2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题05 圆锥曲线大题压轴练（解析版）.docx

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题05 圆锥曲线大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023·广东·统考一模）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆标准方程；(2)若为原点，且满足，求的面积.2（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.(1)求C的方程；(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.3（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8(1)求椭圆E的标准方程；(2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值4（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.(1)求双曲线C的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.5（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值6（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N(1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标；(2)设，的面积分别为，若，求线段OA的长7（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.8（2023·江苏·二模）如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，(1)设的中点为，证明垂直于轴(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值9（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值10（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积；(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.11（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.(1)求的方程；(2)设点，直线与分别交于点.判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.12（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为(1)求点的轨迹的方程；(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围13（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R(1)求证：点R为线段的中点；(2)记，的面积分别为，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由14（2023·江苏·统考一模）已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.15（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆，的上、下顶点是，左，右顶点是，点在椭圆内，点在椭圆上，在四边形中，若，且四边形面积的最大值为(1)求的值(2)已知直线交椭圆于，两点，直线与交于点，证明：当变化时，存在不同于的定点，使得16（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.17（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点分别做轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆的离心率.(2)若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点为与的一个公共点，记，求的值.18（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点，点分别为椭圆的左右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.(1)过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.19（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，（i）求的值；（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.20（2023·浙江·校联考三模）设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为(1)求双曲线的方程；(2)若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值21（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为点，直线：(1)证明：直线与椭圆相交于两点，且每一点与的连线都是椭圆的切线；(2)若过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，求证：22（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点(1)若，求证：；(2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点求的最大值23（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知抛物线，点为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、.(1)若直线斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；(2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数.证明数列为等差数列.24（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）椭圆的上、下顶点分别为A，B. 在椭圆上任取两点C，D，直线斜率存在且不过A，B. 交于，交于，直线交y轴于R，直线交x轴于，直线交x轴于.(1)若a，b为已知量，求；(2)分别作，于E，F，求.25（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且点和点在椭圆上，椭圆的左顶点与抛物线的焦点的距离为.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)直线与抛物线变于两点，与椭圆交于两点.（）若，抛物线在点处的切线交于点，求证：；（）若，是否存在定点，使得直线的倾斜角互补?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.26（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点(1)求的取值范围；(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由27（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设点A为双曲线的左顶点,直线l经过点,与C交于不与点A重合的两点P,Q(1)求直线的斜率之和;(2)设在射线上的点R满足,求直线的斜率的最大值28（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为B，O为坐标原点，为椭圆C的长轴上的一点，若，且OPB的面积为(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为，且，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出AMN面积的最大值29（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧，(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点.30（2023·浙江温州·统考二模）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限(1)求点横坐标的取值范围；(2)线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题05 圆锥曲线大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023·广东·统考一模）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，ABC恰好是边长为2的等边三角形.(1)求椭圆标准方程；(2)若为原点，且满足，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）分点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点和点，点和点中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程；（2）设出，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积.【详解】（1）当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），所以椭圆的标准方程为.（2）设，因为，所以，当直线斜率不存在时，即，则，因为点在椭圆上，所以，则有，所以，点到的距离为，此时.当直线斜率存在时，设直线方程为，联立得消去整理得，满足，由韦达定理得，所以，所以，又因为点在椭圆上，所以，化简得，所以，所以点到直线的距离，所以综上所述，的面积为.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交，设交点为，则弦长公式为：或.2（2023·广东广州·统考一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.(1)求C的方程；(2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于的方程组，解方程组作答.（2）由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答.【详解】（1）由椭圆的离心率为得：，即有，由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，所以C的方程是.（2）为定值，且，因为，则，因此，而，有，于是平分，直线的斜率互为相反数，即，设，由得，即有，而，则，即于是，化简得：，且又因为在椭圆上，即，即，从而，又因为不在直线上，则有，即，所以为定值，且.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值3（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8(1)求椭圆E的标准方程；(2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，结合椭圆的定义求得，再由，求得，即可求得椭圆E的标准方程；（2）直线的方程为，联立方程组得到，利用弦长公式求得，再由由直线的方程为，联立方程组得到， 求得， 进而得出四边形的面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，可得，又由椭圆的定义，可知，所以，所以， 又因为，所以，所以椭圆E的标准方程为（2）解：设，直线的方程为，由，整理得，则有，故，又由直线的方程为，设，联立方程组，整理得，则有， 则， 所以四边形的面积：，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，综上，四边形ACBD面积的最小值为【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围.4（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.(1)求双曲线C的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值【分析】（1）根据双曲线渐近线可设双曲线方程为，利用焦点坐标，求得，即得答案.（2）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，求得，以及的中点坐标，求出的中垂线方程可得T点坐标，继而求得，化简即可得结论.【详解】（1）因为双曲线C以为渐近线，设双曲线方程为，即,，即：，即.,所以双曲线C的方程为：.（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，化简得：，此方程的两根为，则，.，中点M坐标为，即，PQ中垂线方程为：，令，则，即为定值，定值为.【点睛】难点点睛：解答此类直线和双曲线的位置关系类题目，涉及到定值问题，要设出直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，解答的难点是计算比较复杂，计算量较大，比如计算弦长或者其他线段长度，计算要十分细心.5（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系数法求解析式；（2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值.【详解】（1）由题意得，所以，即椭圆方程为；（2）当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点故设直线l：，由，得，.不妨设在x轴上方，则在x轴下方椭圆在x轴上方对应方程为，则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.同理可得B处的切线方程为由得，代入得，所以因为，所以设，则，则，当且仅当，即时，的最大值是2另解：当直线l的斜率存在时，设l：，由得，所以，椭圆在x轴上方的部分方程为，则过的切线方程为，即，同理可得过的切线方程为.由得设，则，所以直线l的方程为，所以.，令，则，所以，当时，即时，取得最大值，为2【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.6（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N(1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标；(2)设，的面积分别为，若，求线段OA的长【答案】(1)(2)【分析】(1)由于A是M，D的中点，设 ，由此推出M的坐标，再根据A，M都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；(2)设直线DA的方程，再根据A，B的对称性设DB的方程，与椭圆方程联立，求出M，N点的坐标与A，B点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.【详解】（1）设，由A，M均在椭圆C上， ，解得 ，；（2）设DA方程为， ，得 ，同理， ，；而 ，【点睛】本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行.7（2023·辽宁·哈尔滨三中校联考一模）已知双曲线C：过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的方程；(2)如图，过点的直线l交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点P、Q，求的值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据渐近线方程设双曲线C的方程为，代入点，运算求解即可得结果；（2）设，根据题意求点的坐标，结合韦达定理证明，即可得结果，注意分类讨论直线是否与轴垂直.【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为.（2）由双曲线C的方程为的方程可得，由题意可得点，则有：当直线l与轴垂直时，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，故，即；当直线l不与轴垂直时，设直线，联立方程，消去x得，则，可得直线，令，则，即点，同理可得：点，即点关于x轴对称，故，即；综上所述：的值为1.【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论8（2023·江苏·二模）如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，(1)设的中点为，证明垂直于轴(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点、纵坐标相等，从而得证；（2）根据向量关系得，又结合点在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值【详解】（1）设，则由，可得，由点都在抛物线上可得化简可得，同理可得 ，故，可视为二次方程的两根，由韦达定理可得，故，由此可得垂直于轴.（2）由（1）可得，；由，知 ，又是双曲线左支上的一点，可得且，则，又当时，因此，当时取最小值为9（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值【答案】(1)(2)证明见解析，定值为2【分析】（1）由与的两个顶点连线的斜率之和为4得出，再将代入的方程得出的方程；（2）联立直线和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点坐标得出，最后由结合证明直线的斜率为定值.【详解】（1）双曲线的两顶点为，所以，即，将代入的方程可得，故的方程为（2）依题意，可设直线，与联立，整理得，所以，解得，且，所以 （*）又，所以的坐标为，由可得，从而可得的纵坐标，将（*）式代入上式，得，即 所以，将（*）式代入上式，得【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键在于利用韦达定理得出，建立的关系，从而得出点的坐标，由此得出.10（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积；(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值.·【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.【详解】（1）依题意可知，则，又，所以，解得（舍去），又，所以，则，所以的面积.（2）由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，设，则，则，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，所以，则，故为定值.·11（2023·山东潍坊·统考一模）已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.(1)求的方程；(2)设点，直线与分别交于点.判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.【答案】(1)(2)过定点，定点，【分析】（1）由题意得，解方程即可得出答案.（2）设，联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理结合直线的方程表示出点的坐标，即可求出直线的方程，即可证明直线定点；由分析知，当取得最大值时，取得最大值，由两角差的正切公式结合基本不等式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，所以，所以的方程为.（2）由题意得整理得，设，直线的方程为，代入整理得，设，则，所以，即，同理.，所以直线的方程为，即，所以直线过定点.因为，所以与正负相同，且，所以，当取得最大值时，取得最大值.由时，；所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，此时直线的方程为.12（2023·山东·河北衡水中学统考一模）在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为(1)求点的轨迹的方程；(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）设，由题意，因为，所以， 即，两边平方并整理得故点的轨迹的方程为；（2）设直线方程为，联立，消并整理得，显然，设，则，又，可得线段中点坐标为，所以线段中垂线的方程为，令，可得，对于直线，令，可得，所以又，所以，令，则，因为在上单调递增，所以，故【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.13（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R(1)求证：点R为线段的中点；(2)记，的面积分别为，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析.(2)存在，.【分析】（1）设设，联立椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出的坐标，计算；继而求出直线的方程，求得点坐标，即可证明结论；（2）利用（1）的分析，求得，进而表示出，计算的结果， 再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论.【详解】（1）证明：由题意知，设，联立，得，则， 直线的方程为，令，得，所以，同理，所以,直线，令得，所以，则，故点R为线段的中点（2）由（1）知，又，所以由（1）知点R为线段的中点，故，所以故存在，使得【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心.14（2023·江苏·统考一模）已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由离心率为可得，再联立直线与双曲线利用判别式可得的方程；（2）设方程，及的坐标，由过A引的垂线交C于另一点H，可得点H为.再证即可.【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，即，所以双曲线的方程为，联立直线与双曲线的方程，消去得，即，因为与双曲线C仅有一个公共点，所以，解得,故双曲线的方程为.（2）设，则满足消去得，所以，如图所示，过A引的垂线交C于另一点H，则AH的方程为.代入得，即（舍去）或.所以点H为.所以，所以，故为的垂心，得证.【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求一条垂线与双曲线的交点，再证另两条过交点的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.15（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆，的上、下顶点是，左，右顶点是，点在椭圆内，点在椭圆上，在四边形中，若，且四边形面积的最大值为(1)求的值(2)已知直线交椭圆于，两点，直线与交于点，证明：当变化时，存在不同于的定点，使得【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，转化为坐标关系，通过运算得，从而求出，利用最大值为即可求出的值；（2）先对直线取的特殊情况，通过特殊情况猜测点S在同一直线上，且的方程为，再证明，然后利用对称性得出定点的坐标【详解】（1）由已知，设，则因为，所以，两式相减得，代回原式得，因为，所以，又，因为S的最大值为，所以，得或(舍去)，所以的值为2（2）由已知有，取，可得，则直线的方程为，直线的方程为联立方程组，可得交点为，若，由对称性可知交点，若点S在同一直线上，则直线的方程为，以下证明：对任意的，直线与直线的交点S均在直线：上由整理得设，则，设与交于点，由可得，设与交于点，由，可得，因为，所以，即与重合，所以当变化时，点S均在直线上，因为，所以要使，只需为线段的垂直平分线，根据对称性可得点，故存在定点满足条件16（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线分别交椭圆于两点（不同于点）.求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率可得，设点结合椭圆方程整理得，根据题意分类讨论求得，即可得结果；（2）设直线及的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线的斜率是否存在.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，得，设点为椭圆上一点，则，则，因为，所以，当时，解得（舍去）；当时，解得；综上所述：，则，故椭圆的标准方程为.（2）当斜率不存在时，设且，则，则直线为，令，得，即，同理可得.与关于轴对称，则，解得，矛盾；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，其中且，联立方程组，消去化简可得，则，所以，由，可得，所以直线的方程为，令，得，即，直线的方程为，令，得，即，因为和关于轴对称，则，把代入上式，则，整理可得，则，则，可得，化简可得，则直线的方程为，即，所以直线过定点；综上所述：直线过定点.【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)（2）动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点17（2023·湖南郴州·统考三模）已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点分别做轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.(1)求该椭圆的离心率.(2)若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点为与的一个公共点，记，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1） 由题意列式，构造齐次式得，求解即可.（2）联立的方程点，再求三边应用余弦定理可得，同理得到，计算可得.【详解】（1）由题意，又因为，故，即，解得（舍负）（2）设椭圆的方程为.由题意知双曲线的方程为.联立的方程，解之得.不失一般性，可设在第一象限，所以点.同理，.同理，因为的离心率为，则.的离心率为，则.又，所以.18（2023·湖南岳阳·统考二模）已知点，点分别为椭圆的左右顶点，直线交于点是等腰直角三角形，且.(1)过椭圆的上顶点引两条互相垂直的直线，记上任一点到两直线的距离分别为，求的最大值；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点试问：是否存在轴上的定点，使得.若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在定点满足条件，理由见解析.【分析】（1）由条件先求，再求的坐标，代入椭圆方程求，可得椭圆方程，由矩形性质可得，结合两点距离公式和二次函数性质求的最大值即可；（2）假设存在轴上的定点满足条件，设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合条件关系列方程求即可.【详解】（1）由是等腰直角三角形，得，.设，则由，得，代入椭圆方程得，所以椭圆的方程为.由几何关系可知：，设，则且于是当时，的最大值是；（2）设点的坐标为，点的坐标为.假设存在轴上的定点，使得，即由题意可知直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为.联立方程消去得，且直线的斜率为，直线的斜率为由得：，即恒成立.解得即存在轴上的定点使得.【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，（i）求的值；（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.【答案】(1)(2)（i）1；（ii）证明见解析【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案； （2）（i）设AB直线方程为，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，所以，又，得，又因为，所以，所以双曲线C的方程为.（2）（2）设AB直线方程为，则，代入双曲线方程整理得：，设，则， ，（i）而，所以，则，所以 ；（ii）过M平行于OA的直线方程为，直线OB方程为与联立，得，即，则，所以，由，两式相除得，则，所以 ，因为，所以，故P为线段MQ的中点，所以.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了如何用表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20（2023·浙江·校联考三模）设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为(1)求双曲线的方程；(2)若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线关系可直接求得双曲线方程；（2）设，与双曲线方程联立，由可求得；由，可整理得到，同理可得，进而确定方程，利用点差法可证得，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出，设，可将表示为关于的函数，利用导数可求得最小值.【详解】（1）双曲线的右焦点为，；右焦点到双曲线的渐近线的距离为，双曲线的渐近线方程为，解得：，双曲线的方程为：.（2）设，切线，由得：，解得：，即，同理可得：直线；直线与直线交于点，点满足方程，即直线，同理可得：直线，即，点在直线上，即点在直线上，即，直线，由得：，点到直线的距离为，令，则，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，.【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.21（2023·广东·校联考模拟预