山东省冠县某中学2014高二数学1-2第1课时等差数列的概念及通项公式复习导学案新人教A版.pdf

山东省冠县武训高级中学2014高二数学1-2第1课时等差数列的概念及通项公式复习导学案新人教A版第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义(1)关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列不是等差数列.一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=a“+La“(eN+)或者 N+且 心2).(2)如何证明一个数列是等差数列？要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只 需 证 明 对 任 意 正 整 数 ”是同一 个 常 数(或(1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n 无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：%+%=”(为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也 可 以 证 明 或 劣-斯(1)不是常数，而是 个与有关的变数即可.2.等差数列的通项公式(1)通项公式的推导常用方法：方法一(叠加法)：；%是等差数列，.-a”-2=d,%-2-斯-3=4 ，将以上各式相加得:atl=a+(n-i)cl.方法二(迭代法)：,为 是等差数列，an=a.+d=.2+d+d=2+2 d=.3+3 d=1+(-1 )d.即 an=a+(n-l)d.方法三(逐差法)：%是等差数列，则有。“=(%-。一1)+(%一1-。“一2)+(%-2-即3)+3+32-0)+田=。1+(-1)&注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.(2)通项公式的变形公式在等差数列“中，若m,GN+，则a“=a,推导如下：.对任意的?,GN+，在等差数列中，有am=a+(m-)d a=a+(n-)d 由-得ati=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式七3|+(-1)4变形整理可得斯N/+aid，从函数角度来看，%=血+3 4)是关于的一次函数(dWO时)或常数函数(4=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，公义 如(”w机).n-m(3)通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差；可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项；若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由a=J n)-at+(n-1 )d-d n+(a-d),可知其图像是直线y=x+3-)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1,函数值增加之当d0时，斯 为递增数列,如图(甲)所示.当d 0时，斯 是 数列；当d=0时，斯 是 数列；当d 0时，&是_ _ _ _ _ _ _ _ 数列.答案1.差同一个常数2 .a与人的等差中项3.(1)许-狐尸或常数)等差数列 空 辿24 .斯=。+(-1 )d at=am-(n-m)d5.递 增 常 递 减思路方法技巧命题方向等差数列的定义及应用 例1 判断下列数列是否为等差数列.(1)ar l=3n+2；(2)a tT+n.分析 利用等差数列定义，看斯+为是否为常数即可.解析%+M“=3(+1)+2-(3H+2)=3(GN+).由 的任意性知，这个数列为等差数列.%+为=(+1)2+(+1)_(2+)=2+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.说明利用定义法判断等差数列的关键是看斯”得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.1 =1变式应用1试判断数列 c,J,c,=j 是否为等差数列.I 2 n-5 解析C2-C=-l-l=-2,cn+1-cw=2(n+1 )-5-2 n+5=2(n 2).,.金+广 金(2 1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.；.C.不是等差数列.命题方向等差数列通项公式的应用 例 2 已知数列 “为等差数列，且。5=1 1,“8=5,求 a”.分析 利用通项公式先求出力和d，再求 即，也可以利用通项公式的变形形式=a,“+(-M d 求解.解析 解法一：设数列 ,的首项为即公差为d,由等差数列的通项公式及已知，得0+4 =1 1 1 0=1 9j 解 得 jI a i+7d=5%=-2.,.a1 1=1 9+(l l-l)X(-2)=-l.解法二：.a8=%+(8-5)d,8-5生一2 _ 23*.6 7ii=as+(l l-8)J=5+3 X (-2)=-1.说明(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出勾和d,确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：m进一步变形为=4一%,应注意m-n掌握对它的灵活应用.变式应用2 已知等差数列 恁 中，I O=2 9/2 尸6 2,试判断9 1 是否为此数列中的项.|a1 0=i+9 J=2 9 解析 设等差数列的公差为4,则 有 J ,2 尸。i+2 0 d=6 2解得 i=2,d=3.:.a“=2+(-1)X 3=3n-l.,92令斯=3-1=9 1,得 n-一 e N+.3A 9 1 不是此数列中的项.命题方向 等差中项的应用 例 3 已知a,b,c成等差数列，那 么/s+c),/(c+a),c 2(a+b)是否成等差数列？分析 已知a,b,c 成等差数歹(,由等差中项的定义，可知a+c=2 然后要证其他三项/(6+成等差数列.求：p,q的值.分析 由X i、4、X 5成等差数列得出一个关于p,q 的等式，结合X i=3推出2 p+q=3,从而得到p,q.解析由乃=3,得 2 p+g=3,又 X 4=24p+4q,龙 5=2 p+5q,且,+15=2 4,W3+2+5q=2%+8 q,由得4=l,，p=l.说明 若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2 b,h为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.探索延拓创新命题方向等差数列的实际应用 例 4 某公司经销一种数码产品，第 1年获利2 0 0 万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少2 0 万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析由题意可知，设 第 1年获利为加第年获利为“，则的册产-2 0,(心 2,竦+),每年获利构成等差 数 列 斯，且首项为=2 0 0,公差公-2 0,所以 a,=a+(n-)d=2 0 0+(n-1 )x(-2 0)=-2 0 n+2 2 0.若斯 0,则该公司经销这一产品将亏损，山斯=-2 0+2 2 0 H,即从第12 年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用4 2 0 12 年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150 个座位，从第二排起每一排都比前一排多2 0 个座位，你能用为表示第n排的座位数吗？第 10 排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析 由题意知，每排的座位数组成了 个首项为。尸150,公差为启2 0 的等差数列，a=a,+(n-l)J=150+(n-l)X 2 0=2 0/?+130,则外产330,即 第 10 排可坐330人.名师辨误做答 例 5 已知数列 斯 ,。|=2=1,册=。-|+2(2 3).(1)判断数列%是否为等差数列？说明理由；(2)求%的通项公式.误解(1)an=an.i+2,为常数)，:.四是等差数列.(2)由上述可知,即=1+2(比1)=2/.辨析忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列()从第2 项起，以后各项组成等差数列，而 。“不是等差数列，。“可5)应该表示为“分段函数”型.正解 当 心 3 时，斯=%+2,即 a-a.=2.当”=2时，色-。产0 不满足上式.an不是等差数列.(2),/a 2=1 ,an=an-)+2(n 3),；.的=。2+2=3.。3-42=2.当”)3 时，a-a.=2.”=2+(-2M=1 +2(”-2)=2-3,又,=1不满足此式.r 1 (=i),%二 I 1 2 -3(22)课堂巩固训练一、选择题1.(2011 重庆文，1)在等差数列 斯 中,敢=2,。3=4,则 0 o=()A.12 B.14 C.16 答案D 解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.4-2山 2=2,。3=4 如 d=2.3-2a io=2+8d=2+8 X 2=18.2.已知等差数列 斯 的通项公式%=3-2,则它的公差为()D.18A.2B.3 C.-2 答案C 解析 ：a=a+(-1 )d=d+(ad),二公差为一2,故选C.3.方程f-6x+l=0的两根的等差中项为()D.-3A.l B.2 C.3 答案C 解析 设方程f-6x+l=0的两根为 朴 物 则 修+处=6.D.4其 等 差 中 项 为 土 旦 =3.2二、填空题4.在等差数列 斯 中，2=3/4=。2+8,则。6=.答案19 解析 :。2=3,。4=“2+8,a+d=3。尸-1，解 得 j，+3d=a+d+8、d=4 6=。+5d=-1+20=19.5.已 知 b、c 成等差数列，那么二次函数丁=。/+2云+以/0）的图像与入轴的交点有 个.答案1或 2 解析&b、c 成等差数列，2b=a+c,又 =4b2-4 c、=（+c）2-4Q C、=（-C）220.三、解答题6.在等差数列 中，已知。5=10/12=31,求通项公式即.a=-2+(-l)X 3=3-5.解析由题意得田+4代 10 以 尸 一 2j,解得jzi+HJ=31 1 d=3 答案C 解析,t/=-l-l=-2,Adn=l+(w-l),(-2)=-2n+3,由-89=-2+3,得=46.2.如果数列 斯 是等差数列，贝 I()课后强化作业一、选择题1.等差数列1,-1,-3,A.92,-5,，-8 9,它的项数为()B.47 C.46 D.45A.CI +8。4+。5 答案BB.U (2。+8。4+。5 口.。8=。4 5 解析 设公差为&贝 1 J ai+a-a4-a5=a+a+ld-a-3d-aj-4J=0,。+。8=。4+。53.已知数列3,9,15,3(2/),，那么81是它的第()答案C 解析 由 3（2小1）=81,解得=14.4.在等差数列&“中，。2=-5,期=。4+6,则 白等 于（）A.-9 B.-8 C.-7 D.-4A.12 项B.13 项 C.14 项 D.15 项 答案Bc i +t/=-5 解析由题意，得解得。二-8.。+5d=+3d+65.数列 恁 中，。尸2,2斯+尸2斯+1,则0的 值 是（）A.49 B.50 C.51 D.52 答案D 解析由 2 an+i=2 an+l 得，.%是等差数歹U,首项。尸2,公差d=g,.c 1 ,、+3.=2d-(H-l)=-2 2。1 0 1101+3-=52.26.已知1I但 京 石 3 忑F，则a,b的等差中项为（)A.73B.V2c走,3D.也2 答案A ci+b _ 3 +V 2 V 3 _ V 2 _ V 2 +V 3 +V 2 _T=2 =2 =7.设数列 “是递增等差数列，前三项和为1 2,前三项积为4 8,则它的首项为（A.l B.2 C.4 D.3 答案B。1+2+3=12 +。3=8 解析由题设j 吵4,j：阕2a3=48%心3=12，1 ,的是一元二次方程3 8 x+12=0的两根，8.卬 是首项为田=4,公差d=2的等差数列，如果0产2012,则序号等于（）)A.1003B.1004C.1005D.1006 答 案 C 解 析,7产40=2,:.+(-1 M=4+2(-1 )=2+2,.,.2n+2=2012,.,.”=1005.二、填空题9.三个数lg(V3-V2)g g(V3+V2)成等差数列，则 m.答案0 解析由等差中项的运算式得lg(V3-V2)+lg(V3+V2)lg(V3-V2)(V3+V2)_nx=-=-u.2 210一个等差数列的第5 项“2=10,且 为+的+的=3,则 ai=,d=.答案-2,345=01+44=10|+4d=10 Ca(=-2 解析由题意得j ，即 j1 6 F 1 +1 +d+a 1 +2J=3 a +d=l 1d=311.等差数列”“的前三项依次为x,2x+l,4x+2,则它的第5 项为.答案4 解析 2(2x+l)=x+(4x+2),贝(I。|=0,。2=1/=02-1=1,-a5=zi+4J=4.12.在数列“中，。产3,且对于任意大于1 的正整数，点()在直线x-y-J5=0 上，则 a“=_ 答案3 2 解析由 题 意 得 值 -向?=V 3,数列限 是首项为V 3,公差为百 的等差数列，Jn,a“=3 .三、解答题13.在等差数列 斯 中:(1)已知 5=1,8=2,求 a 与 d(2)已知。+46=12,4=7,求。9 i+(5-l)J=-l 尸 5 解析 由题意知j ,解 得 jl +(8-l)d=2 l3=l i+i+(6l)d=12 a=(2)由题意知,解得 i+(4-l)d=7,d=2 的=。+(9-1”=1+8义2=17.3 r14.已知函数人r)=-，数列 x 的通项由工“=处 -1)(心 2,且N+)确定.x+3(1)求证：-i-是等差数列；(2)当 xi=g 时，求 X|(x).3 Y 解析(l)x=Ax.l)=七(2 2,eN+),x,i+3所以_ L=3 2 +_ L,x 3X,T 3Ill、-=(w22,GN+).%3所 以 -是等差数列；Xn(2)由(1)知 -的公差为L.x.3又因为X|=，即 2.2/所以=2+(n-l)X-,工.3=2+(100-1)X-=35.200 3所以 x,0 0=,15.已知等差数列 恁中，。5+6+。7=15,。5。6 3 4 5,求 数 列 。的通项公式.分析 显然恁是以5和田的等差中项，可利用等差中项的定义求解。5和以7,进而求恁.解析 设 5二 6-4。7=。6+,则由。5+6+。7=15,得 3676=15,。6=5.I 恁+。7=10|=1 =9由已知可得j ，解 得 j 或j1。5。7=9 1 劭=9 7=1当的=1时，d=4,从而。产 15,an=-1 5+(H-1)X 4=4/?-19.当。5=9 时，d=4 从而11=25.二 =25+(-l)X(-4)=-4/7+29.所以数列。,的通项公式为a“=4”-19 或=-4n+2 9.16.第一届现代奥运会于189 6 年在希腊雅典举行，此后每4 年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2 0 0 8年北京奥运会是第几届？2 0 5 0 年举行奥运会吗？解析(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以189 6 为首项，4 为公差的等差数列，这个数列的通项公式为a=89 6+4(”-1 )=189 2+4n(n GN+).(2)假设 a“=2 0 0 8,由 2 0 0 8=189 2+4”,得”=2 9.假设册=2 0 5 0,2 0 5 0=189 2+4无正整数解.所以2 0 0 8年北京奥运会是第2 9 届，2 0 5 0 年不举行奥运会.第 2课时 等差数列的性质知能目标解读1 .掌握等差数列的项与序号的性质.2 .理解等差数列的项的对称性.3 .能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数兀v)=k x+b(/W 0)的图像是一条直线，斜率修g W ).当 =0时，对于常数函数/(x)=b,上式仍然成立.(2)等差数列 的公差本质上是相应直线的斜率.a -a特别地，如果已知等差数列 “的任意两项%,%,山 类 比 直 线 方 程 的 斜 率 公 式 得m-n(加 壬 ).2 .等差数列的“子数列”的性质若 数 列 斯是公差为d的等差数列，则(I)a)去掉前几项后余下的项仍组成公差为4 的等差数列；(2)奇数项数列 3,“是公差为%的等差数列；偶数项数列 J 是公差为2 d 的等差数列；(3)若 kn)是等差数列，则 仅 也是等差数列.知能自主梳理1.等差数列的项与序号的性质(1)两项关系通项公式的推广：an=am+(m、G N+).(2)多项关系项的运算性质：若 m+几=p+q Q n、p、q GN+),贝 I=ap+aq.特别地，若?+=2(加、p N+),则.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2 倍),即 a+af l=a2+=以+=2+1(其中为奇数且 23).I-3.等差数列的性质(1)若%是公差为d 的等差数列，则下列数列：c+“(。为任一常数)是公差为 的等差数列；c 斯 (c 为任一常数)是公差为 的等差数列；/(K N+)是公差为 的等差数列.(2)若 斯、仇 分别是公差为4、必的等差数列，则 数 列 p即+曲、夕是常数)是公差为的等差数列.答案.(n-m)d am+an 2 ap2.a“j3.d c d kd p d i+q d?思路方法技巧命题方向 运用等差数列性质at l=am+(n-m)d(m.N+)解题 例 1 若数列 斯 为等差数列，a p=q,a q=p(p乎q),则 q*为()A.p+q B.O C.-(p+q)D.-分析本题可用通项公式求解.利用关系式an=ai n+(n-m)d求解.利用一次函数图像求解.答案B 解析 解法一：l)d,%=。1+(夕-1)&a1+(p-)d=q I a i+(q-T)d=p -，得(p-夕)d=q-p.*：p W q,：.d=-L代入 ,有 T+si)(-i)=q,，ai=p+q-i故 p+尸 +(p+04)d=p+饮 1+(+伏1)(1)=0.应选 B.解法二：c i p=a q+(p-q)d,q=p+(p q)d,即 q-p=(p-q)d.:P K q、*.d=-1.故 知+“=+(p+q-p)1二4+4(-1)=0.应 选 区解法三：不妨设p e g,由于等差数列中，为关于的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点(p,%),(夕,%)，S+q,p+g)共线.设%+产机，由 已 知,得 三 点(p,g),(q,p),(p+0z)共二线(如图).糕嘿 q-P p-m,-=-q-p (p+q)-qp-m.1 =-.P得，=0,即即+g=0.应选B.说明本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项R和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式产a,“+(-?)d.第三种方法使用的是函数的思想，通 过 点(p,%),(%)，3+，/,%+0共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用1已 知 a,为等差数列，。5=8,6。=20,求。75.解析解法：/a15=a 1+14J,a6o=+59J,i+l4d=8Z+59d=2064a=一15解 得 4d=1564 475=i+74d=+74 X =24.15 15解法二：;1 5+454,4 5 6。-。15=20-8=12,.q4 乃 二 6o+15d=20+15 X=24.命题方向 运用等差数列性质时1+0尸即+%（血、几、p、qN+，且用+=p+q）解题 例 2 在等差数列。中，已知敢+。5+。8=9,。3以 5。7=-21,求数列的通项公式.分析 要求通项公式，需要求出首项伯及公差力 由。2+5+。8=9和的5。7二-21直接求解很困难，这样促使我们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，注意到 2+。8=2 5=。3+。7,问题就好解了.解析.。2+。5+8=9,的。5。7=-21,又 2+。8=3+7=2。5，的+尸 2。5=6,即。5=3.，的*田 二-7，由、解得的=-1 ,。7=7,或。3=7,。7=-1,d=2 或 3=7,d=-2.由。“=的+（九-3）4 得 an=2 n-7 或 许=-2+13.说明 本题利用等差数列的性质求解，可以使计算过程变简单，达到了事半功倍的效果.变式应用2在等差数列%中，若3+的+即+的+产100,则 3 9M3的 值 为（）A.20 B.30 C.40 D.50 答案C 解析.,。3+5+。7+。9+。1 1:=100，又,/的+。1 1 =。5+。9=2。7,:.5 7=100,6/7=20,:.3 9-。3=3（。7+2办（。7+6（/）=3a y+6 d-a-6 d=207=40.探索延拓创新命题方向等差数列性质的应用 例 3 已知四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.分析 此题常规方法是利用已知条件，先求出首项和公差，进而求出这四个数.其实，因为这里成等差数列的四个数之和已知，故可设此四个数为-3d-d,+d4+3d,这样求解更为方便，但必须注意这时的公差应为2 d.解析 解法一：设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2 d）,依 题 意,2a=2,且（o-3d）（+3d）=-8,tz=l,a2-9rf2=-8,.*d2=I,=1 或 d=l.又知四个数成递增等差数列，0,d=l,故所求的四个数为-2,0,2,4.解法二：若设这四个数为a,a+d,a+2 d,a+3d（公差为d）,依题意，2+3公2,且（+3）=-8,3把 a=l d 代入 a(a+3d)=-8,23 3 9得(1+=-8,即 l-J2=-8,2 2 4-化简得=4,；.d=2或-2.又知四个数成递增等差数列，；.0,二d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.说明此题设法很重要，一般地有如下规律：(1)若所给等差数列为2(6N+)项，则可设为：小(2-1)4“-34/,4+4,0+3,“+(2”-1)4此数列的公差为2火2)若所给等差数列的项数为2个1(N)项,则这个数列可设为：,a-d,a,a+d,a+(”-l)d,这个数列的公差为d.变式应用3已知5 个数成等差数列，它们的和为5,平方和为丝，求这5 个数.9 解析 设这五个数依次为a-2d,.d,Q,+d,a+2d,由题意，得5 a=5I (a-2 d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2 d)2=a=l解 得:a=故这五个数为3L 或z,3 3 3 3一5，.1，1一，1-3 3 3名师辨误做答 例 4 在等差数列%中，已知巧=2,念+的=13,则 4+%+。6=误解39 2+。3=1 3,。5=。2+。3=1 3,:4+5+。6=3 5=39.辨析 误解过程中，a2+a3=a5是错误的，在运用等数列的性质“若“+=p+q(m、n p、q N+),则a i+a =Q p+a q”的过程中,一定要明确条件m+=p+q(m、p、qN+)”的内在含义.正解42设公差为4 。2+3=13,:.2 +31=13,又)=2,.*,d=3.4+。5+。6=3。5=3（。1+41）=42.课堂巩固训练一、选择题1.已知 斯 为等差数列，a2+as=1 2,则 的 等 于(）A.4 B.5 答案C 解析,为等差数列，念+8=2恁，2475=12,/.a=6.C.6D.72.如果等差数列 中，3+。4+。5=12,那么+2+。7=()A.14 B.21 答案c 解析,*的+4+。5=12,*3。4=12,“4=4.C.28D.35/.a 1 +。2+,+7=（。1 +。7）+（。2+。6）+（。3+。5）+。4=744=28.3.等差数列 中,4+45=15,47=12,则 敢=(）A.3 B.-3c T23D.-2 答案A 解析。4+5=1 5,2+。7=4+。5=15,又。7=12.。2=3.二、填空题4.在等差数列 中，3=7,5=。2+6,则 恁=_ _ _ _ 答案13 解析 设公差为 d,Va5=a2+6,/.a5-a2=3d=6,/.6=。3+3 d=7+6=13.5.等差 数 列an中,若。2+44022=4,则。2012=答案2 解析.四 为等差数列，2a2012=42+。4022,电+。22 4。2012=八 =3=2.2 2课后强化作业一、选择题1.已知等差数列%中，”3=5,%=9,则()A.ll B.12 答案CC.I3D.14 解析 设公差为 as-a3=2d,2J=4,X。产 5+2d=9+4=13.2.在等差数列 斯 中，4 3+4 4+4 5+0 6+0 7=4 5 0,则。2+。8=（）A.45 B.75 C.180D.300 答案C 解析 由。3+4 7=。4+。6=2 5，得。3+7+4+6+。5=5。5=450,4/5=90.:2+%=2 5=180.3.下列命题中正确的是A.若 也 c 成等差数列,B.若 4 瓦 c 成等差数列,C.若 ，仇 c 成等差数歹U,()则/2,a成等差数列则1 0g 2 0,1 0g 2瓦l o g 2 c成等差数列则+2,b+2,c+2成等差数列D.若 a,6,c成等差数列，则 2“，2”,2、成等差数列 答案C 解析北力,。成等差数列，2b=a+c,2/+4=Q+C+4,即 2(b+2)=(a+2)+(c+2),:。+2为+2,c+2成等差数列.4.已知等差数列 卬中，乃+。9=1 6,4=1，则幻2等 于()A.15B.30C.31D.64 答案A 解析 :。7+9=2。8=16,故 8=8.在等差数列 中,。4,。8,1 2成等差数列，所以 a 1 2=28-674=16-1=15.5.已知等差数列。满足 汁 2+的+=0,则 有()A.ai+i()0 B.2+QI O O VOC.a 3+a io o WO D.a5i=0 答案D 解析 由题设。1+。2+。3+。1 0尸101。5尸0，。51=0.6.等差数歹！J 斯 中 工Z +4+7=39,2+5+8=33,贝U。3+。6+9 的 值 为（）A.30 B.27 C.24 D.21 答案B 解析 解法:设力 =。+4+。7=39,。2=2+。5+。8=33,。3=的+。6+9，;成等差数列，等差数列,，3+。6+。9=方3斗2+(62加)=2历-6 =27.解法二：设等差数列 册 的公差为4则2+4 5+。8=。1+。4+。7+3,33=39+3d,:1八力2力3成3d=-6,。3+4 6+”9=2+。5+。8+31=33-6=27.7,设数列 为,儿 都是等差数列，且 1=25力1=75,敢+岳=100,则“3 7+加7等 于(A.O B.37 C.IOO D.-37 答案C 解析 可+仇=100,他 也=100,)(“2-a 1 )+(岳-6)=0,设等差数列 ,九 的 公 差 分 别 为 则 4+4=0.。3 7+匕3 7=4 1 +36d+b +36d2=。i+。1 +36(0+42)=。i+。=100.8.在等差数列 中，若4+。6+。8+。10+12=120,则。9-。11的 值 为()A.14 B.15 C.16 D.17 答案C 解析 由题意，得 5 8=120,；.8=24,1 1 2/.a9-an=(as+d)-(as+3d)=as=16.3 3 3二、填空题9,在数列 中,。3，。10是方程，-3冗-5=0的两根，若 是等差数列，则。5+。8=答案3 解析由题意，得。3+00=3,。5+。8=。3+。1 0=3.10.等差数列 中，生+3+10+31=36,则。6+。7=.答案18 解析%为等差数列,。2+1 1 =3+1 0=。6+7，；。2+3+4 1 0+4 1 1 =2(6+7)=36,:.。6+。7=181 1 .(2012 洛 阳模拟)己 知 为等差数 列,。+3+。5=105,。2+。4+。6=99,则。20=_ 答案1 解析 7 +的+。5=105,即 3a3=105.的=35,同理4=33,:d=4-3=-2 。2 0=。4+(20-4)3=1.12.等差数列 斯 中，公差为,且4+4 3+。5+的9=60,则 2+。4+。6+。1 0 0=2 答案85 解析 由等差数列的定义知 2+。4+。6+1 00=4 +3+05+，+。99+50d=60+25=85.三、解答题13.已知数列%中,。2+6+。10=1,求 的+。9.解析.。2+。10=2%,-一二,3 6-。6-3,上。2。3+9=2。6=.14.已知等差数列%的公差是正数，且 a3a7=-12处+恁=-4,求 a,的通项公式.解析。3+7=。4+。6=-4,又 Q3a7=-1 2 的、田是方程X2+4X-1 2=0的两根而 J0,/.3=-6,7=2.i+2d=6a i+64=2故 a|=-10,t/=2,a=2n-12.15.已知数列 a,J,斯=2”-1,=心 一|.求 b,的通项公式；(2)数 列 儿是否为等差数列？说明理由.解析an=2 n-1,bn=a 2 n-i,.仇=a 1=1,2=的=5/3=“5=9，bn=c t2 n-1 =2(2n-1)-1 =4M-3.(2)由 bn=4n-3 知/?-i=4(n-l)-3=4n-7.n 也-i=(4-3)-(4-7)=4,%是首项R=l,公差为4 的等差数列.16.有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元.，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.解析 设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为 对.a“=780+(-1 )(-20)=800-20”，解不等式%2440即 800-20n440,得”218.当购买台数小于18台时，每台售价为800-20”，在台数大于等于18台时，每台售价为440元.到乙商场购买，每台售价为800X75%=600元.作差：(8 0 0-2 0)n-60 0 n=2 0 n (1 0-n),当“1 0 时，60 0 n ,当 1 0 W1 8 时(8 0 0-2 0)n 1 8 时，4 4 0 n、2 I Hl100a+100/?=10 b=1011a=-100.一 心.100 10.,.5|0=-X 1102+X 110-110.100 10方法四：.,Sioo-Sio=au+ai2+ioo_ 9 0（4 +十（）o）_ 9 0（%+a”。）-F =2 ,又 SIO O-SIO=1O-1OO=-9O,+o=-2.1 1 0（Suo=-=-110.2q方法五：在等差数列中，因 为 点（，出）共线，n所 以（1 0,9 电）,（1 0 0,风亚）,（110,迎）三点共线,1 0 1 0 0 1 1 0S l o p$1 0 S 0 S 0故 l o p-10 _ 1 1 0-历1 0 0-1 01 1 0-1 0I s2-1 0 -10即 12=1109 0 1 0 0-=1 0+X（-10）=-11 1 0 9 1 0.5llo=-HO.说明 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列前八项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2已知等差数列 斯的前八项和为&,且 S,“=70,52,=110,则 S3,”=.答案120 解析.%为等差数列，S,“,S2ms“,S3,S2m也成等差数列，2(S2,-S,”)=S,”+S3,”-S2m,l|J 2(110-70)=70+S3,-110,.,.53,=120.命题方向 等差数列前n项和的最值问题 例 3 已知数列“”是等差数列，m=50,d=-0.6.(1)从第几项开始有a0;(2)求此数列的前n项和的最大值.分析 对 于(1)实质上是解一个不等式，但要注意GN+；对 于(2)实际上是研究S“随”的变化规律，由于等差数列中S,是关于 的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由小的变化推测S,的变化.解析 因为幻=50,=-0.6,所以 a=50-0.6(n-l)=-0.6n+50.6.令-0.6”+50.6W 0,贝-84.3.0.6由于“GN,故当“2 8 5 时，即0,由(1)知。840,。850,所以 S1&$85品6.84 x 83所以当 =84 时，&有最大值，即$84=50X84+-X(-0.6)=2108.4.2解法二：S=5 0 n+n(，l X(-0.6)=-0.3n2+50.3n=-0.3(n-)?+.当取接近于亚的自然数，即2 6 120 6n=84 时，S,达到最大值 584=2108.4.说明 求等差数列的前n 项和5a的最值有两种方法：方法一：根据项的正负来定.若 a 0,d 0,则数列的所有正数项之和最大；若at0,则数列的所有负数项之和最小.,_ 1)d 9 z d、.方法一.：S=Q+-d=n+一)2 2 2d r/1 q、2 d=-In-)J 2 2 d 2L 幺)22 d由二次函数的最大、最小值知识及wdN+知，当”取最接近(l-色)的正整数时，S“取到最大值(或最2 d小值)，值得注意的是最接近(,-幺)的正整数有时有1 个，有时有2 个.2 d变式应用3在等差数列%中，。尸25,$7=59,求 S,的最大值.解析 解法一：利用前W项和公式和二次函数性质，由$7=$9得17 925x17+(17-1)1=25X9+(9-1)乩解得 d=-2,2 2no S=25+(n-l)(-2)=-(n-l 3)+169,2由二次函数性质,当=13时，&有 最 大 值 169.解法二：同解法一先求出d=-2.因为巧=250,C C 1a=25-2(n-l)0“W 13-2 V由 ，得，a“+i=25-2W0nl 2 2所以当=13时，&有 最 大 值 169.解法三：同解法一先求出 1=-2.山 S17=S9，得。10+。1|+。17=0，而。10+。17=。11+。16=。12+。1 5=卬3+。14,故对3+。14=0.因为=-2 0,所以田30,。140,d=,an=3,Sn=a=,n=.答案2 3r i3)X/解析由题意，得 YT 2 1 ,、1=nc iid n X(7?-1)X 5 2 2r i=2解 得 jl n=310.(2011 广东理，II)等差数列%前 9 项的和等于前4 项的和.若田=1,以+4=0,则上.答案10 解析 本题考查等差数列通项公式、前项和公式以及基本运算能力.设等差数列公差为d,则斯=l+(-l)d,S4=S%。5+。6+。7+。8+。9=，7=0,*I+64=00=.6又“4=1+3 X(-)=,(1=1 +(A-1 )d,6 2A-+l+(J t-l)(/=O,d=-代入，得=10.2611.数 歹 U a 的前项和Sn=3n-2 n2(/?G N+),则an=，此时S与斯的大小关系是 答案-4+5 S 2 nan 解析/7=1 时，S=l；2 2 时，an=Sn-Sn.1=-4?+5时，也适合上式,故。产 4/1+5.=2 n2-2 n=2 n(n-1)0,故S会 na”.12 .设为等