2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题06 导数大题拔高练（解析版）.docx

2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题05 圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.2（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.3（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，求的面积.4（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线的顶点为，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.(1)求双曲线的标准方程；(2)求证：为定值.5（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线的实轴长为4，左右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方.当轴时，(1)设直线的斜率分别为，求的值；(2)若，求的面积.6（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.7（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为(1)求的方程；(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积8（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，（为坐标原点）.(1)求的值；(2)证明：直线与斜率之积为定值.9（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线：和椭圆：有共同的焦点F(1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程(2)过F作直线交抛物线C于P， Q两点，交椭圆E于M， N两点，证明：当且仅当轴时，取得最小值10（2023·河北石家庄·统考一模）已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点；11（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，且过右焦点的直线l与C交于A，B两点，的周长为(1)求C的标准方程；(2)过坐标原点O作一条与垂直的直线，交C于P，Q两点，求的取值范围；(3)记点A关于x轴的对称点为M（异于B点），试问直线BM是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由12（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧(1)若，求l的斜率；(2)记直线的斜率分别为，证明：为定值13（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆过点，且的焦距是椭圆的焦距的3倍(1)求的标准方程；(2)设M，N是上异于点P的两个动点，且，试问直线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由14（2023·山东青岛·统考一模）已知O为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，A为椭圆C的上顶点，为等腰直角三角形，其面积为1(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于P，Q两点，点W在过原点且与l平行的直线上，记直线WP，WQ的斜率分别为，的面积为S从下面三个条件中选择两个条件，证明另一个条件成立；W为原点O注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分15（2023·山东济南·一模）已知抛物线（p为常数，）(1)若直线与H只有一个公共点，求k；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：16（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1(1)求的方程；(2)设点，动直线：与的右支相交于不同两点，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程17（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆过点.(1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围；(2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值.18（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为.（i）求直线的斜率；（ii）设面积为，求的最大值.19（2023·江苏·统考一模）已知直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直线过点，且，求直线的方程；(2)证明：；设，的面积分别为，（O为坐标原点），若，求.20（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点为抛物线上的点，为抛物线上的两个动点，为抛物线的准线与轴的交点，为抛物线的焦点(1)若，求证：直线恒过定点；(2)若直线过点，在轴下方，点在，之间，且，求的面积和的面积之比21（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点当点D的坐标为时，(1)求椭圆的方程(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由22（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由23（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若为等边三角形，且点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C的方程：，倾斜角为的直线过点，且与曲线C相交于A，B两点.(1)时，求三角形的面积；(2)在x轴上是否存在定点M，使直线与曲线C有两个交点A、B的情况下，总有?如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.25（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于两点（在轴上方），且，设点在轴上的射影为点，的面积为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过抛物线的焦点与椭圆交于两，点，与抛物线交于两点.(1)求椭圆及抛物线的标准方程；(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.26（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，虚轴长为2，过双曲线C的右焦点F作直线MN（不与x轴重合）与双曲线C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线ME，E为垂足.(1)求双曲线C的标准方程；(2)是否存在实数t，使得直线EN过x轴上的定点P，若存在，求t的值及定点P的坐标；若不存在，说明理由.27（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线当为椭圆，当为抛物线，当为双曲线定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e为圆锥曲线的离心率依据上述表述解答下列问题已知点，直线动点满足到点F的距离与到定直线l的距离之比为(1)求曲线的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线中，O为抛物线顶点，过焦点F的直线交抛物线与A，B两点，连接，并延长交准线l与D，C，则以为直径的圆与相切于点F，以为直径的圆与相切于中点那么如图在曲线E中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由28（2023·广东广州·统考二模）已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，动点在上.(1)当，且为线段的中点时，证明：；(2)记直线，的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.29（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且(1)求椭圆的方程；(2)点分别在椭圆和直线上，为的中点，若为直线与直线的交点是否存在一个确定的曲线，使得始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由30（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G(1)若千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域的面积最大？2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练【一专三练】 专题06 导数大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，(1)当时，求函数的最小值；(2)若函数的最小值为，求的最大值【答案】(1)0(2)1【分析】（1）当时，令，求得，根据在不同区间的符号判断的单调性，由单调性即可求出的最小值；（2）将等价变换为，借助第（1）问中判断的符号时构造的在时取最小值，取，将问题转化为有解问题即可.【详解】（1）当时，令，则，令，则，易知在上单调递增，且，当时，在区间上单调递减，且，当时，在区间上单调递增，且，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，当时，函数的最小值为.（2）由已知，的定义域为，若函数的最小值为，则有，令，即的最小值为，由第（1）问知，当且仅当时，取最小值，当且仅当时，取得最小值，又，只需令有解，即有解，令，则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，综上所述，若函数的最小值为，则的最大值为.【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的，使，以达到简化运算的目的.2（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知函数，(1)时，若恒成立，求的取值范围；(2)，在上有极值点，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)利用导数讨论单调性求函数的最值，即可求的范围；(2)利用作差法构造函数，根据导函数讨论单调性和最值，即可证明不等式.【详解】（1），令，则，令，则有恒成立，当时，在上恒成立（不恒为零），故在上为减函数，故即恒成立，当，因为的图象是连续不断的，故存在，使得，有，故在上为增函数，故，有，这与题设矛盾，故.（2）令，则，令，则令，则有，即，由（1）得，令，在上单调递增，时，得证3（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若对恒成立，求k的取值范围；(3)求证：对，不等式恒成立.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数在的最小值问题，利用导数求解即可；(3)结合（2）的结论，构造函数，利用导数即可求解.【详解】（1）因，所以，所以所求切线方程为，即；（2）因为在上恒成立，而，令得所以当，即时，所以在上单调递增，则，满足题意；当，即时，设，则的对称轴为，所以在上存在唯一零点，当时，所以在上单调递减，故，不合题意.综上，k的取值范围为；（3）由（2），当时，在恒成立，即，令，则，故在上单调递增，所以，即在上恒成立.综上可得，对，不等式恒成立.【点睛】关键点点睛：第三问解题关键是在（2）中令得到，将所证明的不等式转化为证明在上恒成立即可.4（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，函数，.(1)证明：函数，都恰有一个零点；(2)设函数的零点为，的零点为，证明.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可.（1）函数的定义域为，时，时，在上单调递减，在上单调递减增，时，函数恰有一个零点.函数的定义域为，时，时，在上单调递减，在上单调递增，时，令（表示中最大的数），函数恰有一个零点；（2）由（1）得函数的零点为，且，的零点为，且，则有，在上单调递增，由（1）可得，.原式得证.【点睛】关键点睛：根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解是解题的关键.5（2023春·广东·高三统考开学考试）已知函数(1)证明函数有唯一极小值点；(2)若，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，利用求根公式，判断函数的单调区间，再证明函数存在极小值点；（2）首先不等式整理为，再构造函数，利用导数求函数的最值，即和，即可证明不等式.【详解】（1）函数的定义域为，对于方程，解方程，可得，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以函数有唯一极小值点（2）要证明，即证，即证，即证令，其中，则，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增所以构造函数，其中，则当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减所以，则，所以故原不等式得证6（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）已知函数（a为常数），函数.(1)证明：（i）当时，；（ii）当时，；(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有一个公共点.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)构造函数利用导数证明单调性即可证明;(2) 由利用分类讨论结合单调性,最值来证明.【详解】（1）令,所以,则,所以在上单调递增，且，所以当时，,即,所以；当时，,即,所以（2）解法一:由，得，设，则 .令，由上述推理可得或. 当时，因为，当且仅当，所以在上单调递增，又因为，所以的零点有且仅有一个为0. 当时，列表如下：00000极大值极小值首先在上无零点；取且从而在上有且仅有一个零点.综上所述，曲线与曲线有且仅有一个公共点.解法二:令令当时，在上单调递增，注意到,所以在上有唯一的零点.当时，令或,且当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增,且当时，无零点当时，当时，.，令,在上有唯一的零点，证毕!7（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)令,若是函数的一个极值点,且,求实数a的值【答案】(1)答案见解析(2)【分析】(1)对求导,讨论和时导函数的正负,即可得出函数的单调性；(2)由题意可得,令,对求导,得出在区间上单调递减,注意到,所以方程有唯一解,求解即可得出答案【详解】（1）函数的定义域为, 当时,函数单调递增；当时,令,可得,令,可得,此时函数的增区间为,减区间为；（2）由题意可得，则,即,由,可得,联立,消去a,可得,令,则,则,由,可得x1,x10h(x)递增极大值递减,故,在区间上单调递减,注意到,所以方程有唯一解,代入,可得,8（2023·江苏·高三专题练习）已知函数在处的切线方程为.(1)求实数m和n的值；(2)已知，是函数的图象上两点，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先求导，由可求对应的m和n的值；（2）设，由可判断，由得，设，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于的不等式得，设，由导数得，再证，放缩得，进而得证.【详解】（1）由，得.因为函数在处的切线方程为，所以，则；（2）证明：由（1）可得，所以当时，单调递增；当时，单调递减.因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以.由，得，即.设，.设，则，所以，即，故.要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证.令，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立.由上还不等式可得，当时，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立.综上所述，.9（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知函数(1)当时，证明：对任意的，都有；(2)证明：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】证明，所以，求函数即可.根据原题可以转化证明，也就是证明结合第一问可得.【详解】（1）设函数，在上单调递增，即又因为，因为，所以，即在恒成立，所以，得证.（2），而，欲证即证，也就是证对即可.即证，即证，观察可知与有关系，由(1)知时对恒成立即，故得证毕.10（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第五中学校校考开学考试）已知函数，.（1）求函数的单调递减区间；（2）若存在，当时，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为；（2）.【分析】（1）求出，然后解出不等式即可；（2）首先可得当时，然后分、三种情况讨论，当时，求出的单调性即可.【详解】（1）函数的定义域为，令，解得.所以函数的单调递减区间为.（2）由（1）可知，当时，所以当时，.即不存在满足题意；当时，由，得，对于，有，所以不存在满足题意；当时，令则，令，得，当时，所以在内单调递增，此时，即，所以存在满足题意综上，实数的取值范围是【点睛】方法点睛：对于函数的不等式问题，常利用导数研究其单调性解决.11（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，当由可得，令，求导利用单调性可得答案； 当根据，令可得求解可得答案.【详解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或时且，当即时，对任意恒成立，得可得，时成立，时，有在恒成立，令，所以在单调递减，有，所以；当即时，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，因为，可得，解得，当即时，重合，不符合题意，综上所述，或.12（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知函数(1)求的单调区间；(2)若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导，求极值点分析单调性即可得单调区间；（2）将分析变形得到，根据（1）中的结论构造新函数对函数求导，利用导数解决问题即可.【详解】（1）由题意知的定义城为R，令，当时，；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是（2）将两边同时除以，得，即，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，又，当时，设，则，令，则，由，得，在上单调递增又，当时，即，即，又，又，在上单调递减，即【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.13（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，且(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得函数的单调性，结合区间端点值和极值可求得在区间上取值情况，进而求出实数的取值范围【详解】（1），解得：，则，在点处的切线方程为：，即（2）由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，由，有，即函数与的图像有三个交点，则有实数m的取值范围为14（2023·安徽安庆·统考二模）已知函数，.(1)若曲线在点处的切线方程是，求和的值；(2)若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由及求得和的值；（2）恰有两个零点转化为有两根，用导数研究的图象，由与有两个交点得的取值范围.【详解】（1）因为，所以，因为曲线在点处的切线方程是，所以即解得（2）由得，.显然因此.令且，则，解方程得，因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：由图象可知,当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.故的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两种方法:（1）利用导数研究函数的最(极)值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题;(2)分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题。15（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）设（1）当时，求证：；（2）证明：对一切正整数n，都有【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立；(2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式.【详解】(1)由题知，故单调递增.当时，所以在单调递增，有恒成立.(2)由(1)知当时，取有，故即待证不等式成立16（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，证明：【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，并设，讨论函数的对称轴和最小值，从而判断函数的单调性.（2）根据（1）的结果，可知，并且由韦达定理得到，并将不等式整理为，再利用换元，并构造函数，利用导数判断单调性，即可证明.【详解】（1），令，注意到，对称轴，故，（i）当时，即，此时在上单调递增，即，从而，即在上单调递增；（ii）当时，若，即时 ，恒成立，从而，即在上单调递增；若，即时，存在有，其中，从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增，当时，函数在和单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）可知，要使有两个极值点，则，此时满足，不妨设，此时有，从而原不等式转化为：将及代入有： ，化简即得：，即证，由，可得，令，设，则，故在上单调递增，故原不等式成立【点睛】关键点睛：本题考查讨论函数单调性和双变量，证明不等式问题，本题第二问的关键是利用韦达定理，得及，从而代入不等式，进行消元，转化为，才可构造函数，进行证明.17（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线为：，函数在点处的切线为：.(1)若，均过原点，求这两条切线斜率之间的等量关系.(2)当时，若，此时的最大值记为m，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用导数结合点斜式求解切线方程，根据切线经过原点即可求解；（2）构造，求导确定单调性即可求解.【详解】（1）由题可得，：，：，因为均过原点，所以，因为均过原点，所以，所以.（2）由题，记，记，在单调递减，且，使得，即，且在上单调递增，在上单调递减.，又，故得证.18（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数(1)求在上的极值；(2)若，求的最小值【答案】(1)为极小值，无极大值.(2)【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.【详解】（1），令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.（2）由题知 ,令，令，则 ，设 则 ，为正，在单调递增，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即 此时，存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.综上所述的最小值为.19（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知函数，其中(1)求函数的最小值；(2)证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由导数法求最小值；（2）由（1）结论得当时，（当且仅当时，等号成立），即可构造，结合累加法即可证明.【详解】（1），因为，所以当时，；当时，故在上递减，在上递增，故（2）证明：由（1）知，当时，即当时，即（当且仅当时，等号成立），令，则，所以又，故，从而，累加可得，即，故20（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求导，通过，判断导数方程两根大小，数形结合判断函数单调性.（2）根据函数单调性可判断函数有两个零点时是极值为时，求出极值解方程可得.【详解】（1），当单调递增，当，单调递减，当单调递增.综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,在增区间至多有一个零点,不符题意.情况二：若,即时,由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，取,则,，当时,由于在区间上单调递增,故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,仅有一个零点,不符题意，综上,的取值范围是.【点睛】思路点睛：本题第二问在于合理地分类讨论，结合函数单调性，连续性，利用零点存在定理证明每类情况时的零点个数.21（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，且，求证：【答案】(1)当时，在是增函数；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.(2)证明见解析【分析】（1）求导，按照导函数在定义域内的零点个数讨论即可；（2）首先利用函数两个极值点，满足的关系将其统一为单变量，再通过作差构造函数并求导判断单调性以求得最值的方式，分别证明和.【详解】（1）由已知得函数的定义城为，当且仅当时，等号成立，当时，恒有，所以在是增函数；当时，方程有两个不等的正根，由，即，解得，或由，即，解得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增综上，当时，在是增函数；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增（2）由（1）知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以有两个极值点，且，满足，所以，且；令，则，当时，所以在单调递增，于是，即，且，令，则，令，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因此，即，所以在单调递减，当时，于是，因此，【点睛】关键点睛：此题在证明时属典型的导数中的双变量问题，核心在于利用导函数对应的二次方程根系关系将双变量统一为单变量，再构造函数证明.22（2023秋·河北唐山·高三唐山市丰南区第一中学校考期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，求实数的值；设，求证：.【答案】(1)函数的单调增区间为,单调减区间为.(2)； 见解析.【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可.（2）首先根据题意得到,从而将题意等价为,再结合的单调性分类讨论求解即可;根据（1）知:,从而得到,再化简得到,累加即可证明.【详解】（1）由已知的定义域为.令,有两根,因为，时,单调递减;,时,单调递增，故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为,所以等价于.由（1）知:,当时,故满足题意.当时,时，单调递减，故不满足题意.当时,时, 单调递增，故不满足题意.综上可知：.证明:由（1）可知:时,即,当且仅当时取等号.故当时,可得即，即.故故23（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数.(1)求证：；(2)若，都，求k满足的取值范围【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用同构，转化为.构造函数，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把转化为对恒成立.构造函数，利用导数判断出单调性，转化为对恒成立，分离参数后，构造函数，利用导数求出，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为.令，则.因为，所以当时，单减；当时，单增.所以，即，所以成立.（2）即为，亦即为，可化为对恒成立.不妨设，则.当时，单减；当时，单增.所以当时，有对恒成立.即.令，则.所以当时，单减；当时，单增所以.即.综上所述：的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式24（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设函数，若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）求出函数定义域，利用导数分类讨论求解的单调区间即可求解；（2）变形给定不等式，分离参数构造函数，求出在的最小值即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，若，函数在上单调递减；若，当时，当时，因此，函数在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，函数在上单调递减；当时，函数的减区间为，增区间为.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求导得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，因此，则有，所以的取值范围是.【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.25（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知函数(1)讨论函数的单调性(2)若有两个极值点，且，求b的取值范围【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.(2)【分析】(1)对函数求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，求出单调区间；(2)根据（1）得到，且，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性进而求出的取值范围.【详解】（1）因为函数，则，令，当，即时，令得：，当或时，因为，所以，函数单调递增；当时，