2023届高考数学一轮保基卷：圆与圆（含解析）.pdf

2023届高考数学一轮保基卷：圆与圆一、选 择 题(共 18小题)1.两 个 圆 Q：M+y 2 +2x+2y 2=0 与 C2：/+y?-4*一 2y+1=0 的公切线有且仅有()A.1条 B.2 条 C.3 条 D.4 条2.圆(为 +2/+y2=4 与圆(%2尸+(y-1)2=9 的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3.与y 轴相切，且和曲线/+、2 =4(0 尤 2)相内切的动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=2(x+1)(0 x 1)B.y2=4(x-1)(0 x 1)C.y2=-4(x 1)(0 x 1)D.y2 2(x 1)(0 x 0),若圆C 上存在点P,使得乙 4P8=90,则 小 的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.47.设 P(%i，yi)是 圆。1：/+丫 2 =9 上的点，圆。2 的圆心为Q(a,b),半径为1,则+(0_%)2=是“圆 0】与圆G 相切”的()A,充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.圆工2 +y2-2%=0 与2 +y2+4y=0 的位置关系是()A.相离 B.外切 C.相交 D.内切9.在坐标平面内，与点4(1,2)距离为1,且与点8(-3,1)距离为2 的直线共有()A.4条 B.3 条 C.2 条 D.1条10.圆/+川=r2(r 0)与圆工2 +y2+2%一 4y+4=0 有公共点，则满足()A.r V5+1 C.I r-V5|1 D.|r-V5|111.两圆相交于两点(1,3)和两圆圆心都在直线-y+c=0 上，则 m +c 的值是()A.-1 B.2 C.3 D.012.设P(居)/)是圆C：/+(y+4)2=4 上任意一点，则 1)2+(y 1)2的最小值为()A.V26+2 B.V26-2 C.5 D.613.圆/+4%+y2=o 与圆(_ 2)2+(y-3)2=r2有三条公切线，则半径r=()A.5 B.4 C.3 D.214.两圆 Ci：%2+y2 _+3=0 和 C2：X2+y2+4/3y+3=0 的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.内切 D.外切1 5.若山=8+遮，n =V 2 +V 6,则下列结论正确的是()A.m n B.n mC.n=m D.不能确定m,n的大小1 6 .若圆(x -a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x +l)2+(y +I)2=4的周长，则a,b满足的关系是()A.a2+2 a +2 b-3=0 B.a2+bz+2 a +2 b+5=0C.a?+2 a +2b+5=0 D.a?-2 a -2b+5=01 7 .若点4(1,0)和点8(4,0)到直线l的距离依次为1 和 2,则这样的直线有()A.1条 B.2 条 C.3 条 D.4条1 8 .在坐标平面内，与点4(1,2)距离为1,且与点B(3,l)距离为2的直线共有()A.1 条 B.2条 C.3 条 D.4条二、填 空 题(共 7 小题)1 9 .已知圆 G：%2 +y 2 -2n lX +4 y +血2 5=0 与圆的：x 2 +y 2 +2%2 m y +血2 3=0,若圆G 与圆C2相外切，则实数7 7 1 =.2 0 .如图所示，A,B是直线/上的两点，且 4 8 =2.两个半径相等的动圆分别与1 相切于4,B 点、,C是两个圆的公共点，则圆弧A C,CB与线段AB围成图形面积S的 取 值 范 围 是.2 1 .己知两圆/+y 2 =i。和。一1)2 +3-3)2 =2 0 相 交 于 A,B两点，则 直 线 AB的方程是.2 2 .若圆 x2+y2 2ax+a2=2 x2+y2-2by+b2=1 外离，则 a,b 满足的条件是2 3.已知圆C:(x 3)2 +(y 4 产=1,点 做0,1),B(0,l).P是 圆 C上的动点，当 I PA+|PB|2取最大值时，点P的坐标是.2 4 .己知圆 C:(x-3)2+(y 4)2 =1,点 4(一 1,0),8(1,0),点 P 是圆上的动点，则 d =|P4+|PB I2的最大值为,最小值为.2 5.已知动点P(x,y)满足x2+y2-x I-|y|=0,0是坐标原点，则O P的 取 值 范 围 是.三、解答题(共6 小题)2 6 .(1)求过4卜，9 平行于极轴的直线的极坐标方程；(2)直线，过点4(3,三)，且向上的方向与极轴正方向成号，求直线2 的极坐标方程.2 7 .已知 A B C 的顶点4,B在椭圆M+3y 2 =4上，点 C在直线1：y=x+2 ,S.AB/1.(1)当48边通过坐标原点。时，求 4B的长及 A B C 的面积；(2)当 4 4 8 c =9 0。，且斜边4c的长最大时，求 AB所在直线的方程.2 8 .求半径为4,与圆/+、2 一 4 x 2 y -4 =0相切，且和直线y =0相切的圆的方程.2 9 .求经过点4(4,一 1),并与圆C：/+丫 2 +2%-6 丫 +5=0切于点8(1,2)的圆方程.30 .已知圆。0-4)2+)/2=4,圆。的圆心。在 y轴上，且与圆C外切，圆。交 y轴于4 B两点(4 在 B的上方)，点 P的坐标为(-3,0).(1)若。(0,3),求 4 4 P B 的正切值；(2)若。在 y轴上运动，当。在何位置时，t a n/A P B 最大?并求出最大值；(3)在 x轴上是否存在点Q,使当。在 y轴上运动时，乙4 Q B 为定值?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.31 .2 是 圆/+丫2 =4上的动点，P点在x轴上的射影是。，点 M满 足 两=之 前.(1)求动点M 的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线，与动点M 的轨迹C交于不同的两点A,B,求以。A,。8为邻边的平行四边形0 4 E B 的顶点E的轨迹方程.答案1.B【解 析】两圆圆心半径分别为G(-l,-1),6=2,C2(2,l),万=2,可 得I品。2 1=+交，即两圆相交，公切线有两条.2.B3.C【解析】如图:依题意，1 4 c l=|B C|,B P I AC|=|OB I-|OC|.设 C(x,y),0 x 1 1 /1F|=|x 3 =|,则M到y轴 的 距 离d 2|g=l (当且仅当A B过抛物线的焦点时取“=”)，所 以dm in =l，即M点 到y轴的最短距离为1.6.B【解析】如图,当以4B为直径的圆和圆。内切时，m取最大值.7.D【解析】根据9-打）2+（8-%）2=1 可知两圆有公共点，所以两圆可能是相切的，也可能是相交的,若两圆相切，不能推出（。一%1）2+（匕一%）2=1,故为既不充分也不必要条件.8.C【解析】两方程配方得（-1）2+*=1,/+（y +2）2=4,两圆圆心距为遥.因为2-I V遥 V 2 +1,所以两圆相交.9.A10.D11.C12.B13.C【解析】由圆%2+4%+y 2=0,得（+2）2+y 2=4,所以圆心坐标为（一 2,0）,半径为2.由圆（%2尸+（y 3）2=产，得圆心坐标为（2,3）,半径为r.因为圆%2 4-4 x 4-y2=0 与圆（x -2）2+（y -3）2=r2有三条公切线，所以故两圆外切，所以（一 2 2尸 +（0-3=2+r,即 5 =2+r,所以r =3.14.D15.B【解析】因为m=+有，所以7?12=8 +2/15.因为九 二&+逐，所以7I2=8+2A/1 ,所以m2 n2,所以 TH 几.16.C【解析】即两圆的公共弦必过（x +I）2+（y +1）2=4的圆心，两圆相减得相交弦所在的直线方程为一2（。+l）x -2（b+l）y +小+i=o,将圆心坐标（一 1,一1）代入可得a?+2a+2b +5 =0.17.C【解析】如图，分别以4 8为圆心，1,2 为半径作圆.A B依题意得，直线/是圆4的切线，4至 此 的距离为1,直线I也是圆B的切线，8至此的距离为2,所以直线 是两圆的公切线，共 3条（2 条外公切线，1 条内公切线）.18.B【解析】满足要求的直线同时与以4（1,2）为圆心、以 1 为半径的圆和以B（3,l）为圆心、以2 为半径的圆相切.这两个圆相交，于是公切线共有2 条.19.-5 或 2【解析】对于圆G 与圆的 的方程，配方得圆G：(x m)2+(y +2)2=9,圆 G：(x +1)2+(y-ni)2 4,则 G(jn,-2),rt=3,C2(l,m),r2=2.如果圆G 与 圆 相 外 切，那么有I的。2 1=q +2=5.则 m2+3 m 10=0,解得 m=5 或 m=2.20.(0,2-=【解析】如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S取得最大值.此时 ABO2O1 为矩形，且 S m ax =2 x l-i -l2x 2=2-p21.x 4-3 y =022.a2+b2 3 +2V 2【解析】由题意可知得，两圆圆心坐标和半径长分别为（a,0）,V 2；（O,b）,1,因为两圆外离.所以 Ja2+b2 V 2+1,即 a?+/3 +2 62工（先）【解析】设 P（Xo，y。），则 I PA I2+1 PB|2=诏 +（y0+1）2+超+S o 1）2=2（诏+羽）4-2,显然以+%的最大值为（5+1尸,所以（|P 4+|P B|2）m ax =7 4,此 时 而=6 无，结合点P在圆上，解得点P的坐标为24.7 4,3 4【解析】设点P Qo/o），则 d=（Xo +1）2+M +（X。-1）2+韬=2（以+%）+2,欲求d 的最值，只需求”=以+诏 的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值.圆C上的点到原点的距离的最大值为6,最小值为4,故 d 的最大值为7 4,最小值为3 4.25.0 u l,V 2【解析】方 程+y 2_|X I y|=0可化为（|x|+Q y1 2）=5所以动点P（X，y）的轨迹为原点和四段圆弧，如图所示，故IP O I的取值范围是 O U 1,7 1.26.（1）如图所示,在直线 上任意取点因为4卜,：），所以|MH|=2-s in E =V L4在 R t A O M H 中,MH=OMsin6,即 p s in =V L所以过4 Q3平行于极轴的直线方程为p s in B =V 2.（2）如图所示，4（3谭），OA=3.AOB=p 由已知 NMBX=苧，所以N 04 B =土一三=口.4 3 12所以Z.OAM=冗工=又 Z 0 M 4 =Z.MBx-Q=如一仇4在三角形MOA中，根据正弦定理，得 京 广.s i n（T-e）s i n-因为s i W=s i n g+己)=将s i n(斗-0)展开，化简上面的方程，可得p(s i n。+c os。)=3/3,3+2-所以，过4(3,9且和极轴成弓的直线方程为p(s i ne +c os。)=苧+1.2 7.(1)因为A B八且AB通过原点(0,0),所以4B所在直线的方程为y=x.由俨之+3y2 =4,l y=x.得4 B两点坐标分别是4(1,1),所以 AB=J(1 -(-1)2+(1-(-1)2=2 V 2.又因为A B边上的高h等于原点到直线I的距离.所以h=近，Sh A B C=|AB h=2.(2)设4B所在直线的方程为y=x+m,由x+3y%得 4%2 +6mx+3 m 2 -4 =0.(y=x+m.因为4 8两点在椭圆上，所以/=一1 2 62 +64 0,B n4VS,4遮即-V m V .3 3设4,B两点坐标分别为(尤1，、1),(x2,y2)且 yi =X i +m,y2 x2+rn.所以I A B I =7(xi -x2)2+(yi -y2)2=y/2(X1-X2)2=J 2(久 1 +亚)2 -4%1亚=J2 Q m2 3 m 2 +4)32-6m2一 2又因为B C的长等于点(0,m)到直线l的距离，即 BC所以|A C|2 =AB2+BC2=-m2-2 m +1 0 =1 1 -(m+I)2.当m =-1时，A C边 最 长.(显 然 一 竽 一1 =1 6,2(X-2 +2 71 0)+(y 4 尸=1 6.当 C z(a,-4)时，(a -2)2+(-4 -I)2=72,或(a -2 +(-4 -I)2=I2.故a =2 士 2 V 6.所求圆的方程为2(x-2-2 x/6)+(y+4)2=1 6,2(%-2 +2 V 6)+(y+4)2=1 6.综上所求方程为(x-2-2 V 1 0)Z+(y 4/=1 6,2(x-2 +2 71 0)+(y-4 尸=1 6,(x-2-2 V 6)+(y+4)2=1 6,2(x-2 +2 V 6)+(y+4)2=1 6.2 9.设所求圆的圆心为M(a,b).圆 C：(x+l)2 +(y-3)2 =5,因为M在线段48 的中垂线上，线段AB的中垂线方程为x-y-2=0；所以圆心为C(一 1,3),直线B C的方程为x+2 y-5 =0.又在直线B C 上.所以F 2；n=：所以点M的坐标为(3,1).(a +2 b 5=0,3 =1.又因为MA=V 5,所以所求圆的圆方程为(X -3尸+(y 1)2 =5.30.(1)由圆C:(x-4 尸+y2 =%知 C(4,0),圆 C的半径为2.又圆C与圆D外切，又0,3),所以 CD=742+32 =5,圆。的半径 R=5 2 =3,而圆。截 y 轴于(0,6),(0,0)两点，不妨设 4(0,6),8(0,0).所以 tan/.APB=吆&=-=2.OP 3(2)当。在 y 轴上运动时，令 C(0,t),CD=V t2+1 6.圆。的半径 R=、t 2+1 6-2,4(0+R),B(0,t-R).因为“P B =P C N B P C,所以+R t Rt a nP B =j：+R;一R1+-3-6R 9+t2-R267 t2+1 6-1 2 4 V t2+1 6-1 193 2=-4-2 4 V t 2 +1 6-1 15-当。为(0,0)时，t a n乙4 P B最大，最大值为蓑.(3)设Q(x,0),与(2)中求t a n/A P B的方法同理可得2Rx 2 xV t2+1 6-4xt a n 乙4 Q B =-=/-.x2+t2-R2 4 v t +1 6+x2-2 0若t a n/Z Q B为常数，则 有?=2三，4 20解得久=2旧 或x=-2 V 3或x=0.但当x=0时，若A,B分别在x轴两旁时，AQB=1 80：若4 B都在x轴同旁时，N4QB=0。，故x=0不合题意，舍去.综上，存在满足题意的点Q,其坐标为(2 b,0)或(-2 8,0).31.(1)设 M(x,y),则 D(x,0).由 两=(而 知：P(x,2 y).因为点P在圆x2+y2=4 ,所以x2+4 y2 =4.v2所以点M的轨迹C的方程为 +y2=1.轨迹C是以(-百,0),(g,0)为焦点，长轴长为4的椭圆.(2)设E(x,y),由题意知，的斜率存在.设 2:y=k(x-3),代入?+y2 =i 得：(1 4-4/c2)x2 2 4 f c2x+36/c2 4 =0,则 4 =(一2轨2)2 -4(1 +4 4 2)(361一4)0,解得：k2 2设4(X 1，%)，8出 而，则 与+%2 =哀 而，所以71+72 =-3)+f c(x2-3)=k(%i +x2)6k24k3=-6k1+4-2-6k-l+4k2因为四边形。力EB为平行四边形，所 以 丽=刀+砺=(5+如+%，)=(普7,彘0，所以顶点E的轨迹方程为x2+4 y2-6x=0(0 x(24k2X=,又 O F =(%,y),所以消去k得：x2+4 y2 -6x=0.0一1+秋2,因为所以久=24k2 _ 6(l+4fc2)-6 _ 61+4/C2-l+4fc2I+4HC(0j