高中物理竞赛天体部分习题精选.doc
优质文本1.试证明质量均匀、厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零.证明 设球壳单位面积质量为,壳内P点处有一质点m,如图4-17所示,球壳上取一小面元S,距P为r,过此面元边界与P连接并延长,在球壳上又取下对应面元S,距P为r,可得S与S对质点m的总万有引力F为OPOPF=F- F. 图4-17F=G· - G·=Gm( - ).从图中可得 - .因为S和S很小,所以S=S,S=S,即 =.这样可得 F=0.所以 F=0.2.两个质量为1.0g的质点相距10m.开始时两质点相对静止,且其中一个质点固定.如果它们之间只有万有引力作用,问:无初速释放一个质点后,经过多长时间它们相碰?TA解 设想m绕m做半径为l的圆周运动,m为圆心.由于两质点只有万有引力作用,故可视为m在A点速度减小,开始沿虚线做椭圆运动,m,圆半径和椭圆半长轴分别为l和l,由开普勒第三定律有 Tl= 图4-18当m在A点的速度减为零时,有l,那么m从A运动到m的时间t=.又因为m做圆周运动时,受向心力F=ml作用,故=. 由 、两式得T=2l,所以t=()×10s.3.求半径为R的液态行星中心处压强,假设液态不可压缩且密度为×10m,×10kg/m,计算此压强。解 将行星球体分成大量厚和S两局部图4-19.假设球层单位面积外表摊有物质的质量为,那么S和S局部对质量m的万有引力O分别为 但是,式中:为圆锥顶点O处立体角.作OM=OA和OM=OA,所以OAM=OAM. 图4-19此外,OAB=OAB.因为=OAB-OAM,=OAB-OAM,所以=,因此,=.结果F =F,这两个力彼此相互平衡.对球层其他局部进行类似研究,我们证明了前面作出的结论.体积Sr元层所受指向行星中心的引力为.式中:r是从此元层到行星的距离.由此求出厚r局部压强的增加为.于是在离行星中心距离r处的压强为.由于等于图像y=r与轴r所围图形面积,所以,因而.取行星外表处压强等于零,得到.在行星中心处r=0压强等于.代入和R数值,得到P×10N/m.4.使航天器飞越太阳系的设计方案之一,建议使用面积S=1km的太阳帆,当航天器绕太阳沿半径R×10km的地球轨道运行时,太阳帆展开.在随后运行中指令帆始终垂直太阳光线的方向,在地球轨道上太阳光压强为p=10pa.问:1当航天器质量多少时它可以飞离太阳系?2当航天器质量为多少时,它可以飞到半径R×10km的火星轨道?不考虑地球以及其他行星的引力影响.太阳质量与万有引力恒量的乘积等于M×10km/s.解 1当太阳帆张开时太阳引力和太阳压强作用在航天器上,这两个力的合力为F=G - pS = G - G= G,而是某个减少后的等效质量,即M= M- .的物体的引力场里,航天器总机械能为E = mv - G.根据能量守恒定律,航天器在轨道任何一点机械能应该等于E = mv- G,式中:v为航天器在离太阳距离R且当帆张开时具有的速度。根据航天器在太阳引力作用下沿地球轨道运动方程来求这个速度.m = G,即v = .由此可见,E = G ()= G ().如果E0,即在下面条件下0,航天器可以飞离太阳系。由此求出,当航天器质量为多少时这才可能实行。2设M为某一质量m时,航天器与火星轨道相切,航天器能够飞到火星轨道穿过轨道所具有的一切可能质量m中,m是最大的.在这种情况下,航天器轨道是椭圆,其长半轴等于R+R图4-20,在切点航天器速度垂直于航天半径矢量。根据机械能守恒定律,有G = - G ,V - V = 2GM - .根据开普勒第二定律VR= VR,即图4-20V= V.综合上两式并考虑到v= ,经不太复杂代换后得到2 M R= MR+ R,即2M- R = M( R+ R.由此求出航天器可以飞到火星轨道所具有的最大质量m:m = 10kg.5. 质量为400kg的宇宙飞船绕地球沿离地面高h=200km的圆周轨道运行.启动火箭,发动机在短时间t内工作,使宇宙飞船速度增加了v=10m/s,而运行轨道变为椭圆形,离地面最近距离h=200km,离地面最远距离h为多少,火箭发动机牵引力F多大,工作时间t多长,消耗燃料质量m多少以及火箭发动机的工作效率多大.6370km,地球的质量M=6×10×10N·m/kg,每秒消耗燃料m= ×10J/kg.解 离地面最近点宇宙飞船速度v等于v= v + v .沿圆周轨道运行速度v可以由下面方程求得 = .式中:R = R + h×10m .由此 v =代入数值,得到v = ×10m/s ,v×10×10m/s.根据动量守恒定律,有mvR= mvR所以在远点速度v为v=,式中:R = R + h×10m .代入数值,可得v= ×10m/s.根据动量守恒定律求得火箭发动机的牵引力FFt = mu,式中:m为在时间t内火箭发动机喷出的气体质量,u为喷气流速度.改写这方程F = =.代入数值,得到F=×4000=4×N.发动机工作时间可以根据宇宙飞船动量的变化得到:Ft = mv,得:.消耗燃料和氧化剂的质量m可以根据对于“飞船燃料物系统动量守恒定律得到:,即.火箭发动机工作效率由下式确定:,式中P为发动机功率,Q为燃料燃烧时释放的功率。由于,Q=mq,所以火箭发动机工作效率等于:木星*太阳远日点“落向太阳,并从木星不远处飞过图4-21当木星引力场对彗星的显著影响消失后,它又在太阳引力场中运行,并且它的速度方向与木星速度图4-21木星轨道附近,处.试求此处彗星轨道的近日点将位于离太阳多远处.解 注意:太阳为巨重木星10倍,结果同太阳影响相比,木星引力范围大小为其轨道半径的10.并且彗星与木星实质性相互作用时间,与木星运转周期以及彗星绕太阳运行周期相比是不可比拟的短.因而,在这段时间内彗星的摄动就算不了什么.所以我们把彗星的运动分为三个独立阶段:1彗星从遥远处沿着指向太阳系方向,在太阳引力作用下运行;2在木星引力场里“瞬间掉转头来;3沿椭圆轨道绕太阳运行且可不必考虑木星的影响.木星受到太阳质量为M的引力作用而沿着圆周轨道运行,其条件为.由此得到木星的速度.当彗星飞近木星第一阶段结束时,速度由能量守恒定律得出,即.木星和彗星两星速度方向互相垂直,那么彗星相对木星速度等于.从飞出木星引力场后第三阶段开始,彗星相对与行星速度只改变了方向,而相对太阳速度大小为现在彗星重新仅与太阳相互作用,在远日点和近日点速度均垂直于从太阳引出的半径矢量,于是根据开普勒第二定律有.根据能量守恒定律有.解上述两个方程,有天文单位,这是轨道远日点与太阳距离;天文单位,这就是所求轨道的近日点到太阳的距离.