数值分析试卷与其答案2.doc

优质文本1、此题5分试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解 因为 =3.142857= =3.141592所以 2分这里，由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。 1分而相对误差限 2分2、此题6分用改进平方根法解方程组：；解 设由矩阵乘法得： 3分由解得 3分3、此题6分给定线性方程组1写出迭代格式和迭代格式；2考查迭代格式和迭代格式的敛散性；解 1迭代格式为 2分迭代格式为 2分2由于所给线性方程组的系数矩阵 是严格对角占优的，所以迭代格式和迭代格式均是收敛的。2分4、此题6分方程在附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式： 构造如下两个迭代格式：12判断这两个迭代格式是否收敛；解 1记，那么， 2分 所以该迭代格式是局部收敛的。 1分 2记，那么， 2分 所以该迭代格式是发散的 1分5、此题6分设1写出解的牛顿迭代格式；2证明此迭代格式是线性收敛的。解 1因，故，由牛顿迭代公式 ， 1分 得， 2分 2因迭代函数， ， 1分 故 此牛顿迭代格式是线性收敛的。 2分6、此题9分给定数据x 0 2 3 5f(x) 1 -3 -4 2（1） 写出的3次插值多项式；（2） 写出的3次插值多项式；解 1由题意知 3分 2分2用牛顿插值公式，构造差商表0 12 3 5 2 3 3分那么有 1分7、此题6分作一个5次多项式使得 解 构造有重节点的牛顿插商表1 31 3 22 2 1 5 114 3 2 4 3 2 0 4分 那么有 2分8、此题6分数据如下，试用二次多项式来拟合：012345615141414141516解 设，那么上表可化为01231000012 这时，取，并设所求二次多项式为 ，容易得到 ， ， ， 3分 得正规方程组如下： 解得 即 2分 回代得 1分9、此题5分给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式解 由于 所以 1分 1分 1分 1分 故求积公式为 1分10、此题6分分别用梯形公式和辛普森公式计算积分： 解 1用梯形公式 ， 3分 2用辛普森公式 3分11、此题8分求高斯型求积公式的系数解 令： 1分 由 得 再由 2分 1分 得 所以的根为 2分 2分12、此题6分设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。假设，试证。解：因为为次多项式，所以， 2分又因为，故有 2分由插值关系可知： 2分所以，13、此题10分设，求及谱半径。解 由定义得 2分 2分又由于，而 2分 所以，。 2分因为 所以 2分14、此题6分写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保存4位。解 ，于是 4分 故，由于 故 2分15、此题9分给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数解 幂法计算公式：取，作如下迭代： ， ， ， 其中表示中首次出现的绝对值最大的分量，那么 1分 计算如下： 2分 2分 2分 2分