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江苏省南通市如东县等2地2022-2023学年高一下学期4月期中数学试题学科网（北京）股份有限公司1高一数学参考答案与评分建议2023.04一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1.D2.B3.C4.A5.D6.A7.B8.A二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9.BCD10.AC11.BCD12.AB三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1311424152111624四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。17（10 分）已知复数22(2)(23)zmmmmi，mR，其中i为虚数单位（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若31612z zizi，求m的值解：（1）因为复数z为纯虚数，所以2220230mmmm，2 分解得1m 或2m 4 分（2）设(,)zxyi x yR，则22z zxy，将其代入31612z zizi，可得223()1612xyi xyii，化简得，22331612xyyxii，6 分则22316312xyyx，解得4x，0y 或3y，所以4z 或43zi，8 分2224230mmmm或2224233mmmm，学科网（北京）股份有限公司2解得2m 10 分18（12 分）已知向量(4,2)a ，(1,4)b（1）若(3)()abab，求的值；（2）若(32,)c，向量ab与c的夹角为锐角，求的取值范围解：（1）若(3)()abab，则(3)()0abab，即22(13)30aa bb 2 分因为(4,2)a ，(1,4)b 所以220a ，217b ，4812a b 4 分所以2012(13)3 170，98 6 分（2）向量ab与c的夹角为锐角，则()0abc，因为(4,2)a ，(1,4)b，所以(3,2)ab ，又(32,)c，所以3(32)20，解得76 10 分又当ab与c的夹角为0不符题意，所以32(32)，43，则的取值范围为76且94 12 分19（12 分）设函数 221sin 23sin3cos32f xxxx(1)当,6 4x 时，求 fx的最大值；(2)若05 2,123x且03132f x，求0cos2x的值解：（1）依题意，学科网（北京）股份有限公司3因为 221sin 23sin3cos32f xxxx1sin2 coscos2 sin3cos2332xxx 2 分1311sin2cos2sin 222232xxx，4 分当,6 4x 时，22,336x ，所以4x 时，fx的最大值为0 6 分（2）因为03132f x，即00131sin 23232fxx，所以03sin 233x，因为05 2,123x，所以02,32x，所以2006cos 21 sin2333xx ，8 分所以00cos2cos233xx00cos 2cossin 2sin3333xx61333632326 12 分20（12 分）如图，在ABC中，,a b c为内角,A B C的对边已知,D E分别为边BC上两点，且2BCBD，AE平分线BAC，4b，8c，sin22sinCB(1)求角C的大小及边 BC 的长度；(2)求ADE的面积解：（1）由题意在ABC中，sin22sinCB，所以2sincos2sinCCB，在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC得2 cos2cCb，因为4b，8c，所以1cos2C，因为C0，所以C=3 4 分在ABC中，由余弦定理得216641cos82aCa学科网（北京）股份有限公司4解得，22 13a，又因为0a 所以，22 13a 6 分（2）113sin4 88 3222ABCSCA CBC ，因为 AE 平分BAC，所以，sinsinBAECAE，由正弦定理得：,sinsinsinsinBEABCEACBAEAEBCAEAEC，其中sinsinAEBAEC，所以，2ABBEACCE，则13ECBC,所以，18 333AECABCSS,9 分因为2BCBD所以 AD 为 BC 边的中线，所以14 32ADCABCSS，所以，14 363ADEADCAECABCSSSS.12 分21（12 分）如图，半圆O的直径为2cm，A为直径延长线上的点，2OAcm，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC设AOB（1）当为何值时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值；（2）克罗狄斯托勒密()Ptolemy所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求AOC解：（1）在ABO中，由余弦定理得2222cos54cosABOAOBOA OB，所以54cosAB，0，于是四边形OACB的面积为20133sinsin(54cos)244A BABCSSSOA OBAB5 35 3sin3cos2sin()434 4 分当32，即56时，学科网（北京）股份有限公司5四边形OACB的面积取得最大值为5 324所以，当150BOA时，四边形OACB的面积最大，最大值为5 324 6 分（2）因为OB ACOA BC AB OC，且ABC为等边三角形，1OB，2OA，所以OBOA OC，所以3OC，8 分即OC的最大值为 3，取等号时180OBCOAC，所以coscos0OBCOAC，10 分不妨设ABx，则221 949024xxxx，解得7x，所以9471cos2232AOC，所以60AOC.12 分22.（12 分）如图所示ABC的两边1BC，2AC，设G是ABC的重心，BC边上的高为AH，过G的直线与AB，AC分别交于E，F，已知AEAB ，AFAC；(1)求11的值；(2)若1cos4C，920AEFABCSS，求 EHAFHFEA 的值；解：(1)1AEABABAE ，1AFACACAB 2 分如图所示，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC中点因为G为ABC重心所以22 1111133 23333AGADABACABACAEAF 4 分因为AG，AE，AF起点相同，终点共线所以11133，所以113 6 分ABCHEFG第6页（共 6 页）（2）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1a，2b 22212cos142 1 244cababC 2c 11sinsin22AEFSAEAFEAFABACEAF1sin2ABCSABACBAC所以920AEFABCSS,8 分由113920解之得343533362,24255AEAF在ABC中2227cos28bcaAbc，在AEF，222272cos50EFAEAFAEAFA,在Rt AHC，中15sin2AHACC，EHAFAHAEAFAHEF HFEAAFAHAEEFAH 22EHAFHFEAEFAHEFAHEFAH =2715504=32110012 分
