关于行列式的计算方法的探讨数学专业大学本科毕业论文.doc

关于行列式的计算方法的探讨目 录摘要1关键词1Abstract.1Key Words1一、引言2二、n级行列式的定义3三、n级行列式的计算3（一）化三角形法3（二）降阶法4（三）加边升阶法（加边法）5（四）递推法6（五）归纳猜想法7（六）拆分法（分块矩阵法）8（七）构造方程法（求根法）10（八）导数法（微分方程法）10（九）微积分法12（十）克莱姆法则法和逆向运用克莱姆法则方法12（十一）对角化法13（十二）借助已知结果方法来计算行列式14（十三）用“过渡行列式”来计算15（十四）利用循环行列式的解法来解（乘以范德蒙行列式的方法）16四、总结18参考文献19致 谢20关于行列式的计算方法的探讨摘要：本文针对一个n阶行列式归纳了计算行列式的十四种不同方法，如：递推法，微分法，微积分法，化对角形法等等。通过对这些方法的总结归纳以提高我们计算n阶行列式的能力，同时也希望我们对行列式计算有一个更深层次的认识，对以后的学习有一定的指导意义，达到一题多解的解题效果，从而再找出最优法。 关键词： n阶行列式 递推法 微分法 微积分法 化对角形法Abstract: This article on a n order determinant with a summary of the determinants of fourteen different methods, such as present, the differential law, calculus law, turn right angle and so on, Though these methods that we can summarize the n order to improve our determinant, and we also hope that we have calculated the determinant is a deeper understanding of the study of direct significance that how to solve a problem of the results, and find out the best method.Key Words: N order determinant, Prensent, Differential law, Calculus law, Turn right angle 一、引言行列式是从解线性方程组诞生出来的，它是讨论线性方程组的有力工具，然而，它的应用早已超出代数的范围，成为解析几何，数学分析，微分方程，概率统计等许多数学分支的基本工具。因此，对行列式的学习应当重视，但是行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题，n级行列式一共有n！项，计算它时需要做n!(n-1)个乘法。当n较大时，n！是一个相当大的数字。应用定义法，求非零元素乘积项的时候，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。但有些行列式，特别是含字母的高阶行列式，解起来却很困难，且行列式计算灵活多变，需要较强的技巧，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事情。因此我们有必要进一步讨论行列式的其它计算方法。本文针对n阶行列式（*）从化三角形法，降阶法，加边升阶法，递推法，归纳猜想法，拆分法，构造方程法，微积分法，微分方程法，克莱姆法则，已知结果法，过渡行列式法，循环行列式法，对角化法十四种方法对行列式进行计算。注：本文对于行列式，除满足下面条件（1）当a=0的时候，；（2）当b=a时的时候，,（n>1）; （3）当时，（），以下的十四种方法针对，的一般情况进行讨论二、n级行列式的定义n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1,2,n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带有负号，这一定义可以写成：形如：称为行列式的定义计算，其中表示对所有n阶行列式求和。定义表明：为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积，把构成这些乘积的元素按行指标排列成自然顺序，然后按列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。三、n级行列式的计算常用的几种计算方法如下：（一）化三角形法化三角形法：行列式通常的解法是将行列式化为上三角形或者下三角形，只是计算行列式最基本重要的方法之一。如上述行列式（*）：分析：因为任何行列式都可以用化三角形的方法进行计算：解：（1）：化三角形法之一：（2）：化三角形法之二： ；注：原则上，每个行列式都可以利用行列式的性质化为三角形行但是对于阶数较高的行列式，在一般情况之下，计算往往较复杂。因此，在许多情况之下，总是利用行列式的性质将其为某种保值变形，再将其化为三角形行列式，应用三角形的质，造出元素“0”是化三角形，对三角形行列式的关键，法计算一个n阶数字型行列式要做次乘，除法。当n较大时完全可以利用计算机编程进行计算。行列式的值就等于主对线的元素的乘积。（二）降阶法降阶法：n阶行列式它的任何一列（行）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，其中为的代数余子式（i表示行，j表示列）；行列式按一行一列展开能将高阶行列式转化为若干个较低阶行列式的计算。分析：降阶法就是按照行列式的定义进行计算的：解：如上述行列式（*）： 注： 这是一种计算具体行列式的常用方法，值得注意的是在计算时应先用行列式的性质将某行某列元素尽可能多的消成零，然后再展开，计算才为更简便，对一些特殊构造的行列式可以采用拉普拉斯定理降阶计算。（三）加边升阶法（加边法）升阶法：有些行列式适当的升高一阶反而易求其值，这种方法称为升阶法，又称加边法。分析：因为本文的行列式主对角线上的元素相同，同时，负对角线上的元素也是一样的，故而升高一阶反而容易求值：解：如上述行列式（*）： 注：一般来说，此法为保持行列式值不变的情况下增加一行一列（增加一行一列的元素一般由1和0组成）以利于计算。当然加边法不是随便增加一行一列就可以，那么加边法在何时才能运用呢？关键是观察每行每列是否有相同的因子，加边法最大特点是就是要找出每行每列相同的因子，升阶后就可利用行列式的性质把大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，从而简化运算，使计算更为简便。（四）递推法递推法：利用行列式的性质将给定的n阶行列式变成具有相同结构的较低阶的行列式表示（即寻找递推关系式），然后由递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶和一阶行列式）的值，使可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的值的方法称为递推法。解：如上述行列式（*）：对右端的第一个行列式展开可得；对右端的第二个行列式先用;再从第二列开始都乘以 加到第一列，可得： 从而： 联立（1）（2）可得：则；注：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话就很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。（五）归纳猜想法归纳猜想法：利用已知的行列式，先计算出低阶的行列式，比如一阶二阶三阶行列式，再根据计算出来的低阶关系式猜想出n阶行列式的表达式，然后再利用归纳法对其猜想的表达式进行证明。解：如上述行列式（*）：（1）：当n=1时，；（2）：当n=2时， 从而猜想：证明：当n=1,n=2时均成立，假设当n=k时，成立；即；当n=k+1时，由5递推方程法可得：即对于任意正整数都成立，故假设成立；从而；注：在计算行列式之前一定要观察此行列式有没有一定的规律可寻，再考虑是否可以用此法。（六）拆分法（分块矩阵法）拆分法：把n行n列的行列式的数拆成两数之和或积，若将行列式所对应的矩阵进行恰当的和，积分解，问题就迎刃而解了。解：如上述行列式（*）：（1）拆分法之一： 对右端第一个行列式，先是第一行乘以（-1）倍加到其余各行，再按第一列展开，即：；对右端第二个行列式，将其第二行再“照样”分成两个行列式之和，对这次分得的两个行列式再同样的分别“解”之“化”之,.,再一次类推，计算出行列式的值； （2）拆分方法之二：如上述行列式（*）：记 其中为n阶单位阵，则有降阶定理可以得：;注：对于同一个行列式拆分的形式不同，所以计算的方法也多种。（七）构造方程法（求根法）求根法：如果行列式含有未知数，可将行列式看成关于这个未知量的多项式，变换结合因式定理进行计算。解:如上述行列式（*）：设易见f(x)是x的n此多项式，首项系数为1。因为：（1）：当x=a时，（n>1）f(x)=0;（2）：当x=-(n-1)a时，f(x)=0;所以a,-(n-1)a是f(x)的两个根，下面确定其重数：=；当x=a时，=0；同理可证，当x=a时，有；即a是发f（x）的n-1重根，而x=-(n-1)a是f(x)的单根；从而有；所以上述行列式；注：此方法一般适用于含有单个未知数的行列式，从而此种方法又称为析因子法。（八）导数法（微分方程法）微分方程法：利用解常微分方程的方法（也就是求导的方法）来计算行列式，因此这种方法又叫导数法。解：如上述行列式（*）：令:从而由递推法类似可以得到：对求导可以得到：(1)但是对行列式求导数可以得到： ；.(2)由（1）（2）两式可以得到：解此微分方程可以得到：=（因为首项系数为1，所以c=1）;从而：已知行列式 （九）微积分法微积分法：若行列式含有未知量x，可以将行列式看成关于这个未知量的多项式f(x)，若易于求出某个初始值,在对f(x)进行求导运算，求出，最后根据微积分知识求出f(x)初始值处的解析表达式。解：对于上述行列式（*）记f(x)=;则f(a)=0,根据求根法可得：接下来解决的问题是已知求的表达式，由知道而：，得依次类推可计算出故；（十）克莱姆法则法和逆向运用克莱姆法则方法1：克莱姆法则法：对于一个n阶行列式，若能恰当的构造一个线性方程组，使得对某个j，有这样系数行列式和解容易计算，解：对于上述行列式（*）；先将变形为： 由前面可知：（3）的系数行列式故（3）只有一个解 由:同理可得：那么由得：那么：从而：2：逆向运用克莱姆法则法：解：对于上述行列式（*）先将行列式变形为：引入一个线性方程组（为未知量，i=1,2,n）显然，其系数行列式将前n-1个方程的解带入第n个方程得： 故：； （十一）对角化法对角化法：利用特征值将实对称阵化成只有主对角线有元素，即设a,b皆为实数，系数行列式矩阵为A，它为实对陈阵，则存在正交阵U，使得：;其中全为A的特征值。那么;解：如上述行列式（*）：经计算：A的全部特征根为（n-1）个（b-a），一个（b+(n-1)a）；从而有：故：;注：在使用此种方法的时候一定要先判断行列式是否可以对角化，如果不可以的话一定不可以冒昧使用这种方法，由于上述行列式所对应的矩阵是是对称阵，从而可以利用此方法。（十二）借助已知结果方法来计算行列式已知结果法：即已知某些类似行列式的计算结果，然后根据这些结果来推导要求的行列式。解：如上述行列式（*）：已知： 可以设全不为0（否则问题更为简单，若全为0，则） 从而有：现在用结论（4）来解决上述要求的行列式 （十三）用“过渡行列式”来计算在计算上述行列式之前。首先引入一个定理定理1：若将行列式的每一个元素均加上同一个数x得到新的行列式,则：(这里是的元素的代数余子式)；证明：设则我们先将的第一行分成两个行列式之和，即：再对所分得的行列式按第二行分成两个行列式之和(使得x在同一个行列式的同一行)，再对所分得的行列式按第三行分成两个行列式之和，. ,依次类推，直到最后一行，然后，将各行列式按x所在行展开即可证毕。分析：上述行列式如果每个元素都加上（-a）,则就剩下主对角线的元素，故而刚好符合定理1里面的条件；解：则有：；（其中为的元素的代数余子式）；将已知行列式中的每一个元素都减去a，有：;非主对角线的元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线的元素的代数余子式等于主对角线其余元素之积，所以：计算已知行列式可得：注：这种方法主要用于当用同一个数改变行列式的所有元素时，各元素的代数余子式容易计算的情形。（十四）利用循环行列式的解法来解（乘以范德蒙行列式的方法）首先介绍一个关于循环行列式的定理；定理2：循环行列式其中;为全部n次单位根。证明：让为n次单位原根，不妨设：我们作Vandermonde行列式：;再用D乘以，既有：由于则：再从各列中分别提出;就有由于，则;固有：；证毕；分析：显然本文所给的行列式是循环的，故而刚好符合定理2里面的条件；解：其中这里；从而由单位根的性质，不难证明：;综上可得：上述行列式（*）注：要计算某个行列式，可用一个较易计算的或已知其值的行列式乘或右乘这个行列式，得到的积行列式容易求值时，原来的行式的值就求出来了。四、总结以上的14种方法是针对某一个n阶行列式的不同种计算方法，这也说明了，在计算某个n阶行列式的时候，不只只有一种方法，对于数学来说，一定要谨记一题多解，但是我们在计算一个具体的题的时候，不可能每一种方法都适用，要选择最简单，最方便的方法进行计算，在上述的方法中化三角形法，化对角形法，递推法是最常用的方法。微积分法，常微分方程法，循环行列式法是比较少用的方法，故在使用的时候，只要掌握怎么使用就行了。参考文献1北京大学数学系.高等代数第三版M.北京.高等教育出版社.2003.2胡乔林.关于行列式的定义及其计算方法.科技信息.2007.25.3肖藻.行列式计算方法的研究.齐齐哈尔师范学院学报.1988年第一期.4许甫华，张贤科.高等代数解题方法M,清华大学出版.5赵凯宏.n阶行列式的计算方法J.玉溪师范学院学报，2003，（06）.致 谢四年的学习生活即将结束，回顾四年的学习生活，感受颇深，收获丰厚。在论文的写作过程中，有很多困难，无论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查询、开题、研究和撰写的每一个环节都是在我们的导师的细心指导下进行的。在每次论文遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的论文顺利的进行。从论文的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！借此机会我向导师表示衷心的感谢！同时，我要感谢教过我的各位老师，正是由于他们的传道、授业、解惑，让我学到了专业知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处事。同时我也要感谢我的同学给予我的帮助，他们为我撰写论文提供了不少建议和帮助，正是有了他们的帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢老师！还要感谢四年的大学生活，感谢我的家人和那些永远也不能忘记的朋友，他们的支持与情感，是我永远的财富。第 20 页 共 20 页