广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题含答案.pdf
第1页，共 5 页2022-20232022-2023 学年学年华附华附下学期期中考试下学期期中考试高一数学高一数学满分：100 分，时间：120 分钟本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分考试用时 120 分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3回答第卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不不准使用铅笔和涂改液准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第第卷卷一一、单选题单选题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项符只有一项符合题目要求合题目要求1如果复数22(56)(3)immmm是纯虚数，则实数m的值为（*）A2 或 3B0 或 3C0D22已知在ABC中，点D为边BC的中点，若ADBCABAC ，则（*）A1B2C1D23已知e为单位向量，8a，向量,a e 的夹角为34，则a在e上的投影向量是（*）A3 2eB4 2eC3 2eD2 3e4圆台的上、下底面半径分别是1,4rR，且圆台的母线长为 5，则该圆台的体积是（*）A30B28C25D245.已知在ABC中，5,4,ABBC4cos5B，则cos A（*）A35B34C32D256为了得到函数cos(2)4yx的图像，可以将函数cosyx的图像上（*）A所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移8个单位第2页，共 5 页B所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移8个单位C所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移8个单位D所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移8个单位7已知()cossin()6f xxx，则下列描述中正确的是（*）A函数()f x周期是2B当(0,)2x，函数()f x最大值是14C直线3x不是该函数的一条对称轴D当(,)2x，函数()f x没有最小值8在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c且sin3 cos,3.aBbA a若2BDDC，则AD的最大值是（*）A3B21C31D3二二、多选题多选题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 12 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合有多项符合要求，全部选对得要求，全部选对得 3 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的是（*）A圆柱的所有母线长都相等B棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C底面是正多边形的棱锥是正棱锥D棱台的侧棱延长后必交于一点10在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，则下列结论正确的是（*）A若2220acb，则ABC为锐角三角形B若ABC为锐角三角形，则sincosABC若sin2sin2AB，则ABC为等腰三角形D若2 coscaB，则ABC是等腰三角形11已知函数()3sin()cos()(0,0)f xxx，且()f x图象的相邻两对称第3页，共 5 页轴间的距离为2，则以下说法正确的是（*）A1B若()f x为偶函数，则23C若()f x在区间(0,)6上单调递增，则的最大值为3D若()f x的一个对称中心为(,0)12，则612.在ABC中，,9,2ABA BC 且4cos5C，P是ABC所在平面内的一点，设PB PCm ，则以下说法正确的是（*）A12ABCSB若14m，则AP的最小值为 2C若114m，设APxAByAC ，则xy的最大值为94D若P在ABC内部（不含边界），且2PACS，则m的取值范围是6,2第第卷卷三三、填空题：填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 12 分分13复数5i 2=*14已知向量(2,2),(21,1),abm且/ab，则ab*15 已知函数()2sin()(0,0,)2f xx的部分图象如图所示，且()f x在0,2上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是*16已知ABC的三边长分别为,a b c角A是直角，则22()b cbbc的取值范围是*第4页，共 5 页四四、解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 52 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17（本小题满分 8 分）如图，在平面四边形ABCD中，5,24 2,CD2.64DABADCABAC(1)求DAC的值；(2)求边BC的值.18（本小题满分 8 分）已知向量13(cos,sin),(3,1).22axx b(1)当ab时，求tanx的值；(2)设函数()(),f xab b且0,2x，求()f x的最大值以及对应的x的值.19（本小题满分 8 分）如图，函数()sin()(0,0,0)f xAxA的图象经过2(0,),(,0),24PM3(,0)4N三点.(1)求函数()f x的解析式；(2)将函数()f x图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12，得到()g x图象.若2()()(),8h xfxg x求函数()h x的单调增区间.第5页，共 5 页20（本小题满分 8 分）如图，在ABC中，3,2,3ABACBACD是BC边的中点，,CEABAD与CE交于点F.(1)求CE和AD的长度；(2)求cosCFD.21（本小题满分 10 分）设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c已知cos()(2 3 sin)cosaBCcBaA（1）求角A；（2）若ABC是锐角三角形，且其外接圆半径3R，求22bc的取值范围22.（本小题满分 10 分）设a为实数，设函数xxxaxf111)(2的最大值为)(ag（1）设xxt11，求t的取值范围，并把)(xf表示为t的函数)(tm；（2）求)(ag；（3）试求满足1()g aga的所有实数a12022-2023 学年学年华附华附下学期期中考试下学期期中考试高一数学参考答案高一数学参考答案选择题：题号123456789101112答案DCBBAABCABDBDBCBC8解：由正弦定理,可得sinsinabAB，sin3 cosaBbA,sinsin3sincos,sin0ABBAB，即sintan3cosAAA，A为三角形的内角,0A，3A，由正弦定理,可得2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC的外接圆半径，32 3sin32aA，2 3sincC，3a，2BDDC，2BD，在ABD中，运用余弦定理,可得2222cosADABBDAB BDB22(2 3sin)42 2 3sin2 cos()3CCC，化简,可得22 3sin24ADC，3A，24(0,),2(0,)33CC，当22C时，AD取得最大值，2 3 1413maxAD ，故选：C12 解：由题得3AB，4AC，5BC，所以6ABCS，故 A 错误取BC中点M，则222254PB PCPMMBPM 当14m 时，2814PM，即92PM ，所以P点在以M为圆心，92为半径的圆上，因为52AM，2所以AP的最小值为95222，故 B 正确当114m 时，29PM，即3PM ，所以P点在以M为圆心，3为半径的圆上设直线AP与直线BC交于点Q，则有AQAPxAByAC ，所以1xy，1xy，即当点P到直线BC的距离最大时，1xy取最大值，此时1231951245xy，故 C 正确对于 D 选项，在AB取点D，使得1AD，过D作DEAB交BC于E，由2PACS可得，P在线段DE上（不含,D E）而2254mPM，所以m的取值范围是6,2，故 D 错误13.2i 14.3 215.2 7,3 616.211,216 法一：当cb时，令1ctb，222222221111(1)2121cb cbbcbttbbcbctttcb111212222 221221211tttt，当且仅当21t 时取“=”，即222102b cbbc；当=c b时，22=0b cbbc；当cb时，令0,1ctb，2222222111()1cb cbbcbtbcbcbctb，令 2211121(1)2(1)2(1)21ttf tttttt，0,1t，根据对勾函数的性质知，当0,1t3时，2(1)1tt单调递减，则()f t在0,1上单调递增，所以 01ff tf，即2210b cbbc，综上得222112b cbbc，所以22b cbbc的取值范围是211,2.法二：角A是直角，则222222sin,sin,sin(sinsin)sin(cossin)11(sin2sin)(sin2cos21)221 2sin(2)124520,2sin(2)(,124444221(1,2baBcaCb cbb cbaB aCaBBBBbcaaBBBBBBBBb cba 17解（1）由题设，,CD2,2 24ADCAC，在ADC中，由正弦定理得：sinsinACCDADCDAC，故sin1sin2CDADCDACAC，又3(0,)4DAC，则6DACp=.（2）由56DAB，6DACp=，故23BAC，在ABC中，24 2,ABAC所以由余弦定理得：2222cos56BCABACAB ACBAC，故2 14BC.18解：（1）13cos,sin,3,1,22axxbab13cos3sin1022xx，cossin0 xx，4(0,),sin0,cos0 xxxtan1x；（2）因为13cos,sin,3,122axxb，所以133cos3sin1cossin222a bxxxx，3 14b b ，所以 3cossin42fxabba bb bxx ，所以 6cos4,0,242fxxx，因为02x，所以3,444x所以22cos242x，所以3634cos442242x，当44x，即0 x 时，fx取最大值，最大值为342.19 解：（1）由图可得函数 fx的最小正周期32244T 21T又函数 fx过点,04，且图象在该点附近单调递增，2Z4kk，即2 Z4kk，又0，4，fx过点20,2，2sin42A，即1A sin4f xx；（2）将函数 fx的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12得到 1sin 224g xx.5 21 cos 2114sinsin 2sin 24824224xh xxxx21sin222x令2 22 22kxk，Zk得：44kxk，Zk所以 h x的单调增区间为,44kk，Zk.20解：（1）CE是高，2AEC,在RtAEC中，2AC，,3BAC所以2si3n3sinBACEACC，2co1s3cosBAAEACC.AD是中线，1()2ADABAC,22222211119()(2)(32 3 2cos2)24443ADABACABAB ACAC ,192AD,193,.2ADCE(2)法一：111,33BAEABAAE,13ECACAEACAB,22221()(21211213()(31)3323 2cos3),232332ECABACACACAB ACADBAAB 3572coscos,191932ECCFDECEADADACD 法二：过 D 作/DGCEBEG交于，,DBCGBE是的中点是的中点，61,AEEGGBEFAGDDGBCE是的中位线是的中位线，113119,24424EFGDCEAFAD，3574coscos19194EFCFDAFEAF.21解：（1）由已知，有cos()cos2 3 sincosaBCaAcBA，cos()cos()2 3 sincosaBCaBCcBA，2 sinsin2 3 sincos,(0,),sin0,aBCcBABB又sin3 cos,sinsin3sincos,sin0aCcAACCAC由正弦定理，得又，sin3cos,cos0tan3,(0,),.3AAAAAA（3）由正弦定理得22 3sinsinbcRBC，2 3sin,2 3sin,bB cC 222212(sinsin)bcBC，,3AABC，13sinsin()sin()sincos322CBABBB，222222213sinsinsin(sincos)22533133sincossin2sinsin24442441 1cos233131sin2(sin2cos2)122442221sin(2)1,26BCBBBBBBBBBBBBBABC是锐角三角形，20,0232BCB且，62B，52666B，72215 3sinsinsin(2)1(,264 2BCB，222212(sinsin)(15,18bcBC，所以22bc的取值范围是(15,18.22.解：（1）由题意可知，1,1x，易知0t，把11txx平方可得，2222 1tx，21,1,24,22.xtt 2221,2tx所以attatmxf22)()(，2,2t（2）由题意知()g a即为函数2(),2,22am ttta t 的最大值，分以下几种情况讨论当0a时，ttm)(，2,2t为单调递增，2)2()(mag；当0a时，对称轴为01at，函数在)(tm2,2t为增函数，2)2()(amag；当0a时，对称轴为01at，当21a，即22a时，函数在)(tm2,2t为减函数，2)2()(mag；当212a，即2122a时，函数在)(tm1,2at为增函数，21，at为减函数，11()2g amaaa；当21a，即210 a时，函数在)(tm2,2t为增函数，2)2()(amag；综上可得22,22122,2121,2)(aaaaaaag8（3）由（2）可得12,2,011,2222,20 或aaaagaaaa，情形 1：当2a ，112a 时，此时()2g a，11()2gaa，由122212aa ,解得，与2a 矛盾情形 2：当22a 21122a 时，此时()2g a，11()2agaa，由122aa，解得2a 与2a 矛盾情形 3：当22,2a 1222a 时，此时1()2()g aga，所以22,2a 情形 4：当2122a，122a 时，此时1()2g aaa ，1()2ga，由1222,222aaaa 解得与矛盾情形 5：当102a时，12a，此时1()2,()2g aaga,由22a解得122,2aa 与矛盾情形 6：当10,0aa时，此时11()2,()2g aagaa,由122,1aaa 解得，由a0 得a=1.综上知，满足1()()g aga的所有实数a为22,2a 或a=1
