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第二十六章 反比例函数第一节 反比例函数的图像和性质一、课标导航课标内容课标要求目标层次反比例函数的图像及性质了解反比例函数的意义，能画出反比例函数的图像，理解反比例函数的性质能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能用反比例函数的知识解决有关问题 二 核心纲领1.反比例函数定义：一般地，形如y =K a为常数，原0）的函数称为反比例函数，其中X是自变量,Xy是函数.注：自变量x在分母上，指数为1.比例系数厚0.自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y，0.反比例函数的其他形式：衍k（原0）或尸丘（原0）.图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线旷=4（原0）X 性 质（如下表所示）反比例函数ky=(k#)XL的符号k0kX0性质图像分布的象限第一、三象限第二、四象限y随x变化的趋势在每个象限内，y随x的增大而减在每个象限内，y随x的增大而注：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.小（y随x的减小而增大）增 大（y随x的减小而减小）=七a为常数，原0）中 自 变 量/o,函数值归o,所以双曲线不经过原点，两个分支X逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性中心对称：对称中心是原点.轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=一x.5.数学思想v 2点A与C,点5与。分别关于原点对称，所以四边形A6CD为平行四边形，从而S四 边 形ABCD=4SMOB:$=S 2；S四边形尸的值为定值；当M为AP的中点，则N必为P8的中点；B x当M为AP的n等分点时，则N必为PB的等分点.数形结合；分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练)1.如果y是，的反比例函数，皿是x的正比例函数，那么y是 的（A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数2.若反比例函数 =（2，-1）”2-2的图像在第二、四象限，则 用 的 值 是（）A.-1或1 B.小于L的任意实数 C,-12D.不能确定3.如图2 6-1-1所示，矩形A B C D的对角线B D经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴,.2 +2.+1点。在反比例函数=-的图像上.若点A的坐标为（-2,2）则Z的 值 为（）xA.1 B.-3 C.4 D.1 或-3m 4.若函数y =为反比例函数，则机=.xm5.三个反比例函数y”以，为的图像的一部分如图2 6-1-2所示，则由，比，角的大小关系为图 2 6-1-2xk-26 .反比例函数y =的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法:常数上的取值范围是1 2；另一个分支在第三象限；在函数图像上取点A (a,b)和点8(2，左)，当。|。2 时，则历他时，则 历；函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形.一元二次方程x2(2 k I)x+R 1=0 无实数根.其 中 正 确 的 是 (在横线上填出正确的序号)7 .已知)=+丫2，而 y i 与 x+1 成反比例，”与 成正比例，并 且 时，产2；A=0时，y=2.求 y与尤的函数关系式.k8 .如图2 6-1-3 所示，定义：若双曲线y =-(k 0)与它的其中一条对称轴)=x 相交于A、8两点，则线段AB的长度为双曲线=A(k 0)的对径.求双曲线y =-的对径;若双曲线y =V(k 0)的对径为10a,求大的值;k仿照上述定义，定义双曲线y =(k 0)的对径.图 2 6-1-3能力提升9.已知二次函数产 加+bx+c的图像如图2 6-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=3在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）X1 0.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）1 1.根据图2 6-1-5 （a）所示的程序，得到了 y与x的函数图像如图2 6-1-5 （b）,过点用作2P Q x轴交图像于点P、Q,连接O P、。.则以下结论：x 0时，y随x的增大而增大：MG2PM；/POQ可以等于9 0。.其中正确的结论是（）A.B.C.D.I输 入 非 城(b图 2 6-1-51 2.正比例函数严加依#0）和反比例函数y =勺 伏2对）的一个交点为（1,-2）,则另一个交X点为.（2）直线y=a x与双曲线y=交于A ,必）、B（乙,%）两点，则例 为 一 3 x2y 1二x1 3.如图2 6-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点。，且正方形的一组对边与x轴平行，点P （3 a,心是反比例函数y =A 0）的图像上与正方形的一个交点，若图中X阴影部分的面积等于9,则 这 个 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为.1 4 .如图2 6-1-7所示，点A、B是函数y=x与 的 图 像 的 两 个 交 点，作AC/x轴于C,x作BD2x轴于D,则四边形ABCD的面积为.1 5 .如图2 6-1-8所示，己知双曲线y =K（&0）经过直角三角形。AB斜 边。8的中点。X与直角边AB相交于点C,若AOBC的面积为6,则10/0）的图像上.若点R是该反比例函数图像上异于点8的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N,从矩形OMRN的面积中减去其与正方形0ABe重合部分的面积，记剩余部分的面积为S,则当5=机（机为常数，且 0（加 4）时，反比例函数解析式为点 R 的坐标是（用含加的代数式表示）.1 7.如图2 6-1-1 0所示，在平行四边形AOBC中，对角线交与点E,双曲线丁 =人(%0)经x过A、E两点,若平行四边形AO8C的面积为/8,则仁.图 26-1-91 8 .如图2 6-1-1 1所示，Z A O B为等边三角形，点B的坐标为(-2,0),过点C (-2,0)作直线1交AO于D,交AB于E,点E在某反比例函数图像上，当4ADE和 D C O的面积相等时，那 么 该 反 比 例 函 数 解 析 式 为.1 9 .(1)两个反比例函数y =、y =9在 第 一 象 限 内 的 图 像 如 图2 6-1-1 2所 示，点X XPP,、P、.鸟o i 3在 反 比 例 函 数y =9的 图 像 上，它 们 的 横 坐 标 分 别 是XX、X 2、X 3、x2()1 3,纵坐标分别是1、3、5、共2 0/3个连续奇数，过点分别作)，轴 的 平 行 线 与 的 图 像 交 点 依 次 是。|(西，M)、。2(%2，%)、。3卜，打).。2 0 1 3(1 2 0 1 3 2 0 1 3)贝”2 0 1 3=-Q(2)如图2 6-1-1 3所示，在函数y =-(x 0)的图像上有点4、P,、P、Pll+I,x点6的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点、舄、鸟.P“、E用分别作X轴、)，轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为号、S?、S3.S ,则S|,S.(用 含n的代数式表示)图 26-1-112 0.(1)如图2 6-1-1 4 (a)所示，一个正方形的一个顶点在函数y =0)的图像上，x则点耳的坐标是(，).如图2 6-1-1 4 (b)所示，若有两个正方形的顶点打、P,都在函数y =(x 0)的图像上,x则点 的坐标是(，一).(2)如 图2 6-1-1 4 (c)所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数y =t(x 0)的图像上，斜边。4 4都在X轴上，X求点的坐标；求点尸2的坐标.4 F x(3)如图2 6-1-1 4 (d)所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数y =*(x0)的图像X上，点A、a在x轴上，直接写出点八 的坐标.(a)(1)图 26-1-14()(11)2 1.(1)探究：如图2 6-1-1 5 (a)所示，已知4 4 8 C和 的 面 积 相 等，试判断AB与C。的位置关系，并说明理由.(2)应用：如图2 6-1-1 5 (b)所示，点M、N在反比例函数了 =幺 后 0)图像上，过点xM作ME工)，轴，过点N作N F工x轴，垂足分别为E、F,试证明：MNEF.若中其它条件不变，只改变点M、N的位置，如 图2 6-1-1 5 (c)所示，请判断M N 与E尸是否平行，直接写出结论。(3)拓展：如图2 6-1-1 5 (d)所示，点M、N在反比例函数y =2(%0)的图像上，过点M作ME/y轴，过点N作NFJx轴，垂足分别是E、F,交反比例函数y =(葭 0)X的图像于点G、H,与GH是否平行？并说明理由.图 26-1-15 一（电 考 张 搔-1 2 2.（1）（2 0 1 2 荆 门）已知：多项式x 2-k x+l 是一个完全平方式，则反比例函数y=上 工的解X析 式 为（）A.y=A B.y=-C.y=1 或 y=-D.y=2 或 y=-X X XX X X2（2）.（2 0 1 2 佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数y=W _ 卫3图象的两个分支分别在X（）A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限2 3 .（2 0 1 3 江西南昌）如图2 6-1-1 6所示，直线y=x+a -2与双曲线y=W 交于A、B两点，则x当线段AB的长度取最小值时，a 的 值 为（）A.0 B.1 C.2 D.52 4 .（2 0 1 3 北京）如图2 6-1-1 7所示，在平面直角坐标系x o y 中，已知直线/：t=双曲线y =1。在/上取点A i，过点A i 作 X 轴的垂线交双曲线于点B i，过 点 日 作 y轴x的垂线交/于点A 2,请继续操作并探究：过点A 2 作X 轴的垂线交双曲线于点B 2,过点B 2 作 y轴的垂线交/于点A 3，这样依次得到/上的点A”A A3,An,.记点A n的横坐标为明,若。1=2,则。2=，。2 0 1 3=：若要将上述操作无限次地进行下去，则生不熊里的值是图 2 6-1-1 6图 2 6-1-1 7.-(M Qf t-12 5 .如图2 6-1-18所示，点P是反比例函数丁 =与 卜 0)的图像上，顶点B 1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形鸟4鸟,顶点尸3在反比例函数y=2f(x 0)的图像上，顶点A?在工轴的正半轴上，则点R的坐标x为.图 26-1-19第二节 反比例函数的综合应用一、课标导航课标内容课标要求目标层次反比例函数的综合运用应用反比例函数的知识解决问题 二、核心纲要1.反比例函数与实际问题2.反比例函数与一次函数的综合3.反比例函数与二次函数的综合4.反比例函数与几何的综合本节重点讲解：反比例函数的综合应用三、全能突破1.如图2 6-2-1所示，反比例函数 =一的图像与一次函数y=kx+b的图像交于点/W、N,X已知点M的坐标为（1,3）,点N的纵坐标为-1,根据图像信息可得关于x的方程=%X+匕的X解 为（）A.-3,1 B.-3,3 C.-1,1 D.3,-122.如 图262-2所示，函 数 必=x l和 函 数 为=一的图像相交于点乂(2,m),N(-1,Xn),若力 力，则x的取值范围是（A.xl 或 0 x2C.-lx0 或 0 x2B.x 2D.或x23.给出下列命题及函数y =x,片*2和 =的图像，如图2 6-2-3 所示.X如果一那么。/。，那么-14,，那么a la如果那么a-X解：设 y i =x,y 2=则在同一直角坐标系中画出这两个函数的草图.如图2 6-2-4 （o）x所示.联立两个函数的解析式得:必=X1%=一X解得4 x-l 或 彳x=y=1 1y=-1，两个图像的交点为（1,1）和（-1,-1）.由图（q）可知，当-l x l 时,1X 一X（1）上 述 解 题 过 程 用 的 数 学 思 想 方 法 是.（2）根据上述解题过程，试猜想 _ 1.（图 2 6 一 2-4 （b）为备用图）X图 26-2-41k5.如 图 2 6-2-5 所示，正比例函数y=尤的图像与反比例函数y=(A 工0)在第一象限2x的图像交于A 点，过点A作 X轴的垂线，垂 足 为 已 知 OA/M的面积为1.(1)求反比例函数的解析式.(2)如果B 为反比例函数在第一象限图像上的点(点B与点A 不重合)，且B点的横坐标 为 1,在x 轴上求一点P,使P A+P B最小；在y轴上求一点Q,使Q A-Q B最大.图 26-2-5一一46.如 图 2 6.2 6 所示，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=(X 0)的图像与一次X函数y=-x+b的图像的一个交点为A(4,m).(1)求一次函数的解析式.(2)设一次函数y=-x+b的图像与y 轴交于点8,P 为一次函数y=-x+b的图像上一点，若 OBP的面积为5,求点P 的坐标.(3)在 x 轴上是否存在点P,使AOP为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，说明理由.k7.直线y=-x-2 与反比例函数y=的图像交于A、8 两点，且 x、y 轴交于C、。两点，xA点的坐 标 为(-3,k+4).(1)求反比例函数的解析式.(2)把直线AB绕点M(-1,-1)顺时针旋转到M N,使直线/WN_Lx轴，且与反比例函数的图像交于点M求 旋 转 角 大 小 及 线 段 的 长.8.据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据 学校卫生工作条例，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x （分钟）之间的关系如图2 6-2-7所 示（即图中线段0 A和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题:（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？(W W B 9.(1)若一次函数y=k x+l的图像绕点(0,1)旋转一定角度得到的图像与反比例函数1 gy=一的x图像没有公共点，则实数k的取值范围是.m I(2)如果一次函数y=mx+n(m#0)与反比例函数y=-的图像相交于点(一，2)x2那么该直 线 与 双 曲 线 的 另 一 个 交 点 为.k10.如图26-2-8所示，A(-1,6)是双曲线y=-(x 0)上的一点，P为y轴正半轴上一X点，将A点 绕P点 逆 时 针 旋 转90,恰好落在双曲线上的另一点B,则P点的坐标为.11.如图2 6-2-9所示，已知一次函数)=(加+2)1H和函数y=人的图像交于4 B两x点，过点A作A E L x轴于点E,若AOE的面积为2,P是坐标平面上的点，且以点8、。、E、P为图 2 6-2-8图 2 6-2-91 2 .在平面直角坐标系x O y 中，已知反比例函数y =(人7 0)满足：当x 0)的图像与 A 8 C 有 公 共 点，则k的取值范围X是._V 31 4 .如图2 6-2-1 1 所示，M 为双曲线 =上的一点，过点M 作 x 轴、y 轴的垂线，分X别交直线丫=-乂+0 1 于点D、C两点，若直线y =-X+/W 与 y 轴交于点A,与 x 轴相交于点8,贝 lj AD BC的值为图 2 6-2-1 0图 2 6-2-1 11 5.探究与应用：己知点P 的坐标为（m,0）,在 x 轴上存在点Q（不与P 点重合），以 PQ为边作正方形2P Q M N,使点M 落在反比例函数）=一一的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论Xm 取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M 在第四象限，另一个正方形的顶点M i在第二象限.2（1）如图2 6-2-1 2 所示，若反比例函数解析式为旷=-一，P 点坐标为（1,0）,图中x已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形P Q i M i N i.（2）请你通过改变P点坐标，对直线Mr M的解析式y=k x+b进行探究可得k=,若点P的坐标为（m,0）时，则匕=.（3）依 据（2）的规律，如果点P 的坐标为（6,0）,请你直接写出点M i和点M 的坐标.图 26-2-121 6.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种 三等分锐角 的方法(如图2 6-2-1 3 所 示)：将给定的锐角Z AO B置于直角坐标系中，边。B在 x轴上、边。A与函数y 的图象交于点P,以 P为圆X心、以2 0 P 为半径作弧交图象于点R 分别过点P和 R作 x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M,连接。M 得到/M 0B,则要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：3(1)设 P (a,-),R(b,-),求直线0 M对应的函数表达式(用含a,b的代数a b式 表 示)；(2)分别过点P和 R作 y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线0M 上，并据此证明Z A O B；317.已知反比例函数y=K 的图像经过A (-JL 1).x(1)试确定此反比例函数的解析式.(2)点。是坐标原点，将线段0 A 绕。顺时针旋转3 0 得到线段。B,判断点8是否在此反比例函数的图像上，并说明理由.(3)已知点P(m,J 5/+6)也在此反比例函数的图像上(其中m 0,k 为常数)的图像经过抛物线的顶点D.X(1)求抛物线和反比例函数的解析式.(2)在线段DC上任取一点E,过点E 作 x 轴平行线,交 y 轴于点F,交双曲线于点G,连接 OF、D G、F C、G C.若 的 面 积 为 4,求点G 的坐标;当D F=G C时，求直线DG的函数解析式.19.(2013 安徽)如 图26-2-15(a)所示矩形ABCD中，BC=z,CD=y,y与x满足反比例函数关系式如图26-2-15(b)所示，等腰直角三角形AF的斜边EF过C点，M 为 E F的中点，则下列结论正确的是().A.当 x=3 时，E CQf：.a+b2 4ab,只有当。二 b时;等号成立.结论：在 a+bN 2 (a,b均为正实数)中，若 a b 为定值p,则 a+b 2 2 j 万，只有当a=b时，o+b 有最小值2折.根据上述内容，回答下列问题：若 m 0,只 有 当m=时，m+,有最小值;探索应用:(1)过原点。的直线/与反比例函数y =，的图像交于P、Q 两点，则线段P Q 长度的最小值为；若点A为反比例函数 在第一象限的图像上的一动点，过点A分别作A 8_ Lx轴，A U L y 轴，垂足分别为8、C.则四边形。8A C 周长的最小值为.12(2)如图 2 6 -2 -1 6 所示，已知 A (-3,0),B(0,-4),点 P 为双曲线 y =(X 0)上的任意一点，过 点 P作 P C L x 轴于点C,P D J _ y 轴 于 D.求四边形A B C D 面积的最小值，并说明此时四边形A B C D 的形状.、.图 2 6 -2 -1 6k2 2.在平面直角坐标系xO y中，A,8两点在函数Q：y=(x0)的图像上，其中k i O.ACl.yX轴于点C,BD_Lx轴于点D,且AC=1.(1)若h=2,则A。的长为,80D的面积为.(2)如图26-2-17(a)所示，若点B的横坐标为幻，且h 1,当AO=AB时，求心的值.k(3)如图 26-2-17(b)所示，0C=4,BE_Ly 轴于点 E,函数 Cz：=(x 0)的X图像分别与线段8E,BD交于点M,N,其中0 k 2 =b d a c,、K U UH a c a b（3）更比性质：一=一=b d c d/、人 u a c a+b c +d（4）合比性质：一=-=-b d b d,、八 r UH a c a-b c-d（5）分比性质：一=-=-b d b d/、4 A M i UH a c m 八 .八、a+c-m a(6)等比性质：一二 二 =(b+d-FWO)=-=b d n b+d T-vn b2.比例线段的相关概念(1)两条线段的比：两条线段的长度的比叫做这两条线段的比.(2)成比例线段：在四条线段、b、C、d 中，如果线段4与人的比等于C 与 d 的比，那么这四条线段。、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段，记作：4=或a:h=c:d.b d注：线段的单位要统一.(3)比例中项：在线段4、b、C中，若巴=2,则称6是“、C的比例中项.b c(4)黄金分割点：在线段A5上，点。把线段A5分成两条线段AC和 3 c(AOBC),若,即 A C 2 =AB-BC,则称线段A8 被 点 C黄金分割，点 C叫 做 线 段 的 黄AB AC金分割点，AC与 AB的比叫做黄金比.其中AC=苴二!AB a 0.618AB.2注：线段的黄金分割点有两个.3.相似图形：形状相同的图形叫相似图形.4.相似三角形（1）相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读 作“相似于”.（3）相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比.（4）相似三角形的性质相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.（5）平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如下图所示：lA/l2/l3.nlAB DE AB DE BC EF则=，=，=.BC EF AC DF AC DF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（6）相似三角形的判定定理预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两个角对应相等，两个三角形相似.判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.（7）直角三角形相似判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似.如下图所示，在 R S A B C 中，Z BCA=9 0 ,C O是斜边A B 上的高，则有如下结论：A A C D s ACBD=2=空,即=CD BDA r AHACD s AABC=,即AB ACA DBRDABCs xCBD=，B P BC2=BD AB.AB BC5.位似（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.两个位似图形的位似中心只有一个.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.位似比等于相似比.（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）.6.常见的基本相似图形（如下图所示）（1）“A”字型、反“A”字 型（斜“A”字型）；（2）“8”字型、反“8”字 型（蝴蝶型）.本节重点讲解：两个性质（相似三角形和位似的性质），两个定义，两类图形，五个定理.三、全能突破a+b 5B.2 a =3bC.1 .已知a:Z?=2:3,那么下列等式中成立的是(A.3a=2bb 2a b 1D.-=-b 32 .如图 2 7-1-1 所 示,在 AABC 中,DEWBC,。尸 I I AC,则下列比利时一定成立的是()AE DEA.-EC BCAE CFB.-AC BC八 AD BFC.-AB BCDE DFD.-BC AC3 .(1)如图2 7-1-2 所示,P是RtLABC的斜边A B上异于A、B的一点，过P点作直线截A4 BC,使截得的三角形与A A B C 相似，满足这样条件的直线共有()条.A.1B.2C.3D.4(2)如图2 7-1-3 所示，在正方形网格上有6个三角形 ABC,BCD,BO E,BEG,尸GH,A E F K,其中中与三角形相似的是（）A.B.C.D.4 .如图2 7-1-4 所示，将A A B C 的三边分别扩大一倍得到 A 4G(顶点均在格点上)，若它们是以P点为位似中心的位似图形，则 P点的坐标是()A.(4,3)B.(一3,3)C.(4,4)D.(3,4)b c a+2c-2b5 .(1)己 知 一=一=一，则-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 4 5 a+c b(2)若3a =-h-=-c=4，则攵=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.b+c a+c a+b6 .如 果 线 段 A B =4cm，点P是 线 段A B的 黄 金 分 割 点，那 么 较 长 的 线 段BP=7 .为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计图2 7 T-5 所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E 在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6?，标杆为3.1 相，且 B C=L ，C D=5 m,请你根据所给出的数据求树IJ ED.8.如图2 7-1-6所示，要在高A O=8,底边3 c=1 2的三角形中截出一个矩形P Q M M P N=y,NM=x.(1)写出y与x之间的函数关系式.(2)当x为何值时，四边形P Q M N的面积S最大.图 2 7-1-6+X“if19 .(1)已知菱形ABC。的边长是8,点E在直线A O上，若 E=3,连接B E与对角线4c相交于点M,则 吐M C的 值 是A M(2)在 A B C中,A B=6,A C=9,点D在边A B所在的直线上，且A O=2,过点D作DE/BC交边A C所在直线于点E,则C E的长为.1 0.如图2 7-1-7所示，直角三角形纸片4 8 c中，N A C B=9 0,A C=8,B C=6.折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与A 8、B C的交点分别为。、E.(1)O E的长为；(2)将折叠后的图形沿直线A E剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于.1 1.如图2 7 T-8所示，在 A B C中，。为4 8的中点，E为AC上一点，且一=2.BE、E CC D相交于点凡 则 好 的值为E F1 2.将三角形纸片4 8 c按图2 7 T-9所示的方式折叠，使点B落在边A C上，记为点B ,折痕为E F.已知A B=A C=3,B C=4,若以点8、F、C为顶点的三角形与A B C相似，那么B F的长度是图 27-1-71 3.（1）如图2 7-1-1 0所示，点 A、A 2、A,、在射线OA上，点、B 、生、鸟、为 在射 线O B上，且/A52/人员，/人 当/4 冬，若a A 2 g B 2、A3B2B3的面积分别为1 和 4,则图中阴影三角形的面积之和为.（2）如图2 7 T-1 1 所示,+1 个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设为0 G的面积为S,鸟。2G的面积为S?,，BII+iDCn的面积为S”,则S2=S,=（用含的式子表示）.1 4.如图2 7-1-1 2 所示，在正方形A B C。中，AB=1,E、F分别是B C、C。边上的点，（1）若CE=LCB,CF=LCD,则图中阴影部分的面积是2 2（2）若CE=LCB,CF=C Q,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是（用含的式子n n表示，是正整数）.1 5 .如图2 7-1-1 3所示，A Z）是 R rZ A B C 中乙4 的平分线，ZC=9 0,4 0 的垂直平分线交A。于点E,交 AC于点M,延长EM与 BC的延长线交于一点N.求证：（1）A A M E s /NDE.（2）N D =N C NB.图 27-1-131 6.如图2 7-1-1 4所示，四边形4 B E G、G E F H、H F C O 都是边长为“的正方形.求证：（1）AEFS/XCEA.（2）/A 尸 B+/A C B=45 .H17.如图2 7 T T 5 所示，正方形A8C。的边长为a,B M、CW分别平分正方形的两个外角，且满足NMAN=45,连接用C、N C、MN.(1)填空：与aA B M 相 似 的 三 角 形 是,B M -DN=(用含a的代数式 表 示).(2)求/M C N 的度数.图 27-1-1518.如图27-1-16所示，正方形48C。和正方形AEFG有公共顶点A,点 Oi、0?分别为两个正方形的对称中心，连接E、0Q”它们交于点“，求的度数和2 R 的值.D E图 27 1 1619.已知，在棱形A8CD中，8。为对角线，P、。两点分别在A8、BO上，且满足NPCQ=ZABD.(1)如图 27TT7(a)所示，当NBAO=90 时，求证：应 D Q +P B =CD.(2)如图27TT7(b)所示，当/5 4。=120时;求、回 口(2+PB的值.C D图 27-1-17,20.（2013 浙江宁波）如图27-1-18所示，等腰顶点A、C 在 x 轴上，/BCA=90,A C=B C=2V2,反比例函数y=?（x 0）的图像分别与AB、B C 交于点、D、E,连x接 Q E,当B O EsB C A 时，点 E 的坐标为.21.（2013 山东荷泽改编）如图2 7 T T 9 所示，在4 8 C 中，BC=6,E、尸分别是A3、AC的中点，点尸在射线E F上，B P 交 C E 于点D,点。在 CE上且BQ平分N C 8 P,设 BP等于x,P E=y,当 C Q=1 C E 时，y 与 x 之间的函数式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；当 C Q=C E（2n为不小于2 的常数）时，y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 是.22.（2012 湖北武汉）己知，在ABC中，A B =2旧,AC=46，B C =6.（1）如图27T-20（4）所示，点 M 为 AB的中点，在线段4 c 上取点N,使AMN与aABC相似，求线段MN的长.（2）如图27T-20（6）所示，是 由 100个边长为1 的小正方形组成的10X10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请你在所给的网格中画出格点 A g G 与4BC全 等（画出一个即可，不需证明）；试直接写出所给的网格中与AABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一 个（不需证明）.B(b)图 27-1-20I赢*爱 城-;2 3.如图2 7-1-2 1 所示，已知在D 4 B C。中，M、N为 AB的三等分点，DM,D N 分别交AC于 P、Q 两 点,则 A P：PQ-.QC=.图 2 7-1-2 12 4.在AABC中，/A C B=9 0 ,经过点B的直线/(/不与直线AB重合)与直线8c 的夹角等于N A B C,分别过点C、点 A作直线/的垂线，垂足分别为点。、点(1)若N A B C=45 ,C D=1(如图 2 7 T-2 2 所示)，则 A E 的长为.(2)写出线段A E、C Z)之间的数量关系，并加以证明.C F 5(3)若直线C E、A B交于点F,=一，CD=4,求 BO的长.E F 6第二节相似三角形的综合应用一 课标导航课标内容课标要求目标层次相似三角形的综合应用利用相似三角形的知识解决问题 二、核心纲要常见的相似模型如下:(1)母子型(2)双垂型(3)三垂直型(4)一线三等角型(5)旋转型(6)经典型本节重点讲解：模型的应用，相似三角形与其他知识的综合.三、全能突破基础演练1.如图2 72 1 所示，正方形A B C D的边长为4,M.N分别是B C、C D 上的两个动点，且始终保持当B/W=时，四边形A B C N 的面积最大.图 27-2-12.如图2722所示，在等边4BC中，P为 B C 上一点,D为A C 上一点,且N4PO=60。,2BP=1,C D=-,则ABC的周长为.3图 27-2-23.如图 2723 所示，在ZViBC 中，AB=AC=5,BC=8,D,E 分另U为 8C、AB 边上一点,Z AD E Z C.(1)求证：BD E sCAD.(2)若CD=2,求8E的长.(3)设8=x,A E=y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.图 27-2-34.如图2724所示，C是以AB为直径的。上一点，过点。作。E_LAC于点E,过点A作。的切线交0 E的延长线于点F,连接CF并延长交B A的延长线于点P.(1)求证：PC是。的切线.(2)若 AB=4,AP :P C=1:2,求 CF 的长.图 27-2-15.如图2725所示，AB为。的直径，8c且。于点8,AC交。于点D,E为8 c中点.求证：(1)DE为。的切线.(2)延长ED交8A的延长线于F,若。F=4,A F=2,求BC的长.图 27-2-5能力提升6.如图 2726 所示，已知 ABEFCD,48=30,C D=5 0,则EF的长为.7.如图2727所示，在RtZABC中，NABC是直角，A8=3,BC=4,P是BC边上的动点，设8 P=x,若能在AC边上找到一点Q,使/8Q P=90。，则x的 取 值 范 围 是.8.如图2728所示，正方形ABCD的边长为1 0,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、48、BC、CD上，则DE的长为9.操作：如图2729所示，在正方形ABCD中，P是CD上一动点(与C、。不重合)，使三角板的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点8,另一直角边于正方形的某一边所在直线交于点E.探究：观察操作结果，哪一个三角形与BPC相似，写出你的结论(找出两对即可)；并选择其中一组说明理由.当点P位于C D的中点时，直接写出中找到的两对相似三角形的相似比和面积比.图 27-2-91 0.操作：如图27210(a)所示，点。为 线 段 的 中 点，直线PQ与 相 交 于 点。,请利用图27210(a)画出一对以点。为对称中心的全等三角形.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图27210(b)所示，在四边形ABC。中，AB/D C,E为8 c边的中点，Z BAE=/E AF,AF与OC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论.探究二：如 图2721 0(C)所示，D E、B C相交于点E,B A交D E于点A,且BE：E C=1：2,N BAE=N E D F,CF/AB.若 AB=5,C F=1,求 DF 的长度.图 27-2-101 1.如图 2 72 1 1 (a)所示，在 R t z M B C 中，Z ACB=90,C P 平分N A C B,CP 与 AB 交于点。，且 P A =P 8.(1)请你过点P分别向A C、B C 作垂线，垂足分别为点E、F,并判断四边形P EC F 的形状.(2)求证：%B为等腰直角三角形.(3)设%=m,P Cn,试用m、n的代数式表示 A B C 的周长.(4)试探索当边八C、B C 的长度变化时，士二+士2 的值是否发生变化，若不变，请直接写A C BC出这个不变的值，若变化，试说明理由(图2 72 1 1 (b)为备用图).图 27-2-111 2.数学课上，张老师给出图27212(a)和下面框中条件:如图27212(a)所小，两块等腰直角三角板ABC和。EF有一条边在同一条直线/上，NABC=/DF=90。，48=1,D E=2.将直线EB绕点E逆时针旋转45。，交直线AD于 点 将图27212(a)中的三角板ABC沿直线/向右平移，设C、E两点间的距离为X.请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：(1)当点C与点F重合时，如图2