《高等数学》课程教案.docx

课次29学时2授课类型理论课授课章、节：第十一章 无穷级数§8 一般周期函数的傅立叶级数教学目的、要求：会将周期为2l 的周期函数展开为傅立叶级数；会将定义在0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。教学重点及难点：本节重点是将周期为 2l 的周期函数展开为傅立叶级数以及将定义在0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数；难点是将定义在 0, l 上的函数展开为正弦级数或余弦级数。教 学 基 本 内 容教学方法及手段 高等数学课程教案一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 二、函数展开成正弦级数或余弦级数奇延拓:ì f ( x )0 < x £ pí令 F ( x ) = ï 0x = 0且F ( x + 2p ) = F ( x ),îï - f ( - x )偶延拓:ì f ( x )令F ( x ) = íî f ( - x )- p < x < 00 £ x £ p- p < x < 0且F ( x + 2p ) = F ( x),例1三、以2L为周期的傅氏级数定理 设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开 式为课堂多媒体讲解aå¥pxpxf ( x) =0 +(a cos n+b sin n),2nn=1lnl其中系数 a , b 为nna= 1 òlf ( x) cos np xdx,(n = 0,1,2,L)nl-llb= 1 òlf ( x) sin np xdx,(n = 1,2,L)nl-ll(1) 如果f ( x)为奇函数,则有f ( x) = å¥ b sin np x , 2npxnl其中系数 b 为b=ò lf ( x) sindx,n=1(2) 如果f ( x)为偶函数,则有nnl0lf ( x) = a0 + å¥ a cos npx ,其中系数 a 为a= 2 ò l f ( x) cos npxdx2nln=1nnl0l四、例题例2、例3作业、讨论题、思考题：练习P2561（1，3）若曲线L关于直线(平面) y = x对称则ò f (x)ds =ò f ( y)dsLL高等数学教程第五章 定积分 习题参考答案1.(1)2.431(b22习题 5-1 (A)- a2 )(2) e -13.(1)3(2)p R 2(3)p cos xdx = 2òp cos xdxò2222-p02p(4)òp sin xdx = -2ò0sin xdx04. Q =-2ò2T I (e)dtT15. 88.2KN6.M = òl r(x)dxò08.(1)ò2 x 2 dx < ò2 x3 dx(2)p xdx > òp sin xdx221100(3) (3)ò2 ln xdx > ò2 (ln x)2 dx(4)ò4 ln xdx > ò4 (ln x)2 dx1133(5)ò1 xdx > ò1 ln(x + 1)dx009.(1) 1 < ò1 ex2dx < e(2)1(e2- e) < òe21dx <e2 - e02eln x(3)p < òx arctan xdx < 2 p(4)- 2e2< ò0 ex2 - x dx < -2e- 11334932习题 5-1 (B)1.(1)ò 1 xdx(2)ò11dx(3)1òb j (x)dx03. V = p òR- R(R 2 - x 2 )dx0 1 + x 2b - a a4.21. - sin x ,-21 + x42. (1) 2x(2)3x 2习题 5-2 (A)1 + x121 + x8- 2x(3) (sin x - cos x) cos(p sin 2 x)(4)2xj ' (x 2 ) sinj(x 2 )2 - j ' (x) sinj(x)23. t cot t4. - cos xe y25. 极小值I (0) = 016. (0,)47.8 a 338.-1；29.(1)21(2)p(3)p + 1(4) -183a4(5) 1 - p4(6) arctan (e2) - p(7)4(1 - e-1 )122(8)4(9)8 (1 + 22)(10) e2 + 1 - cos 4 + cos 21510.(1) 0; 0(2) p(3) 0(4) 0 (k ¹ l), p (k = l)11.(1) 1(2) 2(3)2(4)133习题 5-2 (B)1.(1) ln 2(2)1(3)2k + 1p2.f (x) 在 x = 0 处连续，可导，且 f ' (0) = 03.f (x) = 3x 2 - e x-1 ， 1ep2p4.， -12ì 1ï 3x 21115. F (x) = íïx 2 - 2x +当0 £ x < 1时当1 £ x £ 2时î 268.2；59.-11.(1)51512(2) p - 43习题 5-3 (A)2(3) 1 - e- 1(4) 0(5) 1 - 2 ln 2(6)- ln(2 +3)或3322+ ln (2 -3 )(7) 1 - p42.(1)23(8)(2) p- 23223(3)p 3324(4)43.(1)1 (2e3 + 1)(2)- 2p(3) ( 1 -3 )p + 1 ln 39(4)2(1 - e -1 )8.ew 2(5)1 (ep54922- 1)(6)83521.(1)4- 4习题 5-3 (B)(2)2 (p + 2)(3)1 (e sin1 - e cos1 + 1)2(4)p8- 1 ln 2 4(5)p8(6)e -1 2(7)0(8)p4(9) 4p(10) 当m 为奇数， m !× p当m 为偶数， m ! (m + 1) !2(m + 1)!ì(m - 1)! × p 2 m为偶数(11) J= p , Jïm !2=í1mï(m - 1)! ×pïîm !m为大于1 的奇数2.f (x + b) - f (x + a)3.144.1 ln 2 x 29.0,4 ´ 47 ! × p48 !2习题 5-41.145.6(平方米)2.(1) 0.7188(2) 0.6938(3)3.(1) 1.3890(2) 1.3506(3) 1.35061.(1) 收敛，1 - ln 2(3) 收敛于p22.(1) 收敛，3(4) 收敛， p2习题 5-5(A)(2) b £ 0 时发散， b > 0 时收敛于(beab ) -1(4) 收敛于 2(5) 收敛于p + 1 ln 2 42(2) 收敛，1(3) 发散(5) 收敛， 8(6) 收敛， p333. e24. n!1.(1)习题 5-5(B)1 ln 2(2) 发散(3) 发散(4) 033(5) 发散(6)p(7)2(8)p + ln(+ 2)2222. l £ 1时发散， l > 1 时收敛于1(ln ln a)1-ll - 13. k £ 1时发散， k > 1 时收敛于1， k = 1 -1时取最小值4.p2(k - 1)(ln 2) k -1ln ln 2习题 5-61.(1) 发散(2) 收敛(3) 收敛(4) 收敛(5) 收敛(6) 发散(7) 发散(8) 收敛(9) 发散(10)绝对收敛2.(1)11Ga(a ) ,a > 0(2) G( p + 1) ,p > -1总复习题五一.1. D2. A3. B4. B5. C6. D7. D8. C二.1.- 3 f (cos 3x) sin 3x2.ò 0 cos t 2 dt - 2x 2 cos x 4x23.y = 2x4.15. sin x 26.>7.p124 -p8.49.ln 310.4 - 111.112.215p2三.1.12. 当-1 £ x < 0 时， 1 (1 + x)2 ，当x > 0 时，1 - 1 (1 - x)22223.134. ln(2 +3) -5.321 ln 26.2 (1 - 3e -2 )37.08.39.1f' (0)42n10.a = 1, b = 0, c = 1211.2p(定积分)习题选解习题 5-1(B)f (x) 与g(x) 在a,b 上连续，证明：(1) 若在a,b 上 f (x) ³ 0 ，且òbaf (x)dx = 0 ，则在a,b 上 f (x) º 0 .(2) 若在a,b 上 f (x) ³ 0 ，且 f (x) 不恒为零，则òbaf (x)dx > 0 .(3) 若 在 a,b 上 f (x) ³ g(x) ， 且f (x) º g(x) .òb f (x)dx = òb g(x)dx ， 则 在 a,b 上aaf (x) 在a,b 不恒为零，则至少存在一点 xÎa, b使 f (x ) = A > 0 .不妨00设 xÎ (a, b) ，由 f (x) 在 x = x处连续及极限的局部保号性，存在00d > 0 ，使(x0- d , x0+ d ) Ì (a, b) ，且在(x0- d , x0+ d ) 上 f (x) ³ A ，于2是òb f (x)dx ³ òx0 +d f (x)dx ³ òx0 +d Adx =A × 2d > 0 .ax -dx -d 22这与题设òba00f (x)dx = 0 矛盾.(2)由在a,b 上 f (x) ³ 0 Þ òbaf (x)dx ³ 0 .而如果òbaf (x)dx = 0 ，则由(1)知在在a,b 上 f (x) º 0 与条件矛盾，故只有òbaf (x)dx > 0 .(3)由(1)即得.习题 5-2(B).g(x) 连续，且g(1) = 5 ， ò1 g(t)dt = 2 ，设 f (x) = 1 òx (x - t)2 g(t)dt .02 0证明： f' (x) = xòx g (t)dt - òx tg (t)dt ，从而计算 f '' (1) ， f ''' (1) .00证明： f (x) =1 x 2 òx g(t)dt - 2xòx tg(t)dt + òx t 2 g(t)dt2000f ' (x) =1 2xòx g(t)dt + x 2 g(x) - 2òx tg(t)dt - 2x 2 g(x) + x 2 g(x) 200= xòx g(t)dt - òx tg (t)dt00f '' (x) = òx g(t)dt + xg(t) - xg(t) = òx g(t)dt00f '' (1) = ò1 g (t)dt = 20f ''' (x) = g (x) ， f ''' (1) = g(1) = 5 .习题 5-3(B).21.(7) òpcos x - sin xdx令x = p- t ，0 1 + sin x cos x22I = òpcos x - sin xdx = -ò 0 sin t - cos tdt = òpsin t - cos tdt = -I0 1 + sin x cos xp 1 + cos t sin t20 1 + sin t cos t22Þ I = òp0cos x - sin x dx = 0 . 1 + sin x cos x21.(8) òpcos xdx =1p (cos x + sin x) + (cos x - sin x)ò2dx220 sin x + cos x2 0sin x + cos x2= 1 òp dx + òp1d (sin x + cos x) = 1 p + ln sin x + cos x p = p .200sin x + cos x22041.(11) 计算Jm= òp x sin m xdx( m为自然数).0解： J= òp x sin m xdx = p òp sin m xdx令 x = p + tm02 02p= p ò 2 sin m xdx0ì m - 1 m - 3 L 3 1 p 2当m为偶数时ïïmm - 24 2 2于是Jm= ï m - 1 m - 3 L 4 2 píïmm - 25 3ïpïî当m为大于1的奇数时. 当m = 1时f (x) 为连续函数.证明： òx0f (t)(x - t)dt = òx òt00f (u)dudt .证明：设òtf (u)du = F(t)，则òx òtf (u)dudt = òt F(t)dt = F(t) × t x- òx tF' (t)dt000000= F(x) × x - òx tf (t)dt = xòx f (u)du - òx tf (t)dtpI= ò 4 tan n xdx,n Î N且n > 1.n0000= òx xf (t)dt - òx tf (t)dt = òx (x - t) f (t)dt .000证明：(1) I+ I=1(2)1< I<1nn-2n -12n + 2n2n - 2证明：(1) In+ In-2= òp40tan nxdx + òp40tan n-2xdx = òp40tan n-2 x(tan 2 x + 1)dxp= ò4 tan n-2 xd tan x =01.n - 1(2) 由(1)知， In+ In-2=1n -1， I+ In+2n=1n + 1p而在0,4上， tan n+2 x £ tan n x £ tan n-2 x于是I< I< I， I+ I< 2I< I+ In+ 2nn-2n+2nnnn-2即习题 5-5(B).1n + 1< 2I<n1n - 1，1< I2(n + 1)n<1.2(n - 1)3 ò +¥dx当k = 1时ò+¥ d ln x= ln ln x +¥= lim ln ln x - ln ln 2 = ¥ ;2x(ln x)k2ln x2x®+¥ò +¥dx当k ¹ 1时=1(ln x)1-k +¥ =1 lim (ln x)1-k - (ln 2)1-k 2x(ln x)k1 - k21 - kx®+¥ïì1k > 1= í(k -1)(ln 2)k -1;îï¥k < 1当k £ 1时，原式发散；k > 1时，收敛于1(k - 1)(ln 2 )k -1. 求其最小值，即求 I (k ) = (k -1)(ln 2)k -1 的最大值：I ¢(k) = (ln 2)k -11 + (k -1) ln ln 2, 令 I ¢(k) = 0 Þ k = 1 -且当k > 1-1, I ¢ < 0, k > 1-1, I ¢ > 0, ln ln 2ln ln 21,ln ln 2 当 k = 1 -1 时，该积分取得最小值。lnln 2总复习题五.一(5). 题目(略)解： F (x) = x 2 òx0F ' (x) = 2xòx0f (t)dt - òx t 2 f (t)dt0f (t)dt + x 2 f (x) - x 2 f (x) = 2xòx0f (t)dt现要求k 使lim2xòx0f (t)dt= l ¹ 0lim2xòx0x®0f (t)dt= limxk2òx0f (t)dt，显然k - 1 ¹ 0(否则极限为 0)x®0xkx®0xk -1用罗必达法则，上式= lim2 f (x)=2 limf (x) - f (0)x®0 (k - 1)x k -2k - 1 x®0xk -2当k - 2 = 1时上式为 2f ' (0) ¹ 0 ，故k = 3 .k - 1三.(10) 确定常数a, b, c 使limx®0ax - sin x= c .òx ln(1 + t 3 ) dtbt解：首先因为lim(ax - sin x) = 0 ，必须lim ò x ln(1 + t 3 ) dt = 0 Þ b = 0x®0x®0 bt于是limax - sin x= lima - cos x= lim x(a - cos x)= lim a - cos x = cx®0òx ln(1 + t 3 ) dtbtx®0 ln(1 + x3 )x®0ln(1 + x3 )x®0x 2x必须a = 1 ，从而可得极限c = 1 .2sin psin 2pp三.(11) 求极限lim(n +n+ L + sin) .11x®0n + 1n +n +sin psin 2p2npppp解：n +n+L+sin< 1 (sin+ sin 2+L+ sinp ) = 1 ån sin i，11n + 1n +n +nnnnni=12n而lim 1 ån sin ip = ò1 sinpxdx = 2n®¥ nn0pi=1另一方面，sin psin 2ppppp1n +n+L+ sin>1(sin+ sin 2+L + sinp ) =n× 1 ånsin in + 1n +n + 1n + 1nnn + 1nni=12n而limn× 1 ån sin ip= ò1 sinpxdx = 2n®¥ n + 1nn0pi=1Þ 原式= p .2四.(5)设 f (x) 在a, b 上连续， g(x) 在a, b x Îa, b ， 使下式成立òb f (x)g (x)dx = f (x )òb g (x)dxaa(积分第一中值定理)证明：不妨设g(x) ³ 0(a £ x £ b)( g(x) £ 0 时证明类似)由 f (x) 在a, b 上连续得 m £ f (x) £ M .由 g(x) ³ 0 得 mg(x) £ f (x) × g(x) £ Mg(x) ，mòb g(x)dx £ òb f (x)g(x)dx £ M òb g(x)dxaaaòbf (x)g(x)dx而òb g(x)dx ³ 0 ，(1)当òb g(x)dx > 0 时， m £a£ Maaòb g(x)dxaòb f (x)g(x)dx由介值定理， $x Îa, b，使 f (x ) =òb g(x)dxaa即òbaf (x)g(x)dx = f (x )òb g(x)dxa(2)当òb g(x)dx = 0 时， g(x) º 0 .等式也成立.a四.(6) 设 f (x), g(x) 在a,b 上都连续.证明：(1)(òbaf (x)g(x)dx)2 £ òbaf 2 (x)dx × òb g 2 (x)dx(柯西-许瓦兹不等式)a(2) (òb f (x) + g(x)2 dx)2a不等式).£ (òba1f 2 (x)dx) 2+ (òb g 2 (x)dx) 12a( 闵可夫斯基证明：(1)对"实数t ， f (x) + tg (x)2³ 0 Þ òb f (x) + tg (x)2 dx ³ 0a即òbaf 2 (x)dx + 2t òbaf (x)g (x)dx + t 2 òb g 2 (x)dx ³ 0a于是判别式2òbaf (x)g(x)dx2 - 4òbaf 2 (x)dx × òb g 2 (x)dx £ 0a即òbaf (x)g (x)dx2 £ òbaf 2 (x)dx × òb g 2 (x)dx .a(2) (òb f (x) + g(x)2 dx)2= òb f2 (x)dx + 2òb f (x)g (x)dx + òbg 2 (x)dxa£ òbòb f 2 (x)dxaa= (aòb f 2 (x)dx × òb g 2 (x)dxaaf 2 (x)dx + 2+aaòb g 2 (x)dx )2a+ òb g 2 (x)dxa即(òb f (x) + g(x)2 dx)2 £ (òb1f 2 (x)dx) 2+ (òb g 2 (x)dx) 1 .2aaa四.(7) 设 f (x), g(x) 在-a, a 上都连续， g(x) 为偶函数，且 f (x) 满足条件 f (x) + f (-x) = A( A 为常数).(1) 证明òa-af (x)g(x)dx = Aòa g(x)dx02(2) 利用(1)的结论计算积分òp-p2sin x arctan ex dx .证明：(1) òa-af (x)g(x)dx =ò0-af (x)g(x)dx + òa0f (x)g(x)dxò0f ( x) g ( x)dx 令x = -t- ò0f (-t ) g (-t )dt = òaf (- x) g ( x)dx- aa0于是òa-af (x)g(x)dx =òa0f (-x)g(x)dx + òa0f (x)g(x)dx= òa f (-x) + f (x)g(x)dx = Aòa g(x)dx .0(2) 取 f (x) = arctan e x ，g(x) = sin x ，a = p0上，则 f (x), g(x) 在- p , p 222连续，且g(x) 为偶函数.又由(arctan e x + arctan e - x )' = 0 Þ arctan ex + arctan e- x = A令 x = 0得2 arctan1 = A ， A = p2，即 f (x) + f (-x) = p .2ò2于 是 ppsin x arctan ex dx =p sin xdx = pòp sin xdx = p .ò22-p2 02 022