广东省深圳市翠园中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建1 2022-2023 学年度翠园中学高二年级第二学期期中考试卷 数学参考答案与评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C C D A A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9 10 11 12 BCD BC BCD AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.36;14.5;15.6;16.(),2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【详解】（1）由题意设圆心为(,0)C a，且0a，由120MCN=，可得Rt MCO中，60MCO=，|OCa=，则|2CMa=，-1 分 于是可设圆C的标准方程为222()4xaya+=，-2 分 又点C到直线512210 xy+=的距离|521|213ada+=，-3 分 解得1a=或2131a=（舍去）-4 分 故圆C的标准方程为22(1)4xy+=；-5 分（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx=+，即30kxy+=-6 分 则由题意可知，圆心C到直线l的距离1d=故2|3|11kk+=+，解得43k=-8 分 又当0 x=时满足题意，-9 分 故直线l的方程为433yx=+或0 x=-10 分 18.【详解】（1）对于12335(21),(1)naaanan n+=，当1n=时，有11a=；-1 分 当2n，有123135(23)1naaanan+=，-得：(21)1nna=，所以121nan=-3 分 2 经检验：121nan=对1n=成立-4 分 所以数列 na的通项公式为121nan=-5 分（2）因为()112133nnnnbna=，-6 分 所以12111113()(23)()(21)()3333nnnTnn=+，23111111()3()(23)()(21)()333133nnnTnn+=+，-8 分 由-，得 21121111112()2()2()(21)()333333nnnnTn+=+，-10 分 即12111()2111312()(21)()1333313nnnTn+=+，所以.111(1)()133nnnnTn+=+=-12 分 19.【详解】（1）因为四边形11CDDC是平行四边形，又点 P 为11DC的中点，且PDPC=，所以11DD PCC P，所以11DDPCC P=，又11180DDPCC P+=，所以1190DDPCC P=，所以111DDDC，即1DDDC.-2 分 因为侧面11ADD A是矩形，所以1DDAD，-3 分 又,CDADD CD AD=平面ABCD，-4 分 所以1DD 平面ABCD.-5 分（2）由(1)可知，1DD 平面ABCD，又CDAD，所以1,CD AD DD两两垂直，如图以D为原点，分别以1,DA DC DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,0,1,2,2,2,0,0,0,0CPBD.-6 分 3 设平面CPB的一个法向量()1111,nx y z=因为()()0,1,2,2,0,0CPCB=所以1112020yzx+=，令12,y=则111,0zx=所以平面CPB的一个法向量()10,2,1n=；-8 分 设平面PBD的一个法向量()2222,nxyz=因为()()0,1,2,2,2,0DPDB=所以222220220yzxy+=+=，令22,y=则221,2zx=所以平面PBD的一个法向量()22,2,1n=.-10 分 记二面角CPBD的平面角为，所以1212124 15coscos,54 144 1n nn nn n+=+，故二面角CPBD的余弦值55.-12 分 20.【详解】（1）设事件M为同学甲晩上选择A类套餐，事件1N为同学甲中午选择A类套餐，事件2N为同学甲中午选择B类套餐，则()1211346P N M=，()2111326P N M=，-2 分 所以()()()1213P MP N MP N M=+=，-3 分 所以()()()11116123P N MP NMP M=，所以同学甲晩上选择 A 类套餐，中午也选择 A 类套餐的概率为12.-5 分（2）晩上选择 B 类套餐的概率2311234323BP=+=.-6 分 所以 4 名同学在晩上有X个人选择 B 类套餐，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，-7 分 则()()4421C0,1,2,3,433kkkP Xkk=，4 所以()04042110C3381P X=，()13142181C3381P X=，()22242182C3327P X=，()313421323C3381P X=，()404421164C3381P X=，-9 分 所以X的分布列为 -10 分 故()188321680123481812781813E X=+=.-12 分 21.【详解】（1）由题知3b=，离心率12cea=，又因为222abc=+,解得2,3,1abc=，所以椭圆C：22143xy+=.-3 分（2）由题知：APk，BPk存在，且不为零，设00(,)P xy，()2,0A，()2,0B，则2200143xy+=，即()2003 44xy=.-5 分()2020002200003 43422444APBPxyyykkxxxx=+.所以直线AP与BP的斜率之积为定值34.-7 分（3）,A H N三点共线，证明如下：设直线AP：()2yk x=+，则直线BP：()324=yxk，将4x=代入直线AP，BP得：()4,6Mk，34,2Nk，-8 分 6342BMkkk=，设直线HM：()32yk x=，联立()2214332xyyk x+=，得()22221 12484840kxk xk+=设()11,H x y，则2124842121kxk=+，解得212242121kxk=+，X 0 1 2 3 4 P 181 881 827 3281 1681 5 所以()1121232121kyk xk=+，即22224212,121 121kkHkk+，-10 分 所以31264ANkkk=，22212112124242121AHkkkkkk+=+，所以ANAHkk=，A为公共点，所以A，H，N三点共线.-12 分 22.【详解】（1）证明：当0k=时，()2exf xx=，0 x，则()()32 exxfxx=-1 分 当()0,2x时，()0fx；当()2,x+时，0fx，所以()f x在(0,2)单调递减，在()2,+单调递增，-2 分 所以()()22e212f xf=，即()1fx -3 分（2）因为1k=，所以2e()2lnxf xxxx=+，2e(2)(1)()xxxfxx=，-4 分 由（1）知()2e10 xxx，所以当()0,2x时，()0fx，当()2,x+时，0fx，-5 分 故()f x的单调递增区间为()2,+，单调递减区间为()0,2-6 分（3）()()2ln2e2 lne2lnxxxf xkxkxk xxx=+=-7 分 令()2lnh xxx=，则()2xh xx=，当()0,2x时，()0h x，()h x单调递减，当()2,x+时，()0h x，()h x单调递增，故()()222ln2h xh=-9 分 令2lntxx=，则()0f x 等价于e0tkt 因为()22ln20,1，所以e0tkt等价于etkt-10 分 令()ettt=，22ln2t，则()()21 etttt=，当)22ln2,1t时，()0t，()t单调递减，当()1,t+时，()0t，()t单调递增，则()()1et=，故 k 的取值范围为(,e-12 分