芜湖市2021—2022学年度第二学期期中普通高中联考试卷高一数学试卷及参考答案.pdf
高一年级数学期中试卷第 1 页（共 4 页）高 一 数 学（答案写在答题卡上）（满分 150 分，时间 120 分钟）第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分，每题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1平行四边形 ABCD 中，BCBACD 等于（）ACB BBC CDAC2已知复数413izi，则z（）A1B3C2D33已知平面向量,a b 满足|2,|1,(2)abaab，则向量,a b 的夹角为（）A3B4C23D344设为实数，已知向量m=(-1，2)，n=(1，).若mn，则向量m+2n与m之间的夹角为（）A4B3C23D345在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是，b，c，=6,B=3,若这个三角形有两组解，求 b 的取值范围（）Ab 6Bb 3 3D3 3 b 66若复数z满足2iziz，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7已知ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足coscosbCacB，则该三角形的形状是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D 等腰或直角三角形8如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，N 在边 BC 上，且BC?=3BN?,BM 与 AN 交与点 P，若?=24?,则?=（）A33B 3C13D3芜湖市20212022 学年度第 二 学 期 期 中普通高中联考试卷高一高一数学学校班级姓名学号装订线高一年级数学期中试卷第 2 页（共 4 页）二、多选题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，每题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，多选或者错选的得 0 分）9下列有关向量命题，不正确的是（）A若,a b 是平面向量的一组基底，则2,2abab 也是平面向量的一组基底B已知点6,2A，1,14B，则AB 方向上的单位向量为5 12,13 13C若?，则存在唯一的实数，使得?=?D若1a，?=6，则ab的取值范围5,710在ABC 中，2,3AB ，1,ACk，若ABC 是直角三角形，则 k 的值可以是（）A1B113C3132D313211 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 bsinA=(4b-c)sinB，且1cos,4A则下列正确的是（）Aa+c=4bBtan2=157CABC 的周长为 10bDtan2=2 15712在ABC 所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是（）A满足|OAOBOC ，则点O是ABC 的外心B满足0NANBNC ，则点N是ABC 的重心C满足PA PBPB PCPC PA ，则点P是ABC 的垂心D满足()0|ABACBCABAC ，且12|ABACABAC ，则ABC 为等边三角形第 II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中的横线上）13若?=(2,6),b?=(2,3),?b?，则=.14如图所示，RtABC为水平放置的ABC 的直观图，其中 ACBC，BOOC2，则ABC 的面积是15已知ABC 三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ab2c4c cos22，则()2的最小值为高一年级数学期中试卷第 3 页（共 4 页）16圣索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑 1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为15 315 m，在它们之间的地面上的点M（,B M D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A 处测得塔顶C的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为(sin15=6 24)四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明和演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知复数2(1)(23)zm mmmi，当m取何实数值时，复数z是：（1）纯虚数；（2）25zi.18（本小题满分 12 分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（2）假设球半径 r2，试计算出图案中圆锥的体积和表面积高一年级数学期中试卷第 4 页（共 4 页）19（本小题满分 12 分）已知向量cos,sin,3,3,0,2axxbx.（1）若/ab，求x的值；（2）记 f xa b，求()f x的取值范围.20（本小题满分 12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点E 是BC边上中点，点F 在边CD上（1）若点 F 是 CD 上靠近 C 的三等分点，设EFABAD，求的值（2）若 AB2，当AEBF1 时，求 DF 的长21（本小题满分 12 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若为ABC锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围22（本小题满分 12 分）如图所示，某市在海岛 A 上建了一水产养殖中心在海岸线 l 上有相距 70 公里的 B，C 两个小镇，并且 AB30 公里，AC80 公里，已知 B 镇在养殖中心工作的员工有 3 百人，C 镇在养殖中心工作的员工有 5 百人现欲在 B，C 之间建一个码头 D，接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为 12（1）求 sinABC 的大小；（2）设ADB，试确定的大小，使得运输总成本最少答题不过此线命题人：芜湖市汤沟中学 陈仁俊芜湖市 20212022 学年度第二学期期中普通高中联考试卷高一数学参考答案题号123456789答案BCDADACAAC题号10111213141516答案BCDABABCD928 2330 317:解：（1）若复数是纯虚数，则210230m mmm，解得0131mmmm 或且，所以0m-5 分（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得2(1)2235m mmm，解得2124mmmm 或或，即2m-10 分18:解：(1)由题可知，球的直径、圆柱底面圆的直径和圆柱的高相等，设为 a，则圆柱的体积 V 圆柱2243，-2 分球的体积 V 球432363，-4 分所以图案中圆柱与球的体积比为：V 圆柱V 球436332.-6 分(2)假设球半径 r2，图案中圆锥的体积为：V13r22r132222163.-9 分圆锥的表面积为：Srlr2-10 分2（22）222 224 5 4.-12 分19:解：(1)向量cos,sin,3,3,0,2axxbx，由/ab可得：3cos3sinxx，-2 分命题人：芜湖市汤沟中学 陈仁俊即3tan3x.0,2x-4 分6x-6 分(2)由 f xa b=3cos3sin2 3sin.3xxx-9 分0,2x，5,336x-11 分f（x）的取值范围为3,2 3-12 分20:解(1)因为点 E 是 BC 边上中点，点 F 是 CD 上靠近 C 的三等分点，所以CF13DC13AB，EC12BC12AD，-2 分所以EFECCF13AB12AD，-4 分所以13，12，故131216.-6 分(2)设CFCD，则BFBCCFADAB，又AEABBEAB12AD，ABAD0，-9 分所以AEBF(AB12AD)(ADAB)AB212AD2421，故14，所以 DF(1)232-12 分21:(1)根据题意sinsin2ACabA，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA，因为0A，故sin0A，消去sin A得sinsin2ACB-2 分0 B，02AC因为故2ACB或者2ACB，ABC，2ACB不成立，所以2ACB，又因为ABC，代入得3B，所以3B.-5 分(2)因为ABC是锐角三角形，由（1）知3B，ABC得到23AC，故022032CC，解得62C.-7 分命题人：芜湖市汤沟中学 陈仁俊又应用正弦定理sinsinacAC，1c，-8 分由三角形面积公式有：222sin()111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC22sincoscossin3321231333(sincos)4sin43 tan38 tan8CCCCC.又因3,tan623CC,故3313388 tan82C，-11 分故3382ABCS.故ABCS的取值范围是33(,)82-12 分22:(1)根据余弦定理，有 cosABCAB2BC2AC22ABBC17，-3 分于是 sinABC4 37-4 分(2)设每百人每公里水路运输成本为 m 元，陆路运输成本为 2m 元又 CD70BD，则总成本 p8ADm(3BD5CD)2m(7008AD4BD)m-6 分在ABD 中应用正弦定理，有ABsin ADsinABCBDsinABC，解得 AD120 37sin，BDADcos ABcos(ABD)120 3cos7sin 307，因此 2ADBD120 372cos sin 307-8 分设 y2cos sin，则 y0，有 ysin cos 2，又 ysin cos y21sin()y21，其中 tan 1y，所以 y212，解得 y 3，且3时取得等号因此当3时，运输总成本最少-12 分
