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考研数学三公式汇总高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：和差角公式：sin(a/?)=sin a cos 0 cos a sin/?cos(a )=cos a cos sin a sin/?,c、tan a tan/?tan(3)=(a/?)(a2 ab+b2),l2+22+/=帅 +1)(2九 +1)65+“3=迎1 2 142、极限A 常用极限：=0;a l,lim加=1 ;lim%=1n krr,n H 苟,Cx)-0,g(x)f o o,贝 lj l i ml/(x)产x)=e l,g M 史/)女士 两个重要极限lim Sn X=1,lim SDX=0;lim(l+)J=e=lim(l+x)rX T。X XTOO X X T 8 X A-0A常用等价无穷小：1 -cos x x2;x sinx arcsinx arctan x;y/-x-1 x;2n优一 l xln；e x+l;(l+x)1 +ox;ln(l+x)x3、连续：定义：lim Ay=0;lim f(x)=/(x0)Ax-0 X T X Q极限存在=lim/(x)=lim f(x)或/(%)=/(x；)X T坛 A-AJ第二章导数与微分1、基本导数公式：/（后）=!呵 今=!皿 （lim（-（，）右 一 Ax AX x xQ导数存在=（%）=f（K）C=0;(xa)f=ax(,l(sinx)=cos x;(cos x)r=sin x;(tan x =sec2 x;(cotx)=-esc2 x;(sec x)r=sec x-tan x;(esc x)f=-esc x-ctgx axy=ax In a;(exy=ex(log x)r=-;(Inlxl)=;(arcsin x)f=,;(arccosx)=,;xlna x V l-x2 V l-x2(arctan x)=-;(arc cot x=-;(slu)r=hx(chx)=shx;1 +r 1 +xQ/vc)，=;(ars/vcY=,;archxS-,;arthx)=ch2x V 177 4 x 1 I2、高阶导数：(炉)“)=(产=O严=!；严=In a=(e*)=e%J-l f n!,1 (n)=(T)！.1 (l)=疝)n+1，I )/TJ+1，I )/i+lx x x+a(x+a)a-x (a-x)(s i n A x)(/I)=kn-s i n(A x +n-);(c o s A x)(/0 =k -co s(k x+l n(a +x)产=(l)i n l n(x)产=d)(f =(a+x)x x令牛顿-莱布尼兹公式：(“)=*)*)k=0=/%+/”+迎 a“g)M，+匕 +M V()2!依3、微分：A y =/(x+A x)-/(x)=Jy+o(A x)；d y=f xn)x =f(x)d x;连续n 极限存在=收敛n 有界；可微=可导=左导=右导n 连续;不连续n不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理拉格朗日中值定理：/S）-/=f（+（b a）,4（a,b）柯 西 中 值 定 理:舞 黑=倦,火 缶 当F（x）=,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。2、泰勒公式:/(x)=/(/)+/(%)(x-/)+，!：，)(x-x0)2+,一 5%)(x-%)+R.(x)2!n o(x-x0)n)余项：用(X)=f向)(9/(n+l)(xo+0(x-xo)”六(/,de(0,1)-7T7X xo)-；-77-x xo)弧微分公式：/=Ji+y2d x=y（/）2 d/=平均曲率次=|詈卜A a:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；A s:M”弧长）M点的曲率：K=l i m改=.=*=%）入-（吗 x加 d s 7（1+/2）3（/）+/（疥直线的曲率：K =0;半径为R的圆的曲率：K=-.R曲线在点”处的 曲 率 半 径:1：IFK y 第四章不定积分1、常用不定积分公式：j f(x)dx=F(x)+C;(J f(x)dx)r=/(x);j Ff(x)dx=F(x)+Cj xpdx -+C(R w-1);dx=In x+C;f axdx=+C;exdx-ex+C;J na Jsin xdx=-cos x+C;J cos xdx=sin x+C;tan xdx=-In|cosx|+C;jcotxdx=ln|sin x|+C;j sec xdx=In|sec x+tan x|+C;jcscxtZr=ln|cscx-cotx|+C=In tan +C=-ln|cscx+cotx|+C;sec2 xdx=f 妆=tanx+C;fesc2 xdx=-c o t C;JJ cos2 x J J sin2xj shxdx-chx+C;j chxcbc=shx+C;dx.一-=arcsin x+C=arccos C;1-x2.x-=arcsin-+C;ar ax c ax i-7=arctan x-i-C=-arccotx+C;：-r=arctan+C;J 1 +%J Q+x adx 1 T x-a -7 7=l n7 +c；dx 1 i a+x-77寸 二+c/x=ln(x+JX2 /)+C;slx2a2J/x2 a2dx=x2 a2+ln(x+Jx2 a2)+C;j da?一 dx-3 a1-x2H-a-arcsi.n x +C-2 a2、常用凑微分公式:半=2 4&=-J();-=d(n x);x x x-=j(Vi 7 7)；(i-3d(x+3Vl +X2 厂 X-d-x；=a,(Z1I n ta n x)、;c o s x s i n x3、有特殊技巧的积分(1)-=1 f d xJ a s i n x +b c o s x (a2 s i n(x+0)(2)n 入 +c 0sI 公=Ax +Bl n as in x +bc o sx +CJ as in x +b c o s x-：-d x )(x )2+(/2)2x第五章定积分1、基本概念 7(力 影=盛 力/)广丑尸3)-产(a)=F(琳,(F (x)=x)连续二 可积;有界+有限个间断点n可积；可积n有界；连续n原函数存在(幻=7 4 n(x)=f(x)JaV 1/力=力9(x)(x)-/(x)(x)d x N sj f (Qd x =f (p(t)d(t)d t,j (x)dv(x)=w(x)v(x)j n(x)d“(x)2、常用定积分公式：J(x)d x=J：(x)+f(-x)d x；/(x)为偶函数J：/(x)公=2 1/(x)&/(x)为奇函数J：/(x)公=0卫 军 乃 n n/(s in x)d x=r/(co s x)d x；x f(s in x)d x=2/(s in x)d x=万1；/(s in x)d xTpa+T f T r pTJ f(.x)d x =f(x)d x=J f(x)d x；f x d x =f(x)d xWallis 公兀1 3rI=f-2 s innx d x=r-2 co sn x d x =n-1-I2 2 4n2=2，4Jo Jo n 2 4.3 5无穷限积分：广+QO r b f(x)d x =l im I /(x)公=尸什/)-2)；J a b +o o Jip b f x d x -l im f(x)d x =F(-co)-F(a);J-o o a -o o JaE-,r b f bf(x)d x=l im /(尤)dr+l im f(x)d x=F(+o o)-F(-o o)b T+8 J a a -a)J a瑕积分：hf(x)cl x =F(/?)-l im F(t),f(x)d x =l im f f(x)d x =l im F(r)-F(a);J a t-b J i-brb fc fbf f(x)d x =f(x)d x+f(x)d xJ aJ aJcft+o o p|1f f 心,p l收敛,p W l发散；f=d r,0 p=1/2（阴+，（仍总结求极限方法：1、极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8利用微分中值定理；9、洛必达法则；1 0、麦克劳林公式展开；求导法：1、导数的定义（求极限）；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性第七章多元函数微分法及其应用一、定义：圣C Z A-=蚂山七八=2/（X，%）=工（，%）=y=.d x Fy2 F(x,y,z)=0 =z=f(x,y)且3z 二 F x d z=%&Fd y F:四、曲线的切线和法平面X=(p(t)1、曲 线 方 程L：y=3Q),切 线：与 型=与 把=与 至，法 平 面：八小。伉)伉)。伉)Z=CD(t)”(外。一 工0)+“o)(y-%)+o 0)(Z Z(j)=02、曲 线 方 程L:y=N),切 线：口1 三 二(,法 平 面：z=z(x)1 y(x()z(%0)(x-面)+y(%)(y-%)+z(x()(z-z0)=03、曲线方程心:2)二 ,切向量T=FX,FV,F.x G,G、.,G j ,切线:G(x,y,z)=Q I ，%。1 2 *5，不)_ (k nV )_ (2 o Z工(万，工，石)尸(胚，F ,胫),2、曲面方程：z=/(x,y),切 平 面 z-ZoF,G%Fx FyG,G.G.G、“Gx G、四、曲面的切平面和法线1、曲面方程：尸(x,y,z)=O,法 向 量：=、尸，/*/,切 平面：/;.(x0,y0,z0)(x-)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+F,(x0,y0,z0)(z-z0)=0，法 线：梯度：gr ad)。=/,%第八章：重积分一、二重积分：JJ/(X，y)d o-=JJ f(x,y)d x d y=1 公 J；：f(x,y)d y=办 ：f(x,y)d xDDJJ f(P co s 9,p s in f f)p d p d。=，4 8，：)f(p co s a 夕 s in 6)p d pD 0 纳(6)二、重积分的应用：1、体积：V =JJJ d x d yd z=j j z2(x,y)-(x,y)d x d yQ%2、曲面E：z=x,y)面积：2=JJ Jl+于鼠x,y)+于y)dr dy3、质量：M=JJ夕(x,y)db或 =，J(x,y,z)d vD o.第九章无穷级数一、常数项级数”=11、常用级数：等比级数/几何级数:n=Q收个冰1发|夕|2 1 绝对收敛条件收敛核5数:g 7V:1 心fdV。1 交 错 磔 数0c官 川 力1闿P1O P 0基本定理：收敛o 部分和有上届5“1,发散n=1,失效3、交错级数:S(-i y”(“N 0)n=U .U莱布尼茨审敛法:,.，+，.n 级数收敛，5Mk|,收 敛 而 陇 散，发散n-=!zi=l=14、任意项级数：利用定义：部分和有极限limS,=(邛 巴 8,发散 利用收敛的必要条件：l i m%=0n发散；“f 00 利用正项级数(比值/根植)审敛法：P=lim （p =lim 板）一 8 1 J n-00 Y%1,绝对值发散n 发散=1,失效二、幕级数：a”(x x()n=Q11/p,0 p H=0,p =co“Too a”Teo Y 0 0,p =02、常用等式：s0Y/=二（国 =二（卜|1）,E（-i）nxn=n=Q士坪1)V -=-ln(l-%)(-1X1),y(-l)n-=ln(l+x)(-1X1)“=i n =i nS(+D x =S 6 77=(H 1)n=0 n=U -x)产 一 i 工 1 1t x2n+l!x2-=-ln2+l 占2-1 21+x1-X（H i）8 2n+lar ctan x=V(-l)w-(|x|u(x,y)=J P(x,y)d x +c(y)A AQ(x,y)=卢 n c,(y)=Q-P(x,y)d x =夕(y)dx dyJ =u(x,y)=J P(x,y)d x +J *(y)d y二、可化为基本类型的一阶微分方程:(1)齐次方程:电=/(马 或?=/(纶 四)，令 =2dx x dx a2x+b2y x(2)准 齐 次 方 程 +4)+。)dx a2x+b2y+c2什 a右4 =a.bib2w 0,令 vx-X+hy=Y+k(,女 由 =/()，再 令 一dX a,X+b,Y X若=a2=0,虫=(|X+4)+C|=fax+b y.-u=alx+biy0b2 dx+G?ax/(a x+A y+c)令 u ax+by+C o(4)伯努利方程：?+P(x)y =w 0,1),令 z =n 华+(1 a)P(x)z =(1 -c)Q(x)dx dy P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(其中 2)=曰=一 沪?dx y)(6)关于弟勺线性方程/伯努利方程：d x n x+尸(y)x =Q(y)；+P(y)x=Q(y)x ,令2=xl-aay ay(7)P(x,y)d x+Qx,y d y=0(其中PVH。*)求积分因子方法：1、分项组合法：常用全微分公式；2、公式法：方程有形如(x)的积分因子。-(Pv-Qv)=例外n (x)=c eQ(2)方程有形如(y)的积分因子o：(-Q1)=少(y)=“(y)=ce(3)齐次方程的积分因子(x,y)=-x P+y Q三、可降阶的高阶微分方程:(1)02=/(%)连续积分n次；d r，(2)/=f(x,y),令 了 =p,则 y =p =p =f(x,p)(3)y =f(y,y),令y =p，则y =p=p半=/(y,p)d y d y四、二阶常系数齐次线性微分方程y +0 =0 0特征方程：产+0,rt 通解:y=Cerx+C2ev =/-4 q=0,/j =2=通解：y =(G+C2x)erxA =p1-4 通解：y=(C,co s/3x+C2 si n/3x 四、二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy f(x)通解y(x)=齐次通解F(尤)+非齐次特解y*(x)%不是特 征 根 =0、/(x)=eAxPm(x)=特解形式y*=/Q,(x)/x 2是特征单根k =“是特征 重 根k =2,(2)f x)=f(x)=eX x Z (x)co sco x+Pn(x)s in co x A kt?AT n(l)z、n/、./入+而不是特征根 k =0n 特解形式y =x e -A R(m)(x)co s(y x +R,f(x)si n co x .HL 4 +1偎特征根 k =l线性代数公式汇总1、行列式1 .行列式共有/个元素，展开后有”!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：、&和%的大小无关；、某 行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;、某 行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为同；3.代数余子式和余子式的关系：%=（-1产&产%4 .设 行列式O：“（“一|）将。上、下翻转或左右翻转，所得行列式为a，则=（-1）。；n（n-l）将 顺时针或逆时针旋转9 0,所得行列式为2，则N=（T）下。；将。主对角线翻转后（转置），所得行列式为r，则。3=。；将。主副角线翻转后，所得行列式为2,则2=。；5 .行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n（n-l）、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-l）k;、上、下三角行列式：主对角元素的乘积；、和|/|：副对角元素的乘积x（-l）F-.、拉普拉斯展开式：=|A|忸|、（-1尸 阂叫、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于”阶行列式阳，恒有：W E-A|=2 +f（-l）S1-3其中s.为左阶主子式;A=l7 .证明|4|=0的方法：、|A|=-|A|；、反证法；、构造齐次方程组A r=0,证明其有非零解；、利用秩，证明r（A）”；、证明0是其特征值；2、矩阵8 .A是阶可逆矩阵：=4艮0(是非奇异矩阵)；r(A)=n(是满秩矩阵)=A的行(列)向量组线性无关；。齐次方程组A r=O有非零解；=V Z e R,A r =b 总有唯一解；=4与E等价；。A可表示成若干个初等矩阵的乘积；=A的特征值全不为0;o 47是正定矩阵；=4的行(列)向量组是代的一组基;O A是曰中某两组基的过渡矩阵；9.对于阶矩阵A :AA=AA=AE无条件恒成立；1 0.(A l)*=(A*r，(A )r=(Arr (A*)r=(A7)*(AB)T=BrAr(A 5)=5 A (AB)-=B A 1 1 .矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;1 2 .关于分块矩阵的重要结论，其中均A、5可逆：A、若4=&，则：、%I、|A|=|A|A|；I I、A;，；、份费印用；(主对角分块)、(二2;口o)(副对角分块)、份犷窗。巧；(拉普拉斯)、m/(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个/nx”矩阵A,总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：X/mxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B,若r(A)=r(5)o A B;14.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必须为1;、每行首个非0 元素所在列的其他元素必须为0；15.初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)、若(A,E)(E,X),则 4 可逆，且 X=/T；、对 矩 阵(4 5)做 初 等 行 变 化，当 A变 为 E 时，8 就 变 成 A2,即：(A,5);(E,A B;、求解线形方程组：对于“个未知数”个方程=)，如果(A M(E,x),则A可 逆,且 x=A ；16.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；4、A=右 ,左乘矩阵A,4 乘 4 的各行元素；右乘，4.乘A的各列元素；、对 调 两 行 或 两 列，符号,且 E(i,力=E(i ,例 如：、倍 乘 某 行 或 某 列，符 号E(i(A),且(i(k1)=E li(,例 如:(p、L(A 工 0)；、倍 加 某 行 或 某 列，符 号E(扒 ),且E)t =E(-初，如:111 -k、11 ,-0)；1 7.矩阵秩的基本性质：、0 4 r(4“)Wmi n(,);、r(A，)=r(A);、若 A B,则 r(A)=r(5);、若尸、。可逆，则/(4)=r(P A)=r(A )=r(P 4 Q);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(ff);(X)、r(A+B)r(A)+r(B);(X)、r(A B)mi n(r(A),r(B);()、如果A是/r a x 矩阵，B是“x s矩阵，月.4 5 =0,则：(X)I、8的列向量全部是齐次方程组AX =0解(转置运算后的结论)；I I、r(A)+r(B)n、若A、B均为”阶方阵,则r(A 3)2 r(A)+r(5)_”;1 8.三种特殊矩阵的方幕：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)x行矩阵(向量)的形式，再采用结合律；1 a c、型 如0 1 分的矩阵：利用二项展开式；、0 0 1,二 项 展 开 式：(a+b)=Ca+Cna b+cy-bm+C,ab-+C,b=c：a L ;m=()注：I、(a +b)”展开后有+1项；J JCm =(-z +l)=！二 C二12 3 m m(n ni)i n、组合的性质：C：=CL=C：+C：I 为C；=2 rC；=HC；：,1;r=0、利用特征值和相似对角化:19.伴随矩阵:、伴随矩阵的秩：r（A，）=r(4)=nr(A)=n-r(A)w-1、伴随矩阵的特征值：回（AX=2X,A*=|HATnA*X=X）;A,A,、A-=|A|A-=|A 2 0.关于A 矩阵秩的描述：、r（A）=，A中有阶子式不为0,”+1阶子式全部为0;（两句话）、r（A）n,A中有 阶子式不全为0;2 1.线性方程组：Ax=b,其中4 为w i x 矩阵，则：、山与方程的个数相同，即方程组心=）有”，个方程；、”与方程组得未知数个数相同，方程组心=）为元方程；2 2 .线性方程组心=6的求解：、对增广矩阵8 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；2 3 .由“个未知数盟个方程的方程组构成“元线性方程：、,allX+al2x2+生内+a,x,+a2nXn=b2am+am2x2+瓦b.Ax=b（向量方程，A为 i x 矩阵，2 个方程，个未知数）、(q a2=B（全部按列分块，其中 =6bz、ayx+a2x2+a“x,、=。（线性表出）、有解的充要条件：r（A）=r（A,V （为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性2 4 .m个n维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组 A :名,%,%,构 成 nx/n矩阵A=（ana2,。加）；，个维行向量所组成的向量组8:,区，.以 构 成 矩 阵8=因；区）含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25.、向量组的线性相关、无 关。心=0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 o -=b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示。心=5是否有解；（矩阵方程）26.矩 阵 与 凡”行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ar=O和&:=0同解;（例14）27.r（A 7）=r（A）;（4|例 15）28.”维向量线性相关的几何意义：、a线性相关 o a =0;、a/线性相关=a/坐标成比例或共线（平行）；、a，B，y线性相关o a、B，y共面；29.线性相关与无关的两套定理：若囚功，%线性相关,则一 ,6,/必线性相关;若a,a,线性无关，则即心,a-必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上”-r个分量，构成”维向量组5:若A线性无关，则8也线性无关；反之若5线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.向量组A（个数为r）能由向量组8（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s（二版当 定理7）;向量组A能由向量组B线性表示，则/（4）4 8）;（区定理3）向量组A能由向量组8线性表示O 4V =8有解；O r（A）=r（A,B）（%定理 2）向量组A能由向量组B等价o r（A）=r（5）=r（A,B）（及 定理2推论）31.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵耳,舄，使A=46P,；、矩阵行等价：=3 （左乘，P可逆）o A r =0与段=（）同解、矩阵列等价：A B o A Q =B（右乘，。可逆）；、矩阵等价：A PAQ=B（P、0可逆）;32.对 于 矩 阵 与 纥 小、若A与3行等价，则A与8的行秩相等；、若A与5行等价，则-=0与放=0同解，且A与8的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；33.若 4“%,=J,，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，8为系数矩阵；、C的行向量组能由5的行向量组线性表示，屋 为系数矩阵；（转置）34.齐次方程组防=0的解一定是4段=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABx=Q 只有零解=Br=0只有零解；、B x=Q有非零解=皿=0一定存在非零解；35.设向量组纥.r：4也，也可由向量组凡“冯,町,线 性 表 示 为:（珞0题”结论）Si也，也）=（,%,a）K（B=AK）其中K为s x r,且4线性无关，则8组线性无关o r（K）=r;（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r=r（B）=r（AK）r（K）,r（K）%.0,|0;（必要条件）概率论与数理统计公式汇总第1章 随机事件及其概率1排列组合pn =!c“=加！(m )!n)!2关系运算A(BC)=(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)DC=(AC)U(BC)A U 8=A n B,A A B=A U B3 几何概型*(1)S 是直线上的某个线段，长度 为 1(S),A 是 S 的一个子集，则落在A 中的概率为：P(A)=7(A)/7(S)(2)S 是平面上的某个区域，面积为u(S),则落在A 中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)o(3)S 是空间上的某个立体，体积为M S),则落在A 中的概率为：P(A)=r(A)/v(S)。甲 乙 两 人 相 约 在7点到8点 之 间 在 某 地 会 面，先 到 者 等 候 另 一 人20分 钟，过 时 就 离 开.如 果 每 个 人 可 在 指 定 的 任 一 小 时 内 任 意 时 刻 到 达，试 计算 二 人 能 够 会 面 的 概 率。S =(x,y)|0MxV 60,0MyM60 A=(x,y)|(x,y)wM2。解：根据题意，这是一个几何概型问题，于是 尸*=/竺八2二/.八2 u，心)6O2 94 加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)5 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BuA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=C 时，P(与)=1-P(B)6 条件概率事件B 在事件A 发生条件下发生的条件概率为尸(8/A)=生较。P(A)7 乘法公式PAB)=P(A)P(8/A)P(ABC)=PA)PB/A)尸(C/曲P(曲 08 独立性两个事件的独立性设事件A、8 满足P(A8)=P(A)P(8),则称事件A、B 是相互独立的。p(6=3=P(A)P(5)=p(B)若事件A、B 相互独立，且 P(A)=，则有 P(A)尸若事件A、B 相互独立，则可得到彳与8、A 与后、.与耳也都相互独立。必然事件Q 和不可能事件0 与任何事件都相互独立.0 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C 相互独立。对于n 个事件类似。9 伯努利概型概率P(A)=p,发P(7)=1-PF，用 2 伏)表示重伯努利试验中A 出现女(“)次的概率，P(k)=C/kA k=0,1,2,9 o.1 6 设某人从一副扑克中(5 2 张)任取1 3 张，设A 为少有一张红桃”，8 为“恰有2 张红桃”，烈“恰有5张方块”，求条件概率P(8|4),P(B|C)解 P(A)=1-P(无)=1-景=氾 P(AB)=i燹C52 C52 C52P(用 A)=C：户(AB)G 4P(A)物出生后活到20岁的概率为.7,活到25岁的概率为0.5 6,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设 4表示事件“活到20岁以上”，8表示事件“活到25岁以上”，显 然 4 u A526P(BC)=13 26变 13 j 3c26_ J 52=J 3 c26x5 x-8J 3 39。39J-J-Jr J-J尸(C)=咎。52P(A)=0.7 P(B)=0.5 6 尸(A B)=尸(B)=0.5 6So=答尸 邢)=需=鬻=。8第二章随机变量及其分布1离散型随机变量0 0 pk=1P(X=X k)=pk,k=l,2,(1)P*N 0,(2)人=12连续型随机变量概率密度*=Lf(x)d x p(a x(b)=F(b)-F(a)=f(x)d x 幻-;(2)FM=f(x)JaI*+00f(x)d x=一0O3分布函数F(x)=P(X x)P(a X b)=F(b)-F(a)1 0 F(x)1,O OX-K X D；2、单调不减性：若 H A2,贝3 F(-o o)=li m F(x)=0,F(+o o)=li m F(x)=1；X T-0 0 X T+0 04 右连续性：li m F(x)=F(x0)F(x +0)=F(x)一对于离散型随机变量，F(X)=ZP；对于连续型随机变量，R(X)=FJ 尸(X 1)Ja bX 0,左=0,1,2,k 泊松分布为二项分布的极限分布(n p=X ,n-*o o)c超几何分布C t 女=0,1,2,/p(X =k)=J一 比，/=m i n(M,n)随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H (n,N,M)。几何分布P（X =k）=q i p,k =T23,其中p m 0,q=l-p P 次试验，前 冒 1 次失败，第 1 次成功）随机变量X 服从参数为p的几何分布，记为G（p）.均匀分布X U(a,b)：1/(x)=b-a0,aWxWb其他,F（x）=j：f（x）d x=当aWxKxzWb时，X落在区间（玉xbo修）内的概率为p（匹 X /）=今二上h-a指数分布正态分布/(X)=0 x0积分公式：J xne xd x=n!oX M内o 2);Mo,1)：X G（-OO,+OO）尸（x）=f -e 2 b?dtJ-8 J 2 7 r bG越大，曲线越平坦，。越小，曲线越陡峭）y=MO,1)弓(x)=P(XWx)=(亨 卜P51)1 -尸八 12Xe 2,-oo x +oo.0(%)=o(r)(x)=PXx=0 0%+0 0(%)+(一为=1产 区 X C、）=P1三 亨4岁）=中（亨）（岁）.l x-JP(|X-M b)=pJ 1=2-1 =0.6826I b)P(|X-“2cr)=H 2 k 20(2)-1=0.9544X落在以为中心，3。为半径的区间（-3o;+3o）内 的 概 率 相 当 大（0.9973）,落在（-35 +3o）以外的概率可以忽略不计P(|X “3cr)=3)=2(3)1 =0.9974函数分布离散型连续型心(、)二*3ayKOO=P(Yy)=P(g(X)y)=J f(x)dxgWy第三章二维随机变量及其分布联入分布离散型P (X,y)=(七，匕)=P ija,j =1,2,)%为Y3PX=xi)(1)如 Q O (i,j=l,2,)；E E Pu=L，./XiP uP12P13X2p21P22P23X3P31P32P 33PUyJ)1连续型x yF(x,y)=j J/(，v)dudv0000二维随机变量的本质 J(X=x.Y=y)=(X=x丫 =y)F(xPXxJyFx(x)=P(X x)=P(X x,Y +o o)=F(x,-t-o o)/(y)=P(Y y)=P(X +o o,Y y)=F(-l-o o,y)联合分布函数称为二维随机向量（X,Y）的分布函数，或称为随机变量X和 Y 的联合分布函数。(1)0 F(x,y)l;(2)F (x,y)分别对x 和 y 是 减的(3)F (x,y)分别对 x 和 y 是右连续的，BP F(x9 y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y +0);(4)F(-o o,-o o)=F(-o o,y)=F(x,-o o)=0,F(+o o,+o o)=1.（5）对于王 ，、1%，尸（2，2）一厂（2，y）一厂（七，为）+尸（项，必）2离散型与连续型的关系 P(X=x,Y=y)P(x X x+dx,y Y y+dy)f(x9 y)dxdy(x,y)eD边缘离散型P P(X=x j=工%(仃=1,2,);P,j=P(Y=：J勺)=Z Pij。,j =12)。分布连续型fx(%)=/a 丁 ；力 =Lyd x条件分离散型P(y=y IX=项)=P(x =X,.1 yPi.=无)=一,P-j布连续型/(x|y)=今兴；=/r(y)A W独一般型F(X,Y)=Fx(x)F*y)立性离散型Pij=P i.P.j有零不独立连续型f(X.y)=f x(x)f Y(y)充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布120(x-iXy-2)Jy-2 V于(X,y)、=1 -e2(l-p2)(C T j)I r2 J2 g l 6 yjl-p-,P=o随机变量的函数若Xl,X2,XgX“，X n相互独立，h,g为连续函数，则:h(Xi,X2,-X.)和 g(Vi,-X)相互独立。特例：若X与Y独立，贝！|：h(X)和g(Y)独立。例如：若X与Y独立，贝!|：3X+1和5Y-2独立。1维均匀分布/(x,y)=其中SD为区域D的面积，称(X,Y)服从D上的均匀分布，记 为(X,Y)U (D)o0,其他若(X,Y)服从矩形区域a号分别为W b,c W y W d上的均匀分布，则(X,Y)的两个边缘分布仍为均匀分布，且1.f x baaxb1cxd14(x)=d-c0 其它0 其它维正态分布二维正态分布，(X,Y)N(必,2/(x，y)=1-2(l-p2)(2叼/q22 m x 可以推出X-N但若x N(从 口 江 丫 M/吠)，(x,Y)未必是二维正态分布。函数分布Z=X+Y400Fz(z)=P(Z z)=P(X+Y z)=JJ f (x,ydxdy,对于连续型，fz(z)=J/(x,z-x)d xS(x,y)z-8两个独立的正态分布的和仍为正态分布(4 +2，。；)。卷积公式：400fz(z)=f(x,z-x)d x z e(-x)00-F O O心(z)=J f z-y,y d y z e(一丸田)ooJ 翻 就 当x,y相互独立时，)+00-KO/z(z)=j f(x,z-x)d x=fx(x)-f y(z-x)d x00 0040c 40 或 段(Z)=J f (Z-y,y)d y =fx(z-y)-fY(y)d y00 so其中，fxM,衣。)为(x,y)关于x和丫的边缘密度。上式也称为0,2叱)0,w 0.:为n的/分 布，记为W 2，其中 )=丁尸小、反L变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。设 匕/(,)，kZ=Z L 7 2(/+/+,+%)i=lt分布设x,Y是两个相互独立的随机变量，且XN(O,I),Y%2()，(5/2 A-X 2(t 2可以证明函数 T -=的概率密度为/)=7-4 1 +(-8 /1)=我们称随行(ir),丫 /(，12 JX /nl2),且X与Y独立，可以证明尸=7厂 的 概 率 密 度 函 数 为旦 丫 丁 尸 1 +生 力 ,y 0 10,y 0一个自由度为m,第二个自由度为nz的F分布，记 为Ff(m,n2).rL变量F版3.从第第四章随机变量的数字特征一维随机变量的数字4寺征离散型连续型期望(平均值)k=-K JO(X)=J v(x)d x-00E(X+Y)=E(X)+E(Y)；E(XY)=E(X)E(Y),充 分 条 件:X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。函数的期望Y=g(X)E(y)=f g(9)P kA=1+00Y=g(x)E(y)=J g(x)/(x)d x oo方差，标准差a(X)=4 D(X),D(X)=Z K-(X)Pk4D(X)=J X-E(X)2/U M-X-oo(1)D(C)=O；D(aX)=a2D(X)；D(aX+b)=a2D(X)；D(X)=E(X2)-E2(X)(2)D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)D(XY)=D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。矩k阶原点矩v k=E (Xk)=工x：P ik阶中心矩*=E(X -E(X)=Z(X j E(X)y P j ,k=l,2,ik 阶原点矩 v k=E (Xk)=f xk f(x)d x,J-00k阶中心矩&=E(X -E(X)y=(x -E(X)k f(x)J x,k=l,2,.J 00切比雪夫不等式2E (X)=u,D (X)=o2:)2)n-2二维随机变量的数字4 寺征期望E(X)=Z X,P,.E(Y)=Z 匕 P-Ji=lj=+00 400E(X)=Jx fx(x)d x E(Y)=J yfY(y)d y 00 00函数