间及极值；(2)求在区间上的最值17（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数.（1）若，求a的值；（2）若，求证：当时，其中e为自然对数的底数.18（2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最值.19（2022秋·山东菏泽·高三统考期末）设函数.(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.20（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为(1)求的解析式；(2)求函数在上的极值21（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且(1)求实数的值；(2)判断此函数的奇偶性并证明；(3)判断此函数在的单调性（无需证明）.22（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知函数，曲线在点处的切线为.(1)求；(2)求的最小值.23（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知函数(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点24（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)当时，试问曲线是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.25（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数(1)求在处的切线方程；(2)求函数的单调区间与极值.26（2022秋·湖南常德·高三校联考阶段练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.27（2022秋·湖南衡阳·高三校考期中）设函数(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间28（2022秋·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求函数的极值.29（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围.30（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数.证明：(1)存在唯一，使；(2)存在唯一，使且对（1）中的，有.（参考数据：）2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题06 导数大题基础练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2022秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知函数(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即（2）由,令解得令解得,所以在上单调递减,在上单调递增.所以当时,最小,且最小值为,故最大值为2（2022秋·山西晋中·高三校考阶段练习）已知函数且.(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求函数零点的个数.【答案】(1)有极小值，无极大值(2)零点个数为1【分析】（1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；（2）利用函数的导数，通过对参数分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.【详解】（1）解：由题意得：，令，得或（舍去），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以函数有极小值，无极大值.（2）由（1）得.因为，若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以有极大值，极小值，又，所以函数有1个零点.若，则，所以函数单调递增，此时，所以函数有1个零点.若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以有极大值，显然极小值，又，所以函数有1个零点.综上所述，当时，函数的零点个数为1.3（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设为函数的导函数，已知，且的图像经过点(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间【答案】(1)(2)单调递增区间为和；单调递减区间为【分析】(1)求导，计算得到切线斜率，点斜式求切线方程.(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.（1），则，得由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即（2）由已知得又由（1）知，所以故，由，得，或；由，得故在上的单调递增区间为和；单调递减区间为4（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）已知函数，且求：(1)a的值及曲线在点处的切线方程；(2)函数在区间上的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）先求导，求出参数a，然后根据点斜式写出直线方程.（2）先求导，然后根据导数研究函数的最值.【详解】（1），解得：故，曲线在点处的斜率为，切线方程即（2）由（1）可知：，令，解得故当时，所以单调递减；当时，所以单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为5（2022秋·广东揭阳·高三统考阶段练习）已知函数（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最小值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求导分析的单调性，再求区间内的最小值即可【详解】（1）切点为， 切线方程为：故函数在处的切线方程（2）令或（舍）20递减最小值递增6（2022·浙江·高三专题练习）设函数.(1)若在点处的切线为，求a，b的值；(2)求的单调区间. 【答案】(1)，；(2)答案见解析.【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【详解】（1）的定义域为，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，b的值为：，.（2）由（1）知：.当时，在上恒成立，所以在单调递减；当时，令，解得：，列表得：x-0+单调递减极小值单调递增所以，时，的递减区间为，单增区间为.综上所述：当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.7（2022秋·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）存在，.【分析】（1）将代入，求出函数的定义域以及导函数，利用导数与函数的单调性之间的即可求解.（2）由题意可得恒成立，分离参数可得恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解.【详解】解：（1）当时，则.当或时，单调递增；当时，单调递减.的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）假设存在实数，使在上是增函数，则恒成立，即在上恒成立，在上恒成立，恒成立.又，的最小值为.当时，恒成立.又当时，当且仅当时，.故当时，在上单调递增.8（2022秋·江苏苏州·高三统考期中）给定函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,；（2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个； 当时，解为个【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.（3）利用数形结合法即可求解.【详解】（1）由，定义域为 ，令，即，令，即，令，即，所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，为极小值点，所以函数的极小值为.（2）函数的大致图象，如图所示：（3）方程解的个数等价于于的交点个数.作出与的图象，由图可知当时，方程的解为个；当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个；9（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为；(2).【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；（2）由题可知，进而可得，即得.（1），令，解得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增，即函数单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由题可知，由（1）可知，当时，函数有最小值，即，故的取值范围为.10（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)在上有两个零点【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解.【详解】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.11（2022秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考开学考试）已知函数在处取得极大值1.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解，进而可得结果.【详解】（1），则，由题意可得，解得，即，令，解得或，故在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，即符合题意.，则切点坐标为，切线斜率，函数的图象在处的切线方程为，即.（2）由（1）可得：，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，切线过点，则，整理得，即，切线方程为，即.12（2022秋·安徽安庆·高三校考阶段练习）已知函数，（为常数，）.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)极小值，无极大值；(2).【分析】（1）利用导数判断的单调性，根据单调性即可求得函数极值；（2）根据在区间上恒成立，列出不等式，求解即可.【详解】（1）当时，函数，令，解得.令，解得函数在区间上单调递增；令，解得，函数在区间上单调递减.当时，函数取得极小值，无极大值.（2）由题可得，因为函数在区间上是单调增函数，所以在区间上恒成立，但是不恒等于0.在区间上恒成立，但是不恒等于0.，即且，解得.因此实数的取值范围是.13（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若，讨论的单调性(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】(1)先求导，利用导数可得单调性；(2)由题意整理得,令，则，令，利用导数研究最值，可得实数的取值范围.【详解】（1）因为，由，得，即的定义域为.因为，所以，因为，所以当时，当时，所以当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，即，所以令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以，又，所以，所以实数的取值范围是.14（2022秋·重庆江北·高三校考阶段练习）设函数，在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求函数在上的单调区间和最值.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为1，最小值为.【分析】（1）由题意先求的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立的方程求解即可.（2）求的导函数，确定函数的单调性，即可求函数在上的最值.（1）因为，所以，又的图象在处的切线方程为，所以解得（2）由（1）可知，则当时，；当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为，又， 所以在上的最大值为1，最小值为.15（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当时，求在上的最大值与最小值【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)最大值为1，最小值为【分析】（1）对参数分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可；（2）根据（1）中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.【详解】（1）因为当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，若，；若，所以在上单调递减，在，上单调递增；当时，若，；若，所以在上单调递增，在，上单调递减；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减.（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为因为，所以在上的最小值为综上所述：的最大值为，最小值为.16（2022秋·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）已知函数(1)求的单调区间及极值；(2)求在区间上的最值【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为和；极小值；极大值(2)最大值为；最小值为【分析】（1）求出函数的导函数，得到，的变化表，即可得到函数的单调区间与极值；（2）由（1）可得在区间上的单调性，求出区间端点值，即可得到函数的最值；【详解】（1）解：函数的定义域为R，令，得或当变化时，的变化情况如表所示x300单调递减单调递增单调递减故的单调增区间为，单调减区间为和当时，有极小值；当时，有极大值（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为又，所以在区间上的最小值为17（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数.（1）若，求a的值；（2）若，求证：当时，其中e为自然对数的底数.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【分析】（1）求出,根据题意可得，解方程即可求出结果；（2）求出，根据不等式的性质即可证出结论.【详解】（1）因为，所以，解得.（2）函数的定义域是，所以，当，时，可得.18（2022秋·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考期中）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，利用导数即可求解斜率,根据点斜式即可求解切线方程,（2）利用导数确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）由，得，所以，.所以曲线在处的切线方程为，即.（2）令，则，因此 ，由于，故，故函数在上递增，在上递减，故19（2022秋·山东菏泽·高三统考期末）设函数.(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为【分析】（1）求得，得到，利用直线的点斜式方程，求得切线方程为，进而求得三角形的面积；（2）由，得到，结合，得到在上单调递增，进而求得函数的最值.(1)解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在x轴，y轴上的截距分别为，所以所求三角形的面积为.(2)解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.即函数在区间上的最大值为，最小值为.20（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为(1)求的解析式；(2)求函数在上的极值【答案】(1)(2)极大值，极小值【分析】（1）根据导数与切线方程的关系列式计算即可；（2）求出函数的单调区间，根据单调区间确定函数在区间内的极值【详解】（1）因为，所以，由题意得，所以，；故的解析式为（2）由（1）得，因为，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 故当时，函数取得极大值，故当时，函数取得极小值21（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知，且(1)求实数的值；(2)判断此函数的奇偶性并证明；(3)判断此函数在的单调性（无需证明）.【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)单调递增【分析】（1）由解出k即可；（2）利用奇偶性的定义判断证明即可；（3）由导数法判断即可.（1）由，解得（2）为奇函数.证明：由（1）得，则，为奇函数（3），在上单调递增22（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知函数，曲线在点处的切线为.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）求得的导数，结合切点，可得的方程组，即可得的值；（2）求出的解析式，求得导数，令导数为0，求得极值点，讨论当和时区间的单调性，可得最值.【详解】（1）解：由已知：曲线在点处的切线方程为 即 （2）由（1）知，当时，单调递减.当时，令，则，单调递增.当时，单调递增. .的最小值为1.23（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知函数(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数几何意义求解.（2）判断函数在上单调性，然后观察零点.【详解】（1）因为，且，所以切线方程为，即所求切线方程为（2）因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点24（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)当时，试问曲线是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求切点的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)存在，切点的横坐标为【分析】(1)利用导数来讨论单调性，求单调区间；(2)根据过曲线外的一个点作曲线的切线的求解方法即可.【详解】（1）.当时，在上单调递增.当时，若；若.则在上单调递减，在上单调递增.当时，若；若.则在上单调递增，在上单调递减.（2）设切点为，则消去，得，即，解得或.当时，；当时，.所以曲线存在过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为.25（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数(1)求在处的切线方程；(2)求函数的单调区间与极值.【答案】(1)；(2)函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.【分析】（1）求出函数的导数，计算出和的值，利用点斜式写出切线的方程；（2）解方程，然后列表对函数进行分析，可得出函数的单调区间和极值.【详解】（1），因此，函数在点处的切线方程为，即；（2）因为，令，得或，当变化时，变化如下：极大值极小值因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.26（2022秋·湖南常德·高三校联考阶段练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最小值.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程；（2）由导数得出，令，利用导数得出在恒成立，再讨论时函数的单调性，进而得出最值.【详解】解：（1）当时，又得切点，所以切线方程为，即；（2），令，由，得，所以在上为单调增函数又，所以在上恒成立即在恒成立当时，知在上为减函数，从而当时，知在上为增函数，从而；综上，当时，；当时.【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.27（2022秋·湖南衡阳·高三校考期中）设函数(1)若曲线在点处的切线方程为，求；(2)求函数的单调区间【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；（2）对分类讨论，求出的单调区间.【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点又，根据导数几何意义，；（2）由可知当时，则；当时，则；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 当时，单调递增区间为，单调递减区间为.28（2022秋·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，求函数的极值.【答案】（1）答案见解析；（2），.【解析】（1）求得函数的导数，分和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当时，得到，求得函数的导数，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，若，由，可得；由，可得，所以的递减区间为，递增区间为；若，由，可得；由，可得，所以的递减区间为，递增区间为.（2）当时，可得，则，由，即，解得或，当变化时，与的变化情况如下表：-0+0-递减极小值递增极大值递减所以当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值.29（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）已知函数.（1）判断函数的零点个数；（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出【详解】（1）由题知函数的定义域为，对任意恒成立，当且仅当时，所以在上单调递增.又，所以函数有且仅有1个零点.（2）因为，所以.由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.令，又，且函数图象的对称轴为，所以只需解得，即实数的取值范围为.30（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数.证明：(1)存在唯一，使；(2)存在唯一，使且对（1）中的，有.（参考数据：）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理分析运算；（2）构建，利用导数结合（1）中的结论判断的单调性，结合零点存在性定理分析的零点所在区间，即可证明结论.【详解】（1）由题意可得：当时恒成立，则在上单调递减，且，所以在上有唯一零点，即存在唯一，使.（2）令，则时，设，则，由（1）可得：当时，当时，在上是增函数，在上为减函数，当时，则当时，故在上无零点；当时，故存在唯一，使得；综上所述：存在唯一，使得，即存在唯一，使，故，即.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.