考研线性代数讲义.pdf

新东方在线考研数学基础班网络课程电子版教材线性代数部分前 言1 .复习线性代数应该着重于概念部分线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。2 .怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍 些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。3 .对大家学习的建议学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。(1)有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。(2)听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。(3)最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。第 一 讲基本知识一.线性方程组的基本概念41 修 +anx2 H-l-al nxn=仇，1-1000 2 0、2 5 10 1 -20 0 0J(00 0 oj-4-71 9-21 3-23-2oooo22ooooo,4oooI外873-23-27323-2oooooooo1-22ooo2oooooooookI o4ooo每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。如果A是一个阶矩阵A是阶梯形矩阵n A是上三角矩阵，反之不一定，如 0 o r0 1 0是上三角，但非阶梯形、0 0 1,*、0*0 0*、0 0 0*,四.线性方程组的矩阵消元法用同解变换化简方程再求解三种同解变换：交换两个方程的上下位置。用一个非0数c乘某一个方程。把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。2 X(+x2+x4-4X)+x,+3X4=52 x j -x2+4X3+9X4=1 0 x+3X2+2X3+3X4=201101 1 0 14、1 11 1 1 3 50 1T2-1491 00 013 2 3 2 01 41 -12 1-4-8-5-X +九2+九4=4.2+=1+2X4=1-4匕=8=2 ,%3 =-3 ,x 2 =0,Xj =2 o矩阵消元法：写出增广矩阵（A ，用初等行变换化（4 为阶梯形矩阵（8卜）o用（叫了）判别解的情况。i）如果（四/）最下面的非零行为（0,0|d）,则无解，否则有解。i i）如果有解，记了是（即/）的非零行数，则7=时唯一解。y 则为，w0 n%,T /O nd都不为0。fl于是把（B o l%）化出的简单阶梯形矩阵应为:00 0 0 q1 0 0c2o 0；0 0 1。X|=c”其方程为“：=0 2 即（J,C 2,c.）就是解。X =%,-6-第 二 讲 行 列 式一.形式与意义a a 2 a na2&2 2 a 2 an an 2 an nA是阶矩阵，H表示相应的行列式。二.定 义（完全展开式）a b=ad-b ec dall 以 1 2 /aYi alla2 2a33+白2 1%2,3 +g1以1 2 a 2 3 一al C a1 3a2 l a2 2 以 2 3a a 2 a na、a”*一个”阶 行 列 式2，2 2 2”的值：an an 2 an n是!项的代数和每一项是个元素的乘积，它们共有!项a jta2 j2 an j 其中J,入 j”是1,2,，的一个全排列。%/前面乘的应为*/1 J n/冒2，）的逆序数1,2,，n-仪1 3 2 2以3 1 一 3 2 a l i -3 3 1 2 2 1 二6,工（4 3 6 5 1 2）-7-=3+2+3+2+0+0=1 0=4%金aJ /U i-JI nJnJlJrJn*例 1.1 10o0a2200a n例 2.000bn000包0000/00b2*=(1)(0 =4 1 1。2 2%”0b200仇000(1)4 Mb仇名a=仇外/区仇*0(_ )r(T).2 1)仇仇 么心-1)2 1)=C：=(I)例 3.y(x)=x-3a-145x -80-20hx +1 1221X求f(x)中的V和V的系数三.计算(化零降阶法)余子式和代数余子式-8-称M jj为%的余子式。&=（-甘%定理：一个行列式的值。等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。D a”4,1 +a,2 A”+,+iz 2 A,“3 2-72 0-45 1 2=3 x-4 2-2 x-4+(-7)0122 52501=3 x 4-2 x 2 4 +(-7)x 2=-5 021=(-2)x-7230 +4521=-2 x l l+4 x(-7)=-5 0命题：第三类初等变换保持行列式的值3 22 05 1-7 3 2 -1-4 =20 0 =(/-2)、2 -111 1 21 2-5 02 5化零降阶法0242例4.求行列式3205-730-20202的第四行各元素的余子式之利。四.行列式的其它性质1 .转 置 值 不 变,=闾2.用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘ccA=cnA3 .行列式和求某行（列）分解1%夕I+62，=|a，十|a，A，Y-9-A =(,a2,ez3),3 阶矩阵B =(夕”尸2,夕3)小 网A +8 =（Zj+/3,o（2 +B?,%+,3）|A +邳=,%+/2。3+阂=E,%+用，%+夕31 +I 4%+%+闯/K Xk4 .第一类初等变换使值变号5 .如果一个行列式某 一 行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系,则行列式的值为0。6 .一 行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。A*/I 0 .7-n g=*/A 悯8 .范德蒙行列1 1 1a,a,a,1 1 =n（勺%）叱 个例5 .设4阶矩阵A =（a,八,与），8 =（夕”,3），已知|A|=2 ,|回=3 ,求|A +却。z+1yz+3a b c,x-1 -y例 6.,1 z x +3y-2 x+l 0AH=9 ,Al2=3 ,A”=1,A 4 =3-1 -y z+1Al=M 1=-z x +3 y =x +1 0 z+3-10-9 x-3+y +3 z+3 =0 9 3 z x 3 +3 y=0一 9 y+1 8 +3 x +3 +3 z+9 =0 9 x +y+3 z=0即 卜 x +3 y-3 z=1 23 x-9 y+3 z=-3 0五.元素有规律的行列式的计算例7.解:2aaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2aaaaa2a2aaaa a a1 a aa a a1 2 a2 a a=（4 a+2）1 a 2a 2 a1 a aa a 21 a a1 aa aa0 2 a0 000 02?000 00 2-a 00 00 02-aaa2aaaaa2（4 a+2）（2-a y例8.l +x1111l +x11111 +x11111 +x1 1例 9.A =2 +。21、2,求|A|=0的条件n n nn+a）-11-1 2 3 4 52 3 4 5 1例1 0.3 4 5 1 24 5 12 35 12 3 4六.克莱姆法则克莱姆法则：设线性方程组的系数矩阵A是阶矩阵（即方程个数帆=未知数个数”）,间R 0时，方程组唯一解，此解为色2 1 1 间画，孙飞、。是|山的第i列 用?代替后所得阶行列式：间=0时，解如何？即唯一解令声0?改进：同*0 =唯一解证明：（山夕）一（8卜）|A|*0Q|B|R0若 例=0,则6 0,匕，故唯一解。若唯一解，则（川厂）有“个非零行，且最下面的非零行不是（0,O l d）于 是 H 0,从 而 每%。0。-12-忸|=在 0/=!求解方法:C4 郎)即)就是解。对于齐次方程组|A|*0 =只有零解。问题：若齐次方程组的方程数?n,有无非零解？例如+a2x2 4-a1 3x3=02X+a 22*2+a23X3=0增加方程0=0-9 1例.-1 33 -93 0-3 1 23 -3 0 J (030-2 6-3 1 2-2 21 2 -9 0?1-0、(Tf 00 0 01 0 30 1 -1?x=0 f y=3,z =-lX +4 +/=+8 +C例.ax+hx2+cxy=a2+h2+c2bcx+acx2+ahx3=3ahc(1)有唯解的充要条件是什么(2)求解-1 3-第 三 讲 矩 阵矩阵的乘法1.定义与规律定义：设A 与6 是两个矩阵如果A 的列数等于8 的行数，则 A 可以乘3,乘积也是一个矩阵，记作当4 是矩阵，8 是n x s 矩阵时，A 8 是机x s 矩阵。A B的/)位元素是A 的第i行和6 的第/列对应元素乘积之和。Cg a 他 j+ai2b2j（ainnj遵循的规律线性性质（A1+A-,=4 B+A?B,A（6+）=AB1+AB,（c4）5=c（A 8）=A结合律（A 6）C=A（8C）(AB)?=8 5与数的乘法的不同之处无交换律无消去律当A 8=0 时4A=0 或 8=0由 AwO 和 A8=0/6=0由A w O时 AB=A C 4B=C（无左消去律）2.阶矩阵的方募与多项式任何两个阶矩阵A 与8 可乘，并且4 8 仍是”阶矩阵。行列式性质：AB=|A|B|A 是阶矩阵-1 4-2个Ak=&A=EAkA=Ak+l（A*）=A 但是（4?y=A4出不一定成立！设/（x）=akxk+ak_lxki+atx+a0，A是阶矩阵，规定f（A）=akAk+i?i 应用于方程组/、a2(c 3aa2+b2。2 2+/2 3=ha+h2a2a3 1 Ja32 J-15-4-a2X2+ainx=瓦2i X+Cl 22 X,+,+a2nXn：=h2+am2X2+a,“：=b”,记 A 是系数矩阵，A=（al,a2,-,an）,设 x=（x ,x”）？,+al2x2+一 +q“猫、则 A x=a2x+a22x2+a2nXQ+见2 1 2+.+am l,Xn,方程组的矩阵形式Ax=/3,（=（4也，也 y）方程组的向量形式xa+x2a2+F xnan=（3（2）设 A 8 =C,记 8=（A，2,，民），C =（八，厂2,G）则 r=Afli=1,2,s或 A 8 =（AA，A 2,A 民）/aa2,4仇2，,仇s/J i2Ia22.1,a2n，21“22，,b2 sC2I.4ia c am,4bn2.bns）于是八=4 尸,=第%+b2ia2+bnian即A8的第i个列向量是力的列向量组%,。2,a”的线性组合，组合系数是8的第i个列向量的各分量。类似地：A 8的第i个行向量是8的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。BTAT=CT-1 6-例I.%-7a22a34、1 01、323-5 1-101 11 0-y=(%+a2+%，-%,S%)-1 -2 -1 P=13 84 -1 1 1 1 .0 1 Y-71J-10 30 -吹2231 14、(-5 1 3-5 =-1 0 -19 J 1 9 9-5、91 3,(%,4,o000 0 0、22 0 00 1 .00 0%=(4 Z|,4 2 a 2，,，4。”)对角矩阵从右侧乘一矩阵A ,对角矩阵从左侧乘一矩阵A ,于是A E =A,EA=A即用对角线上的元素依次乘A的各列向量。即用对角线上的元素依次乘A的各行向量。A(kE)=kA,(kE)A=kA两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幕只须把每个对角线上元素作k次方暴。4.初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵作次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。共有3种初等矩阵(1)E(i,j)：交换E的第z,，两行或交换E的第i,j两列(1 00 0 =5,E(2,4)=0 00 1、0 00 0 0、0 1 01 0 00 0 00 0 1?(2)E(i(c)：用数C(H0)乘E的第i行或第，列-17-1 0 0 0 0、0 c 0 0 05，E(2(c)=0 0 10 00 0 0 10,0 0 0 0 L（3）E（i（c）：把 E的第，行的c 倍加到第i行上，或把E的第i列的c 倍加到第/列-。1 0 0 c 0、0 10 0 0 =5,E(l,4(c)=0 0 10 00 0 0 10 0 0 0 0 1,命题：初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换。(1,2,a3,a5)E(1,4(c)1 0 0 c 0、0 10 0 0=(at,a2,a3,a4,a5)0 0 10 00 0 0 10,0 0 0 0 1,=(al,a2,a3,cal+a4,)5.矩阵分解例 2.(0 5 考题)3 阶矩阵4 =(%,%),1/1 1=1C =(a,+a2+3,1 +2 a 2 +4 a3,ax+3 a2+9 a3),求I C I当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积。例 3.（0 5 考题）设 A是 3阶矩阵，是 3个 3 维列向量。Aa=a+%+%,Aa2=2%+%，A%=2%+3%求作矩阵5 ,使得=-18-6.乘法的分块法则般法则：在计算两个矩阵A 和 B 的乘积时，可以先把A 和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A 的纵向分割与6 的横向分割一致。1*?-32|方21%夕32 B33J出RDra1ten两种常用的情况(1)A,B 都分成4 块123其中A 的 列 数 和 的 行 数 相 等，A,2的列数和B2 j的行数相关。AB=A l 昂+A 2 2 1 A 112+.1 2 8 2 2A 2 1 A 1 +2 2 2 1 4 画 2+4 2%2A i0准对角矩阵0 4 2 2 ,0、0004辰)Mn0 0Xa0-0、4%0 0、04 200当2 1-0=0 2 2 2 2 0、00 AR7I 00AR%,例 4.(1,一 2,3),=Ta=o A=a3l,求 A6。对一个阶矩阵A,规定次(A)为 A 的对角线上元素之和称为A的迹数。于 是(a/3T)k=(/3Ta fXapT=tr(aj3r 1 a(3-19-例 5 .(0 3 )设 维 列 向 量 a =(a,0,0,a)，a 0 规 定 A =-a a1 7B =E a aT 已知 A B =E,求a。a例 6.(0 3)已知 a a，=-1 1 -1J-1 1求a aaTa -t r aaT)=3例 7.a=(l,0,-l)7,Aa aT,求u o r例 8.(9 9)设 A=0 2 0J 0 I求 2 A”T二.矩阵方程与可逆矩阵1.两类基本的矩阵方程A B =C若知道C和 A,8中的一个，求另一个，这是乘法的逆运算。两类基本矩阵方程(/)A x=B (H)x A =B都需求A是方阵，且|A|K0 0 1例 9.已知A=-1 1C 00、1 -11,B =2 0T,1 5 -3,求 x,使得 x=A x+B o7等式x=+8可恒等变形为(一 A)x =8-20-1 -1 0、E-A=1 0 -l,|E-A|=3 w 0J 0 2）如果B上有一列，记作/，则A x =夕是线性方程组。现在8有两列，则x也应有两列，设X =（X,）,则（E -A）x =（-A）X 1,（E -A）X2）r-n得 回4储=2 ,（E A）%2忸-A|w 0,它们都是唯一解，从而x唯一解。（I）的解法：（川6）（如）（II）的解法，先化为A，/=B2、3.1例1 0.求A,使得AI-5-325-52.可逆矩阵及其逆矩阵当 a H 0 时，a -对a/?=a c两边乘“T ,得6=A A-l=E邓闽=1。=8 *A *(但(A B)=*A 不 定成立！)q1例 12.A=1J1 1 11 -1 -1-1 1 -1求A”例13.(00)己知A*101、0010-300100、003,求矩阵6,使得人员4一|=氐4一|+3 E.3 0 0、例1 4.己 知A =2 1 03 1%1 0 0、8=0 0 0 ,x满足x 4+2 B =A B +2 x,求x”.、0 0 f例1 5.(0 5)三阶矩阵A满足A，=A*,并且=%2 =%3 =f 0,求f-26-例1 6.(0 5)设A是阶可逆矩阵，B是交换A的第1,2两行所得的矩阵，则(A)交换A*的 第1,2两行得5*。(B)交换A*的 第1,2两列得8*。(C)交换A*的 第1,2两行得一 8*。(D)交换A*的 第1,2两列得 8*。例1 7.(0 1)A是3阶矩阵，a是3维列向量，使得P=(a,A a,A?。)可逆，并且A3 a =3 A a-2 A2a =(1)求作矩阵6,使得A =(2)求|4+同例1 8.阶矩阵A满足A?+3 A 2 E =0(1)证明A可逆，并求4一1。(2)证明对任何有理数c,A-c E可逆。例1 9.设 是 两 个 阶 对 称 矩 阵，使得E +A8可逆，证明(E+A8)TA也是对称矩阵。例2 0.设n阶矩阵A和B满足等式A B =aA+bB,“b 7 0,证明:(1)A -b E和8-a E都可逆(2)A可逆0 8可逆(3)A B =BA小结：1 .乘法的定义，与数的乘法的区别2 .在特殊情形下怎么快捷地求乘积矩阵3 .矩阵分解的概念4.矩阵方程的初等变换法5 .可逆矩阵Ax=B,x=A B-27-第四讲向量组的线性关系和秩线性表示1 .7?可以用四,。2,，4线性表示，即可以表示为四,。2,，明 的线性组合，也就是存在C 1,，2,q使得c a +c 2 a 2 +csas=p记号：/?-a,a2,-,as例如 0-6,12,a、a,f a”。?，,aB-a,xta,+x2a2+xsas=有解Ax=有解，即万可用A的列向量组表示。2.夕，A，a/即每个4一 名,。2,，a,如果A8=C=(八/2，八)，A=(a，a?,a“),则八，,，G-%,%,%)如果用,四，力 一 四，。2,，见，则存在矩阵C，使得(仅1，Pi，B t)=(%,。2,a K例如 A =%+%+。3，A =2 2+a3 A =2 a2+3a3,则(1 0 0、(四,6 2,夕3)=(%，。2。3 1 1 2 2U 1 V线性表示关系有传递性，即当尸，夕2,，0-ax,a2,-,as-r,r2,-,rp,则夕 血,，夕-r,r2,-,rp 3.等价关系:如果%,%，4与 月，夕2,，以互相可表示-28-就称它们等价，记作火,。2,，岂夕1，夕2,，A。二.线性相关性1.定义与意义考察四,。2,，4的内在线性表示关系1、00%a27 0、1qi0、0L%线性相关：存在向量a,可用其它向量a”a.,线性表示。线性无关：每个向量%都不能用其它向量线性表示定义：如果存在不全为0的.,。2,J，使得q%+c 2a2 +-+csas=0,则称,a,线性相关,否则称4,。2,4线性无关。例如 C =0,则 clal=-c2a2-c5as,%=a2-。ci ci%,。2,4线性无关，即当+c*a,=0时必存G=3=c,=0。%,a 2,4线 性 相（无）关o x。+xva.=0有（无）非零解o（%.,）x =0有（无）非零解5 =1,即单个向量a,x a-0&相 关=a=0s=2,%,%相关o 对应分量成比例-29-i =(at,a2,a2=(2,2,)a a2 相关=ax:bx=a2:b2=:bn2.性质如果向量个数S二维数 ，则 线 性 相（无）关o 。=（w）oA=（%,，4），A x =0有非零解=同=0如果s n ,贝！I%,。?，&,一定相关。A x =Q的方程个数n 未知数个数5如果%,。2,，见 无关，则它的每一个部分组都无关。例如若,%，。3，%，a5无关，则%,。2，一定无关。如果%,a2,见 无关，而%，%，4,尸相关，则0%,。2,，见设G，,c，,c不全为0,使得C i/+匕4 +c =0则其中cwO,否则G，,q不 全 为。，?,+（,=0,与条件a”,无关矛盾。于是/?=a-o ts 0C C当P -a、.时，表示方式唯一o%a,无关，-30-（表示方式不唯j/&相关）若，力 一 6/,&，并且 s,则仅，以 一定线性相关。记 4=（4,8=（拓 血），则存在s x f矩阵C,使得B=AC.小=0 有5 个方程，个未知数，s%4,P 无关，则fW s。推论：若两个无关向量组必q 与 丹 戊 等价，则5=人例 1.（05）已知（2,1,1,1）,（2,1,a,a）,（3,2,1,a）,（4,3,2,1）线性相关，并且a#l,求 a。例 2.设,。2，。3，线性无关，而切口生 /线性相关。则（A）/线性相关。（B）外,22，%，。夕+7 线性无关。（C）线性相关。-31-(D)线性无关。三.极大无关组和秩1.定义%,。2,4的一个部分组(/)称为它的一个极大无关组，如果满足：i)(/)线性无关。i i)(/)再扩大就相关。(/)之 ，。2,。、()“,4 =(/)规定的秩/(%,%，4)=#(/)。如果%,火，,a,每个元素都是零向量，则规定其秩为0。0 /(,av)%a、.o 1 3 T（4 o （/）,/?相关。，C（S，*（a”,a j+l,今 ax,-,as/可 用 外,a,唯-表示a,）=s 回，力 一,4 07（%，,%，4，,）=/（%，,，4），力）/&，,&）a”,见三B i，、B i =7（%，,&）=7（%4,用 力）=7（如 机）向量组名,%，,4的秩的计算方法：（%,。2,a jg阶梯形矩阵87（%,a,）=8的非零行数。例 3.（95）已知7（%,?,&3）=/（%,。2，3,14，）=3，7（%,%，。3，。4，%）=4，求y%）例4.已知月一 四,%,%，%，有%，%，。3。证明：（1）aA-A a”的，%；%，%，%，/.-3 3-例 5.n+储设四=1 +%,%(=1 邛J +%0、=丸(1)/I为何值时,/可 用。,。2，。3唯一表示？（2）4为何值时，/?可用药,&2，。3表示，且表示方式不唯一？（3）几为何值时，/不可用,。2，。3表示？解：比较了（。”。2，。3）和7（。1，。2，。3，）1+4(%，。2 9|6)=1I1 1 01 +2 1 21 1 +2 2 1 1 +2-0-2、0-21A)2 22-2-22-2 2-22(1+2)?1 1 +2 1 A、-0-2 2 22-A =(6卜)、0 0 34 A3 24+几，（1）4。0,3时，唯一表示。1(2)2=0 时，(同7)=0、1 1 0、0 00,无穷多表示。0 0 0?1-2(3)(=3 时,0 3、0 01 -3、-3 12,不可表示。0 6求。，使得。,。2，。3 f。，夕2,尸3，但是仅 1，力2,夕3 f。1，。2，。3。-34-1、例 6.(0 0)%=2、一 3,，3、0 ,9、6,B =0、1血=2,/73已知 7（四,。2，。3）=/3,夕2,夕3）已-*%,。2，。3,求&力。3.有相同线性关系的向量组两个向量若有相同个数的向量：并且向量方程X ,%+无2a 2+44=0与无血/2+,民=0同解，则称它们有相同的线性关系。对应的部分组有一致的相关性。%,%，4的对应部分组。、氏,瓦，若%,%，。4相关，有不全为0的。1，。2，。4使得C1%+c 2a 2 +c、4%=0，即（。,，2,0,。4，一，0）是 占%+x2a2+xsas=0 的解，从而也是占4+%42+X.P,=0的解，则有C B+c#i+。血=0，夕”，夕3也相关。极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。如 a3=3a l +2a 2 -%=&=3+2.一 A 设：A =（al,a2,-,as）,8=，鱼，氏），则+x2a2+xsas=0 即 A x =0,x/i+x2/?2+xsps=0 即 5x =0&与 外 夕2,，民 有相同的线性关系即Ax =0与3x =0同解。反之，当Ax =0与8x =0同解时，A和6的列向量组有相同的线性关系。-35-，1、3、1、，2、-130-21例7.设%=2，02 1%=7，C C =2，a5=51 4 J。、2（1）求r（%,a 2，a 3，a 4，a 5），找出一个极大无关组，并把其它向量用此极大无关组线性表示。（2）判断下列部分组中哪几个是极大无关组 即 ，%,。4，%四.矩阵的秩1.定义A是机x n矩阵定理.：矩阵A的行向量组的秩二列向量组的秩。规定r（A）=行（列）向量组的秩。1 0 3 1 2、-1 3 0-2 1A=12 17 2 5、4 2 1 4 0 1 0?行 1 0 3 0 2、0 110 1二C0 0 0 10、0 0 0 0 0,A的行秩=C的行秩IIA的列秩=C的列秩r（A）的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r（A）。命题：r（A）=A的非零子式阶数的最大值。A =/*3C *1C 蚣 7公1 中F 不、*3C *5C *-h-*-2.矩阵的秩的简单性质-3 6-0 r（A）min?,”r（A）=0 A=0A行满秩：r（A）=mA列满秩：r（A）=n阶矩阵A满秩：NA）=nA满秩0A的 行（列）向量组线性无关|A|0o A可逆0 Ax=0只有零解，Ax=唯一解3.矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩乂A，）=尸（4）cwO 时，r（cA）-r（A）r（A B）Wr（A）+r（B）r（AB）minr（A）,r（5）A B =C=（勺,，G）H；（%,4）A可逆时，r（AB）=r（B）B 可逆时，r（AB）=r（A）r（AB）r（A）+r（5）例8.设4是机x矩阵，证明:y（A）=1 o 存在非零向量a使得A=0（仗。例9.A是阶矩阵y（A*）=l,0,若 =，若 y（A）=-1 ,若y（A）-1.A.24 J1 a aa 1 a例10.阶矩阵4=a a 1a aaaa,/（/!）=zi-1,求。a b b、例 11.A=b a bh a）y（A）+7（A*）=3,求a,b满足的条件。-38-%b-3、4-1例1 2.3阶矩阵A=2 0 2，B =-1（3 2 一1）、0a 1、1 0 ,y（4 6）y（A）,y（B）,求2 ba力和 y(A8)。例1 3.设%,a2,a?无关，则()也线性无关。(A)a(+a2,a2+ay,z3-a,(B)a+a2,a2+ai,ax+2 a2+a3(C)ax+la2,2 a2+3a3,3a3+a,o(D)(Z|+a、+t z3,2a l 3a,+22a 3,3%+5a,-5%)例1 5.(0 4)A,8是两个非零矩阵，4 5=0,则(A)A的列向量组线性相关，6的行向量组线性相关。(B)A的列向量组线性相关，8的列向量组线性相关。(C)A的行向量组线性相关，6的行向量组线性相关。(D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。例1 6.证明:维向量组四,a*的秩为 o 任何维向量都可用药,4，4线性表示。例 1 7.证明a,4)+7的,力).例 1 8.证明/(A+8)4 y(A)+y(8).-39-第五讲线性方程组-方程组的表达形式%内+%22+演=济1 .Q）X +a22X2 H-F a2nXn =b?“，内+a,n2x2 +a，”，x“=bm2.Ax-f3是解=卜 =B3.xya+x2a2 4-1-xnan-/3有解o A f二.解的性质1.A r =0的解的性质。如果”2,，7是一组解，则它们的任意线性组合g 殖+。22+C,7 e -定也是解。V?=0=A（C|7+。22+*/）=02.Ax=/?（/?中 0）如果果2,，或 是A x=尸的一组解,则C|。+C2J 2+0/也是 A x=的解。C +。2+、=1喈 +c2g2+c总 是 A r =0 的解o c+c2+-+ce=0AL V iA（c居+。2彳2 *c C）=G+c 2 A$-I=（G+C 2 +，,）当2是A x=的两个解时,.Y是A x=0的解如果备是A x=P的解，则维向量J也是A x=/的解=4一4是A x =0的解。-40-三.解的情况判别Ax=（3,B P x.a,+x2a2+xnan=p有解=%,。2,，心=了（四,7（A）唯一解 o /（AI ）=7（A）=n无穷多解=/（4 ）=7（A）方程个数 加：y（A I 0）m,y（A）m当y（A）=，时，y（A I/?）=/w,有解当机 时，/（A）n,不会是唯一解对于齐次线性方程组Ax=0,只有零解=7（A）=（即A 列满秩）（有非零解0 7（4）推 论 1 如果A 列满秩，则A 有左消去律，即 4 B=0 n 8 =0 4B=A C=8=C证:记8=（4，色，夕J,则AB=缶 几 ,A夕）A8=0 即对每个i =0,即 才 是 Ax=0 的解。心=0 只有零解，故0=0。4（8-。）=0,6-0 =0。推论2如果A 列满秩，则y（A 8）=7（8）证：下面证A5x=0 与8x=0 同解。是 48x=0 的解=AB=0 Br/=0 是=0 的解-41-a x 1+x2+x3=1例 1.(0 1)己知l,$+3 =1 有无穷多解，求。X +/+J =-2例 2.A 是mx及矩阵，8是“x?矩阵，贝 i j 4 B r=0(A)加时仅有零解(B)机时必有非零解(C)机时仅有零解(D)加 “时必有非零解四.基础解系和通解1.Ax =0 有非零解时的基础解系记 J 是 Ax =0的全部解的集合。称J的极大无关组为A x =0的基础解系。7，%，%是 At =0的基础解系的条件：每个7 都是Ax =0的解 7,2,“线性无关 Ax =0的每个解-7，2,，7定理：/(1/)=-7(A)/(1)+/(4)=阶梯形矩阵8y(A)=8的非零行数&=0有/(4)个方程(除去J O nO),因此有“一/(4)个自由未知量。于是7,是Ax =0的基础解系的条件可换为I-n-/(A)例 3.(92)当4=一时，(0,1,-1),和(1,0,2)构 成/=0的基础解系。-42-(A)(-2,1,1)(B)2 0-10 1 1(C)(02(0 11 -T(D)1 0 21 L例4.尸 的一个基础解系为2X2+x4=0(A)(0,-l,0,2)r(B)(0,1,0,2)7,，;Q i)(C)(1,0-l,0)r,(-2,0,2,0)r(D)(0,-1,0,2)T,(l,0-l,0)r例5.a =(lM 2 y,/MF构成1d二 的 基 础 解 系求 a ,b ,s ,t证明：当AB=0时，/（A）+/（B）n.证：记B=（4，民）48=0=每 个 月 都 是4=0的解/=/仍,火 应）”（1）=-7/（A）+/（B）n2.通解如果7,%，”是 =0的一个基础解系，则 引=0的通解为CJ7l+。2 2 +4”，Cj 任意如果备是Ax=（/7。0）的一个解，7,2 ，”是41 =0的基础解系，则Ax=的通解为4 0+C1 7+。2 2 +cer fe,c；任意-43-3 X +2X2-2X3+x4=0例 6.求 6X +4X2+5X3+2X4+3X5=0 的通解9X1 +6X2+3X4+2X5-0解：用初等行变换把系数矩阵化为简单阶梯形矩阵 3 2-2 1A=6 4 5 2、9 6 0 3 2J I。0-2 1 0 3 0 10 0 0,2-91-301-3oOO1O2-3oO0 (3 23 0 0行确定自由未知量 2，匕，/，写出同解方程组1 2/+斗+产+苫5-对自由未知量赋值，求出基础解系写出通解为G 7+c2rll+c3r)3，C 任意例7.求 为+与 一X4 =0的通解例8.(96)方程组Ar=4的增广矩阵-44-1（A|）=:J1-23 01-64-12P7-1-1-6-1t讨论p,f的取值与解的情况的关系，有无穷多解时求通解。关于求通解的一组例题例9.（0 4）已知（1,1,1,1），是方程组%1 +%尤2 +工3 +%4 =0，221 )是Ax =0的基础解系(1、通解为:-11+c1 )22 _11 )1 c任意。(2)2 2 1 -0 B,j 通解中%2 =1 3，c2，X3 =1 +。1 3 C c2=1 +q4 C1 +c 2+2 =0于是当取Q =T q-2时，x2-x3,满足=%3的通解为(4 c,+2)_ P-2-10c任意c任意。-46-1c 2/1-1 *0时，通解中工2=c-1,X3 =1 x2=xy c=2-1、0此时只有一个解：例 1 0.(0 2)设Av =夕的系数矩阵A =(%,。2，%，%)，其 中%,4,。4 线性无关，a-2 a2-a3,P -ctx+2+(z3+a4,求通解。0、再 一工 2 +二 -1，例 1 1.已知刍=1，4 2 -2 都是方程组 3 匹+4%3 -1，的解,求通解e1 2,ax+b x2+CX3 =a例 1 2.(0 5)设A 是3 阶矩阵，第一个行向量为(a,A,c),它不为零向量。1 2 3、B=2 4 6,已知A B =O,求 Ax =0的通解。、3 6 k.关于两个方程组的关系的组例题例 1 3.(I)和(II)是两个4元齐次方程组。(I)：X 1 +冗 2 =0,x3-x4=0.(I I)有基础解系7求(I)与(I D 的全部公共解-4 7-例 14.两个4 元齐次方程组(I),(I I)分别有基础解系 loj求(I)与(I I)的公共解。例 1 5.(0 5)齐次方程组(I)的特征向量，求a力和。的特征值几。例3.都是3阶矩阵A的特征向量，特征值依次为1,2,122-22、121A，4-42、2-2-1 2 J1 6-36 Jf 122 122、1 0 07302-24-42行-2-1 2-6-3 6)00100 0123532-3A、27730、0_ 2-3532327-49-当，是的特征值时，常常说是属于X 的特征向量。特征值有限特征向量无穷多若=A（C7）=cArf-cAf-A（cr/）7 1 1 n A（G 7+Q2）=G A 7+C2A%=几（。17+。2 2）每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。计算时先求特征值，后求特征向量。2.计算A 阶矩阵，求 A 的特征向量与特征值A?=沏,”0 （花-A）7=0,7 00是（/1 后4 卜=0 的非零解命题：丸是 A 的特征值o p lE 川=0是属于丸的特征向量。是A）x=0 的非零解称多项式|xE-A|为 A 的特征多项式。九是A 的特征值o%是 A 的特征多项式xE-A的根。4 的重数：丸作为|x E-川 的根的重数。阶矩阵A 的特征值有个：2 2,几,，可能其中有的不是实数，有的是多重的。计算步骤：求出特征多项式|xE 川。求|x E-A|的根，得特征值。对每个特征值/L,.,求,E-A）x=0 的非零解，得属于/1 的特征向量。复杂，困难，不作一般的要求.两种特殊情形：（1）A 是 上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。-5 0-3,*、A=Q 2 2*、0 0 4X-A 1 一*一*xE A|-0 x A,2 一 *（x A X一 丸 2）（x 之 3 ）0 0 X-23（2）r（A）=l时：A的特征值为0,0,0（A）3.特征值的性质命题：阶矩阵A的特征值4的重数N-r(/L E-A)命题：设A的特征值为44 2,则X 九2几”=|山（）A +A 2+,+fr（A）x-aua2 _ f l3l一%la2x-a22一%2一%2一/3a2 3X_?3a4 3ai4a2 4a3 4x-aM（无一2,X*一 丸 2）（