陕西省安康市2023届高三三模理科数学试题含答案.pdf
安康市安康市 2023 届高三年级第三次质量联考试卷理科数学届高三年级第三次质量联考试卷理科数学本试卷共本试卷共 4 页。全卷满分页。全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。注意事项：分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2,Ax yyx，,Bx yyx，则AB（）A.0,1B.0,0C.1,1D.0,0,1,12.若复数i,zab a bR满足2iz为纯虚数，则ba（）A.2B.12C.12D.23.已知等差数列 na的前n项和为nS，344aa，则6S（）A.6B.12C.18D.244.已知向量2,1a，1,bx，若2ab与b共线，则b（）A.52B.54C.5D.55.党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为 2023 年 3 月 1 至 5 月 31 日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的 2023 年 3 月 1 日至 3 月 5 日时段的相关数据，这 5 天的第x天到该电商平台专营店购物人数y（单位：万人）的数据如下表：日期3 月 1 日3 月 2 日3 月 3 日3 月 4 日3 月 5 日第 x 天12345人数 y（单位：万人）75849398100依据表中的统计数据，经计算得y与x的线性回归方程为6.4 yxa.请预测从 2023 年 3 月 1 日起的第 58天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）A.440B.441C.442D.4436.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由 16 根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（）A.3B.2C.23D.7.在72xx的展开式中，下列说法正确的是（）A.所有项的二项式系数和为 1B.第 4 项和第 5 项的二项式系数最大C.所有项的系数和为 128D.第 4 项的系数最大8.已知方程2227270 xmxxnx的四个根组成以 1 为首项的等比数列，则mn（）A.8B.12C.16D.209.已知正三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为3，且2 3PA，则球O的表面积为（）A.8B.12C.16D.1810.已知椭圆2222:10 xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，P为椭圆C上一点，1260FPF，点2F到直线1PF的距离为33a，则椭圆C的离心率为（）A.33B.22C.63D.2 2311.定义在R上的函数 f x满足 2fxf x，且21f x 为奇函数，则 20231kf k（）A.2023B.2022C.2022D.202312.若112e1.011bac，则（）A.abcB.bacC.cabD.cba二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.已知 x，y 满足约束条件0227xxyxy，则zxy的最大值是_.14.已知函数 4,01,0 xxf xf xx，则2log 3f_.15.已知函数 cos0f xx的图象关于点,02对称，且在区间0,8单调，则的一个取值是_.16.九章算术 中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线1y，1y 以及双曲线C的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕y轴旋转一周所得几何体的体积为63dc（其中222cab），则双曲线C的离心率为_.三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（12 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ac，1sincos364AA.（1）求A；（2）若3b，sinsin4 3sinaAcCB，求ABC的面积.18.（12 分）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在70,80内的学生获三等奖，得分在80,90内的学生获二等奖，得分在90,100内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取 100 名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取 2 名学生的竞赛成绩，求这 2 名学生中恰有 1 名学生获奖的概率；（2）估计这 100 名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若该市共有 10000 名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布2,N，其中14，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过 78 分的学生人数（结果四舍五入到整数）.附：若 随 机 变 量X服 从 正 态 分 布2,N，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX.19.（12 分）如图 1，四边形ABCD是梯形，ABCD，142ADDCCBAB，M是AB的中点，将ADM沿DM折起至A DM，如图 2，点N在线段A C上.（1）若N是A C的中点，证明：平面DMN 平面ABC；（2）若2 6A C，二面角CDMN的余弦值为55，求A NNC的值.20.（12 分）已知函数 ln2e1xxf xmx.（1）若0m，求函数 f x的极值；（2）若 0f x 恒成立，求m的取值范围.21.（12 分）已知抛物线2:2C ypx的焦点为1,0F.（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为抛物线C上的点，且AMBM，MFAB，求ABM的面积.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为22 2xtyt（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2213sin4.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若射线（其中0,，且1tan2，0）与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求MN.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数 223f xxx.（1）求不等式 5f x 的解集；（2）若x R，23aaf x，求a的取值范围.理科数学参考答案理科数学参考答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）题号123456789101112答案DABACCBCCADA1.D解析：由题意得2yxyx，解得00 xy或11xy，故 0,0,1,1AB，2.A解析：i2i22ii2i2i2i2i5ababbazab为纯虚数，2020abba，2ba.3.B解析：16346661222aaaaS.4.A解析：由题意可得23,2abx，32xx，解得12x，15142b.5.C解析：由题意，1234535x，75849398 100905y，将3,90代入6.4 yxa，可得906.4 3a，解得70.8a，线性回归直线方程为6.470 8.yx，将58x 代入上式，6.4 587044.82y.6.C解析：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为6x，由相似得163xx，即3x，可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为21233.7.B解析：展开式所有项的二项式系数和为72128，故 A 错误；展开式共有 8 项，第 4 项和第 5 项二项式系数最大，故 B 正确；令1x 得所有项的系数和为72 11，故 C 错误；72717C12rrrrrTx，2T，4T，6T均小于 0，71128Tx，33672Tx，5280Tx，5714Tx，第 3 项的系数最大，故 D 错误.8.C解析：设方程2227270 xmxxnx的四个根由小到大依次为1a，2a，3a，4a.不妨设2270 xmx的一根为1，则另一根为27，12728m .由等比数列的性质可知1423a aa a，11a，427a，等比数列1a，2a，3a，4a的公比为4313aqa，21 33a ，231 39a ，由韦达定理得3912n，28 1216mn.9.C解析：如图，设点Q为ABC的中心，则PQ 平面ABC，3PAQ，3AQ，3PQ.球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则OAOPr，3OQr，在RtOAQ中，22233rr，解得2r，球O的表面积为2416r.10.A解析：如图，由题意得233F Ma，1260FPF，13PMa，223PFa，由椭圆定义可得12122PFPFPMMFPFa，1MFa，在12RtMFF中，由 勾 股 定 理 得222343aac，可得33cea.11.D解析：2fxf x，f x关于1x 对称，21f x 为奇函数，由平移可得 f x关于2,1对称，且 21f，函数 f x是以 4 为周期的周期函数.13222fff，421ff，12344ffff，2023120244420234kf kf.12.A解析：由112e1.011bac可得21.0112a，ln1.01b，111.01c ，比较 a 和 b，构造 函 数 21ln2xf xx，当1x，10fxxx，f x在1,上 单 调 递 增，故 1.0110ff，即ab.同理比较 b 和 c，构造函数 1ln1g xxx，当1x，210 xgxx，g x在1,上单调递增，1.0110gg，即bc.综上，abc.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.114.91615.1 或 3 或 5 或 7（写出其中一个即可）16.313.1解析：作出可行域，易得目标函数zxy在点4,3A处取得最大值 1.14.916解析：2233log2log44222223339log 3log 3 1loglog1log4222416fffff.15.1 或 3 或 5 或 7（写出其中一个即可）解析：由已知可得cos02，22k，k Z，12k，k Z f x在区间0,8上单调，0,8x，结合cosyu的图象可得8，08，1或 3 或 5 或 7.16.3解析：由题意知渐近线方程为byxa，右焦点为,0F c，22bcdbab.由1ybyxa得axb；由2222110yxyxab得222111a bxabb，截面面积为2222221abaabb，阴影部分绕 y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为 2 的圆柱的体积，266233Vadcbc，即26abc，4222226ab ccac，即44226aca c，4260ee，解得23e，3e.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分）17.解析：（1）2cos2113sincoscoscoscos36236624AAAAAA，（或23131sincoscossincossincos3622226AAAAAAAcos211324A），1cos232A，0A，72333A，2233A或4233A，解得6A或2A，ac，2A，6A.（6 分）（2）由（1）知6A，sinsin4 3sinaAcCB，由正弦定理得224 312acb，由余弦定理得2222cosabcbcA，即2231232 32ccc，整理得22390cc，由0c 得3c，1113 3sin332224ABCSbcA.（12 分）18.解析：（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有 6 人，获二等奖的有 8 人，获三等奖的有 16 人，共有 30 人获奖，70 人没有获奖.从该样本中随机抽取的 2 名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C，设“抽取的 2 名学生中恰有 1 名学生获奖”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件的个数为117030C C，每个基本事件出现的可能性都相等，1170302100C C14C33P A，即抽取的 2 名学生中恰有 1 名学生获奖的概率为1433.（4 分）（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值35 0.006 1045 0.012 1055 0.018 1065 0.034 10 x 75 0.016 1085 0.008 1095 0.006 1064.（10 分）（3）由题意所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布264,14N.78，10.6827780.15865.2P X故参赛学生中成绩超过 78 分的学生数为0.15865 100001587.（12 分）19.解析：（1）取DM中点O，连接A O，CO，则由已知可得DMA O，DMCO，A OCOO，DM 平面A CO，DMA C，4DCDA，DNA C，DNDMD，A C平面DMN，AC平面ABC，平面A BC平面DMN.（5 分）（2）由已知可求得2 3OCOA，222OCOAA C，OCOA，A OOD，COOD，以O为坐标原点，分别以 OD，OC，OA所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz则2,0,0D，2,0,0M，0,2 3,0C，0,0,2 3A.设01A NA C ，则0,2 3,2 3A N，0,2 3,2 32 3N，2,2 3,2 32 3DN，4,0,0MD 设平面DMN的一个法向量为1,nx y z，则114022 32 32 30MD nxDN nxyz，令1y，则10,1,n.易得平面CDM的一个法向量为20,0,1n .设二面角CDMN的平面角为，由图可得为锐角，1222125cos51n nnn 解得13或1（舍去）12A NNC.（12 分）（几何法：连接A O，CO，NO，则二面角CDMN的平面角为CON，过点N作NHCO，则NHA O，2NHCHHO，12OHA NHCNC）20.解析：（1）当0m 时，ln21xf xx，其定义域为0,，23lnxfxx，当30,ex时，0fx；当3,xe时，0fx，f x在30,e单调递增，在3,e 单调递减，f x的极大值为 331e1ef，无极小值.（4 分）（2）由 0f x 得ln2e10 xxmx，2lnexxxmx在0,上恒成立.令 2lnexxxh xx，则 22112ln113lneexxxxxxxxxxh xxx，令 3lnxxx，易知 x在0,单调递增，2ln2 10，3ln30，02,3x，使得00 x，即00ln3xx，当00,xx时，0h x；当0,xx时，0h x；h x在00,x单调递减，在0,x 上单调递增，0000min02lnexxxh xh xx.由00ln3xx得0000lnlnelne3xxxx，030eexx，00003min02ln1eexxxh xh xx，31em ，m的取值范围是31,e.（12 分）（由 0f x 得ln2e10 xxmx，ln2ln2lneexx xxxxxmx在0,上恒成立，令lntxx，易得tR，2ettm恒成立，3min21eettm）21.解析：（1）由已知可得12p，解得2p，拋物线C的方程为24yx.（3 分）（2）设11,A x y，22,B xy，33,M x y，若ABx轴，由MFAB得0,0M，1,2A，1,2B或1,2A，1,2B，此时不满足AMBM，不满足题意；设直线AB的方程为10 xmym，直线MF的方程为110 xymm，将1xmy代入抛物线方程得2440ymy，21610m，124yym，124y y .将11xym 代入抛物线方程得2440yym，233440yym.直线AM的斜率为313122313131444yyyyyyxxyy，同理直线BM的斜率为324yy.AMBM，3132441yyyy，231231216yyyyy y，即2334120ymy.由解得3241mym，将其代入可得 222244 110mmm，解得332 3my 或332 3my，当332 3my 时，直线AB的方程为31xy，3,2 3M，4MF.1y，2y满足24 340yy，124 3yy，124y y .221212121242 48 1616ABmyyyyy y，111643222ABMSABMF.同理可得，当332 3my 时，直线AB的方程为31xy，3,2 3M，4MF，1y，2y满足24 340yy，124 3yy，124y y .221212121242 48 1616ABmyyyyy y，111643222ABMSABMF，ABM的面积为 32.（12 分）22.解析：（1）由22 2xtyt，得22 2xy，即24 20 xy.故直线l的普通方程是24 20 xy.由2213sin4得2223sin4，代入公式cossinxy，得22234xyy，2214xy，故曲线C的直角坐标方程是2214xy.（4 分）（2）方法一：由（其中0,，且1tan2，0），得5sin5，2 5cos5.将射线0 代入曲线C的极坐标方程，可得22244513sin25135M，102M.直线l的极坐标方程为cos2 sin4 20，将0 代入直线l的极坐标方程可得cos2 sin4 20，10N，10101022NMMN.（10 分）方法二：由题可得射线（其中0,，且1tan2，0）的直角坐标方程为102yx x.联立2214102xyyx x，解得222xy，则点22,2M.联立24 20102xyyx x 解得2 22xy，则点2 2,2N.221022 2222MN.（10 分）23.解析（1）31,12235,1331,3xxf xxxxxxx 当1x 时，43153xx ，解得413x；当13x 时，550 xx，解得10 x；当3x 时，3152xx，无解，不等式的解集为403xx.（5 分）（2）Rx，23aaf x，2min3aaf x，由（1）知 f x在,1 递减，1,3递增，3,递增，min14f xf，234aa，2434aa，解得14a（10 分）
