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第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式【考纲解读】1 .了解任意角弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化.2 .理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.7 T3 .能利用单位圆中的三角函数线推导出土a,万土a的正弦、余弦、正切的诱导公式，会2用三角函数线解决相关问题.4 .熟练运用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值和简单恒等式的证明.【命题趋势探究】1 .一般以选择题或填空题的形式进行考查.2 .角的概念考查多结合函数的基本知识.3 .利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点.【知识点精讲】一、基础概念（1）任意角：1）正角一逆时针旋转而成的角；2）负角一顺时针旋转而成的角；3）零角一射线没有旋转而成的角.角 a （弧度）e （-o o,+o o）.（2）角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，角e就是第几象限角.终边落在坐标轴上.的角不是象限角，称之为坐标轴角（或象限界角、轴线角）.（3）弧度制：半径为r 的圆心角a所对的弧长为/,a=-（弧度或r a d ）.r（4）与角a （弧度）终边相同的角的集合为 川=a +2 k）,A e Z ,其意义在于a的终边逆时针、顺时针旋转整数圈，终边位置不变.注：弧度或r a d 可省略.（5）两制互化：-周角=3 60 =2 乃（弧度），即%=1 8 0.r1 （弧度）a 5 7.3 =5 7.1 8 .故在进行两制互化时，只需记忆=1 8 0,1=上两个换算单位即可，如：1 8 0=-x l 8 Oo=1 5 O,3 6 =3 6 x 6 6 1 8 0 5（6）弧长公式：/=a r（ae（0,2 7 ）,扇形面积公式：S =注：关于扇形面积公式的记忆，可以采用类似三角形面积公式的记忆方法，把扇形的弧长类比成三角形的底，半径类比成三角形的高，则有S=底 高=,如图 4-12 2二、任意角的三角函数1.定义：已知角。终边上任一点尸（x,y）（非原点。），则 P 到原点。的距离r=OP=ylx1 2+y2 0.（1）sin cr=y,即。的终边与单位圆交点的纵坐标y 即为。的正弦值sin a.如r图44（a）所示，s in a 的特征为：1）上正，下负；2）上（90）1,下（270）-1,左、右都是0；3）按逆时针方向旋转，向 上（一、四象限）为增，从-1增 到 1,向 下（二、三象限）为减，从 1减到-1.X（2）cosa=x,即。的终边与单位圆交点的横坐标x 即为a 的余弦值cosa.如r图 4-4（h）所示，cos a 的特征为：1）右正，左负；2）右（0）1,左（180）1,上、卜都是0；3）按逆时针方向旋转，向 右（三、四象限）为增，从1增 到 1,向 左（一、二sin a=,cos a=,tan a=.r r x此定义是解直角三角形内锐角三角函数的推广.类比，对一力 邻一，斜3 r 如图4-2,2.单位圆中的三角函数线以a 为第二象限角为例.角。的终边交单位圆于尸，垂直x 轴于。的终边或其反向延长线交单位圆切线A T 与7,如图4-3所示，由于取a 为第二象限角，sina=MP 0,cos a=OM 0,tan a-AT 0在单位圆中，r=yjx1+y2=1 ,贝 ij：象限）为减，从 1减到-1.（3）ta n a-（x 0）,如图 4-4（c）所示，tana 的特征为：1）一、三正，二、四负；2）上、下都是8 （即不存在），左、右都是0；3）逆时针方向旋转各象限全增.图4 4三、同角三角函数的基本关系、诱导公式1.同角三角函数的基本关系平方关系：sin2 a+cos2 a-1 ；*w“土 sin a商数关系：-=tan a；cos a2.诱导公式sin a（为偶数）cosa（为偶数）（1）sin（a+乃）=4，、；cos（a+万）=4,、1-sin a（为奇数）-cosa（为奇数）tan（a+）=tan a（为整 数）.（2）奇偶性sin（-a）=-sin a,cos（-a）=cos a,tan（-a）=tan a.奇变偶不变，符号看象限，说明：先将诱导三角函数式中的角统一写作；无论a 有7 T多大，一律视为锐角，判 断 所 处 的 象 限，并判断题设三角函数在该象限的正负；62当为奇数时，奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.例如s in 工,因为工2 +a 0,即U J 2 2 U ）s i n 7 1+a -co s a ,（2 Js i n（万+a）,因为3万7 T 7 T+a d +a0,即s i n 1 5 +a j =-co s a,简而言之即“奇变偶不变，符号看象限”【题型归纳及思路提示】题型5 3终边相同的角的集合表示与识别思路提不（1）终边相同的角的集合表示与识别可用列举归纳法和及像等差数列的方法解决.（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第像限角不包括坐标轴角.【例4.1 终边落在坐标轴上的角的集合为（）A.aa=k/r,k e Z B.,7 1,C.a a-K7 r-e Z 2k乃，,a=,k e N 2D.a|a=/6 Z ;终 边 在 y 轴的角的集合，公屋为 n,取初始角0=怖=【例4.2】请表示终边落在图4-5中阴影部分的角的集合.分析本题是关于区域角的表示问题，需要借助终边相同角的集合表示知识求解，只需要把握区域角初始角的范围和终边相同的角的集合公差的大小即可顺利求解.图 4-5解 析(1)如 图4-5(a)所示阴影部分的角的集合表示为卜.+2*1&三+241：,女WZ卜(2)如 图4-5(b)所 示 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 表 示为 卜 一 卷+2Ax&a(亨+2AK.A W Z卜(3)如 图4-5(。所 示 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 表 示为 卜 华+2Ax(a&弓+6 Z1;(4)如 图4-5(d)所 示 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 表 示为 卜 +AKWa&-_+AK,A 6 z1.评 注 正碉理解终边相同的角的集合的公差,即集合的周期概念,是解决本题的关键.k冗 jr【变 式1】M=a a=+,攵Z 5,2 4k rr jrN-a a=-1,k EZ ,则（4 2）A.M NB.N 峰 MC.M=ND.M CN=0【例4.2变 式1】解析 解法一:M与N有公共的初始角；+等=学,M的公差为4 4 4,N的公差为于,故M笑N.解法二:M 8（a akit,K（2氏+l）ai T+三2 4二（比+2）A3-44,*6Z,如母=童虹三山=,所以MN.故选A.4444【例 4.3】下列命题中正确的是（）A.第一象限角是锐角B.第二象限角是钝角C.a e（O,7），。是第一、二象限角D.,0 a 是第四象限角，也是负锐角解 析 第 一 象 限 角 的 集 合 为 1a|o+2 2 n V a V +2,A Z）,锐 角 的 集 合 是 其 真 子 集（即 当k=0时），故选项A 错；同理选项B 错；选 项 C 中左6（0.外，但5 不是象限角.故选项C 也错.故选D.题型54 等分角的象限问题思路提不从 a 的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）竺的象限分n布图示.a【例 4.4】a 是第二象限角，上是第 象限角.2解析 解法一：与 a 终边相同的角的集合公差为2兀,该集合中每个角的一半组成的集合公差为K,取第二象限的一个初始集合传,亢），得I的 初 始 集 合 仔，右），对比集合以公差x 旋转得高的分布，如 图 4-6所 示，得 高是 第 一、三象限角.、.解法二:如图417所示,a 是第二象限角，片 是 第 一、三象L解法三：取 a=120,120+3 6 0,告=60,240,即高是，第一、三象限角.f.评 注 对 于 爱 是 笫 几 象 膜 治 妁 问 题.，做 选 填 题 以 记 住 图示 豪.为 便 徒.解 法 三 是 工 种 只 要 答 嚏 的 希 住 方 法;解 法 一能 准 攻 找 出 堂 的 分 布.对 于 高 是 笫 儿 拿 眼 角 可 使 用 筑 根 分 布 图 示 的 规 律，如图4-8所 示，那 么 对 于“。是 第 几 年 限 角”的 机 眼 分 布 图示 规 律 是 什 么？只 需 要 杷 每 一 个 家 限 平 均 分 成 九 部 分，并 从 工 轴 正 向 起，逆 时 舒 依 次 标 注1,2,3,4,1,2；3,4,1,2,3,4,，则 数 学G终 边 所 在 年 限）所 在 挚 限 即 为 其 终 边n所 在 拿 陈.例 如，名 的 拳 瓜 分 布 图 示 如 图4-8所 示，若a为 第 一 票 限角，则A 为 第 一、二、三:象限角.图4-8【变 式1】若a是第二象限角，上a 是第_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _象限角，a是第二象限角，a竺 的取值3 3范围是.【例4.4变 式1解 析 取。=120,120+360,120+720=-=40,160,280.多是第一、二、四 象 限 角.或 借 助 分 布 图，如图4-39所示，所以0 0a的集合公差为2*,初始集合为（专,x）,W 的集合公差为空，初始集合为（-f-.-f-）.则（9+罕，+等）（AG Z）.0 w d o o/评 注 本题中求所在求限的方法，可推广到求所在的摹限.O71题型55 弧长与扇形面积公式的计算思路提不熟记弧长公式：/=a r,扇形面积公式：S=g =；a产（弧度制。e（0,2句）;（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法.【例4.5】有一周长为4的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小.解析 设扇形的半径为厂，弧 长 为/圆 心 角 为 a（弧度）,扇形面积为S.r 0依题意 0 ,S=y Z r,2r+/=4则 5=!=!（4 2r）r=-（4-2 r）2r L Z 41JA-or or、2-（2）=1，（当 且 仅 当 4-2 r =2 r 时，即 r=l 时取“=，此 时 2=2）,故扇形的面积最大值 为 1.此时a=2（弧度）.r评注 本题可改为扇形面积为1 求周长的最小值.C*,=/+2 2 例，且 J/r=l 得/r=2,故 C a.4（当且仅当Z =2r=2 时取“=”），扇形周长的最小值为4.【变 式1】扇形0 4 8的圆心角44。8=1 （弧度），|A6|=2则A8=（）,1 7CA.sin-B.2 6C.1,1sin 2D.2sin-2【例 4.5 变式1解析解法一:排除法.|&|A B g 2,A 选项中sinW-Vl,B选项中等 V 1,D 选项1k中 2sin丁 V 2sinT=l.故选C.解法二：推演法.如图 4-40所示，设 0A=OB-r,sin-5-=r=二s mT|a I n|aK=l.-2T=-1 -.故选 c.sin-y sin【变式2】扇形0 A 8,其圆心角NA06=120,其面积与其内切圆的面积之比为【例 4.5 变式23解析 如图4-41所示，设QA=OB=r,内切圆圆心为。，半径为一,r12。告京孤度).O C=r./+向，题 型 56思路提不(1)(2)(3)图 4-41三角函数定义题任意角的正弦、余弦、正切的定义;诱导公式；理解并掌握同角三角函数基本关系.【例4 6】角a终边上一点P(2 s i n 5,-2 co s 5),ae(0,2%),则a=()7tA.5-2B.3万 5C.5D.哈解析 解法一：排除法.5=5X 57.3=286.5,是第四象限角.H=2sin5Vo,=-2cos5V0,r=/xl+y2=*2,a 是第三象限角.选项C 中,5 是第四象限角；选 项 D 中,5士登是第一象限角，故排除C、D；选 项 B 中，cosa=8s（3区-5）=-8 白 5,与 *，.cos.a=sinS矛盾，排 除 B.故 选 A.r解法二：推 演 法.由 解 法 一，5=亏+3。=+8，8,8（0 y）.（这样设的原因是 cosa-sin5）cos a=cos（x+5，）=一 cosff,3 sin5=sin（5+d）=8 的=5 cos=cos50cos6=cosd,8,8S 0,=5，=s5=5=a=n+（5 1*穴）=5 故选 A.【变式1】已知角a 终边上一点P（2sin2,-2cos2）,a（0,2;r）,则。=（）7 T T TA.2 B.-2 C.2-D.-22 2【例 4.6 变式1解析 排除法;2 a 2 X 5 7.3 =114.6，是第二象限角.工=2曲必：0,3 0-2 8 3 2 0.又 a6C 0,2a）=a e（0,-），选项 A为 114.6、选项B为一 114.6、选项C为24.6、选项D为一24.6.故选C.,7 F T T【变式2 已知角a 终边上一点P（-2sin亍,2cos亍），则。=【例 4.6 变式2解 析-y-E（0,）,H=-2sin-y-（）,则 a 是第二象限角，取a=-6,8 W（0,）为初始角，,r J 4+v2 o 2,COM=?=-sin 全,cos（芥-3）=-cosfl.w n.w/K x 57c0 sm cos5=sin cos（万-7）-c o s 因为得x W（0,）,5 5 9所以。=7 7穴,故 a=-1.T+2/iv=2A x+Y 7r（*e Z）.14 14 14【变式3】已知角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y =2 x上,则co s 2。=()43八3A.-B.-C.一555【例4.6变 式3】解析 由角&的终边落在直线y =2工上，知tan 5=2,”。co s2s i n25 1 u n25 3 口、*八8 5 2 8 =8 s 2 8-sMg-G+s W广 讦 通=一 亍 故 选 B-题型5 7三角函数线及应用思路提不正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线一、利用三角函数线证明三角公式(1)s i n (乃一 a)=s i n a；(2)s i n -a=co s a；(2 J解析(1)如 图4-9所 示,角 六一a与Q的 终 边 关 于y轴 对 称.M P=M P=s i n a=s i n(j r-a).(2)如 图4-1 0所 示，角 一。与a的 终 边 关 于 直 线y =a对称.Q M =M P=co s as i n(3)如图 4-1 1 所 示，tan (a+Y)=3万，=-7 4 /Rm1tan a图 4-11评注 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 证 明 诱 导 公 式 是新 课 标 的 要 求.必 须 掌 握，重 点 在（”士 a）,一。及（f a）-在（1）证 明 中 易 得cos（i t -a）=cos a，相 除 得tan（7 ra）=-tana,在（2）证 明 中 易 得 cos（5 a）=sin a相除得 Q）=.角a与K a的终边关于 以=5终 边（即女a+5一ay轴）对 称；角a与g -a的 终 边 关 于 z =9终边所在直线丁=工 轴 对 称.一 般 地 角a./?的终边关 于 守 终 边 所 在 直 线 轴 对 称.二、利用三角函数线比较大小（兀 兀、【例4.8】a e,比较sina,cos。,tana的大小.（4 2解析 如图4-12所示,aG 传 号)，在单位圆中作出a 的正弦线M P,余弦线0 M 和正切线A T,显然有0M VM P|cose|及卜ana|1 ；(2)当角a 的终边靠近x 轴时，bina|cosa|及|tana|10M|=|sina|cosa|=|tana|1.(2)如图4-43所示，角 a 的终边靠近工轴时，|0M I|MP|=|cosa|sin|=tana|cos会，又 为第三象3Q 01&.7K 7K.7n一 7K限 角.sin t cos y V0=sin cos .o 3 3【变式2(1)当a 为任意角，求证：bina|+|cosa|21；(2)cr el 0,I,比较sin a,tan a 的大小.【例4.8变式21解 析(1)如用444所示,a为 单 位 圆 中 的 任 意 角+I。尸1(点P在工,y轴上时取等号)，即|sina|+|8 s a l.(2)如图4-45所示,在单位圆中，(0,号)，SA P Q AV S j影的 V故 MPasinaatana.SA Q A T,即 4 AfP 1 4-I2 a 4-T A T,Ju Ct C【变式3】比较大小:(1)sin2,sin4,sin6；(2)cos2,cos4,cos6；(3)tan2,tan4,tan6.【,4.8变式3 如图4一46所示.解析 2M M,6,4%229.2,g 3 4 3.8；(1)在单位圆中,正弦上大下小，比较尸1，尸2，尸3的商低得sin4sin6sin2.(2)在单位0中，余弦右大左小，出较的左右得cos4cos2cos6.(3)在单位圆中,正切上大下小，比较丁1打2,7 3的高低得tan2tan6 tan。-a ,贝 ijaw ()tan a I 2 2)【例 4.8变式4 4 1解析 当 OV aJ时，s i n a V a Vtan a,与s i n a tan a矛盾，故排除7口.在选项人中，取a一 年，则 图4 Y 6Os i n(一 于)一 等,tan(3)=一宿一冬U n )知_二)皿 一 守 g(-9)*与s i n atan a一相矛盾，故 一-今，排除选项tan a 3故选R三、利用三角函数线求解特殊三角方程【例4.9 利用单位圆中的三角函数线求解下列三角方程：I(1)s i n 2 x =；(2)co s 2 x =；(3)tan 2 x =A/3.2 2解 析(D 在单位圆中作出正弦为今的正弦线，如 图 4-13所示，得正弦为言的两条终边，即 a i=?，Z 0 O-Xaz=等.故 2*=+2薪 或 2x=-+2kn,k$Z.o o解 得 了=卷+为 穴 或%=萼+%7t,%ez.JL47 T 7 T(2)如 图 4-14所水，a i=7,a?=7，4 4.ir 故 2x=s+2kn 或 2x=-F 2AT C,左 Z,4.4:jr .IT 解得了=弁十&兀或 N=-o o *如 国 4-15所示，得 由=奈。2 =竽，公差为K,故 2工=母+为71,2e z,解得N=?+W，Aez.O 0 4评 注|s i n x|】，|co s xl l,t a n xGR；当|VI 时，方 程 s i n x=,co&r=在 0,2 穴)有 两解.四、利用三角函数线求解三角不等式【例 4.1 0】利用单位圆，求使下列不等式成立的角x 的集合.1V2(1)s i n x ；(3)t a n x 1.22分析这是一些较简单的三角函数不等式，在单位网电，利.用三角函数线作出满足不等式的角所在的区域，由此耳出不等式的解集.解 析（D如图4-1 6 所示，作出正弦线等于方的角:学和等,根据正弦上正下负,得在图4-1 6 中阴影区域内的每一个角x 均满足s i n z 1 4|+2 为兀,为 2）./o(2)如图4-17所示，由余弦左负右正得满足.8sx的角工的集合为 ，二.(z 12 kn -工42上4+十,无 Gz.(3)如图4-18所示，在 0,2用内，作出正切线等于1的角:李 和 牛，则在如图4-18所示的阴影区域内(不含y轴)的每一个 角 均 满 足ta n r 0 ；(2)2A/3 co s t z +3 co s a ；(4)若0 =a J 5 co s a ,则a e ()解析(1)由 题 意 s i n a 2，令 s i n a =f ，如图 4-1 9所示，在单位圆中标出第三、四象限角的两条终边，这两条终边将单位圆分成上、下两部分，根据正弦上正下负得a终边在上面的部分，按逆时针从小到大标出.5 =尚,a z =+1 =?，得不等式解00 0集为 ja +2 妹&看+2 4 芥.&W z .耍 7 3(2)如图 4-2 0 所 示，c o s a 4-下.标出 co s a =y的角在单位圆中第二、三象限的两条终边这两条终边将单位圆分成左、右 两 部 分，根据余弦左负右正 得 a终边在左侧，n 5n,n _7na=n 6=6f a,=n T =6-得 解 集 为 卜 1+co s a=-=3/x.如图 4-2 1 所示，在单位圆中作出广工所对的两个角a i =子 皿=”这两个角4 4的终边将单位圆分成上、下两个部分.在上面的部分取a=T，S i n 会 。5 芯成立,，故不等式的解集为ja -+2 A jr C a V 竽+2 标,氏 z).本 题也可通过线性规划的知识直接判断出y x表示的平面区域为如图4-2 1 所示的阴影部分.（4）s i n a V F co s a，得 三 底 工、如图 4-2 2 所，T T示，在单位圆中标出=用 工所对的角ai=-T-r a 2这两个角的终边把单位圆分为上、下两部分，因为0 4 a V2 兀,在上面的部分取a ,s i n a 3-co s a成立，所以取终边上面的部分，故不等式的解集为上 件 Va V学 .故选 C.评 注 三 角 函 数 线 的 应 用：证 明 三 角 公 式；比 校 大 小；解三角方程;求解三角不等式.【变 式1（2 0 1 1湖北理）已知x）=Gs i n x-co s x,xw R。若则x的取值范 围 为（）.A.xk7r+-xB.x 2%乃+W x C.x k7i-x6 6D.x 2k兀 T x 6 6解析 解法一：因为/(x)4 sinx-cosx=2sin x 又八工）】，得2疝1（工一管）1，艮0 sin ）卷，所以？+2A共工一（祥wz e z,0 0 0解得T+2 A 7 H 7 t+2 A K,A e z.故选 B.5解法二：原不等式/（工107Tsina-cosl.在单位圆中，r=l,s in a=，cosa=工，得力 了一x l,fip y 工 +题型5 8 象限符号与坐标轴角的三角函数值思路提示正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负;余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负;正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.【例4.12（1）若。（0,2%），sin o r-C O S6Z 0,则二的取值范围是/、八 乃 .3乃 .(2)tan 0 +sin-co s乃一sin-co s2 4 =22解 析 由 sin a co s a 0得，由1或 血。；：,得。为l co sa 0第 二 象 限 角 或 第 四 象 限 角=a 的 取 值 范 围 是传K）U停 .（2）0+1-【变 式1】“sin a0”是“a为第一、二象限角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【例4.12变 式1解 析s i n O 0 a为第一、二象限角或a的终边落在y轴正半轴上.故选B.n 4 a 3 a【变式2】sin =,co s-=-,上是第 象限角，a是第 象限角.2 5 2 5 2【例4.12变 式2】解析 sin -0,co s q V 0=5是第二象限角.o c t 2 4sin a=2 sin -c o s 彳=一 赤 ，a.,c t 7co saco s2-4 n z 0.a是第三象限角:【变式 3 若 sin a J 1 co s?a 一 co s a J 1 sin?a=-l,则。的 取 值 范 围 是.【例4.12变 式3解析 由 sin a|sin a|-co s 18 Sa|=1 1=sin%-8 S2a得|sin a|=-sin a,|co sa|=co sa,所以 sin a。且 co sa。，故 a 的取值范围是一号+2 AJ C,2 A；|/Z.所以角a为第四象限角.【变式4】已知co s夕t a n 6 0.【变式6】若点尸（tan a,co s。）在第三象限，则角a的终边在第 象限【例4.12变 式6解析 依题意角。的终边在第二象限.l co sa 0,tana V O,故 cosaR-r-j-sing-V 1-sina,ta n a=-1.3-cosa 4(2)因 为 a G(兀，华)，所以 sin a V 0,cos a V 0,sina-tan4r=-=2 f cosa，得sin2 tr+cos2 a al，且 2 1得 cos4as=,cosa=osina=32cosasm2a+cos2a=l，展-z*,sinaD2/5V,无象限条件，弦化切.2sina-cos a 2 tana 1 2X 2-1 33sina+4cosa 3tana+4 3 X 2+4 10*sin2 a-2sina 8sa-3oos%端 a-2sinacosa-Seos2 asii/a+cos？atan2a-2tana-3 3tanza+l 5(3)无象限条件(弦化切).两边平方得(2sinc-c o s a)2=5(sin2a+cos2a)=sin2a+4sinacosa+4cos2a=0=(sina+2cosa)2=0*=sina+2cosa=0,tana+2=0Ntana=-2小,i sina cos a.sinotcosa+tanQ=-ri;-;rtana v sm a+cos a,tana .12 ,=.,2 rr +tang=-tan、十 1 5由 2 sinacosa=酒 sin(a+p)=一相,可知当 x=a时,2 sinr-cosx取最小值.(2 sinz一coax)71 工=sina+2 cosa=0.2 sina-cosa=一底、sin.a+2 cosa=0 V5,cosa=,【sina-z-.I 3.3/5-.二 一二sina cosa r-,.评注 本题给出同角求值的几种基本题型.(1)及(2)中的体现了有象限条件的任意角三角函数与锐角三角函数的本质联系(只多了一个象限符号为(2)申的体现了无象限条件弦化切的解题策略.(分式-无 分 母(lu sin J+co sZ a)f 分 子 分 母 是 sina,cosa的同角齐次式(3).中无象限条件,2 sina-8S a=拜sin(a+95)=氐表示函 数 y=2 sinxcosx在x =a处取符极小值，导 数y=0,故 有 更 筒 便 做 法：(2s in x-8 s r)|H=.=2 cosa+sina=0.k *.却 巳 知 sina-cosa=V,aW(0国，则 tm a=.答案为一1,与本题(3)同理可解.：，,c f j +2 sinacosa/、变 式 1已知tan a=2，则-=()cos a-sin aA.-B.3 C.3【例 4.1 3 变 式 1解析解法一:l+2singcosacos2 a sin2 a1D.-33(sing+cosaT(cosasina)(cosa+sina)cosa+sina _ 1+tanacosa-sina I-tana3.故选D.解法二:本题是二次齐次分式,故想到1+2 sina cosa sin2 a+CO S2 a+2sina cosacos2 a-sin2 a cos2 a-sin2 a分子、分母同除以8s2 a,故原式=呻邛嗯=午宇=2=一3.故选D.1-tan%14 3【变式2 当x=9 时，函 数/(%)=$后 一2 以)$1 取得最大值，贝 i cos6 二【例 4.13变式2解析 因为当H=e时，函数义工)取得地大值，所以尸(6)=8 3+2sin5=0,得 tan5=-，且 sin50,cos5Vo，又 sin2fl+cos2=1%必1,故 8的-【例 4.14】已知 sina+cosa=,-a sin a cos a=0,Zo Zo.aGk K2*2tanaVO,排除 和 D.*/sina0、一|sm a|cosa|lsina+cosa=一*z-1，故排除A.故选B.解法二:将方程两边平方得sin2 a+2sin a cos a+cos2 a=(sinza+cos2a)12sm2a+25sinacosa+12cos2a=0,4 312tan2a+25tantf+12=0=tana-或-7,3 44由解法一知得tana=z-.故 选 B.U【变式 1】已知a e R,sin a+2 cos a=,则 tan 2a=(2)4A.-33B.-4-3c.-4D.43【例414变式1】解析 解法一：由 sina+2 8 S a=e,得(sina+2 c o s a/即5 5 3sin2a+4 cos2 a+4 sinacosa=sin2a+cos2a,得 sin2a-4 4&34 sinacosa-cos2 a=0,因此 3 sin2a 8 sinacosa-3 cos2a40,则 tan2 aH 2tan=故选1-tan为 4解法二：由 sine+2 costt=得 石sin(a+中)=其中zl国 口3=2,则 sin(a+p)=等，得 a+中=2左red-或 a+g =2 4 K+m/WZ,即 a=2左 合 一 或 a=2H+芋tanatan或 tana tan，可得 tanatanl-tanp 1 /3TT T-t a n p 田一 下 或=tan(7一,)=Fs n J=3.故3tan2 a-故选 C.4【变式 2】已知 si n c rc osa =-,a ,K O c os a-sin a=()8 4 2【例4.14变式21解 析(8 S a sina)2 =i2 sina8 S a=,排除 C,D.4穴 7 C-r.a sina cosa,cosa-siikr VO,得 cosa-sina=一4 4故选B.题 型6 0诱导求值与变形思路提取77(1)诱导公式用于角的变换，凡遇到与勺整数倍角的和差问题可用诱导公，用诱导公2式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数.77(2)通过2%,乃，士一等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.2TT(3)a尸=2万，乃，5等可利用诱导公式把a,的三角函数互化.【例4.1 5】求下列各式的值.(1)si n (-3 0 0 0 )；解析(l)s i n(-3 0000)u-s i n(8 X 3 600+1 2 0)=-s i h l 2 00 t a n(-7 C _ .,.-.4 .评注 刷 用 诱导公式化简或求值，可 以 参 照 口 诀“负角化正,角，大角化，小 角，化 为 锐 角，再 计 算 比 较.*：，：4 ,-.V【变 式1】c os（2-a）=3【例4.1 5变 式1 解析 8 s(2*-a)=8 S(-a)n 8 S a=g,a e (-*，。)，si n a V O,故 si n(x-a)=si s=-/I -c os2a【变式2】若ta n (a 7)=，贝i j si n a +c o s a=()r 1B.-5A-4c ID.75（，豹=a G与），【例4.1 5变 式2-3解析 ta n (a -7K)=ta n a =丁，a 4（一 等）_ 一卷.故选口-【变式 3】i己c os(8 0 )=k ,那么 ta n l OO=()yll-k2B.-k【例4.15变 式3解 析 解 法 一:排除法.A=cos(-8(T)0,tanl00V 0,选项 A 0,B V 0,C 0,D V 0,排除人,孰又3=今=-tan80=tanl 000.故选 B.COSoO解法二:推演法.,c .一 sin80 tanlOO=tan(180-8 0 )-tao80-故选B.【变式4】已知si n（x+J =/+si n6 )【例4.15变 式41解 析 因为（工+（X，,则 si n4+(T-X)=s i n w-(x+T)=s i n(x+T)T(x+T)+(T x)7x故 sin(系-h)+sin2-工)=-1-+1-sin2(x；+T)+(1_劫 唱最有效训练题17（限时45分钟）.4 乃 2 5 11.si n c os-ta n的值为3A.-43B.4C._V1.B 解析cos-tKa n -o 4-T-故选B.36()D后原式N 5必年,C -却-r/3 万 3 2.已知点尸si n ,c os I 4 4落在角e 的终边上,且，e 0,2 可，则6的 值 为（）71A.43 万B.4c 5 4C.47 zrD.42.D 解析 点 P 修 一 等）位 于 第 四 象 限,且 夕 C0,2疝,所以夕=与.故选D.3 .若角a的终边落在直线x+y=l 上，则/m a 一+l cos2a=（）V l-si n2 ac os aA.2C.1 D.03.D 解析 由已知得tana=1,则sina与co w异号,sinzz+y l-cos2a sina一 曲。8stt I cosa|s&|cosa=0.故选D.4.若 角A是第二象限角，那么4和工 A都 不 是()2 2A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角A4.B解析 角A是 第 二 象 限 角，则 可 为 第 一、三 象 限 角，由一A的4终 边 与A的 终 边 关 于 工 轴 对 称，则 一A的 终 边 在 第 三 象 限,一A是将一A的 终 边 逆 时 针 旋 转 年 在 第 四 象 限,故 今 和-A都不 是 第 二 象 限 角.故 选B.JI JI5.已知s i n(y -a)=c o s a,c o s(y -a)=s i n a对于任意角a均成立.若/(s i n x)=c o s 2x,则/(c o s x)=()A.-c o s 2x B.c o s 2x C.-s i n 2x D.s i n 2x5.A 解析/(c o s x)=/s i n z)=c o s 2(a)=_ c o s 2x.故选 A.)1D.56.已知-x 0,s i n x +c o s x =,则s i n x-c o s x +l2 52 2 1A.-B.-C.一5 5 51 .I6.A 解析 因为 s i n x +c o s H =所 以(s i n x +c o s x)?一不r,即-0 Z0，又 因 为 一摄Vh VO，所以 s i n x 一 c o s x-r l=_;_ 2、V (s i n x +c o s x)2-4s i n z c o s x +1 =故选 A.ol+2s i n x c o s H =/，得 s i n r c o s x1 2257.已知角e的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角e终边上点，且2 J5sin0=-=-,贝 ijy7.y=-3解析因 为s i诂.，1 6+一所以 y V O 且/=64,故 y 8.8.函数y=Igsin2x+j 9-f的定义域为.8.(工 一 3-右 或 OVzV并.解析由；券之得一3工n(n +l)K 解 析 由 题 意 可 知，每道弧所在圆的半径构成等差4数列，首 项 门=1,公 差 d =l,所 以 第 8 道 弧 的 半 径 为 r 8=r 1 +7d=8.每道弧长为其所在圆 周 长 的 占，所 以 n道弧长之和为42%r i .2KT2.27r r s r ,.,、n(n +l):I-：I-1 r-=-r-C l+2 4-+n)=?-T C.4 4 4 Z 410.在平面直角坐标系xOy中，将点4(0,1)绕点。逆时针旋转90到点8,那么点8的坐标为：若直线O B的倾斜角为a,则sin 2 a的值为.E 1 0.(-1 73 解析 绕 点。逆时针旋转90,B 到。点的距离与A 到 0点的距离相等，且 知 OB所在的直线的倾斜角为1 20,1 z j 3=2c o s l20=1,=2s i n l20 =故 B 的坐标为.:1 73(-1,小)，此时 s i n 2a =s i n 240 =-r-.1 1.一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦和劣弧所围成的弓形的面积.1 1.衣 rz.解 析(1)由弦的长度等于半径r,得弦所对圆心角为