浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.pdf

试卷第 1页，共 4页绝密考试结束前绝密考试结束前北斗联盟北斗联盟 2022 学年第二学期期中联考学年第二学期期中联考高二年级数学学科 试题高二年级数学学科 试题考生须知：考生须知：1本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分选择题部分一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合2,1,0,1,2A，|31Bxx，则AB（）A2,1,0,1B1,0,1C0,1D2,1,0,1,22设复数z满足1 2i5z，则z的虚部是（）A-2B-2iC2D2i3沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时 1 小时当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A12小时B78小时C34小时D23小时4平面向量 与 相互垂直，已知（6，8），且 与向量（1，0）的夹角是钝角，则（）A（3，4）B（4，3）C（4，3）D（4，3）5定义运算：12142334a aa aa aa a，将函数cos32()1sin2xf xx的图象向左平移(0)m m的单位后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A3B23C43D73试卷第 2页，共 4页6概率论起源于博弈游戏17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金 48 枚金币，先赢 3 局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局问这 96 枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案该分配方案是A甲 48 枚，乙 48 枚B甲 64 枚，乙 32 枚C甲 72 枚，乙 24 枚D甲 80 枚，乙 16 枚7若2log 3a，3log 4b，4log 5c，则a、b、c的大小关系是（）AabcBbcaCbacDcba8.已知函数|()=xxf xe，若关于 x 的方程2()-()-10fxmf xm 恰有 4 个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（）A.1,1+e（1）B.1-,1e（1）C.2211ee（1，）D.221,1+eee（）二二、多选题多选题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求 全全部选对的得部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9已知数列na，下列结论正确的有（）A若12a，11nnaan，则37a B若11a，132nnaa，则453a C若12nnS=3+，则数列na是等比数列D若11a，122nnnaaa*()Nn，则515a 10如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，Q 为DB的中点，直线1AC交平面1C BD于点M，则下列结论正确的是（）A1C，M，Q 三点共线B1AC 平面1C BDC直线11AC与平面11ABC D所成角的为6D直线1AC和直线1BC是共面直线11已知顶点在原点O的抛物线22xpy，0p，过抛物线焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，当直线l垂直于y轴时，面积为 8.下列结论正确的是（）A抛物线方程为28xy.B若12AB，则AB的中点到x轴距离为 4.C 有可能为直角三角形.D4AFBF的最小值为 18.试卷第 3页，共 4页12古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前 262公元前 190 年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k0 且 k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知 O（0，0），A（3，0），圆 C：222(-2)(0)xyrr上有且仅有一个点 P 满足|PA|2|PO|，则 r 的取值可以为（）A1B3C5D7非选择题部分非选择题部分三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13已知nS是等差数列na的前 n 项和，且3624010aaS，,则1a=_.14.写出一个满足下列条件的正弦型函数：f(x)=_.（1）最小正周期是，（2）f(x)在0,4上单调递增，（3）,xR 都存在0 x使得0()()2f xf x15点 F1是抛物线 C：y24x 的焦点，点 F2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F2作抛物线C 的切线，切点为 A，若点 A 恰好在以 F1，F2为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_.16已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，60,2,3AEBADEBEA，则多面体ABCDE 的外接球的表面积为.四、解答题四、解答题：本题共：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知：b，c，B45（1）求边 BC 的长和三角形 ABC 的面积；（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADB，求tanDAC 的值18（12 分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了 200 户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到数据按如下方式分为 9 组：0，40），40，80），320，360，绘制得到如下的频率分布直方图：(1)试估计抽查样本中用电量在160，200）的用户数量；(2)为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0，40）和320，360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率试卷第 4页，共 4页19（12 分）已知数列 na满足112323(1)22nnaaanannN.(1)求数列 na的通项公式；(2)设111nnnnabaa，求数列 nb的前 n 项和nS.20（12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 B1在底面 ABC 内的射影恰好是点 C，D 是 AC 的中点，且满足 DADB（1）求证：AB平面 BCC1B1；（2）已知 AC2BC2，直线 BB1与底面 ABC 所成角的大小为3，求二面角 CBDC1的大小21（12 分）已知双曲线C：22221xyab过点3,2M，且右焦点为2,0F.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，交y轴于点P，若PAmAF ，PBnBF ，求证：mn为定值.(3)在（2）的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求三角形QAB的面积的取值范围.22（12 分）已知函数 f（x）alnx+，aR（1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）有经过原点的切线，求 a 的取值范围及切线的条数，并说明理由（3）设函数 g（x）f（x）x 的两个极值点分别为 x1，x2，且满足12212()()2()21g xg xeaxxe求实数 a 的取值范围.答案第 1 页，共 7 页 北斗联盟北斗联盟 2022 学年第二学期期中联考 学年第二学期期中联考 高二年级数学学科 参考答案 高二年级数学学科 参考答案 参考答案：参考答案：一、单选题（每题 5 分共 40 分）1 2 3 4 5 6 7 8 B A B D C C D D 二、多选题（每题 5 分，少选 2 分，错选 0 分）9 10 11 12 AB ABC ABD AC 三、填空题（每题 5 分）13.52 14 ()=2(2+),2 2 2,都可以 15.2 1 16.16 17.（10 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知：b，c，B45（1）求边 BC 的长和三角形 ABC 的面积；（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cosADB，求 tanDAC 的值 【解答】解：（1）在ABC 中，由余弦定理知，b2a2+c22accosB，5a2+22a，解得 a3 或1（舍），BC3，(3 分)ABC 的面积 SacsinB3 (5 分)（2）在ABC 中，由正弦定理知，sinC，bc，C 为锐角，cosC，(7 分)cosADB，sinADB，sinDACsin（ADBC）sinADBcosCcosADBsinC，答案第 2 页，共 7 页 由图可知，DAC 为锐角，cosDAC，tanDAC (10 分)18（12 分）为了应对国家电网用电紧张的问题，了解我市居民用电情况，我市统计部门随机调查了 200 户居民去年一年的月均用电量（单位：kWh），并将得到数据按如下方式分为 9 组：0，40），40，80），320，360，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在160，200）的用户数量；（2）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为0，40）和320，360的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同的组的概率 【解答】解：（1）由直方图可得，样本落在0，40），40，80），80，120），120，160）的频率分别为 0.02，0.15，0.27，0.23，落在200，240），240，280），280，320），320，360的频率分别为 0.09，0.06，0.04，0.01因此，样本落在160，200）的频率为：1（0.02+0.15+0.27+0.23+0.09+0.06+0.04+0.01）0.13 样本中用电量在160，200）的用户数为 2000.1326；（6 分）（2）由题可知，样本中用电量在0，40）的用户有 4 户，设编号分别为 1，2，3，4；在320，360的用户有2 户，设编号分别为 a，b，则从 6 户中任取 2 户的样本空间为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），共有 15 个样本点设事件 A“走访对象来自不同分组”，则 A（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），所以 n（A）8，从而 （12 分）答案第 3 页，共 7 页 19已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan（n1）2n+1+2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：Sn【解答】（1）解：a1+2a2+3a3+nan（n1）2n+1+2（nN*），当 n2 时，有 a1+2a2+3a3+（n1）an1（n2）2n+2，两式相减得：nan（n1）2n+1（n2）2nn2n，即 an2n，n2，又当 n1 时，有 a12 也适合上式，an2n；（6 分）说明：不验证 n=1 的情况扣 1 分。（2）证明：由（1）可得：bn，（9 分）Sn+（12 分）20（12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 B1在底面 ABC 内的射影恰好是点 C，D 是 AC 的中点，且满足 DADB（1）求证：AB平面 BCC1B1；（2）已知 AC2BC2，直线 BB1与底面 ABC 所成角的大小为，求二面角 CBDC1的大小 【分析】（1）只要证明 AB 垂直于平面 BCC1B1内两相交直线即可；（2）寻找二面角的平面角，转化为解直角三角形问题【解答】（1）证明：D 是 AC 的中点，DADB，所以 ABBC，（2 分）因为 B1在底面 ABC 内的射影恰好是点 C，所以 B1C平面 ABC，因为 AB平面 ABC，所以 ABB1C，（4 分）因为 BCB1CC，BC平面 BCC1B1，B1C平面 BCC1B1，所以 AB平面 BCC1B1 （5 分）（2）解：设 BC1B1CF，取 BD 中点 E，连接 EF、EC，答案第 4 页，共 7 页 因为 AC2BC2，所以 BCBDCD1，所以 CEBD，由（1）知 FC平面 ABC，所以 CE 是 EF 在平面 ABC 内投影，所以 BDEF，所以FEC 是二面角 CBDC1的平面角，（9 分）由（1）知 B1C平面 ABC，所以 BC 是 BB1在平面 ABC 内投影，所以B1BC 是直线 BB1与底面 ABC 所成角，B1BC，所以 B1CBCtan，因为四边形 BB1C1C 是平行四边形，所以 FCB1C，又因为 CEBCsin60，所以 FCCE，因为 FCCE，所以FEC45 故二面角 CBDC1的大小 45 说明：建立直角坐标系（2 分），平面 BCD 的法向量（1 分），平面1法向量(3 分)，答案（1 分）。21（12 分）【解答】（1）依题意，双曲线C的左焦点为(2,0)F，由双曲线定义知，C的实轴长222|(32)(2)aMFMF=+22(3 2)(2)2 3+=因此3a=，22221ba=，所以双曲线C的方程为2213xy=.（3 分）（2）由（1）知，双曲线C的渐近线方程为33yx=，依题意，直线l的斜率k存在，且3|3k，设直线l的方程为：2xty=+，1tk=，0|3t，由22233xtyxy=+=消去 x并整理得：22(3)410tyty=，设1122(,),(,)A x yB xy，则12122241,33tyyy ytt+=，（4 分）而点2(0,)Pt，则11112(,),(2,)PAx yAFxyt=+=，因为PAmAF=，则有112ymyt+=，即121mty=，同理221nty=，（5 分）答案第 5 页，共 7 页 所以2121212242 112232()22613tyytmntyyty ytt+=+=，为定值.（7 分）（3）由（2）知，点2(0,)Qt，4|PQt=，22212121222221642 31|()4(3)33ttyyyyy yttt+=+=+=，（9分）21212122124 31|2|2|3QABAPQBPQtSSSPQxxtytyyytt+=224 3411tt=+（10 分）因为0|3t，令21(1,2)ut=+，而函数4yuu=在(1,2)上单调递减，即403uu，因此2240131tt+，所以224 34 34311tt+.（12 分）22（12 分）已知函数 f（x）alnx+，aR（1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）有经过原点的切线，求 a 的取值范围及切线的条数，并说明理由（3）设函数 g（x）f（x）x 的两个极值点分别为 x1，x2，且满足()a2，求 实数 a 的取值范围【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）设切点为（x0，y0），根据导数的几何意义和斜率公式可得x0 x0lnx0，再构造函数 g（x）xxlnx，利用导数求出函数 g（x）的值域，再分类讨论即可求出切线的条数和 a 的范围；（3）根据函数 g（x）f（x）x 的两个极值点分别为 x1，x2，可得 a2，x1+x2a，x1x21，不妨设 0 x11x2，代入化简2+，则要证明aa2，只要证，再构造函数令 h（x），利用导数求出 x1的范围，即可求出 a 的范围【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）lnx+，x0，f（x），当 x1 时，f（x）0，当 0 x1 时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；（3 分）答案第 6 页，共 7 页（2）f（x）alnx+，x0，显然原点不在曲线上，设切点为（x0，y0），f（x），f（x0），（4 分）aalnx0+，即 a（1lnx0），显然 a0，x0 x0lnx0，（5 分）设 g（x）xxlnx，g（x）1（1+lnx）lnx，当 x1 时，g（x）0，当 0 x1 时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，g（x）maxg（1）1，当1，即 0a2 时，不存在切线；当 a0 时，f（x），此时不存在过原点的切线，当1 或0，即 a2 或 a0 时，有且仅有一条切线，当 01，即 a2 时，存在两条切线；综上所述：0a2 时，不存在切线，a2 或 a0 时，有且仅有一条切线，a2 时，存在两条切线（7 分）（3）g（x）f（x）xalnx+x，x0，g（x）1，x1，x2是函数 g（x）的两个极值点，x1，x2是方程 x2ax+10 的两个正根，答案第 7 页，共 7 页，即 a2，x1+x2a，x1x21，（8 分）不妨设 0 x11x2，则 g（x1）g（x2）a（lnx1lnx2）+（x1x2）2alnx1+x1（x1）2alnx1+2（x1），2+，要证明a2，只要证2+a2，（10 分）即证，令 h（x），0 x1，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，且 h（），h（x1）h（）0 x1 ax1+x2x1+e+（12 分）