江苏省南京市2023届高三二模数学试题含解析.pdf

南京市南京市 2023 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学数学注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前答题前，务必将自己的姓名务必将自己的姓名、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1.集合N 14Axx的子集个数为（）A.2B.4C.8D.162.已知复数z满足i2iz，其中i为虚数单位，则z为（）A.12i B.12iC.12i D.12i3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若sinsin2ABbcB，则角C的大小为（）A.6B.3C.23D.564.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同已知乙没有参加跑步；若甲参加铅球，则丙参加标枪；若丙没有参加铅球，则甲参加铅球 下列说法正确的为（）A.丙参加了铅球B.乙参加了铅球C.丙参加了标枪D.甲参加了标枪5.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中表示太极，表示阳仪、表示阴仪）若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即1a为天一对应的经历过的两仪数量总和 0，2a为衍生到地二时经历过的两仪数量总和 2，3a为衍生到天三时经历过的两仪数量总和 4，按此规律，则15a为（）A.84B.98C.112D.1286.直角三角形ABC中，斜边AB长为 2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体若该几何体外接球表面积为163，则AC长为（）A.32B.1C.2D.37.已知椭圆2222:10 xyCabab，F为其左焦点，直线0ykx k与椭圆C交于点A，B，且AFAB若30ABF，则椭圆C的离心率为（）A.73B.63C.76D.668.已知函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx若对任意xR有 1fx，110fxfx，且 02f，则不等式11f xx的解集为（）A.0,B.1,C.2,D.3,二二、选择题选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，不分，不选或有错选的得选或有错选的得 0 分分9.在62xx的展开式中（）A.常数顼为 160B.含2x项的系数为 60C.第 4 项的二项式系数为 15D.所有项的系数和为 110.若实数x，y满足2212xy，则（）A.2x B.222xyC.12yxD.22xy11.已知函数 exfxa，0a 下列说法正确的为（）A.若1a，则函数 yf x与1y 的图象有两个公共点B.若函数 yf x与2ya的图象有两个公共点，则01aC.若1a，则函数 yff x有且仅有两个零点D.若 yf x在1xx和2xx处的切线相互垂直，则120 xx12.已知四棱柱1111ABCDABC D的底面ABCD为正方形，1AAAB，1160A ABA AD，则（）A.点1A在平面ABCD内的射影在AC上B.1AC 平面1ABDC.1AC与平面1ABD的交点是1ABD的重心D.二面角1BBDC的大小为45三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上13.若直线20 xya被圆222210 xyxy 截得的弦长为 2，则实数a的值为_14.幂函数 Raf xxa满足：任意xR有 fxf x，且 122ff，请写出符合上述条件的一个函数 f x _15.一个袋子中有*Nn n个红球和 5 个白球，每次从袋子中随机摸出 2 个球若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为 p n，则 p n的最大值为_16.大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经）一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图 1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图 2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形若D为BE的中点，DEF与ABC的面积比为_；设ADABAC，则_四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤17.已知 sin3cosf xxx，0（1）若函数 f x图象的两条相邻对称轴之间的距离为2，求32f的值；（2）若函数 f x的图象关于,03对称，且函数 f x在0,4上单调，求的值18.已知数列 na的前n项和为nS，12a，1122nnnnSanS，*Nn（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：22212111716naaa19.在梯形ABCD中，ABCD，90D=，2 2AB，2ADDC，如图 1现将ADC沿对角线AC折成直二面角PACB，如图 2，点M在线段BP上（1）求证：APCM；（2）若点M到直线AC的距离为2 55，求BMBP的值20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为01pp，则失败的概率为1p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为,XNB r p（1）若13,3XNB，求5P X；（2）若12,2XNB，*nN，2n求2niP Xi；要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值21.已知函数 1logxaf xax，1a（1）若ea，求证：1fx；（2）若关于x的不等式 1f x 的解集为集合B，且1,Baa，求实数a的取值范围22.已知拋物线21:Cyx和圆22232:Cxy（1）若抛物线1C的准线与x轴相交于点T，MN是过1C焦点F的弦，求TM TN 的最小值；（2）已知P，A，B是拋物线1C上互异的三个点，且P点异于原点若直线PA，PB被圆2C截得的弦长都为 2，且PAPB，求点P的坐标南京市南京市 2023 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学数学注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上卷及答题卡上第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1.集合N 14Axx的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】确定2,3A，再计算子集个数得到答案.【详解】N 142,3Axx，故子集个数为224.故选：B2.已知复数z满足i2iz，其中i为虚数单位，则z为（）A.12i B.12iC.12i D.12i【答案】C【解析】【分析】计算1 2iz ，再计算共轭复数得到答案.【详解】2ii2i12iiiiz ，则12iz .故选：C3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若sinsin2ABbcB，则角C的大小为（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到1sin22C，解得答案.【详解】sinsin2ABbcB，即sinsin22bcBC，即sincossinsin2sincossin222CCCBCBB，0,B，则sin0B，0,22C，则cos02C，故1sin22C，0,22C，故26C，3C.故选：B4.在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同 已知乙没有参加跑步；若甲参加铅球，则丙参加标枪；若丙没有参加铅球，则甲参加铅球下列说法正确的为（）A.丙参加了铅球B.乙参加了铅球C.丙参加了标枪D.甲参加了标枪【答案】A【解析】【分析】由可得乙参加铅球或标枪，假设乙参加铅球，推出矛盾得到乙参加标枪，从而得到丙、甲所参加的项目，即可判断.【详解】由乙没有参加跑步，则乙参加铅球或标枪，若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪，显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步，综上可得：甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球.故选：A5.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中 表示太极，表示阳仪、表示阴仪）若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即1a为天一对应的经历过的两仪数量总和 0，2a为衍生到地二时经历过的两仪数量总和 2，3a为衍生到天三时经历过的两仪数量总和 4，按此规律，则15a为（）A.84B.98C.112D.128【答案】C【解析】【分析】15a表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，计算得到答案.【详解】15a表示衍生到天十五时经历过的两仪数量总和，则1522468 10 12 14112a .故选：C6.直角三角形ABC中，斜边AB长为 2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体若该几何体外接球表面积为163，则AC长为（）A.32B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】设ACm，则24BCm，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，利用勾股定理得到方程，即可求出m.【详解】设ACm，因为2AB，所以2224BCABACm，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，所以23416R，解得2 33R，设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，所以222 34433mm，解得3m.故选：D7.已知椭圆2222:10 xyCabab，F为其左焦点，直线0ykx k与椭圆C交于点A，B，且AFAB若30ABF，则椭圆C的离心率为（）A.73B.63C.76D.66【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为2F，连接2AF，2BF，设AFm，根据余弦定理得到222849ac，计算得到离心率.【详解】设椭圆的右焦点为2F，连接2AF，2BF，故四边形2AFBF为平行四边形，设AFm，30ABF，则2FBm，2BFAFm，222BFBFmma，23ma，2BFF中，222424222cos1203333caaaa，整理得到222849ac，即73ca，故73cea.故选：A8.已知函数 f x是定义在R上的可导函数，其导函数为 fx若对任意xR有 1fx，110fxfx，且 02f，则不等式11f xx的解集为（）A.0,B.1,C.2,D.3,【答案】D【解析】【分析】构造 g xf xx，确定函数单调递增，计算 22f，20g，转化得到 12g xg，根据单调性得到答案.【详解】设 g xf xx，则 10gxfx 恒成立，故函数在R上单调递增.110fxfx，则 200ff，即 22f，故 2220gf.11f xx，即10g x，即 12g xg，故12x，解得3x.故选：D二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得全部选对得 5分，部分选对得分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得分，不选或有错选的得 0 分分9.在62xx的展开式中（）A.常数顼为 160B.含2x项的系数为 60C.第 4 项的二项式系数为 15D.所有项的系数和为 1【答案】BD【解析】【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，分别取3,2,3,1rrrx代入计算得到答案.【详解】62xx展开式的通项为66 21662C2CrrrrrrrTxxx.对选项 A：取3r 得到常数项为336216C0，错误；对选项 B：取2r 得到含2x项的系数为226C260，正确；对选项 C：取3r 得到第 4 项的二项式系数为36C20，错误；对选项 D：取1x 得到所有项的系数和为62111，正确.故选：BD10.若实数x，y满足2212xy，则（）A.2x B.222xyC.12yxD.22xy【答案】AB【解析】【分析】根据不等式性质得到 AB 正确，取特殊值排除 CD，得到答案.【详解】对选项 A：22222xy，故2x，正确；对选项 B：222232xyy，正确；对选项 C：取2,1xy，满足2212xy，此时12yx不成立，错误；对选项 D：取32,24xy，满足2212xy，此时22xy，错误.故选：AB11.已知函数 exfxa，0a 下列说法正确的为（）A.若1a，则函数 yf x与1y 的图象有两个公共点B.若函数 yf x与2ya的图象有两个公共点，则01aC.若1a，则函数 yff x有且仅有两个零点D.若 yf x在1xx和2xx处的切线相互垂直，则120 xx【答案】BCD【解析】【分析】解方程得到 A 错误，解方程得到2200aaaa，解得 B 正确，计算零点个数为 2得到 C 正确，根据斜率的关系得到120 xx，D 正确，得到答案.【详解】对选项 A：e11xf x，故e0 x（无解）或e2x，ln2x，错误；对选项 B：2exfxaa，故2exaa或2exaa，故2200aaaa，且22aaaa，解得01a，正确；对选项 C：取 0f x，则exa，lnxa，1a，则ln0 xa，设 lng xxx，110gxx 在1,上恒成立，则 g x在1,上单调递增，则 110g xg，故lnaa，0yff x，则 elnxafax，lnlnxaa或lnlnxaa，正确；对选项 D：当1exa和2exa同时为正或者同时为负时不成立，不妨设 11exf xa，11exfx，22exf xa，22exfx，则 211212eee1xxxxfxfx ，故120 xx，正确.故选：BCD12.已 知 四 棱 柱1111ABCDABC D的 底 面ABCD为 正 方 形，1AAAB，1160A ABA AD，则（）A.点1A在平面ABCD内的射影在AC上B.1AC 平面1ABDC.1AC与平面1ABD的交点是1ABD的重心D.二面角1BBDC的大小为45【答案】ACD【解析】【分析】设1AAa，ABb，ADc，正方形的边长为 1，根据对称性得到 A 正确，计算110ACAB 得到 B 错误，根据相似得到12AQOQ得到 C 正确，确定HOC为二面角1BBDC的平面角，计算得到 D 正确，得到答案.【详解】设1AAa，ABb，ADc，正方形的边长为 1，则11 1 cos602a b ，11 1 cos602a c ，0b c，对选项 A：1AAAB，1160A ABA AD，根据对称性知，点1A在平面ABCD内的射影在BAD的角平分线上，即在AC上，正确；对选项 B：1ACcab，1ABab ，211102ACABabcababa cb c ，错误；对选项 C：设AC，BD相交于O，1AC与1AO交于Q点，Q即为1AC与平面1ABD的交点，则1112AQACOQAO，AO为1ABD中BD边上的中线，故Q为1ABD的重心，正确；对选项 D：连接11B D与11AC相交于H，连接HO，根据对称性知HOBD，又ACBD，HO 平面1B BD，AC平面CBD，故HOC为二面角1BBDC的平面角，1122HCabc ，故22222111111224442HCabcabca ba cc b ，故22HC，11HOAA，22OC=，故45HOC，正确故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查了空间几何投影，垂直关系，二面角，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中，把空间关系的证明转化为空间向量的运算，可以简化过程，是解题的关键.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡分请把答案填写在答题卡相应位置上相应位置上13.若直线20 xya被圆222210 xyxy 截得的弦长为 2，则实数a的值为_【答案】1【解析】【分析】确定圆的圆心和半径，得到直线过圆心，代入计算得到答案.【详解】222210 xyxy，则22111xy，圆心为1,1，半径1r，弦长为 2，则直线过圆心，即1 20a，解得1a.故答案为：1.14.幂函数 Raf xxa满足：任意xR有 fxf x，且 122ff，请写出符合上述条件的一个函数 f x _【答案】23x（答案不唯一）【解析】【分析】取 23f xx，再验证奇偶性和函数值即可.【详解】取 23f xx，则定义域为 R，且 2233fxxxf x，11f，233224f，满足 122ff.故答案为：23x.15.一个袋子中有*Nn n个红球和 5 个白球，每次从袋子中随机摸出 2 个球若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为 p n，则 p n的最大值为_【答案】59【解析】【分析】计算并化简得到 11525CC1020C9nnp nnn，根据对勾函数的性质计算最值得到答案.【详解】115225CC510102054C92092nnnnp nnnnnnn，对勾函数20yxx在0,20上单调递减，在20,上单调递增，故当4n 或5n 时，20nn有最小值为9，故 10105209999p nnn.故答案为：5916.大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经）一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图 1）某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图 2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形若D为BE的中点，DEF与ABC的面积比为_；设ADABAC，则_【答案】.17.67【解析】【分析】根据类比图形的结构特点，找到DEF与ABC的面积联系即可.利用向量加减法的三角形法则，用AB，AC表示出AD即可.【详解】如图：连接AE，由题意知ABDBCECAF，且,D E F分别为,BE CF AD的中点，ABDBCECAF.所以12DEFAEFAFCSSS，7ABCAFCABDBCEDEFDEFSSSSSS,得17DEFABCSS.11112222ADABBDABBEABBCCEABBCCF BCACAB ，1=2CFAFACADAC ，化简得4277ADABAC，所以426777故答案为：17；67.四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.已知 sin3cosf xxx，0（1）若函数 f x图象的两条相邻对称轴之间的距离为2，求32f的值；（2）若函数 f x的图象关于,03对称，且函数 f x在0,4上单调，求的值【答案】（1）3（2）1【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意122T，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得；（2）由对称性得到31k，Zk，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解.【小问 1 详解】因为 13sin3cos2sincos2sin223f xxxxxx，因为函数 f x图象的两条相邻对称轴之间的距离为2，所以122T，则T，所以2T，解得2，所以 2sin 23fxx，所以32sin 22sin233322233f.【小问 2 详解】由 2sin3f xx，函数 f x的图象关于,03对称，所以33k，Zk，所以31k，Zk，由0,4x，0，则,3343x，又函数 f x在0,4上单调，所以4320，解得1003，所以当0k 时1.18.已知数列 na的前n项和为nS，12a，1122nnnnSanS，*Nn（1）求数列 na的通项公式；（2）求证：22212111716naaa【答案】（1）2nan（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据公式1nnnaSS得到1nSn n是常数列，确定1nSn n，计算得到通项公式.（2）放缩211112 2121nann，根据裂项相消法计算得到证明.【小问 1 详解】1122nnnnSanS，则1122nnnnnSSnSS，整理得到12nnnSnS，故1121nnSSnnn n，故1nSn n是常数列，故1111 2nSSn n，即1nSn n，当2n时，1112nnnaSSn nn nn，验证1n 时满足，故2nan【小问 2 详解】2221111114412 2121nannnn，故222121121111 1111111 142 355742 3112121naannan111574231216.19.在梯形ABCD中，ABCD，90D=，2 2AB，2ADDC，如图 1现将ADC沿对角线AC折成直二面角PACB，如图 2，点M在线段BP上（1）求证：APCM；（2）若点M到直线AC的距离为2 55，求BMBP的值【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）计算确定ACCB，证明CB 平面PAC，得到CBAP，再证明AP平面PCB，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设BMBP得到(1,22,)M，再根据点到直线的距离公式计算得到答案.【小问 1 详解】222AC，45CABACD，22482 2 2 242BC ，故2BC，则90ACB，即ACCB，又平面PAC 平面ACB，平面PAC 平面ACBAC，CBAC，CB 平面ACB，故CB 平面PAC，AP平面PAC，则CBAP，又PAPC，PCCBC，,PC CB 平面PCB，所以AP平面PCB，又CM 平面PCB，则APCM.【小问 2 详解】设AC中点为O，AB中点为D，以,OA OD OP为,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示：有(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,2,0)ACPB，设BMBP，则BMBPuuuruur，设,M x y z，则1,2,1,2,1xyz，则(1,22,)M，2,0,0CA ，(,22,)CM ，点M到直线AC的距离为2 55，则2245|CA CMCMCA ，即2222422252，即22540160，解得4=5，所以45BMBP.20.进行独立重复试验，设每次成功的概率为01pp，则失败的概率为1p，将试验进行到恰好出现r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为,XNB r p（1）若13,3XNB，求5P X；（2）若12,2XNB，*nN，2n求2niP Xi；要使得在n次内结束试验的概率不小于34，求n的最小值【答案】（1）881（2）112nn；5【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；（2）依题意可得111C2iiP Xi，2i，再利用裂项相消法求和即可；可知13124nn，即1124nn，令12nnna2n，判断na的单调性，再由特殊值即可求出n的取值范围，即可得解.【小问 1 详解】因为13,3XNB，所以222411185C133381P X.【小问 2 详解】因为12,2XNB，*nN，2n，所以111C2iiP Xi，2i，所以1222121111C2222iiiiiinnnniiiiiP Xii122334122 133 144 1111222222222nnnnnn；由可知13124nn，所以1124nn，令12nnna2n，则111210222nnnnnnnnaa，所以12nnna单调递减，又451164a，531165a，所以当5n 时1124nn，则n的最小值为5.21.已知函数 1logxaf xax，1a（1）若ea，求证：1fx；（2）若关于x的不等式 1f x 的解集为集合B，且1,Baa，求实数a的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）2,【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；（2）求出导函数，可得 fx在0,上单调递增，即可得到存在00,x 使得00fx，从而得到 f x的单调性，再分ea、1ea、ea 三种情况讨论，分别计算可得.【小问 1 详解】若ea，则 11eelogelnxxf xxx，0,x，所以 11exfxx，又1exy与1yx 在0,上单调递增，所以 11exfxx在0,上单调递增，又 10f，所以当01x时 0fx，当1x 时()0fx，所以 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 f x在1x 处取得极小值即最小值，所以 11f xf.【小问 2 详解】因为 1logxaf xax，1a，0,x，所以 11lnlnxaxafxa，显然1lnxaya与1lnyxa 在0,上单调递增，所以 fx在0,上单调递增，当0 x 时 fx，x 时 fx，所以存在00,x 使得00fx，所以当00 xx时 0fx，当0 xx时()0fx，所以 f x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，又 11f，由（1）可知ea 时有 1fx，此时B，显然符合1,Baa；若1ea时 21ln1ln0lnl1naaaaf，有01x，由 f x0,x 上单调递增，且 011f xf，所以存在10 xx使得 11f x，要使 1f x 的解集为集合1,aa的子集，而 1f x 的解集为11,x，因为11a，所以1xa，又 f x0,x 上单调递增，所以 1f xf a，即有 11 1af aa，则1 lnln2aa，令 1 lnF xxx，1,x，则 1ln10Fxxx，所以 F x在1,上单调递增，因为 2F aF，所以2a，此时2ea；若ea 时 21ln1ln0lnl1naaaaf，所以01x，又 f x在00,x上单调递减，0 x时 f x ，所以 011f xf所以存在20 xx使得21f x，则不等式 1f x 的解集为2,1x，因为2,11xaa，又1a，所以只需21xa，211ff xa又1111 1afaa 显然成立，所以ea，符合题意；综上可得2,a.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理22.已知拋物线21:Cyx和圆22232:Cxy（1）若抛物线1C的准线与x轴相交于点T，MN是过1C焦点F的弦，求TM TN 的最小值；（2）已知P，A，B是拋物线1C上互异的三个点，且P点异于原点若直线PA，PB被圆2C截得的弦长都为 2，且PAPB，求点P的坐标【答案】（1）0（2）1133,33或1133,33【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设MN方程为14xty，11,M x y，22,N xy，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到22121148TM TNyy ，再根据重要不等式计算可得；（2）设2,P pp，2,A aa，2,B b b，即可得到PA、PB的方程，由点到直线的距离公式得到a、b为方程2221480pxpxp的两根，即可得到241pabp，由APPB可得2PCAB，由斜率之积为1，求出2p，即可得解.【小问 1 详解】拋物线21:Cyx的焦点为1,04F，准线为14x ，则1,04T，设MN方程为14xty，11,M x y，22,N xy，由214xtyyx，消去x整理得2104yty，所以12yyt，1214y y ，所以111,4TMxy，221,4TNxy，则12121144TM TNxxy y 22212121211164y yy yyy2212121111204848yyy y，当且仅当12yy 时取等号，即TM TN 的最小值为0.【小问 2 详解】设2,P pp，2,A aa，2,B b b，则:PApa yxap，:PBpb yxbp，圆22232:Cxy的圆心为23,0C，半径2r，所以22223211appa，则2221480papap，同理可得2221480pbpbp，所以a、b为方程2221480pxpxp的两根，所以241pabp，又APPB，所以2PCAB，所以2113ppab，即221134pppp，解得2113p，所以P点坐标为1133,33或1133,33.