2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题15 解析几何小题压轴练（解析版）.pdf

解析几何小题压轴练解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练新高考数学复习分层训练(新高考通用新高考通用)一、单选题单选题1.1.(2023(2023辽宁盘锦 盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为 F1,F2，点 P 在双曲线上，且 F1PF2=60，PF2的延长线交双曲线于点 Q，若双曲线的离心率为 e=72，则PQF1Q=()A.23B.813C.815D.122.2.(2023(2023山东潍坊 统考模拟预测)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左，右焦点分别为 F1，F2，点F2与抛物线C2:y2=2px p0的焦点重合，点 P为C1与C2的一个交点，若 PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，C2的准线与C1交于A，B两点，且 AB=92，则C1的离心率为()A.94B.54C.95D.743.3.(2023(2023江苏南通 海安高级中学校考一模)双曲线 C:x2-y2=4 的左，右焦点分别为 F1,F2，过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则O1O2O3的面积是()A.6 2-8B.6 2-4C.8-4 2D.6-4 24.4.(2023(2023湖南永州 统考二模)如图，F1,F2为双曲线的左右焦点，过 F2的直线交双曲线于 B,D 两点，且F2D=3F2B，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有PF1 PB EF1 EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.55.5.(2023(2023河北 河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的两焦点为F1，F2，x轴上方两点 A，B 在椭圆上，AF1与 BF2平行，AF2交 BF1于 P.过 P 且倾斜角为 0的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若 PS=PT，则“为定值”是“为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件2023年6.6.(20232023 江苏南通 二模)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1PF2，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.54B.85C.52D.2 1057.7.(20232023 浙江金华 浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1-c,0，F2c,0，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆 x2+y2=c2上，直线 AB与x轴交于点 P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为155，则k1k2的值为()A.2B.52C.3D.4二、多选题多选题1.1.(20232023 广东 统考一模)已知拋物线 E:y2=8x 的焦点为 F，点 F 与点 C 关于原点对称，过点 C 的直线 l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF为ACF的中线，则 AF=2 BFB.若BF为AFC的角平分线，则 AF=6C.存在直线l，使得 AC=2 AFD.对于任意直线l，都有 AF+BF2 CF2.2.(20232023 广东深圳 深圳中学校联考模拟预测)已知P x1,y1，Q x2,y2是椭圆x24+9y24=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=-2，则下列说法正确的是()A.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为6+2 5B.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最小值为3-5C.x1-3y1+5+x2-3y2+5的最大值为2 5+2 105D.x1-3y1+5+x2-3y2+5的最小值为10-2 23.3.(20232023 浙江金华 浙江金华第一中学校考模拟预测)设 F1，F2为椭圆x24+y23=1 的左，右焦点，直线 l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是()A.ABF2的周长为定值8B.ABF2的面积最大值为2 3C.AF12+AF22的最小值为8D.存在直线l使得ABF2的重心为16,144.4.(20232023 江苏连云港 统考模拟预测)已知抛物线 C：y2=2px p0的焦点为 F，直线 l 与 C 交于A x1,y1，B x2,y2两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是()A.若直线l经过焦点F，且OA OB=-12，则p=2B.若AF=3FB，则直线l的倾斜角为3C.若以AB为直径的圆M经过焦点F，则ABMN的最小值为2D.若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切5.5.(20232023 辽宁 辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线 C:x2=2py(p 0)的焦点为 F，斜率为34的直线l1过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线l2过点B交C于另一点M(异于点A)，交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则()A.C的方程为x2=4yB.AB=254C.BD0，则称B是A关于圆x2+y2=r2的对称点下面说法正确的是()A.点 1,1关于圆x2+y2=4的对称点是-2,-2B.圆x2+y2=4上的任意一点A关于圆x2+y2=4的对称点就是A自身C.圆x2+y-b2=b2b0上不同于原点O的点M关于圆x2+y2=1的对称点N的轨迹方程是y=12bD.若定点E不在圆C:x2+y2=4上，其关于圆C的对称点为D，A为圆C上任意一点，则ADAE为定值7.7.(20232023 山东济宁 统考一模)已知F1，F2是椭圆C1：x2a12+y2a22=1(a1b10)与双曲线C2：x2a22-y2a22=1(a20,b20)的公共焦点，e1，e2分别是C1与C2的离心率，且P是C1与C2的一个公共点，满足PF1 PF2=0，则下列结论中正确的是()A.a12+b12=a22-b22B.1e21+1e22=2C.1e1+3e2的最大值为2 2D.3e1+1e2的最大值为2 28.8.(20232023 山东济南 一模)在平面直角坐标系xOy中，由直线x=-4上任一点P向椭圆x24+y23=1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则()A.APB恒为锐角B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为12C.|AP|的最小值为4D.存在点P，使得(PA+PO)OA=09.9.(20232023 山东 沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB，CD是经过抛物线y2=2x焦点F的互相垂直的两条弦，若AB的倾斜角为锐角，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB2+CD2最小值为32B.设P x,y为抛物线上任意一点，则x+x-322+y-22的最小值为5C.若直线CD的斜率为-3，则 AF BF=4D.OA OB+OC OD=-3210.10.(20232023 湖南 模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，C的一条渐近线 l 的方程为 y=3x，且 F1到 l 的距离为 3 3，点 P 为 C 在第一象限上的点，点 Q 的坐标为2,0，PQ为F1PF2的平分线则下列正确的是()A.双曲线的方程为x29-y227=1B.PF1=3PF2C.OP=3 6D.点P到x轴的距离为3 15211.11.(20232023 湖南 模拟预测)已知椭圆：:x2a2+y23=1(a 3)的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，点M为椭圆上一点，点 I是MF1F2的内心，延长 MI 交线段 F1F2于N，抛物线 y2=158(a+c)x(其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆交于B，C两点，若四边形ABF1C是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC|=3 52B.椭圆的离心率是32C.1MF1+4MF2的最小值为94D.|IN|MI|的值为12三、填空题填空题1.1.(20232023 广东揭阳 校考模拟预测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦点为F1,F2，P是双曲线上一点，且 F1PF2=3.若F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为 R,r，且R=4r，则双曲线的离心率为.2.2.(20232023 浙江 校联考三模)已知椭圆E:x24+y2=1，椭圆的左右焦点分别为F1,F2，点A(m,n)为椭圆上一点且m0,n0，过A作椭圆E的切线l，并分别交x=2、x=-2于C、D点连接CF1、DF2，CF1与DF2交于点E，并连接AE若直线l，AE的斜率之和为32，则点A坐标为3.3.(20232023 辽宁葫芦岛 统考一模)已知双曲线 M:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P为双曲线右支上的一点，Q为F1F2P的内心，且2QF1+3QF2=4PQ，则M的离心率为4.4.(20232023 辽宁 校联考一模)过双曲线C:x2a2-y2b2=1 a0,b0焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分分别为M、N，当MF+3FN=0 时，FN=b.则C的离心率为.5.5.(20232023 河北邢台 校联考模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，经过F的直线l，l与C的对称轴不垂直，l交C于A，B两点，点M在C的准线上，若ABM为等腰直角三角形，则 AB=6.6.(20232023 福建泉州 统考三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,C的渐近线与圆x2+y2=a2在第一象限的交点为M，线段MF2与C交于点N，O为坐标原点若MF1ON，则C的离心率为7.7.(20232023 山东枣庄 统考二模)已知点A 1,2在抛物线y2=2px上，过点A作圆 x-22+y2=2的两条切线分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的方程为8.8.(20232023 湖北 宜昌市一中校联考模拟预测)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e22，C的左右焦点分别为F1,F2，点A在椭圆C上满足F1AF2=2F1AF2的角平分线交椭圆于另一点 B，交y轴于点D已知AB=2BD，则e=9.9.(20232023 湖北武汉 统考模拟预测)设F为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x=t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则ta的最大值为.10.10.(20232023 湖南株洲 统考一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于P，Q两点，若PF1=43F1Q，且 PF2=F1F2，则椭圆C的离心率为11.11.(20232023 湖南常德 统考一模)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，点P为长方体表面上的动点，且PA PB=0，当CP最小时，ABP的面积为.12.12.(20232023 河北衡水 衡水市第二中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，椭圆 E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为 A，B，点 P为第一象限内椭圆上的一点，P关于 x轴的对称点为 Q，过 P作椭圆的切线 l，若 l AP，且 APQ 的垂心恰好为坐标原点 O，记椭圆 E 的离心率为 e，则 e2的值为.解析几何小题压轴练解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练新高考数学复习分层训练(新高考通用新高考通用)一、单选题单选题1.1.(20232023 辽宁盘锦 盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1 a0,b0的左、右焦点分别为 F1,F2，点 P 在双曲线上，且 F1PF2=60，PF2的延长线交双曲线于点 Q，若双曲线的离心率为 e=72，则PQF1Q=()A.23B.813C.815D.12【答案】B【分析】利用双曲线的定义得到 PF2,F2Q,PF1,F1Q关于k,m,n的表达式，在PF1F2与PF1Q中利用余弦定理求得m=2k与n=65k，从而求得 PQ,F1Q关于k的表达式，由此得解.【详解】因为双曲线的离心率为e=72，即ca=72，令a=2k k0，则c=7k，所以 F1F2=2c=2 7k，2a=4k，不妨设点P在双曲线的右支上时，如图，记 PF2=m,F2Q=n，则由双曲线的定义得 PF1-PF2=2a,F1Q-F2Q=2a，所以 PF1=4k+m,F1Q=4k+n，在PF1F2中，F1PF2=60，则 F1F22=PF12+PF22-2 PF1PF2cos60，即28k2=4k+m2+m2-2 4k+mm12，整理得12k2-4km-m2=0，解得m=2k或m=-6k(舍去)，故 PF1=4k+m=6k，PQ=m+n=2k+n，在PF1Q中，F1PF2=60，则 F1Q2=PF12+PQ2-2 PF1PQcos60，即 4k+n2=36k2+2k+n2-26k 2k+n12，整理得12k2-10kn=0，解得n=65k，则 PQ=2k+n=2k+65k=165k，F1Q=4k+n=265k，所以PQF1Q=165k265k=813；故选：B.2.2.(20232023 山东潍坊 统考模拟预测)已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1 a0,b0的左，右焦点分别为 F1，F2，点F2与抛物线C2:y2=2px p0的焦点重合，点 P为C1与C2的一个交点，若 PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，C2的准线与C1交于A，B两点，且 AB=92，则C1的离心率为()A.94B.54C.95D.74【答案】B【分析】令F1(-c,0),F2(c,0)，由题设知c=p20且 AB=2b2a求得4b2=9a，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与F1F2的切点C的位置，进而求离心率.【详解】由题设F1(-c,0),F2(c,0)，又点F2与抛物线的焦点重合，即c=p20，由-c2a2-y2b2=1a2+b2=c2，则y=b2a，故 AB=2b2a=92，即4b2=9a，如下图示，内切圆与PF1F2各边的切点为D,E,K，所以 PD=PE,DF1=KF1,EF2=KF2，又|PF1|-|PF2|=2a，则PD+DF1)-PE+EF2)=DF1-EF2=KF1-KF2=2a，所以K为双曲线右顶点，又PF1F2的内切圆圆心的横坐标为4，即a=4，故b2=9，则c=5，所以离心率为e=ca=54.故选：B3.3.(20232023 江苏南通 海安高级中学校考一模)双曲线 C:x2-y2=4 的左，右焦点分别为 F1,F2，过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点，AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，则O1O2O3的面积是()A.6 2-8B.6 2-4C.8-4 2D.6-4 2【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出c的值，找出A,B的坐标，由AF1F2,BF1F2,F1AB的内切圆圆心分别为O1,O2,O3，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出O1O2O3的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线C:x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，所以F2(2 2,0)，F1F2=2c=4 2所以过F2作垂直于x轴的直线为x=2 2，代入C中，解出A 2 2,2,B 2 2,-2，由题知AF1F2,BF1F2的内切圆的半径相等，且 AF1=BF1，AF1F2,BF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P，设为r，在AF1F2中，由等面积法得：12AF1+AF2+F1F2r=12F1F2 AF2由双曲线的定义可知：AF1-AF2=2a=4由 AF2=2，所以 AF1=6，所以126+2+4 2r=124 2 2，解得：r=2 22+2=2 2 2-22=2 2-2，因为F1F2为F1AB的AF1B的角平分线，所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，在AF1B中，由等面积法得：12AF1+BF1+ABR=12F1F2 AB，又 AF1=BF1=F1F22+AF12=4 22+22=6所以12 6+6+4R=124 2 4，所以R=2，所以 PF2=r=2 2-2，O3P=O3F2-PF2=R-r=2-2 2-2=2-2，所以SO1O2O3=12O1O2O3P=122r O3P=r O3P=2 2-2 2-2=6 2-8，故选：A.4.4.(20232023 湖南永州 统考二模)如图，F1,F2为双曲线的左右焦点，过 F2的直线交双曲线于 B,D 两点，且F2D=3F2B，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有PF1 PB EF1 EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.5【答案】D【分析】取F1B中点Q，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为PQ 2EQ 2，由此可确定EQDF1，由三角形中位线性质知DF1BD；设 BF2=m，结合双曲线定义可表示出 DF1,BF1，在RtBDF1和RtDF1F2中，利用勾股定理可求得离心率.【详解】取F1B中点Q，连接PQ,EQ,DQ，PF1 PB=14PF1+PB 2-PF1-PB 2=144PQ 2-BF1 2=PQ 2-14BF1 2，EF1 EB=14EF1+EB 2-EF1-EB 2=144EQ 2-BF1 2=EQ 2-14BF1 2，PQ 2-14BF1 2EQ 2-14BF1 2，则PQ 2EQ 2，PQ EQ 恒成立，EQDF1，又EQBD，BDDF1，设 BF2=m，由F2D=3F2B 得：BD=2m，根据双曲线定义可知：DF1=DF2-2a=3m-2a，BF1=BF2+2a=m+2a，BD2+DF12=BF12，即4m2+3m-2a2=m+2a2，m=43a，DF1=2a，DF2=4a，又 DF22+DF12=F1F22，20a2=4c2，e2=c2a2=5，则离心率e=5.故选：D.5.5.(20232023 河北 河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的两焦点为F1，F2，x轴上方两点 A，B 在椭圆上，AF1与 BF2平行，AF2交 BF1于 P.过 P 且倾斜角为 0的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若 PS=PT，则“为定值”是“为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P的轨迹，其轨迹方程为x2a2+c22a2+y2a2-c22a2=1，取=4，结合特殊情形可得“当取定值，是定值”是错误的；再由 是定值可得=2，从而可判断当取定值，是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x,y为椭圆x2a2+y2b2=1 ab0上的动点，c为椭圆的半焦距，故F1-c,0，故 MF1=x+c2+y2=x+c2+b21-x2a2=x+c2+b21-x2a2=c2x2a2+2cx+a2=a+cax，设直线l:x=-a2c，则M到该直线的距离为d=x+a2c，故MF1d=ca=e，如图，设直线MF1的倾斜角为，过M作l的垂线，垂足为S，则MF1MF1cos+a2c-c=e，故 MF1=eb2c1-ecos，设p=b2c，故 MF1=ep1-ecos，同理 MF2=ep1+ecos.设AF1的倾斜角为，则 MF1=ep1-ecos，MF2=ep1+ecos，因为AF1BF2，故BF2AF1=F2PAP，所以BF2AF1+BF2=F2PAP+F2P=F2PAF2=F2P2a-AF1，所以 F2P=BF22a-AF1AF1+BF2，同理 F1P=AF12a-BF2AF1+BF2，故 F2P+F1P=2a-2 BF2 AF1AF1+BF2=2a-ep，故P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆，其长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为a2+c224a2-c2=a2-c22a，故P的轨迹方程为：x2a2+c22a2+y2a2-c22a2=1，其中y0.取=2，PS2PT2=yS-yP2yS+yP2=ySyP-12ySyP+12,而a2a4+2a2c2+c44a2，故PS2PT2不是定值即不是定值.故“当取定值，是定值”是错误的.又直线ST的参数方程为：x=x0+tcosy=y0+tsin，设S x0+t1cos,y0+t1sin,T x0+t2cos,y0+t2sin，由x0+tcos2a2+y0+tsin2b2=1整理得到：cos2a2+sin2b2t2+2x0cosa2+y0sinb2t+x20a2+y20b2-1=0，故t1+t2=-2x0cosa2+y0sinb2cos2a2+sin2b2t1t2=x20a2+y20b2-1cos2a2+sin2b2，而 PS=PT，故1-t2=-2x0cosa2+y0sinb2cos2a2+sin2b2-t22=x20a2+y20b2-1cos2a2+sin2b2，所以1-2-4=x0cosa2+y0sinb22cos2a2+sin2b2x20a2+y20b2-1，若为定值，则1-2-4为定值，而1-2-4cos2a2+sin2b2=x0cosa2+y0sinb22x20a2+y20b2-1，故当P x0,y0变化时，x0cosa2+y0sinb22x20a2+y20b2-1始终为定值，又x0cosa2+y0sinb22x20a2+y20b2-1=x20cos2a4+2x0y0cossina2b2+y20sin2b2x20a2+y20b2-1=x20cos2a4+2x0y0cossina2b2+b22a21-x20a2+c224a2sin2b2x20a2+b22a21-x20a2+c224a2b2-1=x20cos2a4-b2sin2a2+c22 +2x0y0cossina2b2+b2sin24a2x201a2-b2a2+c22 +b24a2-1故cos2a4-b2sin2a2+c221a2-b2a2+c22=b2sin24a2b24a2-1且cossina2b2=0，但0,0,，故=2，所以1-2-4=y0b221b2x20a2+y20b2-1=y20b2x20a2+y20-1=y20b2a2+c224a21-y20b24a2a2+y20-1=y20b2a2+c224a2a2-1+1-a2+c22a2y20，但此时1-2-4随y20的变化而变化，不是定值，故“当取定值，是定值”是错误的.故选：D.【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.6.6.(20232023 江苏南通 二模)已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1PF2，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.54B.85C.52D.2 105【答案】D【分析】设 PF1=n，PF2=m，有n-m=2a，n2+m2=4c2，mn=2b2，由弦长公式可得 MN=23c22-n22，AB=23c22-m22，四边形AMBN的面积为12AB MN，解得c2=83b2，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，圆心为O 0,0，半径为3c2，设 PF1=n，PF2=m，点P在双曲线上，PF1PF2，则有n-m=2a，n2+m2=4c2，可得mn=2b2，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则 OD=12PF1=n2，MN=23c22-n22，同理，AB=23c22-m22，由ABMN，四边形AMBN的面积为12AB MN=1223c22-m2223c22-n22=9b2，481c416-m2+n249c24+m2n216 =481c416-9c44+b44=81b4，化简得c2=83b2，则有a2=c2-b2=53b2，则C的离心率e=ca=85=2 105.故选：D7.7.(20232023 浙江金华 浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1-c,0，F2c,0，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆 x2+y2=c2上，直线 AB与x轴交于点 P，直线CP与双曲线C2交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为k1、k2，若椭圆C1的离心率为155，则k1k2的值为()A.2B.52C.3D.4【答案】D【分析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，双曲线方程为x2s2-y2t2=1，根据椭圆离心率得到b2=25a2，故椭圆方程为2x2+5y2=2a2，联立x2+y2=c2求出A点坐标，从而由对称性得到B,C,P点坐标，表达出CP:y=55x-306b，将A点代入双曲线方程，结合s2+t2=a2-b2=32b2得到s2=b22，t2=b2，得到双曲线方程2x2b2-y2b2=1，联立CP:y=55x-306b，得到两根之和，两根之积，表达出Q7 3054b,-6b27，从而求出k1,k2，得到乘积.【详解】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，双曲线方程为x2s2-y2t2=1，则a2-b2=s2+t2=c2，由ca=155可得3a2=5c2，因为c2=a2-b2，所以b2=25a2，故椭圆方程为2x2+5y2=2a2，联立x2+y2=c2可得：x2=c2-23b2=32b2-23b2=56b2，y2=2b23，则A306b,63b，由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于x轴对称，则B306b,-63b，C-306b,-63b，所以P306b,0，故kCP=0+63b306b+306b=55，直线CP:y=55x-306b，A306b,63b代入x2s2-y2t2=1中得，5b26s2-2b23t2=1，又s2+t2=a2-b2=52b2-b2=32b2，结合得到s2=5b22或s2=b22，因为a2=52b2，显然sb0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1 m0,n0的一个公共点，且它们在P x0,y0处的切线互相垂直，则椭圆C1与双曲线C2有公共焦点.二、多选题多选题1.1.(20232023 广东 统考一模)已知拋物线 E:y2=8x 的焦点为 F，点 F 与点 C 关于原点对称，过点 C 的直线 l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF为ACF的中线，则 AF=2 BFB.若BF为AFC的角平分线，则 AF=6C.存在直线l，使得 AC=2 AFD.对于任意直线l，都有 AF+BF2 CF【答案】AD【分析】设l:x=ky-2，不妨令A(x1,y1),B(x2,y2)都在第一象限，C(-2,0),F(2,0)，联立抛物线，根据已知及韦达定理得k21、y1+y2=8k,y1y2=16，则x1+x2=8k2-4,x1x2=4，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设l:x=ky-2，不妨令A(x1,y1),B(x2,y2)都在第一象限，C(-2,0),F(2,0)，联立E:y2=8x，则y2-8ky+16=0，且=64(k2-1)0，即k21，所以y1+y2=8k,y1y2=16，则x1+x2=8k2-4,x1x2=4，如上图所示.A：若BF为ACF的中线，则y2=y12，所以y1=4 2，所以x1=4，故A(4,4 2)，所以B(1,2 2)，则 AF=2 BF=6，故A正确；B：若BF为AFC的角平分线，则BCAB=CFAF，作AD,BE垂直准线x=-2于D,E，则|AF|=|AD|且BCAB=CEDE，所以CFAD=CEDE，即CFAD+CF=CECD=BEAD，则4x1+6=x2+2x1+2，将x2=4x10代入整理，得x21-4x1-12=(x1-6)(x1+2)=0，则x1=6，所以 AF=x1+2=8，故B错误；C：若 AC=2 AF，即 AC=2 AD，即ACD为等腰直角三角形，此时 CD=AD，即A(y1-2,y1)，所以y21=8y1-16，所以y21-8y1+16=0，所以y1=4，所以y2=4，则此时A,B为同一点，不合题设，故C错误；D：AF+BF=AD+BE=x1+x2+4=8k2，而2 CF=8，结合k21，可得8k28，即 AF+BF2 CF恒成立，故D正确.故选：AD.2.2.(20232023 广东深圳 深圳中学校联考模拟预测)已知P x1,y1，Q x2,y2是椭圆x24+9y24=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=-2，则下列说法正确的是()A.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为6+2 5B.2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最小值为3-5C.x1-3y1+5+x2-3y2+5的最大值为2 5+2 105D.x1-3y1+5+x2-3y2+5的最小值为10-2 2【答案】AD【分析】设x=m,3y=n，设C(m1,n1),D(m2,n2)，可得OC=(m1,n1)，OD=(m2,n2),可得C、D两点均在圆m2+n2=4的圆上，且COD=23，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得2x1+3y1-35+2x2+3y2-35及x1-3y1+52+x2-3y2+52的最值，可得答案.【详解】由x24+9y24=1，可得x2+9y2=4，又P x1,y1，Q x2,y2是椭圆x2+9y2=4上两个不同点,可得x12+9y12=4,x22+9y22=4，设x=m,3y=n，则m2+n2=4，设C(m1,n1),D(m2,n2),O为坐标原点，可得OC=(m1,n1)，OD=(m2,n2),可得m12+n12=4,m22+n22=4，且m1m2+n1n2=-2，所以OC OD=-2，cos OC,OD=OC OD OC OD=-12，又 OC,OD 0,，可得C、D两点均在圆m2+n2=4的圆上，且COD=23，设CD的中点为E，则 OE=2cos3=1,根据点到直线的距离公式可知：2x1+3y1-35+2x2+3y2-35=2m1+n1-35+2m2+n2-35为点C、D两点到直线2x+y-3=0的距离d1、d2之和，设E到直线2x+y-3=0的距离d3，由题可知圆心到直线2x+y-3=0的距离为-322+1=35，则d1+d2=2d32 EO+35=2 1+35=2+65，d1+d2=2d3235-EO=235-1=65-2可得d1+d2的最大值为2+65，d1+d2的最小值为65-2；可得 2x1+3y1-3+2x2+3y2-3=5(d1+d2)，可得 2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为5 2+65=2 5+6，最小值为6-2 5，故A正确，B错误；同理，x1-3y1+52+x2-3y2+52=m1-n1+52+m2-n2+52为点C、D两点到直线x-y+5=0的距离d4、d5之和，设E到直线x-y+5=0的距离d6，由题可知圆心到直线x-y+5=0的距离为512+1=52，则d4+d5=2d6252+1=5 2+2，d4+d5=2d6252-1=5 2-2，可得 x1-3y1+5+x2-3y2+5=2(d4+d5)，可得 2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为10+2 2，最小值为10-2 2，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.3.3.(20232023 浙江金华 浙江金华第一中学校考模拟预测)设 F1，F2为椭圆x24+y23=1 的左，右焦点，直线 l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是()A.ABF2的周长为定值8B.ABF2的面积最大值为2 3C.AF12+AF22的最小值为8D.存在直线l使得ABF2的重心为16,14【答案】ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线l的方程为x=my-1，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出ABF2的面积，ABF2的重心进而判断BD.【详解】由椭圆x24+y23=1，可得a=2,b=3,c=1，所以ABF2为 AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，故A正确；因为 AF1+AF2=4，所以 AF12+AF22AF1+AF222=8，当且仅当 AF1=AF2取等号，故C正确；由题可设直线l的方程为x=my-1，由x=my-1x24+y23=1，可得 3m2+4y2-6my-9=0，设A x1,y1,B x2,y2，则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，所以 y1-y2=y1+y22-4y1y2=6m3m2+42-4-93m2+4=12 m2+13m2+4，所以ABF2的面积为S=12F1F2y1-y2=12 m2+13m2+4，令t=m2+1，则t1，m2=t2-1，所以S=12 m2+13m2+4=12t3t2+1=123t+1t，因为t1，由对勾函数的性质可知3t+1t4，所以S=12 m2+13m2+4=12t3t2+1=123t+1t3，当t=1，即m=0取等号，故B错误；由上可知y1+y2=6m3m2+4所以x1+x2=m y1+y2-2=6m23m2+4-2=-83m2+4，又F21,0，所以ABF2的重心为131-83m2+4,2m3m2+4，令131-83m2+4=162m3m2+4=14，解得m=2，所以当直线l的方程为x=2y-1时ABF2的重心为16,14，故D正确.故选：ACD.4.4.(20232023 江苏连云港 统考模拟预测)已知抛物线 C：y2=2px p0的焦点为 F，直线 l 与 C 交于A x1,y1，B x2,y2两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是()A.若直线l经过焦点F，且OA OB=-12，则p=2B.若AF=3FB，则直线l的倾斜角为3C.若以AB为直径的圆M经过焦点F，则ABMN的最小值为2D.若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由OA OB=-12列出方程，求出p=4，A错误；B选项，先得到直线l经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合y1=-3y2求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设 AF=m,BF=n，由抛物线定义结合基本不等式得到ABMN的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：Fp2,0，准线方程为x=-p2，当直线l的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线l:x=p2+my，与y2=2px联立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，则x1x2=y1y224p2=p24，所以OA OB=x1x2+y1y2=p24-p2=-12，解得：p=4，A错误；B选项，因为AF=3FB，所以A,F,B三点共线，即直线l经过抛物线焦点，当直线l的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线l:x=p2+my，与y2=2px联立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，因为AF=3FB，所以y1=-3y2，代入y1+y2=2pm,y1y2=-p2中，得到y2=-pm,-3y22=-p2，即m2=13，因为点A在第一象限，所以y10，故y20，即-pm0，解得：m=33故直线l的斜率为1m=3，设直线l的倾斜角为 0 AB，由抛物线定义可知结合C选项可知：AF+BF=2 MN AB，即 MN